6 1 BEZEICHNUNGEN UND GRUNDPRINZIPIEN 1.1.2

6
1 BEZEICHNUNGEN UND GRUNDPRINZIPIEN
1.1.2
Bezeichnungen im Dreieck
a, b, c
A, B, C
α, β, γ
α′ , β ′ , γ ′
α′′ , β ′′ , γ ′′
sa , sb , sc
Ma , Mb , Mc
G
O
ma , mb , mc
I
Ia , Ib , Ic
iB , iC , iA , iC , iB , iA
wA , wB , wC
wα , wβ , wγ
H
hA , hB , hC
hα , hβ , hγ
ha , hb , hc
HA , HB , HC
aB , aC , bA , bC , cB , cA
F
e = HO
S
R
RF = R/2
r
ra , rb , rc
p = (a + b + c)/2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Seiten
Eckpunkte
Winkel
Komplementwinkel ω ′ = 90◦ − ω
Supplementwinkel ω ′′ = 180◦ − ω
Seitenhalbierende
Mittelpunkte der Seiten
Schwerpunkt, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
Umkreismittelpunkt, Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Mittelsenkrechte, Lote von O auf die Seiten
Inkreismittelpunkt, Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Fußpunkte der Lote von I auf die Seiten
Seitenabschnitte an den Fußpunkten der Lote von I auf die Seiten
Winkelhalbierende
Winkelhalbierendenabschnitte, AI, BI, BI
Schnittpunkt der Höhen
Höhen
obere Höhenabschnitte, AH, BH, BH
untere Höhenabschnitte, Lote von H auf die Seiten
Fußpunkte der Höhen
Seitenabschnitte an den Fußpunkten der Höhen
Mittelpunkt des Feuerbachschen- (9-Punkte-) Kreises
Eulersche Gerade (Länge der Strecke)
Flächeninhalt
Umkreisradius
Radius des Feuerbachschen Kreises
Inkreisradius
Radien der Ankreise
Halber Umfang
1.2 Grundlegende geometrische Sätze
1.2
1.2.1
Grundlegende geometrische Sätze
Winkel an geschnittenen Parallelen
• Stufenwinkel
• Nebenwinkel
• Wechselwinkel
1.2.2
Winkelsummen in Polygonen
• Innenwinkelsumme im Dreieck
• Außenwinkelsumme im Dreieck
• Zerlegung eines Polygons in Dreiecke
• Innenwinkelsumme im n-Eck
• Außenwinkelsumme im n-Eck
1.2.3
Dreieckskongruenzsätze
• sss
• wsw
• sws
• sSW
1.2.4
Das gleichschenklige Dreieck
• Zwei gleichlange Seiten ⇐⇒ zwei gleiche Winkel
1.2.5
Dreiecksungleichung
1.2.6
Flächeninhalt
• Rechteck
• Parallelogramm
• Dreieck
1.2.7
Strahlensätze
• Streckenverhältnisse an geschnittenen Parallelen
• Ähnliche Dreiecke
• Trapez
– Flächeninhalt
• Parallelogramm
– Diagonalen halbieren sich
– Zwei Paare paralleler Seiten =⇒ gegenüberliegende Seiten sind gleichlang
– Parallelenidentität?
7
8
1 BEZEICHNUNGEN UND GRUNDPRINZIPIEN
1.2.8
Winkel am geschnittenen Kreis
• Ähnliche Dreiecke anders dargestellt
• Peripheriewinkel
• Satz des Thales
• Zentriwinkel
• Tangentenwinkel
• Sehnenviereck
• Tangentenviereck?
