Serie 7 ()

Theoretische Informatik 2 - Hausaufgaben Serie 6
Andreas Furtner, Christoph Böhm, Michael Hempel
(#172575 – #173585 – #159149)
Aufg. 14
a) geg.: Graph G = (V, E) mit n = |V |.
z.Zg.: ∃ 2-Approximationsalgorithmus für HAMILTON WEG.:
Sei Wopt ein optimaler Weg (also minimal). |E(Wopt )| ≥ n − 1, denn Wopt ist Weg (immer zus.-hgd.) über n
Knoten. Betrachten folgenden Algorithmus, der einen Weg der Länge ≤ 2(n − 1) liefert:
1. Starte modifizierte Tiefensuche (DFS) in beliebigen Knoten s, welche statt pred(v) ein Feld succ(v) mit
allen noch nicht besuchten Nachbarn von v ausgibt.
2. klar: DFS liefert über das Feld succ(v) einen spannenden Baum B für G mit Kantenzahl n − 1.
3. bauen Hamilton-Weg Wapx für G indem wir diesen Spannbaum entlanggehen:
4. gehe von s aus nacheinander zu allen Folgeknoten laut DFS und wieder zurück zu s. Wenn man dies
nacheinander für alle Nachbarn von s macht (und rekursiv für deren Nachbarn), werden alle Kanten von
B genau 2-mal besucht.
5. |E(Wapx )| = 2(n − 1).
6. DFS polynomial und Durchgang durch den Baum wg. 2(n − 1) Kanten ebenfalls.
Da gesuchter Algorithmus sogar nur die Länge eines Hamilton Weges ausgeben muß und obiges Verfahren
beweist, daß es in zusammenhängenden Graphen immer einen Weg der Läng 2(n-1) gibt, kann der Algo auch
direkt (ohne DFS) für zusammenhängende Graphen 2(n-1) ausgeben, falls die Eingaben auf solche Graphen
beschränkt sind. Dann sogar Laufzeit O(1) und immer noch geforderte Güte.
n
b) z.Zg: falls P 6= N P ⇒ @R-Approximationsalg. für LÄNGSTER KREIS mit R < n−1
.
(Beweis durch Kontraposition)
n
Annahme: ∃R-Algorithmus M, mit R < n−1
. Zu geg. Graphen G sei Copt ein längster Kreis. M ist für G in
|C
|
= n−1
der Lage eine Länge > opt
n
n · |Copt | in Polynomialzeit zu liefern.
n−1
Wir benutzen M, um HAMILTONIAN in PolyZeit zu lösen:
n−1
Fall 1: G ist Hamiltonsch. Also |Copt | = n. M berechnet mindestens Länge > n−1
n · |Copt | = n · |n| = n − 1.
Wegen Länge > n − 1 folgt Länge n für die Ausgabe von M, da natürlich keine “gebrochenen” Kreise
konstruiert werden.
Fall 2: G nicht Hamiltonsch. Dann hat G keinen Kreis der Länge n. Also kann auch M keinen Kreis der Länge
n finden und gibt eine Zahl < n aus.
⇒: Setzte M auf G an, bei Erg. n ist G Hamiltonsch, sonst nicht.
⇒: M entscheidet HAMILTONIAN in Polynomialzeit und da HAMILTONIAN N P -vollständig folgt P = N P .
Widerspruch zur Vorraussetzung.
Also kann es unter dieser Voraussetzg. keinen solchen Algorithmus geben.
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Th3 HA Serie 4
Andreas Furtner #172575
Ü-Gr. Do/1 14-16 bei T. Nierhoff
Christoph Böhm #173585
Michael Hempel #159149
Aufgabe 15
a) z.Zg.: Für Graphen mit Maximalgrad ∆ ex. ein ∆ + 1-Approximationsalgorithmus für INDEPENDENT
α(G)
SET-O. D.h. Algorithmus, muß zu Graphen G eine Zahl αapx ≥ ∆(G)+1
liefern.
Verwenden Greedy-Färbung auf G. Greedy färbt mit k Farben, wobei die Farbklassen jeweils stabile Mengen
sind. Wissen (aus Th. Inf 2), daß Greedy immer mit k ≤ ∆(G) + 1 Farben auskommt, also maximal ∆(G) + 1
Farbklassen liefert. Suchen Farbklasse S mit maximaler Anzahl Knoten und bestimmen αapx = |S|:
|V |
|V |
|S| ≥ ∆(G)+1
, da bei ≤ ∆(G) + 1 Farbklassen mindestens eine ≥ ∆(G)+1
Elemente enthalten muß (sonst wären
|V |
|V |
∆(G)+1 − 1 < ∆(G) + 1 · ∆(G)+1 − 1 <
|V |
α(G)
α(G)
∆(G)+1 ≥ ∆(G)+1 und somit αapx ≥ ∆(G)+1 .
nur k ·
|V | Knoten gefärbt worden). Da logischerweise |V | ≥ α(G) folgt
Da Greedy in polynomieller Zeit implementiert werden kann und das Bestimmen der größten Farbklasse sowie
deren Mächtigkeit ebenfalls polynomiell ist, leistet dieser Algorithmus das Verlangte.
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