4 Mengenwettbewerb und Kapazitäts

Wettbewerbstheorie und -politik
4-1
Dr. Florian Englmaier
4
Mengenwettbewerb und Kapazitätsschranken bei Preiswettbewerb
4.1 Simultaner Mengenwettbewerb
Augustin Cournot (1838)
• Spieler: zwei Anbieter, i = 1, 2.
Produzieren homogene Güter, mit Kostenfunktion Ki(xi)
• Strategien: xi ≥ 0, i = 1, 2.
Mengen werden simultan gewählt, Auktionator bestimmt
markträumenden Preis.
• Marktnachfrage: p = f(x) = f(x1 + x2)
• Auszahlungen:
π1(x1, x2) = x1f(x1 + x2) − K1(x1)
π2(x1, x2) = x2f(x1 + x2) − K2(x2)
(4.1)
(4.2)
c Monika Schnitzer 2008
Wettbewerbstheorie und -politik
4-2
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Jeder Anbieter möchte die Menge wählen, die seinen Gewinn
maximiert.
π1 = x1f(x1 + x2) − K1(x1)
max
x
1
BEO
(4.3)
∂π1
= f(x1 + x2) + x1f (x1 + x2) − K1(x1) = 0
∂x1
(4.4)
Problem
Gewinnmaximierende Menge hängt ab von der Mengenwahl
des Konkurrenten.
Betrachten Sie das folgende einfache Beispiel:
• Lineare Nachfrage: f(x1 + x2) = A − (x1 + x2)
• Konstante Grenzkosten, keine Fixkosten: Ki(xi) = cixi,
i = 1, 2, wobei c1 ≤ c2.
• Annahme: A > c1.
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Gewinnmaximierung:
max
πi = xi[A − (xi + xk)] − xici i = 1, 2 i = k
x
(4.5)
∂πi(xi, xk)
= A − xi − xk − xi − ci = 0
∂xi
(4.6)
i
BEO :
⎧
⎪
⎪
⎨
xi(xk) = ⎪⎪⎩
A−ci −xk
2
0
if xk ≤ A − ci
if xk ≥ A − ci
(4.7)
Dies wird oft Reaktionskurve genannt, Ri(xk), obwohl es
in dem betrachteten Spiel keine Möglichkeit zur Reaktion
gibt.
Cournot-Lösung: Nash-Gleichgewicht (xC1, xC2) für das gilt
xC1 = x1(xC2) = R1(xC2)
xC2 = x2(xC1) = R2(xC1)
(4.8)
(4.9)
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Interpretation: Angenommen, es gebe ein eindeutiges Gleichgewicht xC1, xC2. Dann gilt: nur wenn beide jeweils xC1 und xC2
wählen, hat keiner der beiden einen Anreiz, von dieser Menge abzuweichen (kein Bedauern ex post).
Löse für xC1 and xC2:
xC1
A − c1 − xC2
=
2
xC2
A − c2 − xC1
=
2
(4.10)
falls xC1 ≥ 0 and xC2 ≥ 0.
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Setze xC2 in xC1 ein.
2xC1
2xC1
=
xC1
−
=
2
3 C
x =
2 1
xC1 =
xC2 =
A − c2 − xC1
A − c1 −
2
A − 2c1 + c2
2
A − 2c1 + c2
2
A − 2c1 + c2
3
A − 2c2 + c1
3
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
falls xC1 ≥ 0 und xC2 ≥ 0 (innere Lösung). Dies erfordert,
dass
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A − 2c2 + c1 ≥ 0
(4.16)
da sonst xC2 < 0.
−
c1 + c2 −
c1 > 0.
Beachte: A − 2c1 + c2 > 0 , da A
>0
≥0
Falls hingegen A − 2c2 + c1 < 0, erhalten wir eine Randlösung
xC2 = 0 xC1 =
A − c1
2
(4.17)
Im Fall symmetrischer Kostenfunktionen c1 = c2 = c gibt
es nur eine innere Lösung.
xC1 =
xC2 =
A−2c+c
3
A−2c+c
3
=
=
A−c
3
A−c
3
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
2
xC1 + xC2 = (A − c)
3
(4.18)
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Reaktionskurve mit innerer Lösung
Reaktionskurve mit Randlösung
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Vergleiche mit Monopol-Menge:
max π = x(A − x) − cx
(4.19)
dπ
A−c 2
= A − 2x − c = 0 xM =
< (A − c)
dx
2
3
(4.20)
d.h. die Cournot-Menge ist größer. Vergleiche mit der BEO
des Cournot Modells:
BEO :
max π1 = x1f(x1 + x2) − K(x1)
(4.21)
∂π1
= x1 f (x1 + x2) +f(x1 + x2) − K(x1)
∂x1
−
(4.22)
Beachte: Eine Erhöhung der Menge hat einen negativen
Einfluss auf den Preis und deshalb eine negative Externalität auf den Konkurrenten. Diese Externalität wird nicht
internalisiert.
