PowerPoint - Mathematik in der Universität Bremen

Analytische Geometrie –
Die gegenseitige Lage von
drei Ebenen im Raum
Referat von
Tanja Redmann und Daniel Hesseler
am 28.06.2006
Gliederung
1.
1.1
1.2
1.3
1.3.1
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
Wiederholung: Analytische Geometrie
Definition: Punktrichtungsgleichung einer Ebene
Definition: Dreipunktegleichung einer Ebene
Definition: Achsenabschnittsgleichung einer Ebene
Beispiel
Zusammenfassung: Punktrichtungs- und Dreipunktegleichung
Rechnung: Parametergleichung in Koordinatengleichung
überführen (Tafel)
Normalenvektor
Normaleneinheitsvektor
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
Äquivalenzumformungen
Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
Lineare Unabhängigkeit
Spezielle Ebenen
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.
Die gegenseitige Lage von drei Ebenen im Raum
Neun verschiedene Beispiele
Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform
(Gauss-Verfahren)
Rechnungen in Derive
Beispiel: Berechnung der Schnittgeraden zweier Ebenen (Tafel)
Beispiel: Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen (Tafel)
Literatur
1. Wiederholung:
Analytische Geometrie
1.1 Definition: Punktrichtungsgleichung einer Ebene
1.2 Definition: Dreipunktegleichung einer Ebene
1.3 Definition: Achsenabschnittsgleichung einer Ebene
Schneidet eine Ebene E die Achsen eines Koordinatensystems in den
Punkten Sx (xs;0;0), SY (0;ys;0) und Sz(0;0;zs) (mit xs, ys,z s≠0), so
besitzt sie die Koordinatengleichung
x/ xs + y/ ys + z/zs = 1
1.3.1 Beispiel
Für die nebenstehende
dargestellte Ebene E1
lässt sich als
Koordinatengleichung ablesen:
E1= x/2 + y/3 + z/0.5 = 1 bzw.
E1= 3x + 2y + 12z = 6
1.4 Zusammenfassung: Punktrichtungs- und Dreipunktegleichung
1.5 Rechnung: Parametergleichung in Koordinatenschreibweise
überführen
1.6 Normalenvektor
1.7 Normaleneinheitsvektor
Dabei sieht der Normaleneinheitsvektor wie folgt aus:
n0= 1/ |n|*(xn; yn)
1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Bei der Skalarmultiplikation werden zwei Vektoren multipliziert

Das Produkt ist eine reelle Zahl, kein Vektor

Eine Verknüpfung entsteht, die den Vektoren a und b einen
Vektor c als Produkt zuordnet
c = a x b.
1.8 Das Vektorprodukt
Satz: Für Vektoren a und b und
a x b im Raum gilt:
(1)
(2)
(3)
a x b ist orthogonal zu a und
zu b
a, b und a x b bilden ein
Rechtssystem
Der Betrag von a x b ist
gleich dem Flächeninhalt des
von a und b aufgespannten
Parallelogramms:
│a x b│=│a│*│b│* sin φ
1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor
1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor


Der Ergebnisvektor steht senkrecht zu den Vektoren a und b. Er ist
ein Normalenvektor einer von a und b aufgespannten Ebene. Sein
Betrag gibt die Inhaltsmaßzahl des von a und b im Raum
aufgespannten Parallelogramms an.
A = │ │= (0)2+(0)2+(1)2 = 1 (FE)
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
Unter dem Abstand d eines Punktes R von einer Ebene E versteht
man die Länge d seines Lotes von R auf die Ebene, d.h. die Länge d
der Strecke von R zum Lotfußpunkt (Fig. 3)
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
│n0│ = 1
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung
1.10 Äquivalenzumformungen
Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich mit den folgenden
Äquivalenzumformungen auf Stufenform bringen:
(1)
Gleichungen miteinander vertauschen
(2)
eine Gleichung mit einer Zahl c ≠ 0 multiplizieren
(3)
eine Gleichung durch die Summe oder Differenz eines
Vielfachen von ihr und einem Vielfachen einer anderen
Gleichung ersetzen.
1.11 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
Satz:
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine, keine oder
unendlich viele Lösungen.
Beispiel:
(1) Genau eine Lösung:
2x
-y
4y
=1
=1
Lösungsmenge: L={(5/8; 1/4)}
(2) Keine Lösung:
x
-2y
+3y
-4z
+2z
0
=2
=0
= -1
L= {
}
(3) Unendlich viele Lösungen:
2x
-y
2y
+z
-6z
=2
=0
Lösungsmenge: L={(1+t; 3t; t)| tєR}
Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
1.12 Lineare Unabhängigkeit
Vektoren a1,a2,…,an heißen linear unabhängig, falls sich kein Vektor
von ihnen als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen
lässt. Kann man wenigstens einen der Vektoren a1,a2,…,an als
Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen, so heißen die
Vektor linear abhängig.
Für ein LGS bestehend aus drei Gleichungen heißt das:
1. Lässt sich mindestens eine Gleichung als Linearkombination einer
anderen darstellen (linear abhängig), so hat das LGS keine bzw.
unendlich viele Lösungen
2. Sind alle Gleichungen voneinander linear unabhängig, so existiert
genau eine Lösung für das LGS
3. Sind zwei Ebenen parallel, müssen ihre Normalenvektoren kollinear
sein (linear abhängig)
 Siehe Punkt 2.1
1.13 Spezielle Ebenen
1.13 Spezielle Ebenen
1.13 Spezielle Ebenen
1.13 Spezielle Ebenen
1.13 Spezielle Ebenen
1.13 Spezielle Ebenen
2. Die gegenseitige Lage
von drei Ebenen im Raum
2.1 Neun verschiedene Beispiele
Lage der Ebenen:
Alle drei Ebenen sind
parallel, aber nicht
identisch
Gemeinsame Punkte:
Keine
Lösungsmenge:
Leere Menge
x + 2y + 3z = 4
x + 2y + 3z = -4
x + 2y + 3z = 14
x + 2y + 3z = 4
2x + 4y + 6z = 8
x + 2y + 3z = 14
Lage der Ebenen:
Zwei identische Ebenen
sind parallel zur dritten
Ebene
Gemeinsame Punkte:
Keine
Lösungsmenge:
Leere Menge
x + 2y + 3z = 4
x + 2y + 3z = 14
x - y + 2z = 2
Lage der Ebenen:
Zwei Ebenen sind parallel
und die dritte Ebene
schneidet beide Ebenen
in zwei parallelen
Schnittgeraden
Gemeinsame Punkte:
Keine
Lösungsmenge:
Leere Menge
x + 2y + 3z = 4
3x + y + 4z = 1
4x + 3y + 7z = 25
Lage der Ebenen:
Alle drei Ebenen
schneiden sich in drei
verschiedenen
Schnittgeraden
Gemeinsame Punkte:
Keine
Lösungsmenge:
Leere Menge
x + 2y + 3z = 4
x+z=1
3x + y = 2
Lage der Ebenen:
Alle drei Ebenen schneiden
sich in einem Punkt
Gemeinsame Punkte:
Genau ein Punkt
Lösungsmenge:
Eine eindeutige Lösung
x + 2y + 3z = 4
2x + 4y + 6z = 8
x + 2y + 4z = 4
Lage der Ebenen:
Zwei Ebenen sind
identisch, die dritte
Ebene schneidet in einer
Schnittgeraden
Gemeinsame Punkte:
Genau eine Gerade
Lösungsmenge:
Unendlich
x+y+z=3
x + 7y +z = 3
x -5y + z = 3
Lage der Ebenen:
Alle drei Ebenen
schneiden sich in
einer Schnittgeraden
Gemeinsame Punkte:
Eine gemeinsame
Schnittgerade
Lösungsmenge:
Unendlich
2x + 5y -3z = -14
2x + 5y -3z = 4
x + 2y + 4z = 2
Lage der Ebenen:
Zwei Ebenen parallel
zueinander, die dritte
schneidet beide Ebenen
orthogonal
Gemeinsame Punkte:
Keine
Lösungsmenge:
Keine
x + 2y + 3z = 4
2x + 4y + 6z = 8
0.5x + y + 1.5z = 2
Lage der Ebenen:
Alle drei Ebenen sind
identisch
Gemeinsame Punkte:
Eine gemeinsame
Ebene
Lösungsmenge:
Unendlich
2.2 Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform
(Gauss-Verfahren)
Löst bitte folgendes lineare Gleichungssystem. Verwendet entweder
die ausführliche Schreibweise oder die Matrixschreibweise.
3x + 6y -2z = -4
3x +2y +z = 0
1.5x + 5y -5z = -9
Lösung:
Aus IIIb folgt:
Aus x3 = 2 und IIa folgt:
x3 = 2
x2= ½
Aus x3 = 2, x2 = ½ und I folgt:
Lösung: (-1; ½; 2)
x1 = -1
2.3 Rechnungen in Derive
2.4 Berechnungen der Schnittgerade (Tafel)
E1 : 3x -4y +z = 1
E2 : 5x +2y -3z = 6
2.5 Schnittwinkel zweier Ebenen
3. Literatur
Bossek, Dr. H. (2003). Duden: Abitur Mathematik. Mannheim:
Verlag für Bildungsmedien, PAETEG
Baum, M. (1998). Analytische Geometrie mit linearer Algebra –
Grundkurs. Stuttgart: Klett Verlag
Vielen Dank für Eure
Aufmerksamkeit!