1.2.9
Streckenverhältnisse am geschnittenen Kreis
• Sehnensatz
• Satz des Ptolemäus
• Sekantensatz
• Tangenten-Sekantensatz
• Tangentenabschnittssatz
• Satz von Radius und Tangente
• Tangentensatz
1.2.10
Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
• Halbierung einer Strecke
• Errichten der Mittelsenkrechten einer Strecke
• Errichten einer Senkrechten in einem Punkt einer Geraden
• Fällung eines Lotes von einem äußeren Punkt auf eine Gerade
• Parallele zu einer Geraden in einem äußeren Punkt
• Teilung einer Strecke in n Teile
• Halbierung eines Winkels
• Drittelung eines rechten Winkels
• Antragung eines Winkels
• Konstruktion eines rechten Winkels über einer Seite
• Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks
1.3 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
1.3
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Konstruktion eines Quadrates im Kreis
Konstruktion eines regulären 5-Ecks
Konstruktion eines regulären 6-Ecks
Konstruktion eines regulären 7-Ecks (näherungsweise)
Konstruktion des Mittelpunktes eines Kreises
Konstruktion der Tangente in einem Punkt auf dem Kreis
Konstruktion der Tangente in einem äußeren Punkt
Konstruktion der gemeinsamen Tangenten an zwei Kreise
Konstruktion eines Kreises mit Radius r durch A und B
Konstruktion eines Kreises durch A, B und C
Konstruktion eines Kreises an g1 , g2 und g3
9
10
1 BEZEICHNUNGEN UND GRUNDPRINZIPIEN
1.4
1.4.1
Streckenverhältnisse, Strahlensätze
Euklidischer Algorithmus, Streckenteilungen
Eine alte Frage ist, ob sich zwei gegebene Strecken mit gemeinsamem Maß messen lassen,
das heißt, ob es eine dritte Strecke (das gemeinsame Maß nämlich) derart gibt, daß die beiden
Strecken ganzzahlige Vielfache dieses Maßes sind. Hat man z.B. zwei Strecken der Längen 15cm
und 6cm, so ist eine Strecke der Länge 3cm ein gemeinsames Maß, denn es ist 141cm = 47 · 3cm
und 63cm = 21 · 3cm. Man erhält dieses gemeinsame Maß, indem man folgendermaßen vorgeht:
141cm = 2 · 63cm + 15cm
63cm = 4 · 15cm + 3cm
15cm = 5 · 3cm + 0cm
Man ermittelt, wie oft die kleinere Strecke in der größeren aufgeht und was für ein Rest bleibt
(hier sind es 15cm). Dann ermittelt man, wie oft dieser Rest in der kleineren Strecke aufgeht
usw. Falls dieses Verfahren abbricht, gibt es ein gemeinsames Maß. Dann heißen die beiden
Strecken commensurable (auf deutsch: gemeinsam meßbar). Dieses Verfahren ist exakt der
Euklidische Algorithmus zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers oder der Zerlegung
einer Zahl in einen Kettenbruch:
141
15
1
1
1
=2+
= 2 + 63 = 2 +
3 = 2+
63
63
4 + 15
4+
15
1.4.2
1
= 2+
15
3
1
4+
1
5
Incommensurable Strecken. Der goldene Schnitt
Aus praktischer Sicht gibt es für zwei gegebene Strecken immer ein gemeinsames Maß, es muß
für die erforderliche Genauigkeit nur klein genug sein. Z.B. ist auf einem Zeichenblatt sicher
jede Strecke ein ganzzahliges Vielfaches von einem Zehntel Millimeter. Theoretisch muß das
aber nicht der Fall sein. Ein Beispiel ist der goldene Schnitt:
r
a
r
r
b
Man sagt, eine Strecke ist im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt, wenn sich der größere
Abschnitt b zum kleineren a wie die Gesamtstrecke zur größeren verhält. Es soll also
b
a+b
=
a
b
gelten. Sind die Streckenabschnitte a und b commensurable? Wir versuchen,
bruch zu zerlegen:
b
a+b
a
1
1
1
=
= 1 + = 1 + b = 1 + a+b = 1 +
a
b
b
1+
a
b
a
b
=1+
1
1+
1
b
a
=1+
b
a
in einen Ketten1
1+
1
1+
1
1
1+ 1+...
Der Kettenbruch bricht nicht ab. Es gibt also kein gemeinsames Maß. Die Strecken a und b
sind incommensurable.
11
1.4 Streckenverhältnisse, Strahlensätze
1.4.3
Strahlensätze
Werden parallele Geraden g1 , g2 , g3 von einer Schar Strahlen s1 , s2 , s3 mit gemeinsamem
Scheitelpunkt S geschnitten, so gelten folgende Streckenverhältnisse:
,
,
,
G,
,
,
,
,
H
D ,
,
, , E
S ,
g1
,
r
,
F
I
,
A
,
,
g2
g3
B ,,
,
,
C,,
,
|SA|
|SF |
|F I|
=
=
|SB|
|SE|
|EH|
|F E|
|ED|
|SF |
=
=
|SI|
|IH|
|HG|
|AB|
|F E|
|IH|
=
=
|AC|
|F D|
|IG|
Beweise:
Wir betrachten die spezielle Figur unten, in der zwei Hilfshöhen eingezeichnet sind. Für den
allgemeineren Fall sind die Beweise analog.
rS
Z HH ZZ
HH Z
HHZ
hA HZ
h
B
HZ
HZ
HZ B
A
HH
ZH
Z
Z
Z
Z D
C
ZZ
Zu zeigen ist
|SA|
|SB|
|AB|
|SA|
|SB|
|AC|
|BD|
=
=
,
=
,
=
|SC|
|SD|
|CD|
|AC|
|BD|
|SC|
|SD|
(1)
Wegen der Parallelität der Geraden gilt für die Flächeninhalte S△ABD = S△ABC . Hieraus folgt
S△SAD = S△SBC . Diese beiden Flächeninhalte berechnen wir jetzt. Es gilt
2S△SAD = |SC| · hB
2S△SBC = |SD| · hA
Hieraus folgt
|SC| · hB = |SD| · hA
12
1 BEZEICHNUNGEN UND GRUNDPRINZIPIEN
Außerdem gilt (Flächeninhalt von △SAB berechnet auf zwei verschiedene Weisen)
2S△SAB = |SA| · hB = |SB| · hA
Dividiert man beide Gleichungen folgt
|SA|
|SB|
=
|SC|
|SD|
Das ist die erste Gleichung
Aus |SC| = |SA| + |AC| und |SD| = |SB| + |BD| folgt
|SA|
|SB|
=
|AC|
|BD|
|AC|
|BD|
=
|SC|
|SD|
und
Das sind die dritte und vierte Gleichung.
