Diff crit - Methodenlehre

Thema der Stunde
Varianzanalyse (ANOVA)
1. Apriori und aposteriori Kontraste
2. Fixed und random factor Modelle
3. Einzelvergleiche in der 2 faktoriellen ANOVA
1
A-Priori Kontraste
Prüfung des Mittelwerteunterschieds von Faktorstufen bzw.
Kombinationen von Faktorstufen:
z.B.:
A1
A2
A3
Fall
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Summe
Mittel
Var
0PM
05PM
1PM
17
20
16
16
18
21
23
24
20
23
11
11
13
14
13
20
19
18
16
22
8
16
12
13
14
7
8
7
5
1
D x1- 2 = A1 - A2
oder
198
157
91
19.80
7.96
15.70
13.61
9.10
18.89
æA1 + A2 ÷
ö
ç
÷- A3
D x1,2- 3 = ç
÷
çè 2 ÷
ø
2
A-Priori Kontraste: t-Test
Prüfung des Mittelwerteunterschieds von Faktorstufen bzw.
Kombinationen aus den p Faktorstufen:
Dx
t=
sˆ D x
mit df = p (n - 1)
Standardfehler einer Differenz von
2 Mittelwerten:
sˆ D x =
2
sˆ Fehler
× 2
n
Ein t-Test in der ANOVA hat bei p > 2 mehr Freiheitsgrade als
ein einfacher paarweiser Test und ist daher trennschärfer. Der
Standardfehler bestimmt sich aus der Fehlervarianz, die ja die
gepoolte Varianz aus allen Stichproben ist.
3
A-Priori Kontraste: F-Test
t- Test und F-Test sind wegen der Beziehung
2
df
t = F(1,df )
äquivalent. (Die quadrierte t- Verteilung mit df Freiheitsgraden
entspricht genau der F- Verteilung mit einem Zähler- und df
Nennerfreiheitsgraden)
2
F=
(D x )
s
2
Dx
mit Zähler: df = 1
und Nenner: df = p (n - 1)
ist äquivalente Prüfung des Mittelwerteunterschieds.
4
Allgemeine Form des Mittelwertevergleichs
Varianz der Mittelwertedifferenz
ö 2
1æ
÷
2
Var (D ) = çççå c j ÷
s Fehler
÷
÷
n çè j
ø
F-Test
D2
F=
Var (D )
Kontrastbedingung
D=
å
=
c j ×x j
j
mit
å
j
j
mit:
cj = 0
æ
çç
ççèå
n ×D 2
ö 2
2÷
cj ÷
×s Fehler
÷
÷
ø
df Zähler = 1
df Nenner = df Fehler
5
A-Posteriori Mittelwertevergleiche
Geläufigste: Scheffe‘ Tests
Berechnung einer kritischen Differenz für alle paarweisen Tests
Diff crit =
2
2 ×( p - 1)×s Fehler
×F(df A ,df Fehler ,1- a )
n
Der kritische F-Wert hat also
df Zähler = p - 1
df Nenner = df Fehler
Ist also irgendeine Mittelwertedifferenz größer als Diffcrit, so ist
sie signifikant.
6
Fixed und random factor Modelle
Fixed Factor Modell:
Alle im Experiment realisierten Stufen eines Faktores
beschreiben die unabhängige Variable vollständig (kategorial
geschlossen). (Geschlecht, Parteizugehörigkeit etc.)
 Das Experiment gibt die Wirkung des Faktors über alle
möglichen Realisierungen von ihm an.
Random Factor Modell:
Alle im Experiment realisierten Stufen eines Faktors stellen
nur eine willkürliche Auswahl aus vielen anderen möglichen
dar (Dosis eines Medikamentes, Umgebungseinflüsse etc.).
 Das Experiment liefert nur eine Probe aus dem gesamten
Wirkspektrums des Faktors.
7
Fixed und random factor Modelle
Praktische Konsequenz:
Die Effekte der Faktoren müssen an jeweils anderen
Prüfvarianzen getestet werden, je nachdem, ob sie fixed oder
random sind. Dasselbe gilt für die Einzelvergleiche innerhalb
von fixed oder random factors.
8
Einzelvergleiche: 2 faktorielle ANOVA
Faktor
A
2
sˆ D2 (A) =
æ
ö
ç
n ×q ×çå ci ×Ai ÷
÷
÷
çè i
ø
å
F- Test
F=
2
i
c
sˆ D2 (A)
2
sˆ test
i
2
B
sˆ D2 (B) =
æ
ö
÷
n ×p ×çççå c j ×B j ÷
÷
çè
ø÷
j
å
c 2j
F=
sˆ D2 (B)
2
sˆ test
j
Hierin ist die Testvarianz in der Prüfvarianztabelle gegeben.
