Multiple Regressionsanalyse

Eine kleine Wiederholung
Unterscheidung zwischen:
(1) Korrelationsanalyse
(2) Lineare Regressionsanalyse
Korrelationsanalyse
Beispiel: Korrelationsanalyse
X1
rX1X2
X2
X1 und X2 sind metrisch
Anwendungsbeispiel:
• Es wird der Zusammenhang zwischen der Anzahl bisheriger Arbeitgeber (X1) und dem Einkommen (X2) untersucht (ungerichteter
Zusammenhang).
Lineare Regressionsanalyse
Beispiel: Einfache und multiple lineare Regressionsanalyse
b1
X1
X2
b2
b3
Y
Y ist metrisch
X1, X2 und X3 sind metrisch
oder dummysiert (nein = 0/
ja = 1)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
X3
Y = Kriterium, Regressand
X = Prädiktor, Regressor
Anwendungsbeispiel:
• Es wird der Einfluss der Anzahl bisheriger Arbeitgeber (X1) sowie
weiterer Variablen (X2 = Alter, X3 = Nationalität) auf das Einkommen
(Y) untersucht (gerichteter Zusammenhang).
Einfache lineare Regressionsanalyse
X1
b1
Y
• Bei b1 bzw. b handelt es sich um einen Steigungsparameter. Es gilt
eine Regressionsgerade zu lokalisieren,
• die die empirischen Werte am besten repräsentiert
• um die die Punkte im Streudiagramm minimal abweichen/streuen
• Gerade steht als Repräsentant für die Beziehung zwischen X und Y
• Gerade wird auch als die Linie der kleinsten Quadrate gezeichnet,
die Vorgehensweise nennt man auch Ordinary Least Squares (OLS,
Methode der kleinsten Quadrate)
Darstellung einer linearen Beziehung
a) Geometrische Darstellung  Regressionsgerade
b) Algebraische Darstellung  Regressionsgleichung
y'i  a  b  xi
a = Regressionskonstante bzw. Schnittpunkt der Geraden y’i mit der
Y-Achse
• Das ist jener (Erwartungs-)Wert von Y, wenn X = 0 ist
b = Steigung der Geraden
• +b = Es besteht eine positive Beziehung zwischen X und Y
(Gerade verläuft im Streudiagramm von links unten nach rechts oben)
• -b = Es besteht eine negative Beziehung zwischen X und Y
(Gerade verläuft im Streudiagramm von links oben nach rechts unten)
xi
yi
Fiktives Beispiel:
0
0
1
2
y-Variable
2
4
3
6
Regressionsgerade:
y’i = 2x
[a = 0, b =2]
5
3
1
x-Variable
1
3
5
xi
yi
Fiktives Beispiel:
0
4
1
3
2
2
3
1
4
0
y-Variable
5
Regressionsgerade: y’i = 4 - x
3
[a = 4, b =-1]
1
x-Variable
1
3
5
Wie legt man die Gerade am besten in die Punktewolke?
?
y
?
x
Die Methode der kleinsten Quadrate
y
Die beste Gerade ist diejenige, bei der
wir den geringsten Fehler in der Vorhersage der Y-Werte auf der Basis der
X-Werte begehen  y i  y i' sollte für
jede Messung so gering wie möglich
sein
y 3'
y1'
y 2'
x
Person 1
Person 2
Person 3
Positive und negative Abweichungen
von den vorhergesagten Werten sollen
sich nicht zu Null addieren. Die
Messwertabweichungen werden
folglich quadriert, die Summe aller
Abweichungen minimiert:
' 2
(y

y
 i i )  min
Varianzzerlegung (1)
Gesamtvari ation  E1   (yi  y) 2
bzw.
Gesamtvari anz  E1 
2
(y

y
)
 i
N
 s 2y
Nicht erklärte Variation  E 2   (y i  y' i ) 2   e i2
bzw.
Nicht erklärte Varianz  E 2 
2
(y

