12 Limit

Wettbewerbstheorie und -politik
12
12-1
Dr. Florian Englmaier
Limit-Preise
In diesem Abschnitt untersuchen wir, ob bei asymmetrischer Information die Strategie der Limitpreise geeignet ist,
den Marktzutritt potentieller Konkurrenten zu verhindern.
Das folgende Modell basiert auf Milgrom und Roberts
(1982).
Das Modell:
• Stufe 0:
Die Natur wählt konstante Stückkosten der Produktion,
gemäß der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilung:
c =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
c1 = cL = 0 mit Wktμ
c1 = cH = 1 mit Wkt(1 − μ)
(12.1)
• Stufe 1:
Die etablierte Unternehmung (Anbieter 1) erfährt ihre
Produktionskosten und wählt die Menge x. Der markträumende Preis wird realisiert, gemäß der inversen Marktnachfragefunktion p = 3 − x.
c Monika Schnitzer 2008
Wettbewerbstheorie und -politik
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• Stufe 2:
Der potentielle Marktneuling (Anbieter 2) entscheidet
über seinen Marktzutritt, ohne c, die Stückkosten des
etablierten Anbieters, zu kennen, nachdem er p und x
beobachtet hat.
Der Marktneuling hat fixe Kosten in Höhe von F zu
tragen, wenn er dem Markt zutritt. In diesem Fall produziert er mit konstanten Stückkosten c2 = 0.
Sobald der Marktneuling dem Markt zugetreten ist, erfährt
er die Stückkosten des etablierten Anbieters. In diesem Fall stehen die beiden Anbieter im Mengenwettbewerb (Cournot-Wettbewerb), mit vollständiger Information der jeweiligen Kostenfunktion.
Um dieses Spiel zu lösen, benutzen wir das Konzept des
Perfekten Bayesianischen Nash-Gleichgewichts.
Definition:
Ein Perfektes Bayesianisches Nash-Gleichgewicht besteht aus einer Kombination von Strategien (eine für jeden
Spielertyp) und einer Menge von Beliefs mit den folgenden
Eigenschaften:
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• Gegeben ihre Beliefs müssen die Strategien der Spielertypen sequentiell rational sein. D.h. in jeder Fortsetzung
des Spiels muss die Strategie eines Spielertyps optimal
sein, gegeben die Beliefs des Spielertyps zu diesem Zeitpunkt und gegeben die Strategien der anderen Spielertypen.
• Die Beliefs werden durch die Bayesianische Regel aktualisiert wann immer das möglich ist.
Es gibt zwei Typen von Gleichgewichten in reinen Strategien: separierende Gleichgewichte und Pooling Gleichgewichte:
• In einem separierenden Gleichgewicht wählen Anbieter mit hohen Kosten und mit niedrigen Kosten verschiedene Gleichgewichtspreise; d.h.,
p∗(c1 = 0) = p∗(c1 = 1) .
Bayesianisches Aktualisieren der Beliefs erfordert:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
1
falls p = p∗(c1 = 0)
falls p = p∗(c1 = 1)
μ̃(p) = ⎪⎪⎪ 0
⎪
⎪
⎪
⎩ ∈ [0, 1] sonst
(12.2)
D.h., nachdem der Marktneuling einen der beiden Gleichgewichtspreise beobachtet hat, “weiß” er, welchem Typ
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von etabliertem Anbieter er gegenübersteht. Wenn er
einen anderen Preis als einen der beiden Gleichgewichtspreise beobachtet, steht es ihm frei zu glauben, was immer er will.
• In einem Pooling Gleichgewicht wählen Anbieter mit
hohen Kosten und mit niedrigen Kosten jeweils genau
den gleichen Gleichgewichtspreis; d.h.,
p∗(c1 = 0) = p∗(c1 = 1) .
Bayesianisches Aktualisieren der Beliefs erfordert:
⎧
⎪
⎪
⎨
μ
falls p = p∗(c1 = 0) = p∗(c1 = 1)
⎪
⎪
⎩ ∈ [0, 1] sonst
(12.3)
D.h. der Marktneuling lernt nichts durch das Beobachten des Gleichgewichtspreises. Wieder gilt, wenn er irgendeinen anderen Preis als den Gleichgewichtspreis beobachtet, steht es ihm frei zu glauben, was immer er
will.
μ̃(p) =
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Die folgende Tabelle spezifiziert die Cournotgewinne in Stufe 2, falls Anbieter 2 dem Markt zutritt.
