11-Berger_SchroedingerGleichung_anschaulich

Die Schrödinger Gleichung

i   H
Egon Berger
Didaktik der Physik
19.06.07
Inhalt:
1. Historisch grundlegende Experimente
2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung

i   H
3. Anwendung der SG:
E
1. Unendlich tiefe Potentialkasten
x
E
2. Endlich tiefe Potentialkasten
x
E
3.Harmonische Oszillator
4. Superposition ebener Wellen
x
Im Vordergrund steht:
Die graphische Interpretation der Wellenfunktion:
• Betrag
 (x)
• Phase
• Nulldurchgänge
• Krümmung
• Exponentielles Abfallen
x
1. Historisch grundlegende Experimente
Wiederholung: Die Quantentheorie des Lichtes
• Beugung und Interferenz
(1800)
• Hohlraumstrahlung (1900)
• Photoelektrische
Effekt (1902)
• Comptoneffekt (1922)
Licht ist eine Welle
Licht besteht aus Teilchen,
den sog. Photonen.
E  
p  k
Unsere heutige Vorstellung:
Licht besitzt sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter.
Die de-Broglie-Wellenlänge:
Louis de Broglie machte 1924 den Vorschlag die duale
Beschreibung durch Wellen- und Teilchenmodell, die sich bei
Licht bewährt hatte, auch auf Teilchen wie Elektronen,
Neutronen oder Atome zu übertragen.
Deren Wellencharakter wurde bis damals nie beobachtet.
Beispiel:
Ein Elektron besitze eine kin. Energie von 100eV.
seine de-Broglie-Wellenlänge
l=0,12 nm.
p  k
aus
folgt
seine Frequenz
n=2,4*10^16 Hz.
E  
Davisson und Germer: Beugung von Elektronen
Sie demonstrierten 1926 den Wellencharakter
von Teilchen.
Experiment:
e--Strahl
dünne Schicht
Schirm
(Al-Puder)
Ergebnis: Beugungsringe –genau wie bei Röngtenstrahlung.
l=1nm - 5pm
l (100eV)=0,12nm
Was heißt: Wellencharakter haben?
Röntgen-Strahlung: Zustandekommen der Beugungsringe
• Einfall einer
ebenen
Welle


E ( x , t )  A  sin( k x  wt )
• Wellengleichung
 2 E ( x, t ) 1  2 E ( x, t )
 2
2
x
c
t 2
• Ausbreitung von
Kugelwellen


EK1 ( x, t ), EK 2 ( x, t ), ...
• Interferenz


E ( x , t )   EKn ( x , t )
n
dünne Schicht
(Al-Puder)
• Intensität

I ~ E ( x, t ) 2
Schirm
Elektronen-Strahl: Gleiche Ergebnisse → e- ist eine Welle
• Einfall einer
ebenen
Welle

 ( x , t )  A  sin( k x  wt )
• Wellengleichung
?
• Ausbreitung von
Kugelwellen


K1 ( x, t ), K 2 ( x, t ), ...
• Interferenz


 ( x , t )   Kn ( x , t )
n
dünne Schicht
(Al-Puder)
• Intensität

I ~ ( x, t )2
Schirm
Zusammenstellen der Ergebnisse:
Licht:
Beschreibung:
E ( x, t )  A  sin( kx  wt )
Intensität:
I ~ E2
Elektronen:
 ( x, t )  A  sin( kx  wt )
I ~ 2
Wellengleichung:
Im Vakuum
 2 E ( x, t ) 1  2 E ( x, t )
 2
2
x
c
t 2
Folgt aus den Maxwellgleichungen für den ladungs- und
stromfreien Raum (Physik 2).
?
Wir suchen eine Gleichung, von der wir eine Lösung kennen.
Nämlich:
 ( x, t )  A  sin( kx  wt )
Ist es vielleicht möglich diese Gleichung durch eine ihrer
Lösungen zu rekonstruieren?
2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung
Wir testen diese Strategie am Beispiel der e.m. Welle!
E ( x, t )  A  sin( kx  t )
Differentiation nach x bzw. t ergibt:
E ( x, t )
 k  A cos( kx  t )
x
E ( x, t )
   A cos( kx  t )
t
Also erfüllt E(x,t) die Differentialgleichung
E ( x, t )
k E ( x, t )

