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Trigonometrische
Höhenbestimmung
Beim trigonometrischen Nivellement werden
die Höhenunterschiede mit Hilfe eines
Tachymeters bestimmt (anstelle des
Nivelliergerätes beim geometrischen
Nivellement).
Hierzu werden von einem Punkt A, dessen
Höhe bekannt ist, der Zenitwinkel z und die
Schrägdistanz d zum Punkt B gemessen. Die
Höhe des Punktes ergibt sich aus:
HB = HA + Δh + i – t
Δh = d · cos z = e · cot z
Diese Methode erlaubt eine schnelle
Höhenübertragung über größere
Entfernungen. Ab einer Zielweite von über
200 Metern ist die Erdkrümmung und die
terrestrische Refraktion zu berücksichtigen.
Satz des Thales
„Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden
Endpunkten des Durchmessers eines
Halbkreises (dem Thaleskreis) und einem
weiteren Punkt dieses Kreises, erhält man
immer ein rechtwinkliges Dreieck.“
Bedingt durch die besondere Bedeutung des
rechten Winkels als Grundfigur in der
Geometrie und praktischen Konstruktion
findet dieser, dem griechischen Philosophen
und Mathematiker Thales von Milet
(um 600 v. Chr.) zugeschriebene Lehrsatz,
seit jeher Beachtung und Anwendung.
Ellipsoidische Höhen und
Normalhöhen
Vereinfacht betrachtet, nimmt die Erde die
Gestalt eines (Rotations-)Ellipsoids ein. In
diesem Modell bezeichnet die Ellipsoidische
Höhe HE den metrischen Abstand eines
Punktes P zur Ellipsoidoberfläche gemessen
entlang der Ellipsoidnormalen. Diese Höhen
werden zum Beispiel bei GPS-Messungen
ermittelt. Die tatsächliche Niveauoberfläche
(eine gedachte durchgängige ruhende
Wasserfläche) ist jedoch nicht gleichförmig,
da die Massenverteilung innerhalb des
Erdkörpers ungleichmäßig ist. Das
Quasigeoid ist ein durch Messungen
bestimmtes Modell, welches sich dieser
Niveaufläche annähert und so genannte
Normalhöhen HN (m ü. NHN) liefert. Bei
bekannten Quasigeoidundulationen N können
ellipsoidische Höhen HE in Normalhöhen HN
umgerechnet werden und umgekehrt.
HE = HN + N ; N = Quasigeoidundulation
Klothoide
Die Klothoide (v. griechisch „spinnen“) ist eine
spezielle ebene Kurve. Der Krümmungsradius
dieser Kurve ist umgekehrt proportional zur
Länge des Bogens:
r = a2 , a > 0
l
wobei r der Krümmungsradius, l die Länge
des Bogens und a eine Konstante ist. Die
Größe des Parameters a kennzeichnet eine
Klothoide eindeutig. Alle Klothoiden sind
einander ähnlich.
Die Klothoide wird z. B. als Übergangsbogen
bei Kurven im Straßenbau eingesetzt. Ihr
Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient
einer ruckfreien Fahrdynamik. Der Fahrer hat
den Vorteil/Komfort, im Kurvenverlauf
gleichmäßig am Lenkrad drehen zu können,
ohne dabei die Geschwindigkeit ändern zu
müssen.
Kleinpunktberechnung
Eine klassische Messmethode ist das so
genannte Orthogonalverfahren. Hierbei
werden neu zu bestimmende (Klein-)Punkte
auf eine vorhandene Messungslinie
orthogonal (rechtwinklig) aufgemessen, indem
der orthogonale Abstand d des Punktes Pi
von der Messungslinie (das Lot) und der
Abstand S f des Lotfußpunktes vom
Anfangspunkt PA gemessen werden.
Sind die Koordinaten der Endpunkte der
Messungslinie bekannt, können die
Koordinaten der Kleinpunkte durch
Umrechnung bestimmt werden.
Yi = YA + o · sf + a · d
X i = X A + a · sf – o · d
mit den Quotienten a und o:
o = (YE – YA)
S
a = (XE – XA)
S
Grundformel eines Nivellements
Als Nivellement wird die Messung von
Höhenunterschieden zwischen Punkten
bezeichnet. Beim geometrischen Nivellement
wird der Höhenunterschied zu einem
waagerecht aufgestellten Nivelliergerät an
Nivellierlatten abgelesen.
Die Ablesung an der Nivellierlatte auf dem
bekannten Punkt wird Rückblick genannt, die
Ablesung auf dem neuen Punkt heißt
Vorblick. Die Ablesungen werden subtrahiert,
Rückblick minus Vorblick, um den
Höhenunterschied zu erhalten
Δhi = ri – vi
Cosinussatz
Der Cosinussatz stellt eine Beziehung
zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und
einem der drei Winkel des Dreiecks her.
c=
a2 + b2 – 2ab · cos γ
Praktisches Anwendungsbeispiel:
Die Strecke zwischen zwei Punkten A und B
ist gesucht, kann aber nicht direkt gemessen
werden. Die Strecke c kann nun indirekt
bestimmt werden, indem von einem seitlich
gelegenen Punkt C die Entfernungen zu den
Punkten A und B, sowie der Winkel zwischen
den beiden Punkten gemessen werden.
Durch Anwendung des Cosinussatzes kann
die gesuchte Strecke nun rechnerisch
ermittelt werden.
Höhe und Höhenfußpunkt
Die Höhe und der Höhenfußpunkt sind
wichtige Bestimmungsstücke in einem
Dreieck. Die Berechnung der Größen ist
möglich, wenn die Seiten des Dreiecks ABC
bekannt sind oder gemessen werden.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks errechnet
sich aus der Grundseite multipliziert mit der
Höhe des Dreiecks geteilt durch 2.
p = (b2 + c2 – a2)
2c
h=
b2 – p2
A=½·c·h
Trapez
Ein Trapez ist ein spezielles ebenes Viereck
mit zwei parallel zueinander liegenden Seiten.
Der Abstand der parallelen Seiten a und c ist
die Höhe h des Trapezes; sie wird von der
Mittellinie m, die die Mittelpunkte der
Schenkel b und d miteinander verbindet,
halbiert.
Das Trapez ist, neben dem Dreieck, eine der
geometrischen Grundfiguren die
insbesondere bei der Flächenberechnung
genutzt wird. Beispielsweise kann eine
Fläche, deren Eckpunkte orthogonal auf eine
Messungslinie aufgemessen wurden, direkt in
Dreiecke und Trapeze zerlegt werden, deren
Teilflächen sich dann problemlos berechnen
lassen.
m = ½(a + c)
U=a+b+c+d
F = ½(a + c) · h
Strahlensatz
Erster Strahlensatz:
Werden die von einem Punkt ausgehenden
Strahlen von Parallelen geschnitten, so
bestehen zwischen gleichliegenden
Abschnitten der Strahlen gleiche
Verhältnisse:
A
a’
b
b’
a
a + a’
b
b + b’
Zweiter Strahlensatz:
Werden die von einem Punkt ausgehenden
Strahlen von Parallelen geschnitten, so bilden
die Abschnitte auf den Parallelen und die
zugehörigen Strahlenabschnitte gleiche
Verhältnisse:
c
c’
a
a + a’
a
c
a + a’
c’
Mit Hilfe des Strahlensatzes lässt sich eine
unbekannte Strecke berechnen, wenn drei
andere Größen in dem Strahlenpaar bekannt
sind, bzw. gemessen werden.
Gauß’sche Glockenkurve
Messungen sind, abhängig von äußeren
Einflüssen und Gerätefehlern, mit
Messungenauigkeiten behaftet. Diese
Ungenauigkeiten werden durch die
Standardabweichung σ ausgedrückt. In einer
Messreihe werden sich die Ergebnisse der
Einzelmessungen um einen Erwartungswert μ
(= Mittelwert) einfinden. Die von Carl Friedrich
Gauß entwickelte Normalverteilungsfunktion
beschreibt die Verteilung der Messergebnisse
um diesen Mittelwert in Abhängigkeit von der
Standardabweichung. Hiernach lässt sich die
Aussage machen, dass ca. 68,27 % aller
Messwerte maximal um den Betrag σ vom
Mittelwert abweichen. 95,45 % aller
Messwerte haben eine Abweichung von
höchstens 2σ und 99,73 % von höchstens 3σ
vom Mittelwert.
Hier dargestellt ist die standardisierte
Normalverteilung, die den Erwartungswert μ =
0 und die Standardabweichung σ = 1 Besitzt.
f(x) = 1 · e–½ · x2
2π
Polarpunktberechnung
Sind die Polarkoordinaten (Strecke s und
Richtungswinkel t) zwischen zwei Punkten
bekannt, so lassen sich die rechtwinkligen
Koordinatenunterschiede Δy und Δx
berechnen.
Die Polarkoordinaten werden in der Regel
durch die Messung mit einem Tachymeter
bestimmt (Polaraufnahme).
Sind die Koordinaten y1 und x1 des Punktes
P1 bekannt, ergeben sich die Koordinaten
des Punktes Pi zu
yi = y1 + Δy = y1 + s · sin t
xi = x1 + Δx = x1 + s · cos t
Dieses polare Anhängen wird auch als „Erste
Geodätische Grundaufgabe“ bezeichnet.