Entscheidungstheorie

ENTSCHEIDUNGSTHEORIE
Teil 3c
Prof. Dr. Steffen Fleßa
Lst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und
Gesundheitsmanagement
Universität Greifswald
Gliederung
3
Konzepte der Entscheidungstheorie
3.1 Grundmodell der Entscheidungstheorie
3.2 Entscheidung bei eindimensionalen Zielsystemen
3.3 Mehrdimensionale Zielsysteme
3.4 Nutzentheorie
3.4.1 Grundlagen
3.4.2 Ausgewählte Verfahren
3.4.3 Bernoulli-Prinzip
3.4.1 Grundlagen
•
Prinzip: Bislang gingen wir davon aus,
dass das Ergebnis einer Alternative i bei
Umweltzustand j und Ziel h maßgeblich
für die Entscheidung sei. In der Realität
entscheiden wir jedoch nicht auf
Grundlage des Ergebnisses, sondern auf
Grundlage des Nutzens, den dieses
Ergebnis liefert.
Alternativen
•
•
•
Nutzen ist eine lineare Funktion des
Ergebnisses durch den Ursprung:
–
Ergebnis ist ein gutes Surrogat für den Nutzen
–
Ergebnis ist kein vollständiges Surrogat für den
Nutzen, jedoch ein Anhaltspunkt
Nutzen ist eine monotone Funktion des
Ergebnisses:
Nutzen ist keine monotone Funktion des
Ergebnisses:
–
Ergebnis darf in keinem Fall als Surrogat für den
Nutzen verwendet werden
Beispiel: Urlaubsplanung
Erholung
Der Erholungswertzuwachs steigt
immer zu, je länger der Urlaub ist
Der Erholungswertzuwachs ist am
Anfang am Größten und nivelliert
Irgendwann wird es so langweilig,
dass die „Krise“ kommt und der
Erholungswert sinkt
Länge des Urlaubs
= Ergebnis
Formales Vorgehen
e u
h
ij
eijh
h
ij
: Ergebnis bzgl. des Zieles z h bei Wahl
der Alternative a i , wenn Umweltzustand
s j eintritt
uijh
: Nutzen bzgl. des Zieles z h bei Wahl
der Alternative a i , wenn Umweltzustand
s j eintritt
Nutzentheorie
•
Nutzenfunktion (= Präferenzfunktion):
 
uijh  U eijh
U : Nutzenfunk tion
•
Nutzentheorie: Lehre von der Entwicklung von
Nutzenfunktionen
Varianten: Unsicherheit, Ziele
•
Sicherheit und ein Ziel
 
ui  U ei
 
uih  U eih
•
Sicherheit und mehrere Ziele
•
Unsicherheit und mehrere Ziele uijh  U eijh
 
Präferenzarten
•
•
•
•
Höhenpräferenz
– Abbildung des Nutzens in Abhängigkeit von der
Ergebnishöhe
Artenpräferenz
– Gewichtung von Zielen
Risikopräferenz
– Abbildung der Risikoeinstellung des Entscheiders
Zeitpräferenz
– Abbildung der Gegenwartsorientierung des
Entscheiders
Beispiel: Partnerwahl
•
Artenpräferenz
–
Ziele
•
•
•
–
Ziel 1: Reichtum
Ziel 2: Schönheit
Ziel 3: Nettigkeit
Wie wichtig sind mir diese Ziele im Verhältnis
zueinander?
•
•
•
λ1=0,2
λ2=0,3
λ3=0,5
Beispiel: Partnerwahl
Nutzen
•
Höhenpräferenz
–
Für jedes Ziel: wie
viel nützt mir ein
bestimmtes Niveau?
Schönheit
Nutzen
Nutzen
Vermögen
Nettigkeit
Beispiel: Partnerwahl
•
Zeitpräferenz
–
Reichtum, Schönheit und Nettigkeit verändern sich im
Zeitablauf, z. B. Schönheit:
Beschreibu Alter = 25
ng
Alter = 50
Alter = 75
Person 1
sehr hübsch
100 Punkte
50 Punkte
20 Punkte
Person 2
geht schon
80 Punkte
45 Punkte
19 Punkte
Person 3
zeitlos
60 Punkte
50 Punkte
30 Punkte
Person 4
?!?!?!?