x
 t
Aber: Linkslaufende Wellen kommen als Lösungen nicht vor!
Darum differenzieren wir die ebene Welle
E ( x, t )  A  sin( kx  wt )
ein zweites Mal:
 E ( x, t )
2
  k  E ( x, t )
2
x
2
 E ( x, t )
2



 E ( x, t )
2
t
2
Dies führt auf die Differentialgleichung
 2 E ( x, t ) k 2  2 E ( x, t )
 2
2
x

t 2
Dispersionsrelation
mit
und entspricht der Wellengleichung im Vakuum.
k2
1
 2
2

c
Da uns die Rekonstruktion geglückt ist, versuchen wir nun auf
diese Weise eine Wellengleichung für Teilchen zu erhalten.
 ( x, t )  A  sin( kx  wt )
Jedoch zuerst: Wie lautet die Dispersionsrelation für Teilchen?

p2
E
V
2m
k
 2k 2
 
V
2m

Für freie Teilchen gilt:
Dispersionsrelation


k2
2m
k
Nun gehen wir aus Symmetriegründen gleich zur zweiten
Ableitung über:
 2  ( x, t )
2


k
  ( x, t )
2
x
  ( x, t )
2
    ( x, t )
2
t
2
Dispersionsrelation


k2
2m

2
2
  
4
 

k

 2m 
2
Auch negative Frequenzen würden die Gleichung erfüllen:
   2
  
k
 2m 
Unphysikalisch!
Weiters möchte man
bestimmen können.
 ( x, t )
allein schon mit
 ( x, t 0 )
Zu diesem Zweck darf nur die erste Zeitableitung vorkommen.
Wir versuchen also
 2  ( x, t )
 ( x, t )
und
2
x
t
miteinander zu kombinieren.
Die Ableitungen ergeben:
 2  ( x, t )
2
 k  A sin( kx  t )
2
x
 ( x, t )
k

 A cos( kx  t )
t
2m
2
Wir versuchen nun eine andere mögliche Wellenfunktion:
( x, t )  A  ei ( kx t )
Bemerkung:
In der klassischen Physik wird diese Funktion nur verwendet,
weil damit leichter zu rechnen ist. Physikalische Relevanz hat
jedoch nur der Realteil.
Zweimalige Differentiation von
( x, t )  A  ei ( kx t )
ergibt:
p  k
2
 2
p
2m( E  V ( x))
2
 k     2   

2
2

x

  

 V ( x)    E  
2
2m x
2
2

E
  i     i  
t

E  

 E    i
t
Diskussion von Y(x,t):
 : Ort  Zeit 
In unserem Experiment:
Intensität ~ 
2
Was geschieht wenn jeweils nur ein Elektron auf die Folie trifft?
Physlet: Doppelspalt
Hypothese:
 ( x, t ) x entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das
2
Elektronen an der Stelle [x,x+Dx] auftrifft.
Postulat:
Der Zustand eines aus einem Massenpunkt bestehenden
quantenmechanischen Systems zum festen Zeitpunkt t0 ist
durch Angabe der (komplexen) Wellenfunktion

( x, t )
beschrieben.
Statistische Interpretation:
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu t0 im Volumen d3x um
x0 zu finden ist:
 2
( x, t ) d 3 x
Normierung:

 2 3
( x, t ) d x  1
Postulat:

Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion  ( x , t ) ist durch
die Schrödingergleichung
 2 2

  

i ( x, t )   
  V ( x ) ( x, t )
t
 2m

gegeben.
Erwin Schrödinger (* 1887 in Wien; † 1961 in Wien)
1926 formulierte Schrödinger die nach ihm
benannte Schrödinger-Gleichung. Sie bildet
eine der Grundlagen der Quantenmechanik.
Diese Arbeiten brachten ihm Weltruhm und
schließlich auch den Nobelpreis für Physik im
Jahre 1933 ein.
Lösungen der SG:
 

  

2
i ( x, t )   
  V ( x ) ( x, t )
t
 2m

2
=H … Hamiltonian

Separartionsansatz:  ( x , t )  f (t )  ( x)
Einsetzen ergibt:

1

1
i f (t ) 
 H ( x )
f (t ) t
( x )


H ( x )  E  ( x )

i f (t )  Ef (t )
zeitunabhängige SG
t
Lösung:
f (t )  e
E
i t

E
i t

 ( x , t )  e   ( x)
3. Anwendung der Schrödinger Gleichung
1. Der unendlich tiefe Potentialkasten:
E
V (x) 
0 für 0  x  a
 sonst
0
a
x
Außerhalb des Potentialkastens:
Innerhalb:
 ( x, t )  0


H ( x )  E ( x )
 2 2

 
 V ( x) ( x)  E( x)
2
 2m x

=0
2m
p2
2
2


k

(
x
)
)
)
x
(
x

(
E



)
x
(



2
2
x 2
( x)  Aeikx  Be ikx
Lösung:
Randbedingungen:
 (0)   (a )  0
 (0)  A  B  0


 B  A
(a)  A eika  e ika  2iA sin ka  0
 ka  n
n  1, 2, 3, ...
n
n ( x)  2iA sin(
x)
a
n  1, 2, 3,...
n
n ( x)  2iA sin(
x)
a
Energie E ?
n  1, 2, 3,...
n
 2 2 
 
 ( x)  En n ( x)
2  n
 2m x 
SG:

n
  2

(1) 2 n ( x) 
n n ( x)
2
2m
a
2m a
2
2
2
2
2
 En
Normierung:
 ( x, t )
2
dx  1  A
n ( x, t )  e
i
En
t

 n ( x)
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
und Energieeigenwerte:
E4
E
16  E1
En ~ n 2
Bemerkung:
Anzahl der Nulldurchgänge von Y
entspricht dem Anregungsniveau.
n
n ( x, t ) ~ sin (
x)
a
2
E3
9  E1
E2
4  E1
2
Bemerkung:
2

(
x
,
t
)
Die Phase geht nicht in n
ein.
E1
0
a
x
Darstellung von
n ( x, t ) in C:
Wir hatten:
n ( x, t )  Ae
E
i n t

 n ( x)  Ae
2  2

n t
2m a
n
 sin(
x)
a
Geogebra: Unendlich tiefer Potentialtopf
Physlet 7.6
Anwendung der SG
2. Der endlich tiefe Potentialkasten:
g ( x) 
e  x
A cos(qx)
e x
u ( x) 
 e x
A sin( qx)
 e x
Bemerkung:
Eindringen der Wellenfunktion in die Wände mit
exponentiellem Abfall.
Physlet 7.2
Unbekanntes Potential
Physlet 7.5 Pot1
Was sagt die Krümmung der Wellenfunktion aus?
SG:
 2 2

 
 V ( x) ( x)  E( x)
2
 2m x

2
2
 ( x)  
( E  V ( x))  ( x)
2
x
2m
 Ekin

 ( x) ist ein Maß für Ekin
2
x
2
Lösung:
E
x
V(x)
Anwendung der SG
3. Der harmonische Oszillator.
 (x)
1
E n  ( n  ) 
2
Weitere Unbekannte Potentiale
Physlet 7.5
Aufgaben:
Physlet P.7.1
Physlet P.7.2
4. Superposition ebener Wellen
( x)  Aei ( kx t )
Kann geschrieben werden als:
 ( x, t )  cos( kx  t )  i sin( kx  t )
Physlet 7.7
Geogebra: Superposition
Physlet P.7.3
Physlet P.7.4
Vielen Dank
für die
Aufmerksamkeit