Zum Beweis der zweiten Gleichung drehen wir die Figur und ziehen eine Parallele zu SD durch
A. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit CD sei A′ . Es ist |AB| = |A′ D|, weil die beiden
Parallelenpaare ein Parallelogramm bilden, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
Nach der bereits bewiesenen vierten Gleichung aus (5) gilt nun
|SA|
|A′ D|
|AB|
=
=
|SC|
|CD|
|CD|
Das ist die zweite Gleichung aus (5).
1.4.4
Ähnliche Dreiecke
Zwei Dreiecke sind ähnlich, falls sie in zwei (und damit auch in drei) Winkeln übereinstimmen.
Bringt man die Dreiecke in Ähnlichkeitslage, d.h. legt man zwei gleiche Winkel (z.B. α) übereinander, folgt aus der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes, daß die Dreiecksseiten parallel sind.
Damit gelten folgende Beziehungen:
r ′
BC
γB
B
B
B
C r
B
γB
B
r
A
α
B
B
B
B
B
B
βB
Br
B
B
B
|AB|
|BC|
|CA|
= ′ ′ = ′
′
|AB |
|B C |
|C A|
B
B
B
|AB|
|AB ′ |
|AB|
|AB ′ |
=
,
=
, ...
|AC|
|AC ′ |
|BC|
|BC ′ |
B
B
βB
Br
′
|AB| : |BC| : |CA| = |AB ′ | : |B ′ C ′ | : |C ′ A|
B
B
Liegen die Winkel α übereinander, aber das Dreieck △ABC ist bezüglich der Winkelhalbierenden des Winkels α gespiegelt, sind im allgemeinen BC und B ′ C ′ nicht mehr parallel. Aber in
diesem Fall ist das Viereck 2BCB ′ C ′ ein Sehnenviereck.
15
1.7 Schnittpunkte dreier Geraden im Dreieck
1.7
Schnittpunkte dreier Geraden im Dreieck
Legt man je einen Punkt (X, Y und Z) auf den Dreicksseiten fest, entstehen Seitenabschnitte (a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 ). Wählt man die Punkte nicht unabhängig voneinander sonder mit einer
Zusatzbedingung, kann man erreichen, daß bestimmte interessante Sonderfälle eintreten. Insbesondere kann man feststellen, ob sich drei Geraden, die durch die drei Punkte definiert wurden
(z.B. die Ecktransversalen durch diese Punkte oder die Senkrechten in diesen Punkten), in
einem Punkt schneiden.
C r
b1
C r
B
b1 γ1γ 2B
e B a2
Yr
3 B
B
@
@
Br X
p2@u
p
1 B
b2
l
l
P l BB a1
α2
p3
e1
el
2 β B
1
βl
2 lBr
α
1
r
r
c1
c2
A
Z
B
B
B
e B a2
3 B ll
r
B
l BX
u
l
B
b2
l
B a
P l
B 1
l
e
e
1
2
lB
r
lBr
r
c1
c2
Yr
A
Z
Weiter sei im linken Fall
B
d1 = |Y Z|, d2 = |ZX|, d3 = |XY |
und im rechten
f1 = |Y Z|, f2 = |ZX|, f3 = |XY |
Das sind die Seitenlängen des Fußpunktdreiecks.
Im rechten Fall (Lotfußpunktdreieck) gilt
f1 = e1 sin α, f2 = e2 sin β, f3 = e3 sin γ
(Diagonalen im rechwinkligen Sehnenviereck). Außerdem gilt
a = 2R sin α, b = 2R sin β, c = 2R sin γ
Hieraus folgt
f1 =
e2 b
e3 c
e1 a
, f2 =
, f3 =
,
2R
2R
2R
Für die Winkel erhält man
cos α1 · cos β1 · cos γ1
=
cos α2 · cos β2 · cos γ2
sin α1 · sin β1 · sin γ1
=
sin α2 · sin β2 · sin γ2
c1
e1
c2
e1
p3
e1
p2
e1
·
·
·
·
a1
e2
a2
e2
p1
e2
p3
e2
·
·
·
·
b1
e3
b2
e3
p2
e3
p1
e3
=
a1 b1 c1
a2 b2 c2
=1
16
1 BEZEICHNUNGEN UND GRUNDPRINZIPIEN
1.7.1
Der Satz von Ceva und seine Umkehrung
Geraden, die ein Dreieck schneiden, heißen Transversalen. Geraden, die eine Dreiecksseite und
den gegenüberliegenden Eckpunkt schneiden, heißen Ecktransversalen.
