Fuzzymengen

Fuzzymengen – Was ist das?
• Menge
– Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch
charakteristische Funktion:
1  x  M 
x   : mM ( x)  
, M  
0

x

M


• Problem
– Anwendungen fordern „Übergänge“ zwischen Zugehörigkeit und
Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge
• Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I
I  0 , 1  x   0  x  1
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• man erhält neue charakteristische Funktion
x   : mA ( x)  0 , 1, A  
– scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen
• unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig
bestimmt: A, B  , x   : A  B  mA ( x)  mB ( x)
• wichtige Größen:
– Träger:
– Höhe:
– Kern:
supp( A)  def x   mA ( x)  0
hgt( A)  def sup mA ( x)
x
ker( A)  def x   mA ( x)  1
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• weitere scharfe Mengen zuordenbar:
–
–
–
–
A  def x   mA (x)   
α-Schnitt:
scharfer α-Schnitt: A  def x   mA (x)   
A  def x   mA (x)   
α-Komponente:
A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in
scharfe Mengen zerlegen
x   : mA ( x)  sup   mA ( x)  sup   mA ( x)  sup   mA ( x)
 0,1
 0,1
• Kern: ker( A)  A1
• Träger: supp( A)  A 0
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
 0,1
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• t-Norm-basierte Operation:
– ist eine binäre Operation t: 0 , 12  0 , 1
– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend
– 1 als neutrales Element, 0 als Nullelement
– für beliebige x, y, z, u, v  0 , 1 muss gelten:
(T1)
(T 2)
(T 3)
(T 4)
xt y  yt x
x t( y t z )  ( x t y ) t z
x  u  y  v  xt y  utv
x t 1  x und x t 0  0
– nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: u t v  u , v
und besonders: u t u  u
• daraus folgt Idempotenz
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• Durchschnitt
t
ist definiert durch:
D : A t B : x   : mD ( x)  def mA ( x) t mB ( x)
– übliche t-Normen ( u, v  0 , 1 ):
•
•
•
•
Durchschnitt t0:
algebraisches Produkt t1:
beschränktes Produkt t2:
drastisches Produkt t3:
u t 0 v  minu, v
u t1 v  u  v
u t 2 v  max0, u  v  1
min u, v  u  1  v  1
u t3 v  
0  sonst
– es gilt: u t 3 v  u t 2 v  u t1 v  u t 0 v
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• t-Conorm st ist eine zu t duale t-Conorm
– Definition: u, v  0 , 1 : u s t v  def 1  (1  u ) t(1  v)
– binäre Operation 0 , 12  0 , 1
– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend
– für beliebige u  0 , 1 muss gelten: u s t 0  u
u st 1  1
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• Vereinigung
t
– wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt:
A  t B  def ( AC  t B C )C
– D : A t B : x   : mV ( x)  def mA ( x) s t mB ( x)
– übliche t-Conormen ( u, v  0 , 1 ):
•
•
•
•
Vereinigung s0:
algebraische Summe s1:
beschränkte Summe s2:
drastische Summe s3:
u s0 v  maxu, v
u s1 v  u  v  uv
u s2 v  min1, u  v
maxu, v  u  0  v  0
u s3 v  
1  sonst
– es gilt: u s3 v  u s2 v  u s1 v  u s0 v
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• ZADEH (1965)
– Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen
Operationen für unscharfe Mengen
• Vereinigung: C : A  B : x   : mC ( x)  def maxmA ( x), mB ( x)
• Durchschnitt: D : A  B : mD ( x)  def min mA ( x), mB ( x)
• Komplement: K : AC : x   : mK ( x)  def 1  mA ( x)
– erkannte t 0  min, s0  max als einzige nicht-interaktive Verknüpfung,
es gilt:
A A  A, A A  A
– deutete andere Varianten an
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• einparametrische Familien von t-Normen
– Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen
– für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und
Vereinigungen gegen die bereits definierten
– ausreichend umfangreich
– einfach handhabbar, überschaubar
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• Erweiterungsprinzip:
sei g eine n-stellige Funktion in X: g :  n  
lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus F ( X ) erweitern?
supp(B) soll sich aus supp( Ai ) ergeben
Zugehörigkeitswerte mAi (ai ) sollen Zugehörigkeitswert
mB ( g (a1...an )) bestimmen
– g :  n   wird so zu gˆ : F ( ) n  F ( ) erweitert, dass gilt:
–
–
–
–