30 Punkte
30 Punkte
30 Punkte
Beispiel:
Partnerwahl
Hohe Zeitpräferenz:
wähle Person 1
•
Niedrige Zeitpräferenz: Wähle Person 3
Zeitpräferenz
–
Reichtum, Schönheit und Nettigkeit verändern sich im
Zeitablauf
Beschreibu Alter = 25
ng
Alter = 50
Alter = 75
Person 1
sehr hübsch
100 Punkte
50 Punkte
20 Punkte
Person 2
geht schon
80 Punkte
45 Punkte
19 Punkte
Person 3
zeitlos
60 Punkte
50 Punkte
30 Punkte
Person 4
?!?!?!?
30 Punkte
30 Punkte
30 Punkte
Beispiel: Partnerwahl
•
Risikopräferenz
–
für alle Ziele müssen die möglichen Umweltzustände
bewertet werden, z. B. Lebenseinkommen und -vermögen
Beschreibung
Früher Tod Inflation
Branchenniedergang
Person 1
gutes
Sparbuch
500.000 €
50.000 €
500.000 €
Person 2
reiche Eltern 0 €
500.000 €
1.000.000 €
Person 3
tolle
Ausbildung
0€
1.000.000 €
1.000.000 €
Person 4
gute Firma
500.000 €
2.000.000 €
-500.000 €
Beispiel:
Partnerwahl
Angsthase: Person
1 (da hat man auf
•
jeden Fall etwas!)
Bungee-Springer: Person 4
Risikopräferenz
–
für alle Ziele müssen die möglichen Umweltzustände
bewertet werden, z. B. Lebenseinkommen und -vermögen
Beschreibung
Früher Tod Inflation
Branchenniedergang
Person 1
gutes
Sparbuch
500.000 €
50.000 €
500.000 €
Person 2
reiche Eltern 0 €
500.000 €
1.000.000 €
Person 3
tolle
Ausbildung
0€
1.000.000 €
1.000.000 €
Person 4
gute Firma
500.000 €
2.000.000 €
-500.000 €
Terminologie
•
•
Grundsatz: nicht einheitlich
Eisenführ und Weber
– Wertfunktion: Abbildung der Höhenpräferenz
bei einer Entscheidung unter Sicherheit
– Nutzenfunktion: Abbildung der Höhenpräferenz
bei einer Entscheidung unter Unsicherheit
•
Klein und Scholl:
– Nutzenfunktion = Wertfunktion
Voraussetzungen zur Ermittlung
einer Nutzenfunktion
•
Vollständige Präferenzordnung
– Eine Präferenzordnung ist vollständig, wenn
der Entscheider für jedes Paar möglicher
Ergebnisse eines gegenüber dem anderen
strikt präferiert oder beide als gleichwertig
erachtet.
– ei » ej : Ergebnis i ist besser als Ergebnis j
– ei ~ ej : Ergebnis i ist gleichwertig mit
Ergebnis j
Voraussetzungen zur Ermittlung
einer Nutzenfunktion (Forts.)