Zwei willkürlich gewählte Geraden schneiden sich – wenn nicht der Ausnahmefall der Parallelität gegeben ist – in genau einem Punkt. Drei willkürlich gewählte Geraden schneiden sich
im allgemeinen in drei Punkten. Beim Dreieck kommt es aber häufig vor (man hat sogar den
Eindruck, es ist die Regel), daß sich drei Geraden (z.B. drei Ecktransversalen) in einem Punkt
schneiden. Im Falle der Mittelsenkrechten (die keine Ecktransversalen sind) oder der Winkelhalbierenden fällt der Beweis dafür nicht schwer, weil die entsprechenden Punkte (Umkreis–
bzw. Inkreismittelpunkt) besondere waren. Aber schon für die Höhen, deren Schnittpunkt nur
dadurch ausgezeichnet ist, daß sich in ihm die Höhen schneiden, ist so ein Beweis wesentlich
schwieriger. Es gibt aber einen Satz, der den Fall, daß sich drei Ecktransversalen in einem Punkt
schneiden, auszeichnet. Das ist der
Satz von Ceva:
Schneiden sich drei Ecktransversalen eines Dreiecks in einem Punkt, ist das Produkt der Abschnittsverhältnisse der Dreiecksseiten gleich Eins.
Als Formel bedeutet dieser Satz
lr
r
E
l
l
B lYr
r
B
l
X
|AZ|
l B
u
l
B
l
|ZB|
B
l
B
l
lB
r
lBr
r
Dll
C r
B
B
B
·
|BX| |CY |
·
=1
|XC| |Y A|
A
Z
B
Beweis: Die Gerade DE sei zu AB parallel. Dann folgt aus dem Strahlensatz
|AZ|
|CE|
|BX|
|AB|
|CY |
|CD|
=
,
=
,
=
|ZB|
|CD|
|XC|
|CE|
|Y A|
|AB|
Das Produkt dieser drei Gleichungen liefert die Behauptung.
a1 b1 c1 = a2 b2 c2
(5)
Eine Aussage darüber, wann sich drei Ecktransversalen in einem Punkt schneiden, liefert die
Umkehrung des Satzes von Ceva:
Teilen drei Ecktransversalen eines Dreiecks die Dreiecksseiten derart, daß das Produkt der Abschnittsverhältnisse gleich Eins ist, so schneiden sie sich in einem Punkt.
Beweis: Der Beweis wird indirekt geführt. Angenommen, die dritte Ecktransversale (die durch
Punkt C) geht nicht durch den Schnittpunkt der beiden ersten. Dann gibt es eine weitere
Ecktransversale durch Punkt C, die durch den Schnittpunkt der beiden ersten Ecktransversalen
geht und die Seite AB in einem Punkt Z ′ 6= Z schneidet. Für diese gilt nach dem Satz von
Ceva
|AZ ′ | |BX| |CY |
·
·
=1.
|Z ′ B| |XC| |Y A|
1.7 Schnittpunkte dreier Geraden im Dreieck
17
Andererseits ist nach Voraussetzung
|AZ| |BX| |CY |
·
·
=1.
|ZB| |XC| |Y A|
Hieraus folgt
|AZ ′ |
|AZ|
= ′
.
|ZB|
|Z B|
Das heißt, zwei verschiedene Punkte teilen die Strecke AB im gleichen Verhältnis. Das ist aber
nicht möglich.
1.7.2
Analogon des Satzes von Ceva
Interessiert man sich für Senkrechte in den Punkten X, Y und Z, so gilt folgender
Satz: Schneiden sich drei Senkrechte auf den Dreiecksseiten in einem Punkt, so ist die Summe
der Quadrate der Abschnitte gleich.
a21 + b21 + c21 = a22 + b22 + c22
(6)
Beweis: Die drei Vierecke 2AZP Y , 2BXP Z und 2CY P X sind rechtwinklige Sehnenvierecke.
Damit gilt für die Diagonalen e1 , e2 und e3 , die Durchmesser in den jeweiligen Umkreisen sind
e21 = c21 + p23 = b22 + p22
e22 = a21 + p21 = c22 + p23
e23 = b21 + p22 = a22 + p21
Addition dieser Gleichungen liefert die Behauptung.
Umkehrung des Satzes: Gilt für 6 Seitenabschnitte in einem Dreieck Gleichung (6), so
schneiden sich die drei Senkrechten in den Punkten in einem Punkt.
Beweis: Wir nehmen an, daß das nicht der Fall ist und zwar nehmen wir an, daß die Senkrechte
in Z nicht durch den Schnittpunkt P der beiden anderen Senkrechten geht. Es seien Z ′ der Fußpunkt des Lotes von P auf AB und d1 und d2 die beiden von ihm gebildeten Seitenabschnitte.
Nach dem eben bewiesenen Satz gilt
a21 + b21 + d21 = a22 + b22 + d22 .
Nach Voraussetzung gilt aber (6). Subtraktion führt auf c21 − d21 = c22 − d22 oder c21 − c22 = d21 − d22 ,
was äquivalent zu (c1 + c2 )(c1 − c2 ) = (d1 + d2 )(d1 − d2 ) ist. Division durch c = c1 + c2 = d1 + d2
führt auf c1 −c2 = d1 −d2 oder, wenn man c2 = c−c1 und d2 = c−d1 einsetzt auf 2c1 −c = 2d1 −c.
