4. Übungsblatt zu Physik I - Delta

4. Übungsblatt zu Physik I
WS 2014/2015
Prof. Dr. Thomas Weis / Prof. Dr. Heinrich Päs
Abgabe im Physik Foyer
Abgabe bis Fr, 08.05.15, 10 Uhr
Ausgabe: Fr, 01.05.15
Aufgabe 1: Green-Funktion
a)
6 Punkte
Zeigen Sie Greens zweites Theorem:
I
Z
¡
¢
¡
¢
φ∇ψ − ψ∇φ · d ~
S=
φ∆ψ − ψ∆φ dV
S
(1)
V
mit Hilfe des Gauß’schen Satzes.
b)
Zeigen Sie anschließend, dass sich eine Lösung u(~
r ) der Poissongleichung ∆u(~
r ) = σ(~
r ) darstellen lässt
als
Z
Z h
i
0
0
0
u(~
r ) = G(~
r ,~
r )σ(~
r )dV (~
r )+
u(~
r 0 )∇G(~
r ,~
r 0 ) −G(~
r ,~
r 0 )∇u(~
r 0) · d ~
S(~
r ).
(2)
V
S
c)
Berechnen Sie nun die Green-Funktion G(~
r ,~
r 0 ) der Poisson-Gleichung für Dirichlet-Randbedingung
im Unendlichen 1 explizit.
d)
Bestimmen Sie jetzt unter Verwendung von (2) die Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung.
e)
Berechnen Sie anschließend mit der gleichen Methode das Potential eines geladenen Nichtleiters der
Länge l . Rechnen Sie exakt. Plotten Sie die Äquipotentiallinien in der x-y-Ebene.
Aufgabe 2: Stromdurchossener Leiter
4 Punkte
Der in der Abbildung gezeigte Leiterabschnitt werde zwischen a und b mit einem Strom I = 1, 8A durchflossen. Er befindet sich vollständig in einem homogenen Magnetfeld der Stärke
~ = 1, 2T · ~
B
ez .
(3)
a) Bestimmen Sie die gesamte Kraft, die der Draht durch das Magnetfeld erfährt.
b) Zeigen Sie, dass diese Kraft die gleiche ist, die ein gerade zwischen a und b verlaufender Draht erfahren
würde.
1 Dirichlet-Randbedingung im Unendlichen: G(~
r ,~
r 0 ) →0 für r → ∞
Aufgabe 3: Unendlicher Draht
5 Punkte
Aufgabe 4: Magnetfeld einer Spule
5 Punkte
~ im Punkt P eines unendlich langen geraden Leiters,
Leiten Sie den Zusammenhang für das Magnetfeld B
der eine Stromstärke I trägt, als Funktion des Abstandes r vom Drahtmittelpunkt auf zwei verschiedene
Arten her. Benutzen Sie hierzu
a) das Amperesche Durchflutungsgesetz
~ und einem differentiellen Drahtstück der Länge d x.
b) den Zusammenhang nach Biot–Savart zwischen d B
Integrieren Sie über alle Drahtstücke.
Betrachten Sie eine zylinderförmige lange Spule der Länge L, des Radius R und mit N Windungen.
a) Berechnen Sie das magnetische Feld entlang der Spulenachse mit Hilfe des Ampere’schen Gesetzes.
b) Berechnen Sie das magnetische Feld jetzt mit Hilfe des Biot-Savart’schen Gesetzes, indem Sie die Einzelfelder der N Windungen superponieren