2. Übungsblatt

Ralf Gerkmann
Dienstag, 3. September 2013
Primzahlen und Riemannsche Vermutung
(Übungen zum Probestudium)
— Blatt 2 —
Aufgabe 1
(a)F Der Ring der Gaußschen Zahlen ist gegeben durch
Z[i]
=
{a + ib | a, b ∈ Z}.
Zeigen Sie, dass es in Z[i] genau vier Einheiten gibt. (Welche?)
(b)F Stellen Sie die Zahlen 5 und 91 als Produkt von Primelementen in Z[i] dar.
(c)FFF Sei p eine ungerade Primzahl. Aus der Algebra ist bekannt, dass dann ein Element ā ∈ Z/pZ
existiert, so dass die Folge der Potenzen
ā1 ,
ā2 ,
ā3 ,
... āp−1
alle Elemente aus Z/pZ mit Ausnahme der 0̄ durchläuft und āp−1 = 1̄ gilt. Man nennt ein solches
ā eine Primitivwurzel modulo p. Zeigen Sie, dass genau dann p ≡ 1 mod 4 gilt, wenn ein Element
ā ∈ Z/pZ mit ā2 = −1̄ existiert.
(d)FF Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabenteil (c), dass eine ungerade Primzahl p genau dann ein Primelement in Z[i] ist, wenn p ≡ 3 mod 4 gilt, und ansonsten in ein Produkt zweier verschiedener
Primfaktoren zerfällt.
Ohne Beweis darf verwendet werden, dass in Z[i] der Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.
Aufgabe 2
Wir sagen, eine Zahl n ∈ N ist als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn a, b ∈ Z mit n = a2 + b2
existieren.
(a)FF Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 1 (d): Eine Primzahl p ist genau dann als Summe zweier Quadrate
darstellbar, wenn nicht p ≡ 3 mod 4 gilt.
(b)F Seien u und v zwei natürliche Zahlen, wobei u eine Summe zweier Quadrate und v entweder eine
Quadratzahl oder Summe zweier Quadrate ist. Zeigen Sie, dass auch uv die Summe zweier Quadrate
ist.
Hinweis: Es geht einfacher, wenn man im Ring Z[i] rechnet.
(c)FF Sei n eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass in der Primfaktorzerlegung von n alle Primzahlen p mit p ≡ 3 mod 4 mit gerader Vielfachheit vorkommen. Zeigen Sie, dass n dann als Summe
zweier Quadrate darstellbar ist.
Name
Montag
Dienstag
Donnerstag
Dominik Bullach
B 039
B 039
B 039
David Kaltenpoth
B 040
B 040
B 040
Maximilian Kling
B 041
B 041
B 041
Andrea König
B 045
B 045
B 045
Nikolai Leopold
B 046
B 046
B 046
Marisa Pendias, Mario Wagner
B 005
B005
B 005
Evelyn Roth
B 047
B 047
B 047
Sabrina Syed
B 004
B 006
B 006
Manuel Wickmann
B 132
B 132
B 132