Das bedeutet c1 = d1 . Also ist Z = Z ′ , ein Widerspruch zur Annahme.
28
2 DAS DREIECK
2
Das Dreieck
2.1
Die Höhen
SC
C
γ
SC
α′ β
bC
HB
γ
hα
cA
A
α β
β
γ′
αβ ′
SB
HA
ha
hb
bA
a
aC
hγ
b
SA
′
Hα γ
hc
HC
SA
aB
hβ
γ′
α′ β
cB
B
SB
c
Folgende rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, weil sie einen gemeinsamen Winkel besitzen:
Winkel α :
Winkel β :
Winkel γ :
△AHC C ∼ △AHB B
△BHA A ∼ △BHC C
△CHB B ∼ △CHA A
Hieraus folgt
a
hB
=
=
b
hA
1
hA
1
hB
,
b
hC
=
=
c
hB
1
hB
1
hC
das heißt, die Seitenlängen verhalten sich wie die Kehrwerte der Höhenlängen. Man kann das
auch als
a:b:c=
1
1
1
:
:
hA hB hC
(10)
2.1 Die Höhen
29
schreiben.
Die Größe ahA ist eine zyklische Invariante. Es ist der doppelte Flächeninhalt
2S = ahA = bhB = chC
2.1.1
(11)
Die Seitenabschnitte. Der Höhenschnitttpunkt
Weiter ergibt sich aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke
a
b
b
c
c
a
=
,
=
,
=
bC
aC
cA
bA
aB
cB
(12)
oder äquivalent
a
bC
b
cA
c
aB
=
,
=
,
=
b
aC
c
bA
a
cB
(13)
Diese Formeln kann man zum Beweis dafür verwenden, daß sich die Höhen in einem Punkt
schneiden. Für die Abschnitte, in die die Höhen die Seiten teilen, gilt nämlich
aB · bC · cA
aB · bC · cA
a·b·c
=
=
=1
aC · bA · cB
cB · aC · bA
b·c·a
woraus nach der Umkehrung des Satzes von Ceva die Behauptung folgt.
2.1.2
Die Höhenrechtecke
Aus (12) ergibt sich außerdem cA · c = bA · b, aB · a = cB · c und bC · b = aC · a. Das heißt, daß
die Flächeninhalte der Rechtecke an den Eckpunkten, die von den Höhen aus den Quadraten
über den Seiten herausgeschnitten wurden, gleiche Flächeninhalte haben. Wir führen deshalb
folgende Bezeichungen ein:
SA = cA · c = bA · b
SB = aB · a = cB · c
SC = bC · b = aC · a
Diese Größen hängen offensichtlich so mit den Seitenquadraten zusammen:
a2 = SB + SC
b2 = SA + SC
c 2 = SA + SB
Diese Gleichungssyetem läßt sich lösen. Es ist
1 2
(b + c2 − a2 )
2
1 2
(c + a2 − b2 )
=
2
1 2
(a + b2 − c2 )
=
2
SA =
SB
SC
30
2 DAS DREIECK
2.1.3
Die Höhenabschnitte
Wie man leicht sieht, schneiden sich die Höhen untereinander in den Dreickswinkeln. Das ergibt
die Ähnlichkeitsbeziehungen
Winkel α :
Winkel β :
Winkel γ :
△AHC C ∼ △AHB B ∼ △HHC B ∼ △HHB C
△BHA A ∼ △BHC C ∼ △HHA C ∼ △HHC A
△CHB B ∼ △CHA A ∼ △HHB A ∼ △HHA B
Für den oberen Höhenabschnitt hα erhält man deshalb
a · ScA
a · cA
aSA
hα =
= 2S =
hC
2S
c
und analog
hα =
aSA
bSB
cSC
, hβ =
, hγ =
.
2S
2S
2S
(14)
Für den unteren Höhenabschnitt ha erhält man aus den Ähnlichkeitsbeziehungen
aC · aB
=
ha =
hA
SC
a
·
SB
a
2S
a
=
SB SC
2aS
und analog
ha =
SA SC
SA SB
SB SC
, hb =
, hc =
.
2aS
2bS
2cS
(15)
Kombiniert man die Formeln (14) und (15), erhält man
ha · hα = hb · hβ = hc · hγ =
SA SB SC
.
4S 2
Das heißt, ha · hα ist eine Invariante, da sich die rechte Seite bei zyklischem Vertauschen nicht
ändert. Das kann man auch geometrisch leicht einsehen: Das Viereck 2ABHA HB ist ein Sehnenviereck (zwei rechtwinklige Dreiecke über einem gemeinsamen Durchmesser). Nach dem
Sehnensatz gilt für die Abschnitte der beiden sich schneidenden Sehnen (Höhen) ha ·hα = hb ·hβ .
Aus den Ähnlichkeitsbeziehungen ergibt sich weiter
hA · ha = aB · aC , hB · hb = bC · bA , hC · hc = cA · cB
Hieraus erhält man leicht
SC = hA · ha + a2C ,
SA = hB · hb + b2A ,
SB = hC · hc + c2B ,
SB = hA · ha + a2B
SC = hB · hb + b2C
SA = hC · hc + c2A .