Cournot-Wettbewerb
Stückkosten
xC1
xC2
pC
π1C
π2C
c1 = 0
1
1
1
1
1-F
c1 = 1
1
3
4
3
4
3
1
9
16
9
-F
Ohne Marktzutritt sind die Gewinne des etablierten Anbieters in Stufe 2 die folgenden:
Monopol
xM
pM
πM
c1 = 0
3
2
3
2
9
4
c1 = 1
1
2
1
Stückkosten
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Annahme 12.1
⎡
⎤
16
16
μ(1 − F) + (1 − μ)
− F⎥⎦ < 0 <
−F
9
9
⎢
⎣
(12.4)
Interpretation:
• Wenn der Marktneuling glaubt, dass die Kosten des etablierten Anbieters mit Wahrscheinlichkeit μ niedrig sind
(a priori Wahrscheinlichkeit), zieht er es vor, dem Markt
nicht zuzutreten.
• Wenn der Marktneuling glaubt, dass die Kosten des etablierten Anbieters mit Wahrscheinlichkeit 1 niedrig sind,
zieht er es vor, dem Markt nicht zuzutreten.
• Wenn der Marktneuling glaubt, dass die Kosten des etablierten Anbieters mit Wahrscheinlichkeit 1 hoch sind,
möchte er dem Markt zutreten.
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(1) Separierendes Gleichgewicht:
Strategie des etablierten Unternehmen (Anbieter
1)
• In Stufe 1 wähle
√
– p∗(c1 = 0) = p̂L = 2 − 23 2 < 32 = pM
L , falls die Kosten niedrig sind, und
– p∗(c1 = 1) = pM
H = 2, falls die Kosten hoch sind.
• In Stufe 2 wähle die Cournotmenge, wenn Marktzutritt
erfolgt ist, und wähle die Monopolmenge, wenn kein
Marktzutritt erfolgt ist.
Strategie des potentiellen Marktneulings (Anbieter
2)
• In Stufe 2 aktualisiere die Beliefs nach der folgenden
Regel:
⎧
⎪
⎪
⎨ 1 falls p ≤ p̂L
(12.5)
μ̃(p) = ⎪⎪⎩
0 falls p > p̂L
⎧
⎪
⎪
⎨
Zutritt
falls μ̃(p) = 0,
Kein Zutritt falls μ̃(p) = 1.
Im Falle von Marktzutritt, wähle die Cournotmenge.
Marktzutrittsentscheidung⎪⎪⎩
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Wir überprüfen durch Rückwärtsinduktion, ob dieses Paar
von Strategien ein Perfektes Bayersianisches Nash Gleichgewicht bildet.
Stufe 2:
• Wenn Marktzutritt erfolgt, beschreiben die Strategien
optimales Verhalten für beide Anbieter, da jeder von ihnen seine Cournotmenge wählt. Wenn kein Marktzutritt
erfolgt, verhält sich der etablierte Anbieter optimal, da
er seine Monopolmenge wählt.
• Die Strategie von Anbieter 2 sieht vor, dem Markt zuzutreten, falls μ̃ gleich 0 ist, und sonst nicht dem Markt zuzutreten. Dieses Verhalten ist optimal gegeben die Strategien aller Spielertypen und unserer Annahme bezüglich
der Parameter.
• Anbieter 2 aktualisiert seine Beliefs nach der Bayesianischen Regel, wann immer das möglich ist:
Er glaubt, Anbieter 1 hat niedrige Kosten, wenn er den
Preis p = p̂L beobachtet, und er glaubt, dass er hohe
Kosten hat, wenn er den Preis p = pM
H (> p̂L ) beobachtet. Für alle anderen Preise steht es ihm frei zu glauben,
was immer er will.
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Stufe 1:
• Angenommen, Anbieter 1 hat hohe Kosten. Dann schreibt
seine Strategie vor, pM
H = 2 zu wählen. Wenn er sich an
diese Strategie hält, wird Anbieter 2 dem Markt zutreten
und der Gewinn des etablierten Anbieters wird sein
1
M
(pM
.
(12.6)
−
1)(3
−
p
)
+
H
H
9
Wenn er davon abweicht, ist das beste, was er tun kann,
die Strategie des Niedrigkostentyps zu imitieren und p̂L
zu wählen. In diesem Fall findet kein Marktzutritt statt
und der Gewinn des etablierten Anbieters ist
(p̂L − 1)(3 − p̂L) + 1
(12.7)
Eine Abweichung von der Strategie des etablierten Anbieters lohnt nicht, falls
1
(2 − 1)(3 − 2) + ≥ (p̂L − 1)(3 − p̂L) + 1(12.8)
9
1
(p̂L − 1)(3 − p̂L) ≤
(12.9)
9
Um herauszufinden, welcher Preis p̂L diese Bedingung
erfüllt, müssen wir die folgende quadratische Gleichung
lösen.
