7-Walser_Kinematik+Kraefte_im_Sport

Kinematik und Kräfte im Sport
Didaktik der Physik
WS 2005/06
Marco Walser
Inhalt
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Kugelstoß
Kräfte beim Tauchen
Energiebilanz beim Skifahrer
Stabhochsprung
Bungeejumping
Speedski
Armbeuger
Das Fußgelenk des Menschen
– Belastung der Achillessehne
• Kräfte bei der Kniebeuge
– Kräfte bei der Kniebeuge am Knie
– Kräfte bei der Kniebeuge an der
Hüfte
• Belastung der Wirbelsäule
• Skispringen
• Speerwurf
• Golfschlag
• Weitsprung
Kugelstoß
1.
Der Kugelstoßer Schlaumeier stößt die Kugel mit einer
Geschwindigkeit von 13,7 m/s aus einer Höhe von 1,80 m. Sein
Trainer rät ihm, er möge sie etwa unter einem Winkel von 40,0°
gegen die Horizontale wegstoßen. Welche Weite erreicht er?
•
geg.: yo = 1,80 m; vo = 13,7 m/s; α = 40,0°
Zeit-Ort-Funktionen:
y(t) = yo + v·sin(α)·t – ½·g·t2; x(t) = v·cos(α)·t
Bestimmung der Fallzeit tf : y(t) = 0;
0 = yo + v·sin(α)·tf – ½·g·tf2;
t f 1, 2
g
 v  sin   (v  sin  ) 2  4  ( )  y0
2

g
 v  sin   (v  sin  ) 2  2  g  y0
tf1 
g
 13,7  sin 40,0  (13,7  sin 40,0) 2  2  9,811,80
tf1 
s  1,98s
9,81
Bestimmung der Wurfweite xw:
xw = v·cos(α)·tf ; xw = 13,7·cos(40,0°)·1,98 m; xw = 20,8 m
Simulation
Kugelstoß
2.
Schlaumeier erinnert sich schwach an
den Physikunterricht. Dort hat er
gelernt, dass der optimale
Abstoßwinkel 45,0° sei. Prüfen Sie
durch Rechnung, ob das bei obiger
Situation stimmt.
•
geg.: yo = 1,80 m; vo = 13,7 m/s; α = 45,0°
Rechnung wie oben, jedoch tf1 = 2,14 s und
xw = 20,7 m
Der optimale Wurfwinkel ist nur dann 45°,
wenn y0 = 0 ist!
Kugelstoß
Simulation
Kräfte beim Tauchen
•
Ein Taucher soll sich in verschiedenen
Wassertiefen ohne allzu großen
Kraftaufwand im Schwebezustand
halten können.
1.
Welche Kräfte müssen sich im
Schwebezustand die Waage halten?
•
Die nach unten wirkende Gewichtskraft muss
von der Auftriebskraft kompensiert werden.
2.
Welche, der in Teilaufgabe 1
genannten Kräfte ist von der Tiefe
abhängig?
•
Die Auftriebskraft hängt von der Tiefe ab, da
die Luft, die sich in der Ausrüstung und in der
Lunge befindet mehr oder weniger stark
zusammengedrückt wird.
Kräfte beim Tauchen
3.
Welche Möglichkeit muss demnach bei einer Tauchausrüstung
vorgesehen sein?
•
Damit sich der Taucher in verschiedenen Tiefen in der Schwebe befinden kann,
muss die Auftriebskraft veränderbar sein. Eine sogenannte Tarierweste dient dem
Ausgleich der Volumenänderung z.B. des Neoprenanzuges, die dieser aufgrund
wechselnder Tauchtiefen erfährt.
Kräfte beim Tauchen
4.
Der Taucher schwebe in einer Tiefe von 15 m. Das Luftvolumen in
seiner Weste, dem Neoprenanzug und der Lunge, das dem
Schweredruck ausgesetzt ist, betrage 13 Liter. Ohne zu atmen begibt
sich nun der Taucher durch Schwimmbewegungen in eine Tiefe von
16m. Welche resultierende Kraft (Betrag und Richtung) wirkt auf den
Taucher in der neuen Tiefe? Was wird passieren, wenn sich der
Taucher nun nicht mehr bewegt?
•
Berechnung des Druckes in den Tiefen 15m und 16m:
pges  pluft   wasser  g  h
pges,15  (1,0  105  1,0  103  10  15) Pa  2,5  105 Pa
•
analog: pges,16 = 2,6· 105 Pa
Berechnung des Luftvolumens in der Tiefe 16m:
 V16 
p15  V15
p16
 V16 
2,5  13
l  12,5l
2,6
•
p16· V16 = p15· V15
•
Änderung der Auftriebskraft DFa: DFa  Fa ,15  Fa ,16   wasser  g  (V15  V16 )
•
DFa  1,0  103  10  0,5  103 N  5,0 N
Die resultierende Kraft zeigt nach unten. Der Taucher würde immer schneller weiter
nach unten sinken.
Kräfte beim Tauchen
5.
Was kann der Taucher tun, damit er ohne Kraft in 16 m Tiefe
bleiben kann?
•
Der Taucher muss die Auftriebskraft erhöhen, indem er seine Tarierweste aufbläst
6.
Welche Richtung hat die resultierende Kraft auf den Taucher, wenn
er nicht um einen Meter tiefer, sondern um einen Meter höher geht.
•
Die resultierende Kraft zeigt nach oben. Würde er nichts unternehmen, so würde
er immer schneller nach oben tauchen, was u. U. ungesund ist.
7.
Die Gleichgewichtslage eines "austarierten" Tauchers wird als labil
bezeichnet. Warum ist das gefährlich?
•
Die Folgen des labilen Gleichgewichtes wurden in den Teilaufgaben d. und f.
angesprochen. Man muss also ständig auf der Hut sein. Würde z.B. ein Taucher
ohnmächtig, hätte das schnelle Auf- oder Abtauchen fatale Folgen. Darum sollte
man Tauchgänge nie alleine unternehmen.
Energiebilanz beim Skifahrer
Ein Skifahrer steht oben am Hang und fährt diesen hinunter, dabei
wandelt er die zuvor durch Lift oder Steigarbeit gewonnene
potentielle Energie (violett) in kinetische Energie (rot) um. Ein Teil
dieser kinetischen Energie wird durch Reibungsarbeit (orange) der
gesamten mechanischen Energie (grün) entzogen. Ist der Skifahrer
am Ende des Hangs, so hat er seine gesamte potentielle Energie
verbraucht. Der Rest der mechanischen Energie ist reine
kinetische Energie und wird durch Reibungsarbeit immer kleiner,
bis der Skifahrer steht.
Energiebilanz beim Skifahrer
1.
Warum nimmt die potentielle Energie mit der Zeit nicht gleichmäßig
ab?
•
Die Abnahme der potentielle Energie nimmt mit der Zeit zu, da der Skifahrer
schneller wird und dadurch pro Zeitintervall mehr Höhe verliert.
2.
Warum ist die Reibungsarbeit bei größerer Geschwindigkeit
größer?
•
Grund 1: Da der Skifahrer bei größerer Geschwindigkeit mehr Weg pro Zeit
zurücklegt, ist die Reibungsarbeit im gleichen Zeitintervall bei größerer
Geschwindigkeit größer auch wenn die Reibungskraft von der Geschwindigkeit
unabhängig wäre.
Grund 2: Neben der Reibungsarbeit an der Skilauffläche, die nahezu unabhängig
von der Geschwindigkeit ist bremst auch die Luftreibung (Luftwiderstandskraft)
den Skifahrer, diese wächst mit zunehmender Geschwindigkeit.
•
Stabhochsprung
•
Der Weltrekord im Stabhochsprung liegt bei 6,14 m (Bubka,
31.7.1994).
Diskutieren Sie, ob eine wesentliche Verbesserung dieses
Wertes möglich ist.
•
Antwort: 10 m wird wohl niemand jemals überspringen, aber ein paar
Zentimeter höher geht es vielleicht ja doch noch.
Begründung: Sprinter erreichen Maximalgeschwindigkeiten von etwa v = 10
m/s. Wird die zugehörige kinetische Energie vollständig in Lageenergie
umgesetzt, so ergibt sich eine Höhendifferenz von h = v²/2g = 5,1 m.
•
Stabhochsprung
•
Die Sprunghöhe kann größer als 5,1m sein, weil
a.
der Schwerpunkt des Springers beim Absprung bereits rund 1m über dem
Boden liegt,
b.
der Schwerpunkt bei richtiger Körperhaltung sogar knapp unter der
Latte durchgehen kann,
c.
mit Hilfe der Beinmuskeln beim Absprung und der Armmuskeln während
der Aufstiegsphase ähnlich wie bei einem Aufschwung am Reck die
Lageenergie erhöht werden kann.
•
Die Sprunghöhe kann aber auch kleiner als 5,1m sein, weil
a.
mit dem Stab die Laufgeschwindigkeit v = 10m/s nicht erreichbar ist,
b.
die Bewegungsenergie beim Überqueren der Latte nicht gleich Null ist,
also nicht die gesamte Bewegungsenergie in Lageenergie umgewandelt
werden kann,
c.
der Stab mit einem Wirkungsgrad kleiner Eins einen Teil der Energie
zwischenspeichert,
d.
ein Teil der Bewegungsenergie durch Reibung in Wärme umgesetzt wird.
Bungeejumping
•
•
Ein Bungee-Seil hat eine Federkonstante D=50 N/m.
Wie lang muss dieses Gummiseil bemessen sein, wenn ein
Springer (m = 70 kg) bei einem Sprung aus 100 m Höhe gerade
noch über dem Boden abgebremst werden soll? Vernachlässigen
Sie dabei den Luftwiderstand und die Masse des Seiles. Nehmen
Sie weiterhin an, dass für den Dehnungsvorgang des Gummiseiles
das Hookesche - Gesetz (F = -Dx) gültig sei. (g = 9,81 ms-2.)
1
 D  ( L  x) 2
2
2m g  L
 L2  2  x  L  x 2
D
m g L 
x1, 2  L  L2 
2m g  L
D
x1, 2  100m  52,41m
 x1  47,59m
Speedski
•
Die Sportart Speedski gibt es seit 1930, damals lag der Rekord
bei 128 km/h. Rund 200 Läufer weltweit betreiben heute diese
Sportart, darunter auch Frauen. Deren Weltrekord steht bei 234
km/h. Eine Streckenlänge im Wettbewerb beträgt rund 800
Meter plus weitere 800 Metern zum Abbremsen. Der Start
erfolgt von einem Turm, ähnlich wie beim Skispringen. Auf 50
Metern wird die Geschwindigkeit gemessen. Im Folgenden ist
ein Artikel von P. Ehrenberg wiedergegeben (DIE WELT vom
11. März 2000). Lesen Sie sich diesen Artikel durch und
beantworten sie anschließend die Fragen.
Speedski
Lyon - Die auf Bahnhöfen
stets
anzutreffenden
Müßiggänger setzten verdutzt
die Bierdosen ab ...Vor dem
französischen
Höchstgeschwindigkeits-Zug
TGV posierte Harry Egger.
Der 34 Jahre alte Österreicher
ist
Weltrekordhalter
im
Speedski. Mit 248,105 km/h
raste EGGER im vergangenen
Jahr einen Hang in Les Arcs
hinunter und war damit
schneller als der TGV, der die
Strecke von Paris nach Lyon
mit 245 km/h befährt.
Ab Sonntag will EGGER in
den französischen Südalpen
oberhalb
von
Vars
die
magische
250-km/h-Grenze
knacken - beim Wettbewerb
»Red Bull Ultimate Limit«
konkurriert er mit 30 weiteren
Speedskifahrern. Die Clique
erfreut
sich
eines
zweifelhaften Rufes: Sie gilt
als Ansammlung lebensmüder
Draufgänger
ohne
Knautschzone.
Speedski
Dem
widerspricht,
wie
akribisch sich Egger, der diese
Extremsportart
seit
1987
betreibt,
auf
seine
Rekordversuche vorbereitet.
Zwei Jahre dauerte die
Entwicklung
seiner
Rennkleidung, die rund 300
000 Mark kostete und an
deren Herstellung mit dem
Aerodynamiker Gerge Bienz
auch ein ehemaliger NASAIngenieur beteiligt war. Vom
Knie bis zu den Stiefeln trägt
er Karbonfiberglas-Spoiler, die
in ihrer Seitenansicht an
Flugzeugflügel erinnern. ...Der
ansonsten 108 Kilogramm
schwere Osttiroler wiegt dann
130 Kilo. Inklusive des Helms
aus Kevlar, der ihn allerdings
kaum schützt: »Das könnte
nur eine Lederkombi und ein
Vollvisierhelm, aber dann
wäre ich zu langsam«, räumt
Egger ein.
Zwei Mal in seiner Karriere
stürzte der tollkühne Artist, der
gerne von einem Startturm
und bei einem Gefälle von 100
Prozent am Berg Richtung Tal
rast, schwer: 1992 beim
Demonstrationswettbewerb
während der Olympischen
Winterspiele in Albertville und
1995. Auf wundersame Weise
erlitt Egger dabei keine
Knochenbrüche. Schmerzhaft
waren
die
Verletzungen
dennoch:
»Ich
hatte
Verbrennungen
dritten
Grades.« ...
Speedski
Keinen
Gedanken
verschwendete er darum je an
das Aufhören. Wenn seine
192 Zentimeter Körpergröße
beim Speedskilauf geduckte
65 Zentimeter zusammen
schrumpfen und er in weniger
als sieben Sekunden auf 200
km/h beschleunigt - ein Wert,
den nicht einmal ein Porsche
911 erreicht -, »dann bist du in
einer
anderen
Welt«,
schwärmt
EGGER,
»du
denkst, du fliegst, und es ist
trotzdem der stillste Moment
in deinem Leben.« ...
Speedski
1.
•
•
Wie groß ist die kinetische Energie von Harry Egger, wenn er seine
Weltrekordgeschwindigkeit von 248 km/h erreicht? Welchen
Höhenunterschied würde er zurücklegen, wenn er völlig reibungsfrei
fahren würde?
km 248 m
m

 68,9
Umrechnung der Geschwindigkeit: v  248
h
3,6 s
s
Für die kinetische Energie gilt:
Ekin 
•
1
1
 m  v 2  Ekin   130  68,92 J  309kJ
2
2
Bei Reibungsfreiheit wird die gesamte potenzielle Energie in kinetische Energie
umgewandelt:
E pot,1  Ekin
1
v2
68,92
2
m  g  h*   m  v  h* 
 h* 
m  242m
2
2 g
2  9,81
•
Bei Reibungsfreiheit müsste der Höhenunterschied nur 242 m betragen.
2.
Es ist zu lesen, dass die Gesamtstrecke zum Beschleunigen 800 m
beträgt. Lässt man die Messstrecke von 50 m außer Acht, bleiben 750 m
als Beschleunigungsstrecke. Bei völlig reibungsfreier Fahrt - welcher
Hangwinkel würde dann genügen? (Benutzen Sie dazu das
Höhenergebnis aus a)
sin  
h
242
 sin  
 0,323    19
l
750
Speedski
3.
•
Wie Harry Egger berichtet, fährt er am liebsten bei 100 % Gefälle.
Welchem Hangwinkel entspricht dies? Welcher Höhenunterschied wird
zurückgelegt, wenn man die Beschleunigungsstrecke von 750 m
beibehält? Wie groß ist dann die umgewandelte potenzielle Energie?
Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Wert für die kinetische Energie
aus a). Wie groß sind die Energieverluste? Wo treten diese auf?
Bei einer Steigung von 100% gilt h = b, also: =45°
h2  b2  l 2  2  h2  l 2  h 
•
1
750
h
m  530m
2
2
Die umsetzbare potenzielle Energie beträgt dann:
E pot, 2  m  g  h  E pot, 2  130  9,81  530 J  676kJ
•
Die dabei festgestellte kinetische Energie ist nur ca. 46% dieser potenziellen
Energie: 100%  309
676
 46%
•
Der Energieverlust durch Reibung ist somit 676 kJ - 309 kJ = 367 kJ
4.
Berechne die mittlere Beschleunigung von Egger bei seinen
Rekordversuchen aus den obigen Angaben.
200
km
m
Dv
55,6 m
m
 55,6  a 
a
8 2
h
s
Dt
7 s
s
Speedski
Hinweis:
•
Im April 2001 war folgende Meldung zu lesen:
Ein Sturz des Weltrekordhalters Harry Egger und der Verzicht
des Franzosen Philippe Billy brachten das vorzeitige Ende des
Versuches, erstmals auf Skiern die Schallmauer von 250 km/h
im österreichischen Skigebiet von Lech am Arlberg zu
durchbrechen.
Armbeuger
Nebenstehendes Prinzipbild zeigt den
menschlichen Unterarm.
•
Tipp: Ein Muskel kann sich nur um ca. 30%
seiner Länge zusammenziehen
1.
Entscheide, ob es sich bei dem skizzierten
Problem um einen ein- oder zweiseitigen
Hebel handelt.
•
2.
Es handelt sich um einen einseitigen Hebel, da die
zu betrachtenden Kräfte alle auf der gleichen Seite
vom Drehpunkt angreifen.
Stelle mit den in der Skizze angegebenen
Größen eine allgemeine Beziehung zwischen
der Gewichtskraft (Fg) und der Kraft, die der
Beugemuskel aufbringen muss (F1) her.
•
Im Gleichgewichtsfall gilt:F1· l1 = F2· l2
Fg  l2
daraus folgt:
F1 
l1
Armbeuger
3.
Berechne F1 für Fg = 5,0 N; l2 = 40 cm
und l1 = 5,0 cm
• F1 
4.
5,0  40
N  40 N
5,0
Der Beugemuskel muss zum Anheben
einer Last eine größere Kraft
aufbringen als die Gewichtskraft der
Last. Dieser „Nachteil“ ist durch das
relativ kleine l1 bedingt. Welchen
„Vorteil“ hat der kleine Wert von l1 für
den Hebevorgang?
•
Der Unterarm soll in einem weiten Bereich
auf und ab bewegt werden können.
Aufgrund der begrenzten
Kontraktionsfähigkeit des Muskels ist dies
nur gewährleistet, wenn l1 relativ klein ist.
Das Fußgelenk des Menschen
Belastung der Achillessehne
• Der menschliche Fuß ist ziemlich
kompliziert aufgebaut. Wir wollen ihn
stark vereinfacht als einen um D
drehbaren Hebel auffassen. An einem
Ende dieses Hebels (an der Ferse)
greift die Achillessehne (blau) an.
• Im Weiteren soll nun abgeschätzt
werden, welche Kraft die
Achillessehne aufbringen muss, damit
eine Person
(m = 70 kg) auf einem Fuß einen
Zehenstand (Kontaktpunkt mit dem
Boden B) machen kann.
Das Fußgelenk des Menschen
1.
Welche Kraft FB übt die Person beim einbeinigen
Zehenstand auf den Boden und umgekehrt der
Boden auf den Fuß im Punkt B aus?
•
2.
Im Punkt B drückt die Gewichtskraft
Fg = m · g => Fg ~ 700 N auf den Boden. Der Boden
seinerseits übt die Kraft
FB ~ 700 N nach oben auf den Fuß aus.
Damit die Ferse nicht auf den Boden kommt, zieht
der an der Achillessehne befestigte Wadenmuskel
den Fuß um den Drehpunkt D nach oben und
drückt dabei gleichzeitig den Unterschenkel
zusätzlich zu seiner Gewichtskraft des Menschen
nach unten gegen das Fußgelenk D. Die Kraft FS
auf die Achillessehne kann man berechnen, wenn
man den Fuß als zweiseitigen Hebel mit dem
Drehpunkt D und der in B angreifenden Kraft FB
betrachtet. Die nötigen Hebelarme sind der
Zeichnung zu entnehmen. Dabei ist davon
auszugehen, dass die Distanz zwischen Ferse und
Zehenspitze bei der Person a = 25 cm ist.
4,0
a
•
FS · aS = FB · aB => FS  FB  B (1)
FS  700 
N  1,7kN
aS
1,7
Das Fußgelenk des Menschen
3.
Welche Kraft tritt bei dem Zehenstand im Punkt D
(oberes Fußgelenk) auf?
•
Die Kraft im Punkt D ist die Summe aus FS und FB,
die, da nahezu parallel, direkt addiert werden können.
(Kräfteparallelogramm ergibt etwa den gleichen Wert)
FD = FS + FB
FD = 1,7 kN + 0,7 kN = 2,4 kN
4.
Warum wird die Belastung der Sehne geringer, wenn
die Ferse möglichst weit vom Boden abhebt?
•
Wenn die Ferse weiter vom Boden abhebt, verringert
sich der Hebelarm aB und somit wegen Gleichung (1)
auch die Kraft FS mit der die Sehne ziehen muss.
Kräfte bei der Kniebeuge
Kräfte bei der Kniebeuge am Knie
• Betrachtet man das Kniegelenk als
Drehpunkt, so greift auf der linken Seite
des Hebels im Schwerpunkt SR,S von
Rumpf und Oberschenkel die
Gewichtskraft von Rumpf und
Oberschenkel FR,S an. Sie beträgt ca.
85% der Gewichtskraft FG der Person.
Kräfte bei der Kniebeuge
1.
Die Patellasehne greift im Abstand ap
vom Drehpunkt D an, der Hebelarm der
Kraft FR,S ist aRS.
Es gilt etwa aRS : ap ~ 5. Berechne wie
viel Prozent der Gewichtskraft FG die
Kraft FP, die in der Patellasehne auftritt,
ist.
•
0,85 · Fg · ars = FP · ap => Fp  0,85  Fg  aRS
ap
Fp  0,85  Fg  5  4,25  Fg
Die Kraft auf die Patellasehne ist ungefähr 425%
der Gewichtskraft.
2.
Wie viel Prozent der Gewichtskraft FG
beträgt die Kraft im Kniegelenk?
•
Die Kraft auf das Kniegelenk ist somit
FKnie= FR,S + Fp = 5,1 · Fg.
Die Kraft im Kniegelenkt ist etwa die
fünffache Gewichtskraft.
Kräfte bei der Kniebeuge
Kräfte bei der Kniebeuge an der Hüfte
• Betrachtet man das Hüftgelenk als
Drehpunkt, so greift auf der linken Seite
des Hebels im Punkt SH die Kraft FH an,
auf der rechten Seite wirkt im Punkt SR
die Gewichtskraft FR des Rumpfes. Es
gelte aR : aH = 1,5.
Kräfte bei der Kniebeuge
1.
Um welchen Faktor ist die Kraft FH, die in SH
angreift, größer als FR?
a
•
FH · aH = FR · aR => FH  FR  R  FH  FR 1,5
aH
2.
Die Gewichtskraft des Rumpfes ist ca. 70%
der gesamten Gesichtskraft FG der Person.
Wie viel Prozent der Gewichtskraft FG beträgt
die Kraft FH,K im Hüftgelenk?
•
3.
FH = 1,5· 0,70 · Fg = 1,1 · Fg =>
FHK = (1,1 + 0,70) · Fg = 1,8 · Fg
Die Kraft auf das Hüftgelenk ist ca. 180% der
Gewichtskraft.
Vergleiche die Belastung des Hüft- und
Kniegelenkes bei der Kniebeuge und ziehe
Folgerungen!
•
Die Belastung des Kniegelenkes bei einer
Kniebeuge ist wesentlich höher als die Belastung
des Hüftknochens. Man sollte nicht zu oft zu tiefe
Kniebeugen machen, da dies das Kniegelenk
schädigen könnte.
Belastung der Wirbelsäule
•
•
Bei einer normalgewichtigen Person mögen
die folgenden Daten gelten:
Gewichtskraft des Oberkörpers: Fp = 400 N,
Abstand der Rückenmuskeln von der
Wirbelsäule: 5 cm,
Abstand des Schwerpunktes von der
Wirbelsäule: 3 cm
Belastung der Wirbelsäule
1.
Damit die Person ihren Oberkörper im Gleichgewicht
halten kann, muss das rechtsdrehende Moment,
welches von der Gewichtskraft des Oberkörpers
bewirkt wird und das linksdrehenden Moment,
welches durch die Muskulatur zustande kommt gleich
groß sein. Berechne hieraus die notwendige
Muskelkraft Fm und die Kraft FLW, welche die
Lendenwirbelsäule belastet.
Fm  am  Fp  a p  Fm 
ap
3
 Fm  400  N  240 N
am
5
FLW  Fp  Fm  FLW  400 N  240 N  640 N
Skispringen
•
Ein Skispringer gleitet im Schwerefeld
der Erde (g = 9,81 ms-2) reibungsfrei die
skizzierte Schanze hinab. Die Schanze
wird durch eine Gerade der Länge l und
einen Kreisbogen (Radius R) mit
horizontaler Tangente am Absprungtisch
beschrieben. Der Aufsprunghügel ist eine
schiefe Ebene mit einem Winkel β zur
Horizontalen.
g = 9,81 ms-2; l = 50 m; R = 20 m;
α = 45° und β = 30°
1.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit
beim völlig passiven Absprung
E pot
m  v2
m
 Ekin  m  g  h 
 v  2  g  h  28,44
2
s
Skispringen
2.
Berechnen Sie die Sprungweite W sx  v0  t
H
sx
H
2 H
2 H

W
t
 sx  v0 
sin( 90   ) sin 
sin 
g
g
2  H H  sin( 90   )
2  H H 2  sin 2 (90   )
v0 



2
g
sin 
g
sin 2   v0
H
g  sin 2 (90   )
2  v0 sin 2 

H 
 54,95m
2
2
2
2
H
g  sin (90   )
2  sin   v0
2
H
2  v0  sin 
W 

 109,9m
2
sin  g  sin (90   )
2
3.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit bei der Landung am
Aufsprunghang
m  v2
E pot  Ekin  m  g  hges 
m
2
 v  2  g  hges  43,3
s
hges  H  h  96,1626m
Simulation
EQUATIONS OF MOTION
 x   Fd  cos  Fl  sin   m1
 y   Fd  sin  Fl  cos  m1  g
x   x
y   y
Fl 

2
 Lw
2

L = L(t)
D = D(t)
  
wu v
  p R T
Fd  2  D  w2
w … relative wind velocity
u … wind velocity
v … velocity of motion
REFERENCE
JUMP A
Lift area L = L (t) and
drag area D = D (t)
are functions of the
athlete‘s body
configuration which
changes during the
flight time.
The computer model
uses the lift and drag
areas measured in
the wind tunnel as
input values.
Lift area L to drag
area D ratio for
reference jump A
SIMULATION RESULTS
Flight trajectory
y = y (x)
Velocity of motion v
Horizontal velocity vx
Lift and drag forces
Fl and Fd
during the flight
(as a function of x).
Speerwurf
Ein Speerwerfer kann seinem Speer allein durch seinen Anlauf
(ohne besonderen Armzug beim Abwurf) eine
Anfangsgeschwindigkeit v1 = 10 m/s erteilen. Ohne Anlauf - nur
durch einen kräftigen Armzug - kann er seinem Speer eine
Anfangsgeschwindigkeit v2 = 23 m/s mitgeben. In jedem Fall erfolge
der Abwurf unter eine Winkel von 45° gegenüber der Horizontalen.
Hinweis:
Der Auftrieb des Speers und die Abwurfhöhe über dem Erdboden
werden außer Acht gelassen.
Speerwurf
1.
Auf welche Weite kommt der Speerwerfer, wenn er seinem
Speer nur durch den Anlauf die Geschwindigkeit v1 erteilt?
•
geg.: yo = 0; vo1 = 10 m/s; α = 45°
Zeit-Ort-Funktionen:
y(t) = v·sin(α)·t– ½·g·t2; x(t) = v·cos(α)·t
Bestimmung der Fallzeit tf :
y(t) = 0; => 0 = v·sin(α)·tf– ½·g·tf2 => 0 = tf ·( v·sinα - ½·g·tf)
Hieraus folgt:
tf1 = 0 (dies ist der Zeitpunkt des Abwurfes)
v·sinα - ½·g·tf2 = 0; => t f 2 
2  v  sin 
g
Bestimmung der Wurfweite xw:
Wurfweite nur durch Anlauf ohne Armzug:
2  v2
xw = v·cos(α)·tf2; => xw 
 cos   sin 
g
v2
102
da cosα·sinα = ½·sin(2α) folgt: xw 
 sin( 2 )  xw 
 sin( 2  45)m  10m
g
9,81
Speerwurf
Wie weit fliegt der Speer, wenn der Sportler aus dem Stand wirft?
2.
•
Wurfweite bei Standwurf mit kräftigem Armzug :
232
xw 2 
m  54m
9,81
Um wie viel Meter fliegt der Speer – gegenüber dem reinen
Standwurf – weiter, wenn der Sportler den Speer aus vollem
Anlauf und zusätzlich mit kräftigem Armzug abwirft?
3.
•
Wurfweite bei vollem Anlauf und kräftigem Armzug:
xw2
332

m  111m
9,81
Der Speer fliegt gegenüber dem reinen Standwurf um 111m - 54m = 57m
weiter!
Simulation
Golfschlag
1.
Auf welche Geschwindigkeit v0B wird der Ball (m = 47 g) durch
einen Golfschlag gebracht, wenn der Abschlagwinkel 45° und
die Flugweite 400 m beträgt?
Der Zusammenhang zwischen Wurfweite und Ballgeschwindigkeit ist gegeben
durch:
v20B
xw 
 sin( 2 )
g
v0 B  g  xw  v0 B  63
•
m
km
 227
s
s
Den längsten Golfschlag (laut Guinness-Buch) erzielte Kelly
Murray 1990: Der Ball flog (und rollte) 684,8 yards (ca. 610 m)
über eine Flughafen-Landebahn.
Den längsten Abschlag in einem Turnier auf einem Golfplatz
erzielte Mike Austin mit 515 yards (ca.460m).
Golfschlag
2.
Mit welcher Geschwindigkeit v0S wurde der Schläger vom Spieler
durchgeschwungen?
Hinweis:
Gehen Sie davon aus, dass die Masse des geführten Schlägers
als sehr groß gegenüber der Masse des Golfballs angenommen
werden kann. Betrachten Sie den elastischen Stoß zwischen Ball
und Schläger zunächst im Bezugssystem des Schlägers.
•
•
Im Laborsystem ruht der Ball und der Schläger hat die Geschwindigkeit v0S.
Im "Schlägersystem" ruht der Schläger und der Ball bewegt sich mit der
Geschwindigkeit -v0S auf den Schläger zu. Beim elastischen Stoß mit dem "sehr
schweren" Schläger wird der Ball "reflektiert" und hat im "Schlägersystem" dann
die Geschwindigkeit +v0S.
Das "Schlägersystem" bewegt sich gegenüber dem Laborsystem mit der
Geschwindigkeit +v0S. Vom Laborsystem aus betrachtet hat also der geschlagene
Ball die Geschwindigkeit v0B = v0S + v0S = 2·v0S
Daraus folgt, dass die Schlägergeschwindigkeit halb so groß ist wie die
Ballgeschwindigkeit: v0S = 32 m/s = 115 km/h
•
•
Golfschlag
3.
Schätzen Sie die Größenordnung der Kontaktzeit von Ball und
Schläger ab, wenn der Ball maximal Δxmax = 5 mm deformiert
werden kann. Gehen Sie davon aus, dass der Schläger
ungehindert in den Ball eindringt. Wird die tatsächliche Kontaktzeit
größer oder kleiner sein, als die oben berechnete?
•
Die einfachste Abschätzung besteht darin, dass sich der Schläger mit v0S
ungehindert längs der Strecke Δxmax bewegt:
Dxmax
•
Dxmax
5 103
 v0 S  Dt  Dt 
 Dt 
s  0,15ms
v0 S
32
Die tatsächliche Kontaktzeit wird länger sein, da der Ball verformt werden muss
(Gegenkraft). Es wird die Bewegung verzögert, so dass es länger dauert, bis der
Ball die Strecke Δxmax zusammengedrückt wird.
Golfschlag
4.
Welche durchschnittliche Kraft wirkt bei diesem Schlag auf den
Ball ein? Verwenden Sie für die Berechnung der Kontaktzeit die
relativ genaue Formel:
Dxmax
tk   
v0 S
•
Berechnung der durchschnittlichen Kraft:
tk = π·Δt; tk = 0,50 ms;
m  Dv
47 103  63
F  Dt  m  Dv  F 
F 
N  6,0kN
3
Dt
0,50 10
Simulation
Weitsprung
•
Ein Weitspringer (m = 70 kg) möchte seinen besten Sprung
physikalisch genauer untersuchen. Dazu ermittelt er aus
Filmaufnahmen die geometrischen Verhältnisse während des
Sprungs. Sie sind in der folgenden Abbildung dargestellt, wobei
s1 = 1,10 m und s2 = 1,00 m betragen. Für die Winkel gilt:
α = 25°, ß1 = 60° und ß2 = 25°. Die Abfluggeschwindigkeit des
Körperschwerpunktes sei v = 9,0 m/s.
Weitsprung
1.
Welche horizontale Weite xw legt der Körperschwerpunkt des
Springers zurück? Drücken Sie xw zunächst allgemein durch v, g, α,
h1 und h2 aus.
•
•
•
Bewegungsgleichungen:
x = v0x·t; y = v0y ·t – ½·g·t2 + (h1 – h2)
Durch Elimination von t erhält man die Bahngleichung:
y
•
v0 y
v0 x
x
g
 x 2  (h1  h2 )  Bahngleich ung
2
2  v 0x
Um die Weite xw zu erhalten, muss man ausnützen, dass dort y(xw) = 0 ist. Dies
führt zu der folgenden Gleichung:
2
2

v
2

v

v
0 x  ( h1  h2 )
0y
0x
2
x w
 xw 
g
g
Weitsprung
•
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung in xw erbringt als physikalisch
sinnvolles Ergebnis:
v0 x v0 x  v0 y
xw  2  g  (h1  h2 ) 

g
g
•
Durch Umformung erhält man:
2  v0 x  v0 y 1 1
2  g  (h1  h2 )
xw 
(   1
)
g
2 2
v 20 y
•
Mit v0x = v·cosα und v0y = v·sinα und der Beziehung 2·sinα·cosα = sin(2α) erhält
man:
v2
1 1
2  g  (h1  h2 )
xw   sin( 2 )  (   1  2
)
2
g
2 2
v  (sin  )
Weitsprung
2.
Welche horizontale Weite x* erreicht der Springer insgesamt?
•
•
Bestimmung der horizontalen Weite x* (insgesamte Weite):
Mit h1 = s1·sinß1; h1 = 0,95 m; und h2 = s2 ·sinß2; h1 = 0,46 m; ergibt sich für xw =
7,24 m;
Somit ist x*:
x* = s1 ·cosß1 + xw + s2 ·cosß2; => x* = 8,70 m
•
•
3.
Wie groß waren dann im Augenblick des Absprungs die
Horizontalkomponente vx und die Vertikalkomponente vy der
Abfluggeschwindigkeit seines Körperschwerpunktes?
•
•
•
Ermittlung der Geschwindigkeitskomponenten beim Absprung:
v0x = v·cosα ; v0x = 9,0·cos25° m/s; v0x = 8,2 m/s
v0y = v·sinα ; v0y = 9,0·sin25° m/s; v0y = 3,8 m/s
Simulation
Weitsprung
4.
Durch den Anlauf hat der Körperschwerpunkt des Weitspringers nur
eine Horizontalgeschwindigkeit. Ihr Wert ist kurz vor dem Absprung
v1x = 10 m/s (v1y = 0). Wie ist es möglich, dass der
Körperschwerpunkt des Weitspringers nach dem Absprung die unter
3) berechneten Geschwindigkeitskomponenten besitzt? Was
passiert während des Abdrucks am Boden?
•
Die Absprungphase reicht vom Aufsetzen des Sprungbeins auf den Boden bis zum
Abdruck des Fußes vom Boden. In dieser Phase wirkt vom Boden her ein Kraftstoß
(F·Δt), der eine Impulsänderung des Körperschwerpunktes bewirkt.
•
Dieser Kraftstoß hat sowohl eine Horizontalkomponente, die eine Verringerung der
Horizontalgeschwindigkeit des Körperschwerpunktes von v1x auf v0x zur Folge hat
und außerdem eine Vertikalkomponente, welche dem Springer die Geschwindigkeit
voy in vertikaler Richtung erteilt.
Weitsprung
5.
Wie groß ist die Impulsänderung, die der Körperschwerpunkt
beim Absprung erfährt und von welcher Größe ist der Kraftstoß
vom Boden, der dabei auf den Körper einwirkt?
•
•
•
Berechnung der Gesamtimpulsänderung:
m·Δvx = m·(v0x – v1x); m·Δvx = - 70·1,8 Ns = - 126 Ns;
m·Δvy = m·(v0y – v1x); m·Δvy = 70·3,8 Ns = 266 Ns;
m  Dv  (m  Dvx )2  (m  Dv y )2  m  Dv  294 Ns
6.
Ermitteln Sie die durchschnittliche Größe der
Bodenreaktionskraft, wenn die Zeit des Bodenkontakts beim
Absprung Δt = 0,075 s ist.
•
Berechnung der mittleren Bodenreaktionskraft:
294 Ns
294 Ns
F  Dt  294 Ns  F 
F
 3,9kN
Dt
0,072s