Cournot-Gewinn im symmetrischen Fall:
⎡
⎤
A−c⎢
A−c A−c
(A − c)2
⎥
⎣A − (
+
) − c⎦ =
π1 = π2 =
3
3
3
9
(4.23)
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Betrachten Sie als nächstes den Fall mit N symmetrischen
Anbietern, die im Cournot-Wettbewerb stehen. Jeder Anbieter produziert mit konstanten Grenzkosten c.
Gewinnmaximierung von Anbieter i:
max
πi = xi[A − (x1 + ... + xi + ... + xN)] − xic
x
i
BEO :
xi =
(4.24)
∂πi
= A − (x1 + ... + xi + ... + xN) − xi − c = 0
∂xi
(4.25)
A − (x1 + ... + xi−1 + xi+1 + ...xN) − c
2
(4.26)
Für jeden Anbieter i, i=1,...,N, können wir diese BEO ableiten. Das ergibt N Gleichungen mit N Unbekannten. Um die
Gleichgewichtsmengen zu bestimmen, nutzen wir die Symmetrie der Anbieter.
Symmetrische Anbieter wählen im Gleichgewicht symmetrische Mengen. Deshalb gilt im Gleichgewicht,
x1 = ... = xi = ... = xN = xC.
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Wenn wir dies in Gleichung (4.26) einsetzen, können wir die
folgende Lösung ableiten.
A − (N − 1)xC − c
x =
2
C
C
2x + (N − 1)x = A − c
A−c
xC =
N+1
C
(4.27)
(4.28)
(4.29)
Cournot-Gewinn im Fall von N symmetrischen Anbietern:
⎡
⎤
A−c⎢
A−c
(A − c)2
⎥
⎣
⎦
A−N
π =
−c =
N+1
N+1
(N + 1)2
C
(4.30)
Beachte: Wenn N gegen unendlich geht, konvergiert der
Cournot-Gewinn gegen Null.
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Diskussion
• Fixkosten ändern die Ergebnisse nicht, solange die Gewinne nicht negativ sind.
• Selbst wenn Anbieter 1 mit niedrigeren Kosten produziert als Anbieter 2, ist es möglich, dass beide Anbieter
am Markt aktiv sind.
• Das Ergebnis ist überzeugend, vor allem, weil die Gewinne negativ von der Zahl der Konkurrenten abhängen und
bei großer Anbieterzahl gegen das Konkurrenzergebnis
konvergieren.
• Nachteil des Modells ist, dass die Annahmen (Mengenwettbewerb) nicht überzeugend sind. Im Abschnitt über
Kapazitätswettbewerb werden wir eine überzeugendere
Interpretation für das Modell vorstellen können.
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4.2 Preiswettbewerb bei Kapazitätsschranken
Motivation
Offensichtlich ist es keine gute Idee, sehr große Kapazitäten
zu installieren und dann im anschließenden Preiswettbewerb
Nullgewinne zu machen.
Edgeworth (1897) argumentierte, dass der Wettbewerb
weniger stark ist, wenn die Unternehmen Kapazitätsschranken haben.
• Angenommen Anbieter 1 hat eine Produktionskapazität
kleiner als D(c). Dann kann p∗1 = p∗2 = c kein NashGleichgewicht sein.
• Zu diesem Preis machen beide Anbieter Nullgewinne.
• Wenn Anbieter 2 seinen Preis anhebt, kann Anbieter 1
nicht die gesamte Nachfrage zu diesem Preis befriedigen
p = c.
• Deshalb sind einige Konsumenten übrig, die von Anbieter 2 zum Preis p > c kaufen. Das bedeutet, Anbieter 2
kann durch eine Preiserhöhung seinen Gewinn erhöhen.