1
− (p̂L − 1)(3 − p̂L) = 0
9
(12.10)
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1
− (3p̂L − 3 − p̂2L + p̂L) = 0
9
28
= 0
p̂2L − 4p̂L +
9
(12.11)
(12.12)
4 ± 16 − 4 28
9
(12.13)
p̂L =
2
9 − 7
4 4
= ± (12.14)
2 2 9
2√
2
(12.15)
= 2±
3
√
Da die Strategie vorschreibt, den Preis p̂L = 2 − 23 2
zu wählen, lohnt sich eine Abweichung für den Hochkostentyp nicht.
• Unterstellen wir als nächstes, Anbieter 1 sei ein Niedrigkostentyp. In diesem Fall ist sein Gewinn, wenn er sich
an die vorgeschlagene Gleichgewichtsstrategie hält
⎛
⎞⎛
⎞
2√ ⎟ ⎜
2√ ⎟ 9
⎜
⎝2 −
2⎠ ⎝3 − 2 +
2⎠ +
(12.16)
3
3
4
2√
4√
4
9
=2−
2+
2− 2+
(12.17)
3
3
9
4
10 2 √
9
=
2+
+
(12.18)
9
3
4
Wenn Anbieter 1 abweicht und einen höheren Preis wählt,
wird dies Marktzutritt induzieren.
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Der beste Preis in diesem
√ Fall wäre der Monopolpreis
3
2
M
pL = 2 > p̂L = 2 − 3 2 ≈ 1.06. Der Gewinn von Anbieter 1 in diesem Fall wäre
3
3
9
(3 − ) + 1 = + 1
(12.19)
2
2
4
Eine Abweichung mit einem höheren Preis lohnt sich
also nicht, dann und nur dann wenn
10 2 √
9 9
2+ ≥ +1
+
(12.20)
9
3
4 4
Dies ist der Fall.
Beachten Sie, dass niedrigere Preise auch nicht lohnend
sind, da sonst der Gewinn noch niedriger wären.
Q.E.D
Diskussion
• In diesem separierenden Gleichgewicht weiß der Marktneuling genau, welchen Typ von etabliertem Anbieter er
vor sich hat, nach dem er den ersten Preis beobachtet
hat. Obwohl der Niedrigkostentyp seinen Preis manipuliert, wird der Marktneuling nicht getäuscht. Marktzutritt erfolgt genau in den gleichen Fällen wie bei vollständiger Information.
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• Der Niedrigkostentyp muss einen Limitpreis wählen, um
ein Signal über seine niedrigen Kosten zu geben und damit Marktzugang abzuschrecken. Wenn er nicht diesen
Limitpreis wählt, hält ihn der Marktneuling für einen
Hochkostentyp und tritt in den Markt ein. Der Hochkostentyp imitiert diesen Limitpreis nicht, weil dies zu
kostspielig ist.
• Die soziale Wohlfahrt ist höher als im Falle vollständiger
Information. Die Marktzutrittsentscheidung ist dieselbe,
aber die Preise sind niedriger, da der Niedrigkostentyp
einen Limitpreis unterhalb seines Monopolpreises wählt.
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(2) Pooling-Gleichgewicht
Strategie der etablierten Unternehmung (Anbieter
1)
• In Stufe 1, wähle p∗(c1 = 0) = p∗(c1 = 1) = pM
L =
3
2
• In Stufe 2, wähle die Cournotmenge, wenn Marktzutritt
erfolgt ist, andernfalls wähle die Monopolmenge.
Strategie des potentiellen Marktneulings (Anbieter
2)
• In Stufe 2, aktualisiere die Beliefs nach der folgenden
Regel:
μ̃(p) =
⎧
⎪
⎪
⎨
μ falls p ≤ pM
L
⎪
⎪
⎩ 0 falls p > pM
L
(12.21)
⎧
⎪
⎪
⎨
Zutritt
falls μ̃(p) = 0,
Kein Zutritt falls μ̃(p) = μ.
Im Falle des Marktzutritts, wähle die Cournotmenge.
Marktzutrittsentscheidung⎪⎪⎩
Wir überprüfen durch Rückwärtsinduktion, ob dieses Strategienpaar ein Perfektes Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
bildet.