y'
)
 i i
N

2
e
i
Regressionsresiduum
ei
N
• Wenn eine Beziehung zwischen X und Y besteht, dann muss der
Vorhersagefehler E2 kleiner sein als E1.
• Wenn E2 = E1, dann besteht zwischen X und Y kein Zusammenhang.
Varianzzerlegung (2)
Inhaltliche Bedeutung des Residuums:
• Regressionsresiduen enthalten die Anteile der Kriteriumsvariablen
Y, die durch die Prädiktorvariable X nicht erfasst werden.
• In diesen Anteilen sind Messfehler der Kriteriumsvariablen
enthalten, aber vor allem auch Bestandteile des Kriteriums, die durch
andere, mit der Prädiktorvariablen nicht zusammenhängende
Merkmale erklärt werden können.
Des Weiteren berechnen wir die
Erklärte Variation   (y' i  y) 2
bzw.
Erklärte Varianz 
2
(y'

y
)
 i
N
Varianzzerlegung (3)
Gesamtvariation (E1) = Nicht erklärte Variation (E2) +
Erklärte Variation
bzw.
Gesamtvarianz (E1) = Nicht erklärte Varianz (E2) + Erklärte Varianz
2
2
2
(y

y
)

(y

y'
)

(y'

y
)
 i
 i i  i
bzw.
2
(y

y
)
 i
N
 s 2y 
2
(y

y'
)
 i i
N

2
(y'

y
)
 i
N
Die Varianz der y-Werte (Gesamtvarianz) setzt sich additiv aus der
Varianz der Regressionsresiduen (Nicht erklärte Varianz) und der
Varianz der vorhergesagten (geschätzten) y’-Werte (Erklärte Varianz)
zusammen.
Varianzzerlegung (4)
Es gilt:
• Die Varianz der Residuen ist bei perfekter Korrelation (r = 1) gleich
Null und für r = 0 identisch mit der Varianz der y-Werte, d.h. E2 = E1.
• Hierzu gegenläufig verändert sich die Varianz der vorhergesagten
y-Werte (Erklärte Varianz). Sie entspricht der Varianz der y-Werte
(Gesamtvarianz), wenn r = 1 ist, und sie ist gleich Null, wenn kein
Zusammenhang besteht.
Berechnung der Regressionskoeffizienten a und b
(zur Bestimmung der Regressionsgeraden und der vorhergesagten
y’-Werte):
(x  x)(y  y)

b
 (x  x)
+b besagt, dass mit der Zunahme (Abnahme)
der X-Variablen um 1 Einheit, die Y-Variable
um b Einheiten steigt (sinkt).
Wertebereich ist [-∞; +∞]
-b besagt, dass mit der Zunahme (Abnahme)
der X-Variablen um 1 Einheit, die Y-Variable
um b Einheiten sinkt (steigt).
i
i
2
i
a  b 0  y b x
a spiegelt den Erwartungswert der YVariablen wider, unter der Bedingung, dass
die X-Variable den Wert Null annimmt.
Exkurs: Wie kommt es zu b und a?
Die Regressionsgerade muss so gewählt werden, dass die Differenz der
beobachteten Werte von den vorhergesagten minimal wird:
n
n
i 1
i 1
Q(b)   (yi  yi' ) 2   (y i  a  byi' ) 2  min
Die Regressionskoeffizienten a und b sind dann das Resultat der partiellen
Ableitungen („Normalengleichungen“):
n
!
 Q(b)
 2 (y i  a  bx i )( 1)  0
a
i 1
n
!
 Q(b)
 2 (y i  a  bx i )(  x i )  0
b
i 1
Ein Beispiel: X = Alter, Y = Einkommen (in 100 Euro)
Person
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
∑
xi
yi
xi - x
22
28
32
36
40
44
48
52
56
62
420
12
24
14
26
18
28
32
16
30
20
220
-20
-14
-10
-6
-2
2
6
10
14
20
0
x  420 / 10  42
(xi - x )2 yi - y
400
196
100
36
4
4
36
100
196
400
1.472
i
2
i
200
-28
80
-24
8
12
60
-60
112
-40
320
Wie ermittelt
wir a und b?
y  220 / 10  22
(x  x)(y  y) 320