•
Transitive Präferenzordnung
– Falls ein Entscheider ein Ergebnis ei
gegenüber Ergebnis ej präferiert und
Ergebnis ej gegenüber Ergebnis ek, so muss
er auch Ergebnis ei gegenüber Ergebnis ek
präferieren
– Falls ei » ej und ej » ek  ei » ek
– Gegenteil: Inkonsistenz
Ordinale Nutzenfunktion
•
Vollständige und transitive
Präferenzordnungen erlauben die
Entwicklung einer ordinalen
Nutzenfunktion
– ei » ej : u(ei) > u(ej)
– ei ~ ej : u(ei) = u(ej)
Umgang mit Zielkonflikten
•
•
–
–
–
–
•
Dominanzmodelle
Absolute Dominanz von Alternativen
Outranking-Modelle
Kompromissmodelle
Synonym: Multicriteria decision making; Multiobjective decision
making)
Bespiele:
•
•
•
–
–
Lexikographische Ordnung
Zielgewichtung
Goal Programming
Multiattributive Methoden
Synonym: Multiattributive decision making; Multiattributive utility
theory (MAUT)
Inhalt: Ermittlung einer Gesamtnutzenfunktion
Entscheidungsvorbereitung bei
Multiattributive Utility Theory
•
•
•
Ermittlung der Einzelnutzenfunktionen
 Höhenpräferenz
Ermittlung der Gesamtnutzenfunktion bei
Zielkonflikt
 Artenpräferenz
Ermittlung der Risikonutzenfunktion bei
Unsicherheit
 Risikopräferenz
•
Ermittlung der Zeitnutzenfunktion bei
mehrperiodigen Entscheidungen
 Zeitpräferenz
Methoden zur Ermittlung der
Höhenpräferenz: Überblick
•
•
Inhalt: Entwicklung einer
Einzelnutzenfunktion (für jedes Ziel)
Verfahren
–
–
–
–
–
Direct Rating
Kategoriebasierte Ansätze (z. B. Schulnoten)
Halbierungsmethode
Methode gleicher Wertdifferenzen
Analytic Hierarchy Process (AHP)
Methoden zur Ermittlung der
Artenpräferenz: Überblick
•
•
Inhalt: Entwicklung einer
multiattributiven Gesamtnutzenfunktion
Verfahren
•
•
•
•
Direct Rating
AHP
Trade-Off-Verfahren
Swing-Verfahren
Probleme der Nutzenermittlung
•
•
•
•
Sachlich inkonsistente Aussagen
(fehlende Transitivität)
Unscharfe Aussagen (Fuzzy logic)
Zeitlich inkonsistente Aussagen (heute
so, morgen so)
Laborsituationen („Würden Sie das
kaufen?“)
3.4.2 Ausgewählte
Verfahren
•
•
•
•
•
3.4.2.1
3.4.2.2
3.4.2.3
3.4.2.4
3.4.2.5
Outranking-Methoden
Direct Rating
Halbierungsmethode
Methode gleicher Wertdifferenzen
AHP
3.4.2.1 Outranking-Methoden
•
•
•
Wort: Im Rang überragen (z. B. Militär)
Einordnung: Es wird keine „echte“
Nutzenfunktion ermittelt. Wenn der
Abstand zwischen zwei Alternativen
einen bestimmten Grenzwert übersteigt,
wird die Alternative als absolut besser
gewertet
Beispiele: ELECTRE; PROMETHEE
3.4.2.2 Direct Rating
•
Inhalt: Verfahren zur Ermittlung einer Nutzenfunktion
durch direkte Zuweisung von Nutzwerten;
Grundsätzlich zur Bestimmung von
Einzelnutzenfunktionen und Zielgewichten geeignet
Sehr (zu?) einfach
Vorgehen:
•
•
–
–
–
Bewerte beste und schlechteste Handlungsalternative mit 100
bzw. 0 Punkten
Ordne allen Ergebnissen dazwischen direkt einen Wert
zwischen 0 und 100 zu
[0,1]-Brandbreitennormierung: Wert / 100
Direct Rating: Schokoladenkonsum
•
•
•
•
•
•
•
•
•
keine Schoko: 0 Punkte
eine Tafel: 100 Punkte
1 Rippe: 25 Punkte
2 Rippen: 45 Punkte
3 Rippen: 65 Punkte
4 Rippen: 80 Punkte
5 Rippen: 90 Punkte
6 Rippen: 100 Punkte
7 Rippen: 70 Punkte („Mir ist schlecht!“)
Direct Rating: Schokoladenkonsum
Nutzen
1
0
0
1
2
3
4
5
Rippen Schoko
6
7
3.4.2.3 Halbierungsmethode
•
•
•
Syn.: Medianmethode
Einordnung: Methode zur Bestimmung der
Einzelnutzenfunktion
Vorgehen:
–
–
–
Schlechteste Ausprägung des betrachteten Zieles
=0
Beste Ausprägung = 1
Schätzung des Nutzenmedians, d.h. des Wertes, bei
dem der Nutzen die Hälfte des Gesamtnutzens ist
Halbierungsmethode (Forts.)
•
Vorgehen (Forts.)
– für jedes Teilintervall (0-0,5; 0,5-1)
wiederum Angabe des entsprechenden
Medians
– Weitere Aufteilung, bis ausreichende
Genauigkeit erreicht ist
Halbierungsmethode:
Schokoladenkonsum
Nutzen
Frage 1: Bei welchem
Schokoladenkonsum fühlst du
dich am besten?