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Stufe 2:
• Falls Marktzutritt erfolgt, schreiben die Strategien optimales Verhalten für beide Anbieter vor, da beide ihre
Cournotmengen wählen sollen. Wenn kein Marktzutritt
erfolgt, verhält sich der etablierte Anbieter optimal, indem er seine Monopolmenge wählt.
• Die Strategie von Anbieter 2 schreibt vor, dem Markt zuzutreten, falls μ̃ gleich 0 ist, und andernfalls dem Markt
nicht zuzutreten. Dieses Verhalten ist optimal gegeben
die Strategien aller Spieler und unseren Parameterannahmen.
• Anbieter 2 aktualisiert seine Beliefs nach der Bayesianischen Regel, wann immer möglich:
Anbieter 2 lernt nichts durch die Preisbeobachtung pM
L
und ändert deshalb auch nicht seine Beliefs über den
Typ von Anbieter 1. Für alle anderen Preise steht es
ihm frei, zu glauben, was immer er mag.
Stufe 1:
• Angenommen, Anbieter 1 ist ein Niedrigkostentyp. Wenn
er den Monopolpreis wählt, wie seine Strategie es ihm
vorschreibt, maximiert er seinen Gewinn in Stufe 1 und,
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da kein Marktzutritt erfolgt, maximiert er auch seinen
Gewinn in Stufe 2. Eine Abweichung von dieser Preisstrategie verringert den Gewinn auf Stufe 1 und möglicherweise auch auf Stufe 2.
• Angenommen, Anbieter 1 ist ein Hochkostentyp. Wenn
er den Monopolpreis des Niedrigkostentyps pM
L wählt,
dann ist sein Gewinn
13
7
M
(pM
+1= .
(12.22)
L − 1)(3 − pL ) + 1 =
22
4
Ein niedrigerer Preis würde den Gewinn auf Stufe 1 verringern, ohne den auf Stufe 2 zu verändern. Eine solche
Abweichung kann nicht optimal sein.
Ein höherer Preis erhöht den Gewinn in Stufe 1 (in diesem Fall wäre es das beste, den Hochkostenmonopolpreis pM
H zu wählen), aber dies provoziert den Marktzugang von Anbieter 2. Der Gesamtgewinn bei einer solchen Abweichung ist
1
1 10
7
<
(12.23)
(p̂H − 1)(3 − p̂H) + = 1 + =
9
9
9
4
Eine Abweichung von der Strategie des Hochkostentyps
lohnt sich also nicht.
Q.E.D
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Diskussion
• In diesem Fall setzt der Hochkostentyp Limitpreise ein.
Er imitiert das Verhalten des Niedrigkostentyps, um Marktzutritt abzuschrecken. Anbieter 2 erfährt nie die wahren
Kosten des etablierten Anbieters.
• Es kommt zu weniger Marktzugang als im Falle von
vollständiger Information (hier: überhaupt kein Marktzutritt).
• Die Wohlfahrtsimplikationen sind nicht eindeutig:
– Der Limitpreis des Hochkostentyps in Stufe 1 erhöht
die soziale Wohlfahrt.
– Der verhinderte Marktzugang verringert die soziale
Wohlfahrt auf Stufe 2.
Frage
Wie verändern sich die beiden Gleichgewichte, das separierende und das Pooling-Gleichgewicht, wenn im Unterschied
zu bisher die folgende Annahme an die Paramter gemacht
wird?
Annahme 12.2
⎡
⎤
16
− F⎥⎦ (12.24)
(1 − F) < 0 < μ(1 − F) + (1 − μ)
9
⎢
⎣
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Fazit:
Es ist schwierig, die Wohlfahrtsimplikationen von LimitPreisen zu beurteilen.
• Sowohl im separierenden als auch im Pooling-Gleichgewicht können wir Limitpreise beobachten, aber die
Wohlfahrtsimplikationen sind ganz unterschiedlich.
• In unserem Modell haben wir unterstellt, dass die Kosten
des etablierten Anbieters und des potentiellen Marktneulings völlig unabhängig voneinander sind. Unterstellen
wir stattdessen, dass die jeweiligen Kosten gleich sind,
der potentielle Marktneuling vor dem Marktzugang seine
eigenen Kosten aber nicht kennt. In diesem Fall möchte
der etablierte Anbieter signalisieren, dass die Kosten
hoch sind, und wählt deshalb einen Preis oberhalb des
Monopolpreises, um Marktzugang abzuschrecken.