Durch Addition dieser Gleichungen folgt
a2C + b2A + c2B = a2B + b2C + c2A .
(16)
2.1 Die Höhen
2.1.4
31
Zusammenhänge des Flächeninhalts mit den Höhenrechtecken
Der Flächeinhalt des Dreiecks △ABC läßt sich mit bekannten Formel (11) berechnen, ist aber
auch Summe der Flächeninhalte der Dreiecke △ABH, △BCH und △CAH. Es gilt also
2S = a · ha + b · hb + c · hc .
Setzt man hier die Ausdrücke (15) für die unteren Höhenabschnitte ein, erhält man
4S 2 = SB SC + SA SC + SA SB
Verdopplung und Benutzung von a2 = SB + SC ergibt
8S 2 = a2 SA + b2 SB + c2 SC
2.1.5
Die Heronschen Formel
Die einfachste Konstruktion eines Dreiecks ist die aus den drei Seiten. Wie kann man aber den
Flächeninhalt aus den drei Seiten berechnen?
Aus der letzen Formel folgt, wenn man die Ausdrücke für SA einsetzt und mit 2 multipliziert
eine Gleichung, die nur noch den Flächerinhalt und die drei Seiten enthält. Durch Umformen
erhält man
16S 2 =
=
=
=
=
=
=
=
=
a2 (b2 + c2 − a2 ) + b2 (c2 + a2 − b2 ) + c2 (a2 + b2 − c2 ) =
−a4 − b4 − c4 + 2a2 b2 + 2b2 c2 + 2c2 a2 =
− a4 + b4 + c4 − 2a2 b2 − 2b2 c2 − 2c2 a2 =
− (a2 − b2 )2 + c4 − c2 (2a2 + 2b2 ) =
− (a + b)2 (a − b)2 + c4 − c2 (2a2 + 2b2 ) =
− (a + b)2 (a − b)2 + c4 − c2 (a + b)2 − (a − b)2 =
− c2 − (a + b)2 c2 + (a + b)2 =
− (c + a + b)(c − a − b)(c − a + b)(c + a − b) =
(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)
Setzt man
1
p = (a + b + c)
2
(es hat sich herausgestellt, daß es geeignet ist, den halben Umfang als spezielle Größe zu definieren, so wie man eigentlich den doppelten Flächeninhalt als spezielle Größe definieren sollte)
folgt
1
(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) =
16
= p(p − a)(p − b)(p − c)
S2 =
(17)
(18)
Diese Formel, die den Flächeninhalt durch die Seitenlängen ausdrückt, heißt Heronsche Formel.
Der Ausdruck −a4 −b4 −c4 +2a2 b2 +2b2 c2 +2c2 a2 ist sicher nicht für beliebige a, b und c positiv.
An der Produktdarstellung sieht man, daß dieser Ausdruck genau dann positiv ist, wenn die
Dreicksungleichungen erfüllt sind, d.h., wenn −a + b + c > 0, a − b + c > 0 und a + b − c > 0
gilt.
32
2 DAS DREIECK
Setzt man die Ausdrücke
2S
2S
2S
a=
, b=
, c=
hA
hB
hC
(19)
in die Formel (17) ein, erhält man
1 2S 2S 2S
2S 2S 2S
2S 2S 2S
2S 2S 2S
2
S =
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=
16 hA hB hC
hA hB hC
hA hB hC
hA hB
hC
4 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
2S
+
+
+
+
−
+
+
−
=
16
hA hB hC
hA hB hC
hA hB hC
hA hB hC
Hieraus erhält man eine Formel, die wie (17) aussieht, aber den Flächeninhalt durch die
Höhenlängen ausdrückt und den Zusammenhang (10) gut illustriert.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
=
+
+
+
+
−
+
+
−
S2
hA hB hC
hA hB hC
hA hB hC
hA hB hC
2.1.6
Das rechtwinklige Dreieck
Wir wollen jetzt den Spezialfall eines rechtwinkligen Dreickes betrachten mit γ = 90◦ . Aus
einem allgemeinen Dreick entsteht dieses rechtwinklige Dreieck, in dem man gedanklich die
Seiten a und b soweit auseinanderzieht, bis γ ein rechter Winkel ist. a und b sind dann die
Katheten und c die Hypothenuse des Dreiecks. Dann verschiebt sich Höhenschnittpunkt H in
Richtung C. Die Höhen hA und hB fallen mit den Katheten b bzw. a zusammen. Außerdem ist
bC = aC = 0 und damit bA = b und aB = a. Damit folgt
SC
SA
SB
2S
=
=
=
=
0
b2
a2
ab
Aus den Formeln
c2
a2
b2
4S 2
=
=
=
=
SA + SB
SB + SC
SA + SC
SB SC + SA SC + SA SB
folgen
c2
a2
b2
h2C
=
=
=
=
a2 + b2 − 2SC
c · c B + SC
c · c A + SC
c A c B + SC
Läßt man jetzt SC gegen 0 gehen, erhält man drei berühmte Sätze fürs rechtwinklige Dreieck:
c2
a2
b2
h2C
=
=
=
=
a2 + b2
c · cB
c · cA
cA cB
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Kathetensatz
Höhensatz
2.1 Die Höhen
2.1.7
33
Ein anderer Beweis der Existenz des Höhenschnittpunktes
Die Höhen sind nicht nur Ecktransversalen sondern auch Senkrechte auf den Dreiecksseiten.