b

 0,217
1.472
 (x  x)
i
-10
2
-8
4
-4
6
10
-6
8
-2
0
(x i - x ) · (y i - y )
a  y b x  22  0,217  42  12,870
Wie zerlegen wir die Varianz?
Person
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
∑
xi
yi
22 12
28 24
32 14
36 26
40 18
44 28
48 32
52 16
56 30
62 20
420 220
y’i
17,65
18,96
19,83
20,70
21,57
22,43
23,30
24,17
25,04
26,35
220
y  220 / 10  22
ei = yi - y’i y’i + ei (yi - y’i)2 (yi - y )2 (y’i - y )2
-5,65
5,04
-5,83
5,30
-3,57
5,57
8,70
-8,17
4,96
-6,35
0
12
24
14
26
18
28
32
16
30
20
220
31,92
25,40
33,99
28,09
12,74
31,02
75,69
66,75
24,60
40,32
370,43
100
4
64
16
16
36
100
36
64
4
440
18,92
9,24
4,71
1,69
0,18
0,18
1,69
4,71
9,24
18,92
69,56
Nicht erklärte Variation Gesamtv. Erklärte Variation
Regressionsgleichung: y'i  a  b x i  12,870  0,217  x i
 yi = a + b ∙ xi + ei  yi = y’i + ei
Maße der einfachen linearen Regressionsanalyse:
1) Koeffizient r2:
• wird auch Proportionale Fehlerreduktion, Erklärter Variationsanteil,
Determinationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß genannt.
2
2
(y

y
)

(y

y'
)
E

E
Erklärte Variation


i
i
i
2
1
2
r 


2
E1
Gesamtvari ation
 (yi  y)
Interpretation:
r2 besagt, dass die Variable X .... % (r2 ∙ 100) der Variation der Variable Y
linear erklärt bzw. determiniert. Der Wertebereich ist [0; 1].
In unserem Beispiel:
r2 
69,565
 0,158
440,00
Koeffizient der Nichtdetermination (1 - r2):
• Der Wert des Koeffizienten besagt, dass .... % der Variation der
Variable Y nicht mit der Variable X linear erklärt werden kann
(wird in SPSS nicht berechnet).
• Die Variation der Variablen Y wird durch andere Faktoren
(Variablen), die unbekannt sind, determiniert.
Es gilt: r2 + (1 - r2) = 1
In unserem Beispiel: 1 - r2 = 1 - 0,158 = 0,842
2) Korrektur des r2-Wertes:
(erst relevant in der multiplen Regressionsanalyse)
2
J

(1

R
)
2
2
R korr  R 
K J1
K = Anzahl der Fälle
J = Anzahl der unabhängigen Variablen
K - J - 1 = Freiheitsgrade (df)
Warum?
• Das Bestimmtheitsmaß wird in seiner Größe durch die Anzahl
der Regressoren (unabhängigen Variablen) beeinflusst. Daher
wird der Kennwert korrigiert.
2
In unserem Beispiel: R korr  0,158 
1 (0,842)
0,842
 0,158 
 0,158  0,105  0,053
10  1  1
8
3) Pearsonsche Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient r:
r  r2
1. Berechnungsmöglichkeit:
Nachteil: Der Wert des Korrelationskoeffizienten ist hier grundsätzlich
vorzeichenlos (Berechnung in SPSS).
r
2. Berechnungsmöglichkeit:
 (x i  x)(y i  y)
2
2
(x

x
)

(y

y
)
 i
 i
Der Wertebereich ist hier [-1; +1].
In unserem Beispiel nach Formel (1):
r  0,158  0,398
In Lehrbüchern findet man folgende Hinweise:
über 0 bis 0,2
0,2 bis 0,4
0,4 bis 0,7
0,7 bis 0,9
0,9 bis unter 1
1
Zur Stärke der Beziehung
schwach
über 0 bis 0,2 1
niedrig
0,2 bis 0,4
mäßig
0,4 bis 0,6
hoch
0,6 bis 0,8
sehr hoch
0,8 bis unter 1
sehr schwach
schwach
mittelmäßig
stark
sehr stark
Brosius, Felix (2002): SPSS 11.0. Bonn: mitp-Verlag, S. 501.
4) Kovarianz:
• Die Kovarianz ( cov(x,y) ) ist ein Maß für den Grad des miteinander
Variierens bzw. Kovariierens der Messwertreihen von X und Y
(wird in SPSS im Rahmen der Regressionsanalyse nicht berechnet)
(x  x)(y  y)