9
Einzelvergleiche: Scheffe‘ Tests
Faktor
A
B
Zellen
Diffcrit =
Diff crit =
Diff crit =
2
2 ×( p - 1)×sˆ test
×F(df A ,dftest ,1- a )
n ×q
2
2 ×(q - 1)×sˆ test
×F(df B ,dftest ,1- a )
n ×p
2
2 ×( p ×q - 1)×sˆ Fehler
×F( p×q- 1, p×q×(n- 1),1- a )
n
Testvarianz ist wieder in der Prüfvarianztabelle gegeben.
10
Bedingte Einzelvergleiche
Vergleich von Zellmittelwerten unter A für eine feste Stufe des
anderen Hauptfaktors B
2
QSi( j) =
æ
ö
÷
ç
n ×çå ci( j) ×AB ij ÷
÷
çè i
ø
å
df = 1
ci2
i
s
2
i( j )
=
QSi( j)
df
= QSi( j)
F=
s i2( j)
sˆ
2
Fehler
=
QSi( j)
2
sˆ Fehler
Der F- Wert ist signifikant, wenn er größer als der folgende S- Wert ist:
Si( j) = éë( p - 1)+ ( p - 1)(q - 1)ù
û×F(df A+ df A´ B ,df Fehler ,1- a )
11
Bedingte Einzelvergleiche
Vergleich von Zellmittelwerten unter B für eine feste Stufe des
anderen Hauptfaktors A
2
QS j(i) =
æ
ö
÷
ç
n ×ççå c j(i) ×AB ij ÷
÷
÷
çè
ø
df = 1
j
å
c 2j
j
s
2
j(i )
=
QS j(i)
df
= QS j(i)
F=
s 2j(i)
sˆ
2
Fehler
=
QS j(i)
2
sˆ Fehler
Der F- Wert ist signifikant, wenn er größer als der folgende S- Wert ist:
S j(i) = éë(q - 1)+ ( p - 1)(q - 1)ù
û×F(df B + df A´ B ,df Fehler ,1- a )
12
Voraussetzungen
1. Normalverteilung der Fehlerkomponenten
(gilt als erfüllt, wenn die Zellresiduen normalverteilt sind)
2. Unabhängigkeit von Treatmenteffekten und Messfehlern
(Zellmittelwerte und Varianzen sollten unkorreliert sein)
3. Varianzhomogenität der Fehlervarianzen aller Zellen
(Prüfung mit speziellen Tests: Bartlett / Levene /Fmax)
[Statistica]
13
Bartlett-Test
Prüft die Annahme der Varianzhomogenität
(Variation innerhalb der Stichproben muss für alle Stichproben gleich sein)
æ
ö
2.303 æ
2
ç
ç
ˆ
c =
×ççå ni - p÷
×
log
s
÷
(
10
Fehler )÷
ç
ç
C èè i
ø
2
å
i
(ni - 1)×log10 (sˆ
2
Fehler ( i )
ö
÷
)÷÷÷
ø
df = p - 1
æ
çç
1
1
ç
C = 1+
×çå
ç
3×( p - 1) ç i ni - 1
çè
å
i
ö
÷
÷
1
÷
÷
(ni - 1)÷÷÷÷
ø
Es sollte a = 0.25 gewählt werden, da man an der Beibehaltung der H0 interessiert ist.
Der Test ist nur reliabel für normalverteilte Daten.
14
Bartlett-Test (zweifaktoriell)
Prüft die Annahme der Varianzhomogenität
(Variation innerhalb der Stichproben muss für alle Stichproben gleich sein)
æ
2.303 æ
ç
c =
×çççççå
C çèçè j
2
å
i
ö
2
(nij - 1)÷÷÷÷×log10 (sˆ Fehler
)ø
å å (n
ij
j
- 1)×log10 (sˆ
2
Fehler ( ij )
i
df = pq - 1
æ
çç
1
C = 1+
×çççå
3×( pq - 1) çç j
çè
å
i
1
nij - 1
å å
j
i
ö
÷
÷
1
÷
÷
÷
(nij - 1)÷÷÷÷
ø
Es sollte a = 0.25 gewählt werden, da man an der Beibehaltung der H0 interessiert ist.
Der Test ist nur reliabel für normalverteilte Daten.
15
ö
)÷÷÷÷÷
ø
Fmax -Test
Prüft die Annahme der Varianzhomogenität
(Variation innerhalb der Stichproben muss für alle Stichproben gleich sein)
Fmax
2
sˆ Fehler
= 2 (max)
sˆ Fehler (min)
Die Verteilung von Fmax hängt von der Anzahl der Treatmentstufen p und
den Freiheitsgraden (n-1) einer einzelnen Fehlervarianz ab.
Fmax ist in einer gesonderten Tabelle austabelliert.
Der test ist gröber als der Bartlett - Test, aber unempfindlich gegen Verletzungen
der Normalverteilungsannahme.
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