Deshalb kann man zum Beweis, daß sich die Höhen in einem Punkt schneiden außer dem
Satz von Ceva auch den Diagonalensatz, also Gleichung (16), verwenden. Allerdings kann man
diese Gleichung nicht mit den Höhenabschnitten herleiten, denn diese stetzen die Existenz des
Höhenschnittpunktes voraus. Aber man kann den Satz des Pythagoras verwenden (den kann
man unabhängig von den Höhen, direkt für ein rechtwinkliges Dreieck herleiten). Es ist
a2C = b2 − h2A , a2B = c2 − h2A
b2A = c2 − h2B , b2C = a2 − h2B
c2B = a2 − h2C , c2A = b2 − h2C
Addition dieser Gleichungen führt auf
a2C + b2A + c2B = a2 + b2 + c2 − h2A − h2B − h2C
a2B + b2C + c2A = a2 + b2 + c2 − h2A − h2B − h2C
also auf (16). Folglich schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt.
2.1.8
Der cos-Satz
cos α =
2.1.9
2cA c
2SA
(SA + SC ) + (SA + SB ) − (SB + SC )
b2 + c2 − a2
cA
=
=
=
=
b
2bc
2bc
2bc
2bc
Weitere Formeln
2SB = c2 + a2 − b2
4s2b = 2c2 + 2a2 − b2
Hieraus folgt
4SB + b2 = 4s2b
Aus
SC +
c 2
2
= s2c
folgt für γ −
→ 90◦ .
c 2
= s2c = R2
2
2.1.10
Weiter. Gedanken
• Alle symmetrischen Polynome der zyklischen Größen berechnen.
• Kann man a2 + b2 + c2 − h2A − h2B − h2C zusammenfassen? Z.B. indem man S = ...h2A
schreibt.
•
34
2 DAS DREIECK
2.1.11
Reste
Aus Formel (4) für den Flächeninhalt des Dreiecks △ABC und (19) folgt
1 2S 2S 2S
1
r,
+
+
S = p · r = (a + b + c)r =
2
2 hA hB hC
also
1
1
1
1
=
+
+
.
r
hA hB hC
35
2.2 Das Höhenfußpunktsdreieck
2.2
Das Höhenfußpunktsdreieck
C
γ
α β′
′
aC
bC
hγ
HA
HB
α
α′ ′ α
α
β
β′
ha
β β′
hb
γ
αβ
Hγ
βα
aB
bA
hc
hα
γ′
γ′
γ′γ′
α β′
A
hβ
γ
cA
γ
HC
α′
cB
β
B
Die Fußpunkte der Höhen HA , HB und HC bilden ein besonderes Dreieck – das Höhenfußpunktsdreieck. Seine Innenwinkel lassen sich leicht bestimmen:
Die Dreiecke △AHC H und △AHB H sind rechtwinklige Dreiecke über der gemeinsamen Hypothenuse AH. Also ist das Viereck 2AHC HHB ein Sehnenviereck. Der Mittelpunkt seines
Umkreises halbiert AH = hα . Analog sind 2BHA HHC und 2BHB HHA Sehnenvierecke. Nach
dem Peripheriewinkelsatz ist ∢AHHC = ∢AHB HC = β und damit ∢HC HB H = β ′ . Analog
gilt ∢HA HB H = β ′ , ∢HB HA H = ∢HC HA H = α′ und ∢HA HC H = ∢HB HC H = β ′ . Damit
folgt für die Innenwinkel des Höhenfußpunktsdreiecks
∢HB HA HC = 2α′ , ∢HC HB HA = 2β ′ , ∢HA HC HB = 2γ ′ .
Außerdem folgt aus dieser Herleitung der bemerkenswerte
Satz:
Die Höhen eines Dreiecks sind die Winkelhalbierenden seines Höhenfußpunktsdreiecks.
Die Höhen Im Dreieck △ABC sind die Winkelhalbierenden im Höhenfußpunktsdreieck △HA HB HC .
Der Feuerbachsche Kreis ist der Umkreis des Höhenfußpunktsdreieck.
Die Vierecke 2AHC HHB , 2BHA HHC und 2CHB HHA sind Sehnenvierecke.