cov(x, y) 
i
i
N
Je höher die Kovarianz ist, desto enger ist der Zusammenhang zwischen den Variablen. Nachteil: Die Kovarianz ist abhängig vom
Maßstab der zugrunde liegenden Variablen bzw. von deren Varianz.
Es gilt: cov(x,y)max = ± sx· sy
In unserem Beispiel: cov(x,y) = 320/10 = 32 , cov(x,y)max = 12,13 · 6,63 = 80,46
In SPSS erhält man für cov(x,y) = 320/10 - 1 = 35,556
Wertebereich
Interpretation
cov(x,y) > 0
Positive Kovarianz
-Ein überdurchschnittlicher (unterdurchschnittlicher) Wert der
Variablen X entspricht einem überdurchschnittlichen (unterdurchschnittlichen) Wert in Y
cov(x,y) = 0
Keine Kovarianz (keine lineare Beziehung)
cov(x,y) < 0
Negative Kovarianz
-Ein überdurchschnittlicher (unterdurchschnittlicher) Wert der
Variablen X entspricht einem unterdurchschnittlichen (überdurchschnittlichen) Wert in Y
Zusammenhang zwischen cov(x, y) und r:
(xi  x)(yi  y)
cov(x, y)

r

s x s y
 (xi  x)2   (yi  y)2
b
 (x  x)(y  y)  cov(x, y)
s
 (x  x)
i
i
2
i
2
x
• Normiert man die Kovarianz durch die beiden Standardabweichungen von X und Y, dann erhält man den Korrelationskoeffizienten r.
• Die Division der Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen hat zur Folge, dass Maßstabs- bzw. Streuungsunterschiede zwischen den Variablen kompensiert werden.
• Die Korrelation zweier Variablen entspricht der Kovarianz der
z-transformierten Variablen bzw. dem durchschnittlichen Produkt
korrespondierender z-Werte.
Exkurs: Z-Transformation von X und Y
Person
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
∑
xi
yi
xi - x
zxi
yi - y
zyi
22
28
32
36
40
44
48
52
56
62
420
12
24
14
26
18
28
32
16
30
20
220
-20
-14
-10
-6
-2
2
6
10
14
20
0
-1,65
-1,15
-0,82
-0,49
-0,16
0,16
0,49
0,82
1,15
1,65
0
-10
2
-8
4
-4
6
10
-6
8
-2
0
-1,51
0,30
-1,21
0,60
-0,60
0,90
1,51
-0,90
1,21
-0,30
0
x  420 / 10  42 y  220 / 10  22
sx = 12,13, sy = 6,63
z = 0,
sz = 1
z xi
xi  x

sx
z yi
yi  y

sy
Berechnung von Beta (Standardisierter Steigungskoeffizient):
• Beta repräsentiert den Steigungskoeffizienten b der z-transformierten Variablen X und Y. D.h. der Steigungskoeffizient b wird
bei Standardisierung der Variablen X und Y zu Beta.
sx
Beta  b
sy
Der Wertebereich ist [-1; +1]
(x  x)(y  y)

b
 (x  x)
i
i
2
i
Warum wird b standardisiert?
• b wird durch die Messeinheit der Variablen beeinflusst und ent-zieht sich
damit einer direkten Vergleichbarkeit im Rahmen der multiplen
Regressionsanalyse. Dort wird für jeden b-Wert (bj) ein Beta-Wert
berechnet (Betaj). Der Wertebereich ist [-∞; +∞]. In der einfachen
Regressionsanalyse ist Beta = r (redundante Information).
In unserem Beispiel: Beta = 0,217 
12,13
 0,398 , r = 0,398
6,63
Das ist kein Zufall. Für die einfache Regressionsanalyse gilt immer:
• b = Beta = r = cov(x,y), wenn X und Y z-transformiert sind
• Standardisierte Regressionskonstante a = 0 (gilt auch für die multiple
Regressionsanalyse)
Warum ist das so?
a = 0, da a  y  b x  0  b 0
Jede z-transformierte Variable besitzt immer einen Mittelwert von Null
und eine Standardabweichung von Eins (also s = 1).
b = Beta = r = cov(x,y), da
(x  x)(y  y) cov(x, y)

