ppt - Mathe

Klaus Gerber
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Eine anwendungsorientierte Unterrichtsreihe
aus der Analytischen Geometrie
„Geometrie heißt schauen!“
MNU-Tagung des Landesverbands Nordrhein
Köln, 8. September 2009
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Bandenwerbung
Film 1 / Film 2 / Film 3
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Experimentelle Annäherung
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Aufgabe für eine Werbeagentur:
Entwerfen Sie einen Werbeteppich
für das RheinEnergie-Stadion
in Köln-Müngersdorf.
Dieser Teppich soll in der
rechten Spielfeldhälfte rechts
neben dem Tor liegen
(gesehen von der
Haupttribüne oberhalb derer
sich die Kamera befindet).
Spielfeldmaße: 105m x 68m
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Koordinaten im Stadion
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Bearbeitung als Schnittproblem:
Richtungsvektor:
  53 


v   53 
  31 


Koordinaten eines Eckpunktes des Buchstabens: P(2,8|0|1)
 2,8 
  53   x  
 

  
p    v  p   0      53    y  
 1 
  31   0 
 

  
ergibt

1
31
  169 
 2,8 
  53   2,8  53
31
  155 
  1 

53

p   0   31   53    0  31    53
31
 1
  31  0   0 
 

 
 

Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten:
T1 1,1| 1,7 | 0
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Allgemeine Berechnungsmethode:
Der Punkt P x | y | z  soll in Richtung des Vektors
 v1 
 
v  v 2 
v 
 3
in die xy-Ebene und
dort auf den Punkt P x  | y  | z mit z  0 abgebildet werden.
x
 v1   x  
 
   
p    v  p   y      v 2    y  
z
v   0 
 
 3  
x
 
p   y    vz
3
z
 
 
ergibt
  v1 z   x  v1
v3
 v1   x   v 3  
     v2  
v
 v 2    y     v z    y  v 2
 v   z    3z   0 3
 3   
 

 
Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten:

v

z
v3
z 

z



v
P x  v 1 z | y  v 2 z | 0
3
3

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Einführung der Matrizenschreibweise:
 x  v1

v3

v2
y


v3
 0

Berechnungsvorschrift:
Projektionsmatrix:
v
z   1 x  0  y  v 1 z   1 0
3
 
v2  
z    0  x  1 y  v z    0 1
3
  0  x  0  y  0  z   0 0
 
 

 x
  
y 
0   z 

v 1
v3
v 2
v3
a  x  b  y  c  z  a b c   x 

 
  
d  x  e  y  f  z   d e f    y   A  p
 g  x  h  y  i  z  g h i   z 

 
  
1 0


A  0 1
0 0



 1 0
 
  0 1

0   0 0

v 1
v3
v 2
v3
 53 
31 
53 
31

0 

Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Graphische Darstellung
mit dem TI89:
vollständiger Befehl zum Zeichnen
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
 a11 a12

e1  A  e1   a21 a22
a
 31 a32
Definitionen und Sätze:
a13   1   a11 
   

a23    0    a21 
a33   0   a31 
Hauptsatz über Abbildungsmatrizen
Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der
Einheitsvektoren.
Parallelprojektionssatz
Die Matrix Axy
1 0


 0 1
0 0





 beschreibt die Parallelprojektion in die
0 

v 1
v3
v 2
v3
xy-Ebene in Richtung des Projektionsvektors v .
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
!!!! Übungsaufgaben !!!!
Entwurf von CamCarpets mit Projektionsmatrizen
Der Modellierungskreislauf
mathematisieren
vereinfachen
mathematisches
Modell
Realmodell
reale Situation
validieren
bearbeiten
interpretierte
Lösung
REALITÄT
interpretieren
mathematische
Lösung
MATHEMATIK
Projektionsmatrizen
-
Einblicke in die Raumgeometrie
Projektionsmatrizen
-
Einblicke in die Raumgeometrie
2-dimensionale Darstellung räumlicher Objekte:
Projektionsmatrix:

PRO1  


2
2
2
2
1 0 
0 1 
0
  0
 0    
 1  1
 
0
   1
 1    
0 0
 
 1
    cos( 45) 

 0   

sin(
45

)

0 
 
Projektionsmatrizen
-
Einblicke in die Raumgeometrie
Drehungen im Raum um eine Koordinatenachse:
 0    sin 
  



1

cos

  

0  0 
  

 1   cos 
  



0

sin

  

0  0 
  

Drehmatrix:
 cos   sin  0 


RotZ     sin  cos  0 
 0
0
1 

0 0
   
0  0
 1  1
   
Blick „von oben“ auf die xy-Ebene
Projektionsmatrizen
Platonische Körper:
-
Einblicke in die Raumgeometrie
Projektionsmatrizen
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Einblicke in die Raumgeometrie
Herzlichen Dank
für Ihre Aufmerksamkeit!
Kontakt:
www.gerfi.de
[email protected]