Kapazitätsschranken sind ein Spezialfall einer Technologie
mit abnehmenden Grenzerträgen (siehe oben).
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Kreps und Scheinkman (1983): Spieltheoretische Analyse von Kapazitätswahl und Preiswettbewerb
Zwei-Stufen-Spiel:
• Stufe 1: Simultane Kapazitätswahl
• Stage 2: Simultane Preiswahl
Lösungskonzept: Teilspielperfektes Gleichgewicht
• Die in Stufe 2 gewählten Preise müssen ein Nash-Gleichgewicht sein, gegeben die Kapazitätswahl in Stufe 1.
• Die in Stufe 1 gewählten Kapazitäten müssen ein NashGleichgewicht sein, gegeben die Gleichgewichtspreise in
Stufe 2.
Problem: Die Auszahlungen (für gegebene Kapazitäten
und Preise) hängen ab vom Rationierungsschema.
Betrachten Sie die folgenden Kapazitäten x1 und x2. Unterstellen Sie ferner p1 < p2 und x1 < D(p1).
In diesem Fall wollen alle Konsumenten mit Zahlungsbereitschaft ≥ p1 von Anbieter 1 kaufen. Aber Anbieter 1
hat nicht genügend Kapazität, um die gesamte Nachfrage
zu diesem Preis zu befriedigen. Um zu bestimmen, wieviel
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Nachfrage für Anbieter 2 übrig ist, müssen wir wissen, welche Konsumenten von Anbieter 1 kaufen bzw. von Anbieter
1 bedient werden. Das hängt vom Rationierungsschema ab.
Zwei Beispiele für Rationierungsschemata:
• Effiziente Rationierung:
Die Konsumenten mit der höchsten Zahlungsbereitschaft
werden zuerst bedient.
• Proportionale Rationierung:
Alle Konsumenten mit Zahlungsbereitschaft ≥ p1 werden mit der gleichen Wahrscheinlichkeit bedient (rando-
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misierte Rationierung).
In ihrem Modell benutzen Kreps und Scheinkman die effiziente Rationierung:
Wenn p1 < p2, dann
D1 = min{x1, D(p1)}
D2 = max{D(p2) − x1, 0}
(4.31)
(4.32)
Eine vereinfachte Version des Kreps-ScheinkmanModells
• Nachfragefunktion: p = A − x oder x = A − p.
• Kosten, um eine Einheit Kapazität zu produzieren: c.
• Produktionskosten für eine gegebene Kapazität:
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⎧
⎪
⎪
⎨
Ki(xi) = ⎪⎪⎩
0 falls xi ≤ xi
∞ falls xi > xi
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(4.33)
Lemma 4.1 Die optimale Kapazität ist nach oben beschränkt:
1 A2
xi ≤
4 c
(4.34)
Beweis:
Wie hoch sind die höchstmöglichen Erlöse, die eine Unternehmung in diesem Markt erzielen kann? Betrachten Sie
einen Monopolisten:
x(A − x)
max
x
(4.35)
A
A
A
A2
BEO : A − x − x = 0 =⇒ x =
;
(A − ) =
2
2
2
4
(4.36)
Kein Anbieter wird eine Kapazität wählen, die mit Sicherheit
zu Verlusten führt. Deshalb,
A2
1 A2
cxi ≤
=⇒ xi ≤
4
4 c
(4.37)
Q.E.D.
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Wir lösen das Spiel mit Rückwärtsinduktion.
Stufe 2
Proposition 4.1 Angenommen
• x1, x2 ≤
1 A2
4 c
,
• Nachfrage wird nach der effizienten Rationierungsregel
rationiert,
• und 34 A ≤ c
dann gilt für eine gegebene Kombination von Kapazitäten
(x1, x2) das folgende:
p1 = p2 = p∗ = A − (x1 + x2)
(4.38)
ist das eindeutige Nash-Gleichgewicht auf Stufe 2.
Beweis:
Die Gesamtnachfrage zu diesen Preisen ist x = A − p∗ = x1 + x2
und alle Konsumenten mit Zahlungsbereitschaft ≥ p∗ können
kaufen, gegeben die Kapazitäten der beiden Anbieter.
(i) Kein Anbieter hat einen Anreiz, seinen Preis zu senken,
da jeder Anbieter bereits seine maximale Kapazität verkauft.
