Fuzzymengen
Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• Menge
– Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch
charakteristische Funktion:
1  x  M 
x   : mM ( x)  
, M  
0

x

M


• Problem
– Anwendungen fordern „Übergänge“ zwischen Zugehörigkeit und
Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge
• Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I
I  0 , 1  x   0  x  1
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• man erhält neue charakteristische Funktion
x   : mA ( x)  0 , 1, A  
– scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen
• unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig
bestimmt: A, B  , x   : A  B  mA ( x)  mB ( x)
• wichtige Größen:
– Träger:
– Höhe:
– Kern:
supp( A) def x   mA ( x)  0
hgt( A) def sup mA ( x)
x
ker( A) def x   mA ( x)  1
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• weitere scharfe Mengen zuordenbar:
A def x   mA (x)  
– α-Schnitt:
– scharfer α-Schnitt: A def x   mA (x)  
A def x   mA (x)  
– α-Komponente:
– A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in
scharfe Mengen zerlegen
x   : mA ( x)  sup   mA ( x)  sup   mA ( x)  sup   mA ( x)
 0,1
 0,1
• Kern: ker( A)  A1
• Träger: supp( A)  A 0
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
 0,1
Fuzzymengen – Was ist das?
• geltende Gesetze für
A, B  
:
x   : A  B def mA ( x)  mB ( x)
– Inklusion als Halbordnung:
 A 
A B B  A A B
A A
A BBC  AC
A  B    0,1 : A  B     0,1 : A  B 
A  B  supp( A)  supp( B)
A  B  hgt( A)  hgt( B)
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• t-Norm-basierte Operation:
– ist eine binäre Operation t: 0 , 12  0 , 1
– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend
– 1 als neutrales Element, 0 als Nullelement
– für beliebige x, y, z, u, v  0 , 1 muss gelten:
(T 1) x t y  y t x
(T 2) x t( y t z )  ( x t y ) t z
(T 3) x  u  y  v  x t y  u t v
(T 4) x t 1  x und
xt0  0
– nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: u t v  u, v
und besonders: u t u  u
• daraus folgt Idempotenz
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• Durchschnitt
t
ist definiert durch:
D : A t B : x   : mD ( x) def mA ( x) t mB ( x)
– übliche t-Normen ( u , v  0 , 1 ):
•
•
•
•
Durchschnitt t0:
algebraisches Produkt t1:
beschränktes Produkt t2:
drastisches Produkt t3:
u t 0 v  min u , v
u t1 v  u  v
u t 2 v  max 0, u  v  1
min u, v  u  1  v  1
u t3 v  
0  sonst
– es gilt: u t 3 v  u t 2 v  u t1 v  u t 0 v
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• t-Conorm st ist eine zu t duale t-Conorm
– Definition: u, v  0 , 1 : u s t v def 1  (1  u) t(1  v)
– binäre Operation 0 , 12  0 , 1
– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend
– für beliebige u  0 , 1 muss gelten: u s t 0  u
u st 1  1
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• Vereinigung
t
– wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt:
A t B def ( AC t BC )C
– D : A t B : x   : mV ( x) def mA ( x) s t mB ( x)
– übliche t-Conormen ( u , v  0 , 1 ):
•
•
•
•
Vereinigung s0:
algebraische Summe s1:
beschränkte Summe s2:
drastische Summe s3:
u s0 v  max u, v
u s1 v  u  v  uv
u s 2 v  min 1, u  v
max u, v  u  0  v  0
u s3 v  
1  sonst
– es gilt: u s3 v  u s 2 v  u s1 v  u s0 v
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
t-Norm-basierte Operationen
• kartesisches Produkt:
– A  B heißt unscharfes, t-Norm-basiertes kartesisches Produkt:
C : A  B :
a, b   : mC (( a, b))  mA (a ) t mB (b)
– es gilt:
A t ( B t C )  ( A t B) t C
A  B  A t C  B t C , C t A  C t B
A t    t A  
A t ( B  C )  ( A t B)  ( A t C )
A t ( B  C )  ( A t B)  ( A t C )
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• ZADEH (1965)
– Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen
Operationen für unscharfe Mengen
• Vereinigung: C : A  B : x   : mC ( x) def max mA ( x), mB ( x)
• Durchschnitt: D : A  B : mD ( x) def min mA ( x), mB ( x)
• Komplement: K : AC : x   : mK ( x) def 1  mA ( x)
– erkannte t 0  min, s0  max als einzige nicht-interaktive Verknüpfung,
es gilt:
A A  A, A A  A
– deutete andere Varianten an
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• geltende Gesetze:
– α-Schnitte: ( A  B)  A  B  , ( A  B)  A  B 
( AC )   A1  x   mA ( x)  1   
– für beliebige unscharfe Mengen A,B,C gelten:
A t B  B t A
A t ( B t C )  ( A t B) t C
A  A t B , B  A t B
A  B  A t C  B t C
A t   A , A t   
• dabei kann  durch  ersetzt werden
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• geltende Gesetze:
A t ( B  C )  ( A t B)  ( A t C )
– Distributivgesetze
A t ( B  C )  ( A t B)  ( A t C )
A t ( B  C )  ( A t B)  ( A t C )
A t ( B  C )  ( A t B)  ( A t C )
– Subdistributivgesetze
( A  B) t ( A  C )  A  ( B t C )
( A  B) t ( A  C )  A  ( B t C )
( A  B) t ( A  C )  A  ( B t C )
( A  B) t ( A  C )  A  ( B t C )
• Gleichheit statt Inklusion nur für t 0  min, s0  max
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• geltende Gesetze:
– Komplementbildung
C
• ist idempotent A  AC
• kehrt Inklusionsbeziehung um A  B  BC  AC
• deMorgansche Gesetze gelten ( A  t B )C  AC  t B C
( A  t B )C  AC  t B C
• nicht alle Eigenschaften des gewöhnlichen Komplements gelten
– A t AC   und A t AC   sind möglich, da
A   a   : mA (a)  mAC (a)
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• Werteverlauf für t0, s0
Funktionswerte
1
0.75
t00.5
0.25
0
0
der Norm t0
Funktionswerte
1
0.8
0.2
0.6
0.4 v
0.4
u 0.6
1
0.75
s00.5
0.25
0
0
0.2
0.8
s0
1
0.8
0.2
0.6
0.4 v
0.4
u 0.6
10
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
der Norm
0.2
0.8
10
Mengenoperationen
Funktionswerte
1
0.75
t1
0.5
0.25
0
0
0.2
0.4
u 0.6 0.8
Funktionswerte
1
0.75
s1
0.5
0.25
0
0
0.2
der Norm
t1
1
0.8
0.6
0.4 v
1
0.2
0
der Norm
0.2
0.8
1
0.75
t2
0.5
0.25
0
0
0.2
s1
1
0.8
0.6
0.4 v
0.4
u 0.6
Funktionswerte
10
0.2
t2
1
0.8
0.6
0.4v
0.4
u 0.6 0.8
Funktionswerte
1
0.75
s20.5
0.25
0
0
der Norm
1
0.75
t30.5
0.25
0
0
0.2
0.2
1
0
der Norm
s2
1
0.8
0.6
0.4 v
0.4
u 0.6
Funktionswerte
0.2
0.8
10
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
0.4
u 0.6 0.8
Funktionswerte
1
0.75
s3
0.5
0.25
0
0
0.2
der Norm
t3
1
0.8
0.6
0.4 v
0.2
1
0
der Norm
s3
1
0.8
0.6
0.4 v
0.4
u 0.6
0.2
0.8
10
Mengenoperationen
einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• einparametrische Familien von t-Normen
– Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen
– für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und
Vereinigungen gegen die bereits definierten
– ausreichend umfangreich
– einfach handhabbar, überschaubar
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• HAMACHER (1978)
– Familie von t-Normen t H , mit Parameterbereich   0
u t H , v  def
– duale t-Conormen s H ,
u s H , v  def
uv
  (1   )(u  v  uv)
u  v  uv  (1   )uv
1  (1   )uv
– t H , 1  t1 , t H ,   t 3
– s H , 1  s1 , s H ,   s3
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• YAGER (1980)
– Familie von t-Normen t Y , p mit Parameterbereich p  0
u t Y , p v  def
1