1
0
0
Frage 2: Bei welchem
Schokoladenkonsum fühlst du
Dich am schlechtesten?
1
2
3
4
5
Rippen Schoko
6
7
Halbierungsmethode:
Frage 3: Bei welchem
Schokoladenkonsum
Schokoladenkonsum hast Du
genau halb so viel Freude wie
im Maximum?
 2,5 Rippen
Nutzen
1
0
0
5
0
1
2
3
4
5
Rippen Schoko
6
7
Halbierungsmethode:
Frage 5: Welcher
Schokoladenkonsum
Frage
4: Bei welchem
Schokoladenkonsum teilt den
Schokoladenkonsum hast Du
Nutzengenau halb so viel Freude wie
bei der Hälfte?
1
 1 Rippe u. 1 Stück
0
Nutzenzuwachs von 2,5 auf 6
Rippen Schokolade genau in
der Hälfte?  4,5 Rippen
0
7
5
5
0
2
5
1
2
3
4
5
Rippen Schoko
6
7
3.4.2.4 Methode gleicher
Wertdifferenzen
•
•
Einordnung: Methode zur Bestimmung der
Einzelnutzenfunktion
Vorgehen:
–
–
–
–
–
Bestimmung der schlechtesten Ausprägung.
Nutzen = 0
Erhöhe das Ergebnis um einen bestimmten Betrag
(z. B. zwei zusätzliche Urlaubstage). Der Nutzen
hiervon sei als eins definiert.
Der Entscheider muss angeben, bei welchem Wert
er eine Nutzenverdoppelung annimmt, d.h. gesucht
ist x3, so dass U(x3) = 2;
Suche weitere xi, so dass jeweils gilt: U(xi) = i
Führe eine Bandbreitennormierung auf [0,1] durch
Gleiche Wertdifferenzen:
Schokoladenkonsum
Nutzen
Frage 1: Bei welchem
Schokoladenkonsum fühlst du
Dich am schlechtesten?
1
2
3
4
5
Rippen Schoko
6
7
Gleiche Wertdifferenzen:
Schokoladenkonsum
Annahme: Zwei Rippen bringt
Dir einen Nutzen von 1.
Frage 2: Wie viele Rippen
musst Du essen, um diesen
Nutzen zu verdoppeln?
 4,5 Rippen
Nutzen
2
1
1
2
3
4
5
Rippen Schoko
6
7
Gleiche Wertdifferenzen:
Schokoladenkonsum
Frage 3: Wie viele Rippen
musst Du essen, um denselben
Nutzenzuwachs zu erzielen?
 8 Rippen
Nutzen
3
2
1
1
2
3
4
5
Rippen Schoko
6
7
3.4.2.5 AHP
•
Besonderheiten
– Berücksichtigung der kompletten
Zielhierarchie durch paarweisen Vergleich
aller Ziele und Alternativen
– Ermittlung von Arten- und Höhenpräferenz
in einem Schritt
– Inkonsistenzen des Entscheiders können
berücksichtigt werden und „stören“ das
Verfahren nicht
Paarweiser Vergleich
•
Für jedes Paar von Alternativen bzw.
Zielen wird eine Frage gestellt, z. B.
– Wie beurteilen Sie das Verhältnis von
Prestige und Benzinverbrauch?
•
•
•
•
•
gleichwichtig: 1 Punkt
etwas wichtiger: 3 Punkte; etwas unwichtiger:
1/3 Punkte
wichtiger: 5 Punkte; unwichtiger: 1/5 Punkte
viel wichtiger: 7 Punkte; viel unwichtiger: 1/7
Punkte
extrem wichtiger: 9 Punkte; extrem unwichtiger:
1/9 Punkte
Vergleichsmatrizen
A1
A2
A3
A1
1
3
½
A2
1/3
1
A3
2
9
Z1
Z2
Z3
Z1
1
5
3
1/9
Z2
1/5
1
2
1
Z3
1/3 1/2
Hier: keine Inkonsistenzen, d.h. aij=1/aji;
Inkonsistenzen können mathematisch beseitigt
werden
1
Einfachste Berechnung der Nutzen
und Gewichte
A1
A2
A3
A1
1
3
½
A2
1/3
1
A3
2
9
Z1
Z2
Z3
Z1
1
5
3
1/9
Z2
1/5
1
2
1
Z3
1/3 1/2
•Zeilensummen: A1: 4,5; A2: 1,44; A3: 12;
Normierung:
U(A1)= 4,5/(4,5+1,44+12)=0,25;
U(A2)=1,44/(4,5+1,44+12)=0,08;
U(A3)= 12/(4,5+1,44+12)=0,67
λ1=0,64;
λ2=0,23;
λ3=0,13;
1
Klassisches Beispiel
•
•
Saaty (1977): Abstände zwischen Städten
Befragung von Amerikanern bzgl. des relativen
Abstandes zwischen Städten, z. B.