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(ii) Lohnt sich eine Preiserhöhung für Anbieter 2? Angenommen
∗
p∗ = p1 < p2 =⇒ D1 = min{x1, D(p
)} = x1
x1 +x2
(4.39)
D2 = max{D(p2) − x1, 0}, wobei D(p2) = A − p2
(4.40)
⎧
⎪
⎪
⎨
π2 = ⎪⎪⎩
p2[(A − p2) − x1] falls A − p2 ≥ x1
0
falls A − p2 < x1
(4.41)
D.h. Anbieter 2 sollte nur Preise in Erwägung ziehen,
für die gilt:
p∗ = A − x1 − x2 ≤ p2 ≤ A − x1
(4.42)
Für diesen Preisbereich gilt:
2
dπ
dp
π2 = p2(A − p2 − x1)
(4.43)
= A − 2p∗ − x1
(4.44)
p2 =p∗
= A − 2(A − x1 − x2) − x1
= −A + x1 + 2x2 ≤ −A + 3
⎡
⎤
A
3
= ⎢⎣−c + A⎥⎦ ≤ 0
c
4
(4.45)
2
A
(4.46)
4c
(4.47)
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Also lohnt es sich für Anbieter 2 nicht, seinen Preis zu
erhöhen.
Q.E.D.
Stufe 1
Mit der Lösung von Stufe 2 können wir die folgenden reduzierten Gewinnfunktionen für Stufe 1 ableiten:
π1 = x1[(A − x1 − x2) − c]
π2 = x2[(A − x1 − x2) − c]
(4.48)
(4.49)
Dies sind genau die Gewinnfunktionen eines Cournot-Spiels
mit Mengenwettbewerb. Also sieht das Nash-Gleichgewicht
auf Stufe 1 genau so aus wie das Cournot-Gleichgewicht:
∂π1
= A − x1 − x2 − c − x1 = 0
(4.50)
∂x1
A − x2 − c
A − x1 − c
x1 =
x2 =
(4.51)
2
2
Beachten Sie:
• Dieses Zwei-Stufen-Spiel führt zum Cournot-Ergebnis
ohne einen Auktionator zu bemühen. Die Anbieter erzielen positive Gewinne.
• Kreps und Scheinkman zeigen, dass das gleiche Resultat auch für allgemeinere Nachfrage- und Kostenfunktionen gilt. Der Beweis ist aufwändiger, denn für einige
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Kapazitätskombinationen existieren Preisgleichgewichte
nur in gemischten Strategien. Durch Lemma 1 und die
Beschränkung des Parameterraums haben wir das vermieden.
• Einschränkung: die Resultate von Kreps und Scheinkman hängen kritisch vom Rationierungsschema ab, wie
Davidson und Deneckere (1986) gezeigt haben. Um das
zu sehen, betrachten wir das folgende Beispiel:
Angenommen beide Anbieter wählen eine Kapazität, die
der Cournot-Menge entspricht und Anbieter 1 wählt den
Cournot-Preis. Für Anbieter 2 ist es nur dann optimal, den
Cournot Preis zu setzen, wenn effizient rationiert wird. Bei
proportionaler Rationierung bevorzugt Anbieter 2 einen höheren Preis. Folglich kann es kein teilspielperfektes Gleichgewicht sein, Cournot-Kapazitäten und Cournot-Preise zu wählen.
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Wie überzeugend ist das effiziente Rationierungsschema?
• Effiziente Rationierung führt zur gleichen Allokation, die
resultieren würde, wenn die Konsumenten nach dem Verkauf die Güter weiter handeln könnten (ohne Transaktionskosten). D.h. am Ende halten die Konsumenten
mit der höchsten Zahlungsbereitschaft das Gut in den
Händen.
• Effiziente Rationierung maximiert die Konsumentenrente. Um dies zu illustrieren, betrachten wir das folgende
Beispiel:
• Problem: wie sollen die Konsumenten alloziiert werden,
wenn ihre Zahlungsbereitschaft nicht bekannt ist?
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Fazit: Das Ergebnis ist nicht robust gegenüber verschiedenen Rationierungsschemata. Dennoch veranschaulicht das
Modell, dass gewinnmaximierende Anbieter nicht unbegrenzt
Kapazitäten aufbauen, um den gesamten Markt zum Grenzkostenpreis zu bedienen.