Ai  F ( ) : B : g ( A1... An ) :
y   : mB ( y )  def
sup
x1 ...x n 
y  g ( x1 ...x n )

min mA1 ( x1 ),..., mAn ( xn )
– gilt auch α-Schnitt-weise: B  g ( A1 ,..., An )
– statt min ist jede andere t-Norm möglich, min ist jedoch üblich
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• praktischer Ansatz:
– Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge ist
konvex: a  c  b  mA (c)  minmA (a), mA (b)
– Grundbereich  sollte Menge der reellen Zahlen sein:   
– unscharfe Zahl: ker( A)  a, d.h. Kern ist Einermenge
– unscharfes Intervall: ker( A)  a1 , a2 
– jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall
– gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• Grundrechenarten:
– Erweiterungsprinzip wird angewendet:
a, x, y   : mS (a)  sup min mA ( x), mB ( y )
a  x y
– für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende
Operationszeichen (+,-,*)
– Negatives N :  A : a   : mN (a)  mA (a)
– Quotient: nur für 0  supp( B) unscharfes Intervall
mB (1 / a)  (1 / a)  supp( B)
– Kehrwert K : B : mK (a)  
0  sonst
1
– Quotient Q : A  B def A  B 1 : mQ (a)  sup min mA ( x), mB ( y )
x , y
ax / y
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende
Vereinbarungen vorteilhaft sein:
– mA (a0 )  1
– Intervall (, a0 ) ist monoton steigend, Intervall (a0 , ) monoton fallend
– beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen
• falls
supp( A)  (a1, a2 )
– die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur auf
(a1, a0 ) und (a0 , a2 )
– werden mAL , mAR genannt
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• Definition
– eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch
mAL , mAR seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird
– sind mAL , mAR lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer
L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig
• gilt zusätzlich ker( A)  (a0 , a0 ) und supp( A)  (a1, a2 ) , dann heißt A
trapezförmig
– man schreibt A  a0 ; a1, a2  genau dann, wenn mA (a0 )  1
und supp( A)  (a1, a2 )
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• seien A  a0 ; a1, a2  und B  b0 ; b1, b2  unscharfe Zahlen mit
linearer L/R-Darstellung
–
–
–
–
–
Summe A  B  a0  b0 ; a1  b1, a2  b2 
Differenz A  B  a0  b0 ; a1  b2 , a2  b1 
Negatives  A  a0 ;a2 ,a1 
Multiplikation mit Skalar A  a0 ; a1, a2 
x
1
Beispiel: X  3;1,5  ,
Y  5;3,6 
y
x y
0.5
2
x
4
6
x1 x y x
8
10
x y x
0.5
-4
-2
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
2
4
6
8
10
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
– Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung
sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr
• es existieren Näherungsformeln ( a1, b1  0  0  supp( A) ):
– Produkt: A  B  a0  b0 ; a1  b1, a2  b2 
– Quotient: A  B  a0 / b0 ; a1 / b2 , a2 / b1  , b1  0
– Kehrwert: B1  1/ b0 ;1/ b2 ,1/ b1  , b1  0
• Multiplikation ohne Einschränkung der Träger supp( A), supp( B)
– man setzt supp( A  B)  (cl , cr ) und findet:
cl  min a1  b1 , a1  b2 , a2  b1 , a2  b2  ,
cr  maxa1  b1 , a1  b2 , a2  b1 , a2  b2 
und erhält als Näherungsformel: A  B  a0  b0 ; cl , cr 
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi