Workshop „Mathematische Ökonomie“
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Einführung Wiederholung „Mathematische Ökonomie“ Wintersemester 2007/2008 PD Dr. Alexander Spermann Einführung Allokationsbegriffe im Überblick Allokation I Aufteilung der verfügbaren Zeit auf Arbeits- und Freizeit Allokation II Aufteilung des Einkommens auf Konsumausgaben und Ersparnis Allokation III Aufteilung der Konsumausgaben auf die einzelnen Gütergruppen Allokation IV Aufteilung des Vermögens auf die verschiedenen Anlageformen Allokation V Risikoallokation bei Entscheidungen unter Unsicherheit (Erwartungsnutzenkonzept) Allokationsbegriffe im Überblick: Grafische Präsentation Quelle: Westphal, Uwe (1988),Makroökonomik, S. 126 Verfügbare Zeit Arbeitszeit Freizeit Einkommen Ersparnis Konsumausgaben Vermögen Gütergruppen Anlageformen ........... ............ ............ ............ Einführung Einführung Modell 3 Zwei-Güter-Modell x2 c2 Modell 2 Intertemporales Modell y=c U (x1, x2) + + - p1/p2 y p1 x1 p2 x2 x2 y p 1 x1 p2 p2 Steigung der Budgetgeraden dx2 p 1 dx1 p2 Modell 1 Einkommen-Freizeit Modell U (c1, c2) + + x1 -(1+r) U (y, F) + + c1 F -w 1. Periode: y = c1+s 2. Periode: s(1+r) = c2 intertemporale Budgetrestriktion y (1+r) - (1+r) c1 = c2 T = 24 h w (T-F) = y = pc, mit T-F=N Steigung der Budgetgeraden Steigung der Budgetgeraden dc2 (1 r ) dc1 dy w dF Einführung Modell 1: Einkommen-Freizeit Modell und Arbeitsmarkt y A Kompens. Budgetgerade B C F -w (1-tL) w/p -w A => B: B => C: A => C: Empirisch: NS + F + - SE EE GE SE > EE ? NS NcS Elastizität: w, N EE SE NS s dN w dw N Einführung Modell 2: Intertemporales Modell und Kapitalmarkt c2 A => B: B => C: A => C: Empirisch: A B C c1 + - SE EE GE SE > EE c1 -(1+r(1-tR)) r S Sc Elastizität: r, EE SE S S dS r dr S s + ? Einführung Modell 3: Zwei-Güter Modell mit Gütermarkt x2 p1 p1 A => B: B => C: A => C: B C A SE EE GE x1 x2 - + ? x1 p1 t1 p2 D = Hicks-NE EE SE Elastizität: t1 p, NE= Marshall-NE x1 x dx p dp x 1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und-nachfrage Teil A: Arbeitsangebot 1. Formale Analyse des Einkommen-Freizeit Modells Nutzenfunktion: Budgetrestriktion: Y = w (T - F) U (Y, F) Y = Einkommen F = Freizeit (in Stunden) w = Lohn T = Zeit (24 Stunden) 1.1 Lagrangefunktion Z Z U (Y , F ) Y wT F 1.2. Einsetzverfahren (Lösung durch totale Ableitung) U (Y(F), F) Nutzenfunktion U in Abhängigkeit von Y und F wobei Y(F) = w(T - F) 2. Zeichnen Sie folgende Arbeitsangebotskurven in Reallohn-Beschäftigungs-Diagramme: 2.1 Elastisch 2.2 Unelastisch 2.3 Fall a: SE>EE 2.4 Fall b: SE<EE 2.5 Fall c: SE=EE Teil B: Arbeitsnachfrage 1. Gewinnmaximale Beschäftigung als Optimierungskalkül der Unternehmen Bestimmen Sie die gewinnmaximale Beschäftigung eines Unternehmens im Fall eines kompetitiven Gütermarktes in folgenden Teilschritten: 1.1 Bestimmen Sie die Umsatzfunktion (Hinweis: In einem kompetitiven Gütermarkt ist der Preis ein Datum)! 1.2 Bestimmen Sie die Gewinnfunktion bei konstantem Kapitalstock! Bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung! 1.3 Interpretieren Sie die Bedingung für die gewinnmaximale Beschäftigung für einen gegebenen Reallohn! 1.4 Bestimmen Sie und interpretieren Sie die Steigung der Arbeitsnachfragefunktion! 1.5 Drücken Sie die Arbeitsnachfragefunktion als Inverse der Bedingung erster Ordnung aus! Die erste Ableitung der inversen Funktion x entspricht dem Reziprok der 1. Ableitung der originären Funktion y: dx 1 y f ( x) dy dy dx x f 1 ( y ) Musterlösung 1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und -nachfrage Teil A: Arbeitsangebot 1.1 Lagrangefunktion Z Z U (Y , F ) Y w T F 1 Z UY 0 wobei UY U Y 2 Z U F w 0 wobei UF U F Y F 1 und 2 nach auflösen, daraus folgt: 1 U Y 2 U F w 1 und 2 gleichsetzen / multiplizieren mit 1/w UY U F w U F UY w 2 U F w 1.2. Einsetzverfahren (Lösung durch totale Ableitung) U (Y ( F ), F ) Nutzenfunktion U in Abhängigkeit von Y und F wobei Y ( F ) w(T F ) dU dY UY UF 0 dF dF UY dY U F dF dY U F UY dF dY w , da die Budgetrestriktion Y w(T F ) lautet. dF w U U F Y wU U F Y w 2.1 w w 2.2 2.3 NS NS NS N N w w 2.4 NS N 2.5 NS N N CS (kompensiert) N Musterlösung 1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und -nachfrage Teil B: Arbeitsnachfrage 1. Gewinnmaximale Beschäftigung als Optimierungskalkül der Unternehmen Bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung im Fall eines kompetitiven Gütermarktes in folgenden Teilschritten 1.1 Bestimmen Sie die Umsatzfunktion (Hinweis: In einem kompetitiven Gütermarkt ist der Preis ein Datum!) R ( q ) pq q q f ( L, K ) fL 0 f LL 0 1.2 Bestimmen Sie die Gewinnfunktion bei konstantem Kapitalstock! R(q) c pq wL r K p f ( L, K ) w L r K L 1.3 Bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung! d p fL w 0 dL pf L w fL w p 1.4 Interpretieren Sie die Bedingung für die gewinnmaximale Beschäftigung für einen gegebenen Reallohn! Fall 1: fL Fall 2: w L p fL w L p 1.5 Bestimmen Sie und interpretieren Sie die Steigung der Arbeitsnachfragefunktion! w/p f LL 0 L 1.6 Drücken Sie die Arbeitsnachfragefunktion als Inverse der Bedingung erster Ordnung aus! Beispiel für die Konstruktion einer Inversen dx 1 5 dy 15 1 dy y f (x) x 25 1 5 5 dx x f 1 ( y ) 5 y 25 y x 45 0 y x Übertragung auf Konstruktion der ArbeitsNE-funktion w/p L w L f L1 ( ) p 45 0 w fL p w/p L Die erste Ableitung der inversen Funktion x entspricht dem Reziprok der 1. Ableitung der originären Funktion y: dx 1 y f ( x) dy dy dx x f 1 ( y )