p
p
1  min 1, ((1  u )  (1  v) ) p 


– duale t-Conormen sY , p
u sY , p v  def
1


p
p
min 1, (u  v ) p 


– tY , p   t 0 , tY , p 1  t 2 , tY , p 0  t 3
– sY , p   s0 , sY , p 1  s2 , sY , p 0  s3
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• WEBER (1983)
– Familie von t-Normen tW , mit Parameterbereich   1
 u  v  1  uv 
u tW ,  v  def max 0,

1 


– duale t-Conormen sW ,
uv 

u sW ,  v  def min 1, u  v 

1  

– tW ,   t1 , tW , 0  t 2 , tW , 1  t 3
– sW ,   s1 , sW , 0  s2 , sW ,   s3
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Mengenoperationen
• Erweiterungsprinzip:
sei g eine n-stellige Funktion in X: g :  n  
lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus F ( X ) erweitern?
supp( B) soll sich aus supp( Ai ) ergeben
Zugehörigkeitswerte mAi (ai ) sollen Zugehörigkeitswert
mB ( g (a1...an )) bestimmen
– g :  n   wird so zu gˆ : F ( )n  F ( ) erweitert, dass gilt:
–
–
–
–

Ai  F ( ) : B : g ( A1... An ) :
y   : mB ( y )  def
sup
x1 ...x n 
y  g ( x1 ...x n )

min mA1 ( x1 ),..., mAn ( xn )
– gilt auch α-Schnitt-weise: B  g ( A1 ,..., An )
– statt min ist jede andere t-Norm möglich, min ist jedoch üblich
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• praktischer Ansatz:
– Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge ist
konvex: a  c  b  mA (c)  min mA (a), mA (b)
– Grundbereich  sollte Menge der reellen Zahlen sein:   
– unscharfe Zahl: ker( A)  a, d.h. Kern ist Einermenge
– unscharfes Intervall: ker( A)  a1 , a2 
– jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall
– gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• Grundrechenarten:
– Erweiterungsprinzip wird angewendet:
a, x, y   : mS (a)  sup min mA ( x), mB ( y)
a  x y
– für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende
Operationszeichen (+,-,*)
– Negatives N :  A : a   : mN (a)  mA (a)
– Quotient: nur für 0  supp( B) unscharfes Intervall
mB (1/ a)  (1/ a)  supp( B)
– Kehrwert K : B : mK (a)  
0  sonst
1
– Quotient Q : A  B  def A  B 1 : mQ (a)  sup min mA ( x), mB ( y )
x , y
ax / y
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• Maximumbildung:
C : max( A, B ) :
z   : mC ( z ) 
sup
x , y
z  maxx , y 
min m A ( x), mB ( y )
– da z  max x, y  z  x  z  y gilt besser:


mC ( z )  max sup min mA ( z ), mB ( y ), sup min mA ( x), mB ( z )
x z
 y z





 max min mA ( z ), sup mB ( y ), min sup mA ( x), mB ( z )
 x z

y z



• Mimimumbildung analog
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• geltende Gesetze:
– Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten
– Distributivgesetz nur bedingt:
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
• A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) nur, wenn 0  supp( A)  0  supp( B  C )
oder A eine unscharfe Einermenge ist
– -A nur bedingt additives Inverses von A
1 x  0
• da A    A nur für m ( x)  
, aber i.A. A  ( A)  
0 x  0
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende
Vereinbarungen vorteilhaft sein:
– mA (a0 )  1
– Intervall (, a0 ) ist monoton steigend, Intervall (a0 , ) monoton fallend
– beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen
• falls
supp( A)  (a1 , a2 )
– die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur auf
( a1 , a0 ) und ( a0 , a2 )
– werden mAL , mAR genannt
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• Definition
– eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch
mAL , mAR seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird
– sind mAL , mAR lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer
L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig
• gilt zusätzlich ker( A)  (a0 , a0 ) und supp( A)  (a1 , a2 ) , dann heißt A
trapezförmig
– man schreibt A  a0 ; a1 , a2  genau dann, wenn mA (a0 )  1
und supp( A)  (a1 , a2 )
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• seien A  a0 ; a1, a2  und B  b0 ; b1, b2  unscharfe Zahlen mit
linearer L/R-Darstellung
–
–
–
–
–
Summe A  B  a0  b0 ; a1  b1 , a2  b2 
Differenz A  B  a0  b0 ; a1  b2 , a2  b1 
Negatives  A  a0 ;a2 ,a1 
Multiplikation mit Skalar A  a0 ; a1 , a2 
x
1
Beispiel: X  3;1,5  ,
Y  5;3,6 
y
x y
0.5
2
x
4
6
x1 x y x
8
10
x y x
0.5
-4
-2
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
2
4
6
8
10
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
– Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung
sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr
• es existieren Näherungsformeln ( a1 , b1  0  0  supp( A) ):
– Produkt: A  B  a0  b0 ; a1  b1 , a2  b2 
– Quotient: A  B  a0 / b0 ; a1 / b2 , a2 / b1  , b1  0
– Kehrwert: B1  1/ b0 ;1/ b2 ,1/ b1  , b1  0
• Multiplikation ohne Einschränkung der Träger supp( A), supp( B )
– man setzt supp( A  B)  (cl , cr ) und findet:
cl  min a1  b1 , a1  b2 , a2  b1 , a2  b2  ,
cr  max a1  b1 , a1  b2 , a2  b1 , a2  b2 
und erhält als Näherungsformel: A  B  a0  b0 ; cl , cr 
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• statt linearer Funktionstypen für
mAL , mAR
auch andere möglich
– mAL , mAR können verschiedene Funktionstypen haben
– Ansatz von DUBOIS/PRADE (1987):
• Funktionen mAL , mAR sind durch Hilfsfunktionen L,R bestimmt:
– L, R :   0 , 1
– L(0)  R(0)  1
– L,R monoton fallend für positive Argumente
• mAL , mAR mit Parametern a0 , q, p  , p, q  0 werden dann definiert als:
x  a0 : mAL ( x)  L(( a0  x) / q )
x  a0 : mAR ( x)  R(( x  a0 ) / p )
• man schreibt dann A  a0 ; q, p  L / R
• sind L,R lineare Funktionen L( x)  1  bx und R( x)  1  cx, ergeben sich
folgende Beziehungen: q  b(a0  a1 ) , p  c(a2  a0 )
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
Zahlenarithmetik
L/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• seien A  a; q, p  L / R und B  b; q, p  L / R unscharfe Zahlen mit
L/R-Zerlegung
– Summe A  B  a  b; q  q, p  p  L / R
– Negatives  A  a; p, q  R / L
• man beachte, dass L und R die Rollen vertauscht haben
• Differenz A  B  A  B ist nur für L=R eine einfache L/R-Darstellung
– Produkt ( a, b  0 , 0  supp( A) , 0  supp( B) ) nur mit Näherungsformel
A  B  ab; aq  bq  qq, ap  bp  pp  L / R
– Kehrwert ( 0  supp( B) ) ähnlich: B1  1/ b; p / b2 , q / b2 R / L
• L und R haben wieder Rollen vertauscht
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi
• Quellen:
– BANDEMER/GOTTWALD
• Einführung in Fuzzy-Methoden (Akademie Verlag, 1992)
Fuzzymengen – Ein Modellansatz
Frieder Jacobi