–
Die Strecke New York – Washington ist
•
•
•
•
•
–
•
gleich weit wie die Strecke New York – Boston
etwas weiter als die Strecke New York – Boston
deutlich weiter als die Strecke New York – Boston
viel weiter als die Strecke New York – Boston
sehr viel weiter als die Strecke New York – Boston
Für viele Städte und Strecken
Auswertung über AHP führte tatsächlich zu annähernd
richtigen Entfernungen
Bewertung AHP
•
•
•
Zeilensumme ist unbefriedigend; bessere
Verfahren existieren, insb. über
Eigenwerte der Matrizen
Sehr aufwendige Befragungen
Grundsätzlich für wissenschaftliche
Untersuchungen relevant, kaum für
betriebswirtschaftliche Praxis
Abgrenzung AHP – Conjoint
Analysis
•
•
•
Hinweis: Conjoint Analysis findet sich
kaum in Entscheidungslehrbüchern,
jedoch in der Marketingliteratur
AHP: vollständiger paarweiser Vergleich
Conjoint: Ranking von ganzen
Eigenschaftsbündeln
Beispiel: zwei Farben, zwei Größen
•
–
–
•
–
AHP:
Farbe:
•
•
•
•
•
rot
rot
rot
rot
rot
•
•
•
•
•
groß
groß
groß
groß
groß
Größe:
Conjoint:
ist
ist
ist
ist
ist
gleich schön wie blau
etwas schöner als blau
deutlich schöner als blau
viel schöner als blau
sehr viel schöner als blau
ist
ist
ist
ist
ist
gleich gut wie klein
etwas besser als klein
deutlich besser als klein
viel besser als klein
sehr viel besser als klein
Bringe in eine Reihenfolge:
•
•
•
•
Kleines,
Kleines,
Großes,
Großes,
rotes Auto
blaues Auto
rotes Auto
blaues Auto
Bewertung Nutzentheorie
•
Anwendung:
– Finanzierungstheorie (Risikoneigung;
optimales Wertpapierportfolio)
– Marktforschung
– Gesundheitsökonomik
•
Praxis des kommerziellen Betriebes:
kaum
Multi-Attributive-Decision-Support
•
•
Entwicklung: jüngere Entscheidungstheorie
–
–
–
Präferenzen sind nicht bekannt
Präferenzen sind nicht stabil
Anwender entscheidet
–
Entscheidungstheoretiker entwickeln Menge der
Pareto-optimalen Lösungen (Ausschluss dominierter
Lösungen)
Entscheider erhält interaktives Werkzeug zur
intuitiven Auswahl der Entscheidungsalternative
Beispiel: Radiotherapieplanung
Vorgehen:
–
–
Radiotherapieplanung
•
Ziele
–
–
–
•
Maximale Bestrahlung des Krebses
Minimale Bestrahlung des umliegenden Gewebes
Minimale Bestrahlungsdauer
Zielkonflikt: Aus physikalischen Gründen ist keine alle
Ziele gleichermaßen befriedigende Lösung möglich
Alternativen:
•
–
–
–
Verschiedene Einstrahlwinkel
Verschiedene Bestrahlungsdauern
Verschiedene Bestrahlungsstärken
Radiotherapieplanung
Radiotherapieplanung:
was muss geplant werden?
•
medizinische Parameter
– Kurativdosis, Toleranzdosen
– Dosisfraktionierung
•
physikalische Parameter
– Einstrahlgeometrie
– Intensitätsprofile
Radiotherapieplanung:
traditionelles Vorgehen
•
Radiologe „überlegte“ sich ein
Bestrahlungsregime
–
•
Problem: oftmals ineffiziente Lösungen
formal:
–
Verdichtung auf eine gewichtete Wertungsfunktion
Abweichung von
homogener
Dosisverteilung im
Zielvolumen
F  w U FU  w L FL  w1F1  ...  w K FK  Min, w i  0
Radiotherapieplanung:
traditionelles Vorgehen
•
Radiologe „überlegte“ sich ein
Bestrahlungsregime
–
•
Problem: oftmals ineffiziente Lösungen
formal:
–
Verdichtung auf eine gewichtete Wertungsfunktion
Abweichung von
idealer kurativer Dosis
F  w U FU  w L FL  w1F1  ...  w K FK  Min, w i  0
Radiotherapieplanung:
traditionelles Vorgehen
•
Radiologe „überlegte“ sich ein
Bestrahlungsregime
–
•
Problem: oftmals ineffiziente Lösungen
formal:
–
Verdichtung auf eine gewichtete Wertungsfunktion
Risiken, Abweichung
von idealen Toleranzen
F  w U FU  w L FL  w1F1  ...  w K FK  Min, w i  0
Radiotherapieplanung:
traditionelles Vorgehen
•
Problem: Unnatürliche Gewichte wi müssen
durch eine zeitaufwändige Suche- und
Verwerfe-Strategie gefunden werden
–
–
erlauben keine dynamische Planung
erlauben nicht die Diskussion von Trade-offs
zwischen den einzelnen Zielfunktionen Fi
F  w U FU  w L FL  w1F1  ...  w K FK  Min, w i  0
Radiotherapieplanung:
neuer Ansatz
• Definition:
F = (FU , FL, F1 , F2 , ... , FK)
heißt Pareto-optimal oder
effizient, falls es keine
Verbesserung eines F - Eintrags
gibt ohne mindestens einen
anderen zu verschlechtern
Radiotherapieplanung:
Schritt 1:
Vorgehen
Ermittlung der effizienten Lösungen durch mathematische Optimierung
Radiotherapieplanung:
Schritt 2:
Vorgehen
Speicherung der effizienten Lösungen in Datenbank
Radiotherapieplanung:
Schritt 3:
Vorgehen
Interaktive Auswahl der Lösung aus der Menge der effizienten
Lösungen, die dem Radiologen intuitiv am meisten zusagt
Radiotherapieplanung:
Schritt 4:
Vorgehen
Ausgabe der technischen Werte (Einstrahlwinkel, Bestrahlungsdauer,
Bestrahlungsstärken) der gewählten Lösung
Werkzeug
Krebs
100
50
Ausgangsbasis: maximale
Krebsbestrahlung ist nur
unter maximaler
Bestrahlungsdauer und
maximaler
Umgebungsbestrahlung zu
erreichen
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
50
Schritt 1: Radiologe fragt
sich, auf wie viel
Krebsbestrahlung er
verzichten muss, wenn er
die Umgebungsbestrahlung auf 50 %
reduziert.
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
50
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
Schritt 2: Radiologe möchte
Dauer noch etwas
reduzieren.
50
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
50
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
50
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
Schritt 3: Krebsbestrahlung
ist unverhältnismäßig
gesunken. Erhöhung!
50
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
Krebsbestrahlung = 50;
Umgebungsbestr. = 10;
Dauer = 40;
Radiologe ist zufrieden
50
0
Dauer
Umgebung
Werkzeug
Krebs
100
Krebsbestrahlung = 50;
Umgebungsbestr. = 10;
Dauer = 40;
Radiologe ist zufrieden
50
0
Dauer
Umgebung
Simulation
•
•
Datei: Radio-Therapy-Planning
Folie 33 ff
3.4.3 Erwartungsnutzentheorie
3.4.3.1 Bernoulli-Prinzip
•
Prinzip: Ein rationaler Entscheider orientiert sich am
erwarteten Nutzen
Beispiel: St. Petersburg Spiel
•
–
–
–
–
–
–
–
Daniel Bernoulli (1738)
Ein Spieler muss einen Einsatz A zahlen. Es wird eine Münze
geworfen.
Falls beim ersten Wurf „Zahl“ oben liegt, erhält er zwei Euro.