b

s
 (x  x)
i
i
2
i
2
x
und
s x cov(x, y) s x cov(x, y) und r  cov(x, y)
Beta  b 
 
2
s x s y
sy
sx
sy
sx  sy
Verkürzt: cov(x, y)  bs2x  betasxsy  rsxsy , wobei sx = 1 und sy = 1
Standardschätzfehler/Standardfehler des Schätzers:
• Der Standardschätzfehler kennzeichnet die Streuung der y-Werte
um die Regressionsgerade und ist damit ein Gütemaß für die
Genauigkeit der Regressionsvorhersage.
• Die Genauigkeit der Regressionsvorhersage wächst mit kleiner
werdendem Standardschätzfehler.
• Der Standardschätzfehler ermittelt sich aus der Wurzel des
Mittels der Quadrate der Residuen.
 (y  y' )
i
2
i
K J1
K = Anzahl der Fälle
J = Anzahl der unabhängigen Variablen
K - J - 1 = Freiheitsgrade (df)
Ohne den Korrekturfaktor K-J-1 hätten wir
keine erwartungstreue Schätzung, die Streuung der y-Werte um die vorhergesagten
Werte würde unterschätzt.
In unserem Beispiel:
370,435
 46,304  6,805
10  1  1
F-Test:
• Der F-Test prüft die Güte der Vorhersage der Daten durch die
Regressionsgleichung (Globale Prüfung der Regressionsfunktion).
• Es wird die Nullhypothese geprüft, dass die unbekannten, wahren
Regressions-/Steigungsparameter β1 sich nicht von Null unterscheiden.
• Die Nullhypothese H0 lautet: β1 = 0
 Es liegt kein Einfluss in der Grundgesamtheit vor
• Die Alternativhypothese H1 lautet: β1 ≠ 0 (β0 bzw. a ist in der Hypothese nicht eingeschlossen)
Fempirisch
Erklärte Variation/ J

Nicht erklärte Variation/ (K  J  1)
K - J - 1 = df , K = Anzahl der Fälle, J = Anzahl der unabhängigen Variablen
Ermittlung des theoretischen F-Wertes (Ftheoretisch), ein Auszug
aus der F-Tabelle:
df/J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9
2
18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40
3
10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79
4
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96
5
6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74
6
5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06
7
5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64
8
5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
30
4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16
• Wenn Fempirisch > Ftheoretisch, dann wird H0 zugunsten H1 verworfen.
• Der Zusammenhang ist dann statistisch signifikant.
In unserem Beispiel: Fempirisch 
69,565 / 1 69,565

 1,502 , Ftheoretisch = 5,32
370,435 / 8 46,304
 H0 wird beibehalten. Der Zusammenhang ist auf dem 5%-Niveau nicht signifikant.
Standardfehler (standard error, s.e. bzw. sb):
• Der Standardfehler kennzeichnet die Streuung der Regressionskoeffizienten a und b um den Populationsparameter und ist damit
ein Gütemaß für die Genauigkeit der Parameterschätzung.
• Die Genauigkeit des Regressionskoeffizienten wächst mit kleiner
werdendem Standardfehler.
• Er bildet darüber hinaus die Basis für die Berechnung des
Konfidenzintervalls für a und b.
2
 (y  y' )
i
Der Standardfehler von b (sb) =
In unserem Beispiel: s b 
Varianz von b 
46,304
 0,177
147,2 10
i
K J1
s 2x  n
T-Test:
• Der T-Test prüft, ob die Regressionskoeffizienten a und b in der
Grundgesamtheit signifikant von Null verschieden sind.
• Es wird die Nullhypothese geprüft, dass die unbekannten, wahren
Regressionskoeffizienten β0 bzw. a und β1 sich nicht von Null
unterscheiden.
• Die Nullhypothese H0 lautet: β0 = 0, β1 = 0
• Die Alternativhypothese H1 lautet: β0 ≠ 0, β1 ≠ 0
t empirisch
b

sb
In unserem Beispiel:
Je größer der Standardfehler (sb) ist, desto kleiner fällt der
empirische T-Wert aus. D.h. es ist um so wahrscheinlicher,
dass H0 nicht abgelehnt wird. Der empirische T-Wert sollte
> ± 1,96 sein, damit H0 abgelehnt wird.
t empirisch 
0,217
 1,226
0,177
Ermittlung des theoretischen T-Wertes (Ttheoretisch), ein Auszug
aus der Student-Tabelle:
df/α
1
2
3
…
7
8
9
10
Irrtumswahrscheinlichkeit α für zweiseitige Fragestellung
0.20
0.10
0.050
0.020
0.010
0.0010
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
318.309
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
22.327
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
10.215
…
…
…
…
…
…
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
4.785
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
4.501
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
4.297
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
4.144
• Wenn tempirisch > ttheoretisch, dann wird H0 zugunsten H1 verworfen.
• Der Zusammenhang ist dann statistisch signifikant.
In unserem Beispiel: tempirisch = 1,226, ttheoretisch = 2,306
 H0 wird beibehalten. Der Zusammenhang ist auf dem 5%-Niveau nicht signifikant.
F-Test und T-Test:
• Bei nur einer unabhängigen Variablen ist der F-Test für das
Modell auch ein Test der einen Variablen, deren Einfluss hier
durch den T-Test geprüft wird.
• Im Fall der einfachen linearen Regression reicht es aus, nur
einen dieser beiden Tests durchzuführen.
F-Test in der multiplen Regressionsanalyse:
H0: β1 = β2 = … = βj = 0
H1: mindestens ein β-Parameter ≠ 0 (β0 ist nicht eingeschlossen)
T-Test in der multiplen Regressionsanalyse:
H0: β0 = 0, β1 = 0, …, βj = 0
H1: β0 ≠ 0, β1 ≠ 0, …, βj ≠ 0
Konfidenzintervall:
• Das Konfidenzintervall gibt Aufschluss darüber, in welchem
Intervall der unbekannte Populationsparameter β0 und β1 liegt.
• Es wird der Frage nachgegangen, welchen Wert die unbekannten,
wahren Regressionskoeffizienten annehmen?
b  t s b  β  b  t s b
•
•
Je größer das Konfidenzintervall ist, desto ungenauer ist die Parameterschätzung in der Grundgesamtheit bzw. desto unzuverlässiger ist die gefundene
Regressionsfunktion bezüglich dieses Parameters.
Die Breite des Konfidenzintervalls hängt insbesondere von der Höhe des
Standardfehlers (sb) ab. Je größer sb ist, desto größer fällt das Konfidenzintervall aus und beinhaltet um so wahrscheinlicher den Wert „Null“.
In unserem Beispiel erhalten wir für β1 (95%-Konfidenzintervall):
0,217  2,306  0,177  β1  0,217  2,306  0,177   0,192  β1  0,626
Wie sieht das Ganze in SPSS aus?
Modellzusammenfassung (b)
Modell
1
R
,398
(a)
Korrigiertes
R-Quadrat
,053
R-Quadrat
,158
Standardfehler
des Schätzers
6,805
a Einflußvariablen : (Konstante), Alter
b Abhängige Variable: Einkommen (in 100 Euro)
Modell
1
Regression
Residuen
Gesamt
ANOVA (b)
QuadratMittel der
summe
df Quadrate
69,565
1
69,565
370,435
8
46,304
440,000
9
F
Signifikanz
1,502
,255 (a)
a Einflußvariablen : (Konstante), Alter
b Abhängige Variable: Einkommen (in 100 Euro)
F-Test:
Da der p-Wert > α
(= 0,05) ist, wird H0
nicht abgelehnt
Koeffizienten (a)
Modell
1
(Konstante)
Alter
Nicht
standardisierte
Koeffizienten
StandardB
fehler
12,870
7,754
,217
,177
Standardisierte
Koeffizienten
a Abhängige Variable: Einkommen (in 100 Euro)
T
Signifikanz
Beta
,398
1,660
1,226
,136
,255
95%-Konfidenzintervall für B
UnterObergrenze
grenze
-5,011 30,750
-,192
,626
T-Test für β0 und β1:
Da der p-Wert > α
(0,05) ist, wird H0
nicht abgelehnt