Sonst geht das Spiel weiter
Falls beim zweiten Wurf „Zahl“ oben liegt, erhält er vier Euro,
sonst geht das Spiel weiter.
…
falls beim j-ten Wurf „Zahl“ oben liegt, erhält er 2j Euro, sonst
geht das Spiel weiter.
FRAGE: Wie viel ist ein Spieler bereit zu setzen?
St. Peterburg Spiel
"Runden"
Auszahlung
Wahrscheinlichkeit
1
2
0,5
1
1
2
4
0,25
1
2
3
8
0,125
1
3
4
16
0,0625
1
4
5
32
0,03125
1
5
6
64
0,015625
1
6
7
128
0,0078125
1
7
8
256
0,00390625
1
8
9
512
0,00195313
1
9
10
1024
0,00097656
1
10
j
2j
0,5j
1
j
p*e
Kumuliert
St. Petersburg Paradoxon
•
•
•
Der Erwartungswert des Gewinnes bei dem
Spiel ist unendlich, d.h. man müsste einen sehr
hohen Einsatz erwarten.
Tatsächlich zeigt es sich, dass fast niemand
bereit ist, mehr als 10 Euro zu setzen
Folge: Nutzen unter Berücksichtigung des
Verlustrisikos ist deutlich geringer als der
erwartete Gewinn  Erwartungsnutzen
Erwartungsnutzen
•
•
Die Erwartungsnutzentheorie zieht den
erwarteten Risikonutzen (kombinierte
Höhen- und Risikopräferenz) zur
Alternativenbeurteilung heran.
Dies wird auch als Bernoulli-Prinzip
bezeichnet
Erwartungsnutzen (Forts.)
•
Definition des Erwartungsnutzens (parallel
zum Ergebniserwartungswert):
n
Eu (ai )   p j  u (eij )
j 1
Eu (ai )
: erwarteter Nutzen von Alternativ e i
pj
: Wahrschei nlichkeit der Umwelt situation j
u (eij )
: Nutzen des Ergebnisse s der Alternativ e i bei Umweltzus tand j
3.4.3.2 Axiome und Relevanz
•
Axiome
– vollständige Ordnung
– Stetigkeitsaxiom
– Unabhängigkeitsaxiom
Relevanz
•
•
Das Bernoulli-Prinzip (sowie die gesamte
Nutzentheorie) bildete eine theoretische
Grundlage der betriebswirtschaftlichen
Theorie
Seine praktische Relevanz ist gering
Bounded Rationality
•
•
•
•
Beobachtetes Verhalten weicht signifikant und
systematisch von den Voraussagen der
Erwartungsnutzentheorie ab
In vielen Fällen behalten Personen ihr
Verhalten auch dann noch bei, wenn man sie
auf die Annahmenverletzung hinweist
Beschränkte Rationalität berücksichtigt
kognitive und emotionale Beschränkungen des
Entscheidungsträgers (Herbert Simon)
Bedeutung: Behavioral Finance
Entscheidungsanomalien
1. Individuen sind nicht in der Lage, kleine
Wahrscheinlichkeiten realistisch einzuschätzen
2. Individuen gewichten sichere Gewinne weit
höher als hohe Wahrscheinlichkeiten
3. Individuen können Wahrscheinlichkeiten und
Unsicherheit schlecht einschätzen
4. Die Darstellung des Problems ist für die
Handlungen relevant
etc.
Dynamische Inkonsistenzen
•
Grundmodell: exponentielle Diskontierung
mit konstanter Zeitpräferenzrate impliziert
Zeitkonsistenz
Ct+1
U2
U1
Ct
Dynamische Inkonsistenzen
•
Grundmodell: exponentielle Diskontierung
mit konstanter Zeitpräferenzrate impliziert
Zeitkonsistenz
C(t+1)
Dynamische Inkonsistenzen
•
•
•
Empirie: Menschen verhalten sich häufig
zeitinkonsistent  Präferenzwechsel in
Abhängigkeit von der zeitlichen Distanz der
Ereignisse
Beispiel: impulsives Verhalten versus langfristige
Pläne („Adam und Eva“)
Formal: Annahme einer hyperbolischen
Diskontierungsfunktion  zeitabhängige
Diskontierung