Es gelten die Ähnlichkeiten
△ABC ≈ △HA BHC ≈ △AHB HC ≈ △HA HB C ⇐⇒ 1 : cos β : cos α : cos γ
36
2 DAS DREIECK
Hieraus folgen die Längen
da = HB HC = a cos α , db = HA HC = b cos β , dc = HA HB = c cos γ
und die Winkel
αf = 2α′ = π − 2α , βf = 2β ′ = π − 2β , γf = 2γ ′ = π − 2γ
Ist α1 = αf der Innenwinkel des Höhenfußpunktsdreiecks und α2 = (αf )f der Innenwinkel des
Höhenfußpunktsdreiecks des Höhenfußpunktsdreiecks, so gilt α2 = π − 2αf = 4α − π. Analog
folgt α3 = 3π − 8α, α4 = 16α − 5π, ... Allgemein gilt
2k − (−1)k
k
k
αk = (−1) 2 α −
π
3
In dieser Formel kann k auch negativ werden. Mit wachsendem k geht αk gegen 60◦ .
37
2.3 Die Mittelsenkrechten, der Umkreis und die Eulersche Gerade
2.3
Die Mittelsenkrechten, der Umkreis und die Eulersche Gerade
C
′
α
α′
aC
bC
α−β
R
HA
hγ
HB
ha
hb
Mb
mb
α β
γ Hγ
β α
Ma
ma
e
bA
β
hα
Oα
hβ
γ γ
R
hc
γ′ γ − β
γ′
A
aB
β α
mc
R
γ − α γ′
γ′
cA
HC
Mc
cB
B
Der Mittelpunkt des Umkreises O ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf den Dreiecksseiten. Als Längen der Mittelsenkrechten ma , mb und mc zählen die Abstände zwischen
Umkreismittelpunkt und Seiten (also die Länge des Lotes vom Punkt O auf die Seiten). Wegen ∢ACB = γ folgt aus dem Peripherie–Zentriwinkel–Satz ∢AOB = 2γ, also ∢AOMc = γ.
Analog folgen die Größen der anderen Winkel mit Scheitelpunkt O. Aus der Ähnlichkeit der
Dreiecke △OMaC ∼ △AHC C (rechtwinklige Dreiecke mit gemeinsamem Winkel α) folgt
cA
ma
.
a =
hC
2
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke △AHC H ∼ △CHC B (rechtwinklige Dreiecke mit gemeinsamem Winkel β) folgt
hC
cA
hα
cA
=
=⇒
=
.
hα
a
hC
a
Hieraus läßt sich die Länge der Mittelsenkrechten ma und analog die Längen der Mittelsenkrechten mb und mc bestimmen:
hα = 2ma , hβ = 2mb , hγ = 2mc .
Ebenfalls aus der Ähnlichkeit der Dreiecke △OMa C ∼ △AHC C folgt
b
R
.
a =
hC
2
38
2 DAS DREIECK
Setzt man für hC den Wert aus 2S = chC ein, erhält man die Länge des Umkreisradius’
R=
a·b·c
.
4S
Die Strecke HO wird Eulersche Gerade genannt. Auf ihr liegen neben Umkreismittelpunkt und
Höhenschnittpunkt noch weitere bemerkenswerte Punkte.
Die Orientierung der Eulerschen Geraden bezüglich der Dreiecksseiten hängt von den Winkeln
ab. Im gezeichneten Fall lassen sich die Winkel, unter denen die Eulersche Gerade von den
Eckpunkten aus erscheint, so berechnen:
∢HAO = α − 2γ ′ = α − 2(90◦ − γ) = α + 2γ − 180◦ = α + 2γ − (α + β + γ) = γ − β
Analog gilt ∢HBO = γ − α und ∢HCO = α − β. Diese Formeln sind natürlich nur für
γ > α > β richtig. Im allgemeinen gilt
∢HAO = |β − γ| , ∢HBO = |γ − α| , ∢HCO = |α − β| .
Für die Länge der Eulerschen Geraden erhält man:
e2 = R2 + h2α − 2Rhα cos(γ − β) =
a2 b2 c2 a2 SA2
2abc · a · SA =
cos
γ
cos
β
+
sin
γ
sin
β
=
+
−
16S 2
4S 2
4S 2
2abc · a · SA SC SB
2S · 2S
a2 b2 c2 a2 SA2
+
−
+
=
16S 2
4S 2
4S 2
ab · ac
ab · ac
Hieraus folgt
16S 2e2 = a2 b2 c2 + 4a2 SA2 − 4SA SC SB − 16S 2SA =
= 4S 2 (SA + SC + SB ) − 9SA SC SB
und schließlich
4e2 = (SA + SC + SB ) −
1
9SA SC SB
1
9SA SC SB
= (a2 + b2 + c2 ) −
= (a2 + b2 + c2 ) − 9I7
2
2
4S
2
4S
2
39
2.4 Die Seitenhalbierenden
2.4
Die Seitenhalbierenden
C
γ β
α
A′
2
s
3 a
b
2
a
2
1
s
2 c
G′
Mb
α
γ β
1
s
6 c
1
s
3 b
a
4
b
2
1
s
2 a
1
s
3 a
G
1
s
6 a
a
4
α
A
1
s
3 a
β
cA
β γ α
Mc
Ma
b
4
1
s
6 b
1
s
3 c
αγ
b
4
hC
a
2
1
s
2 b
β
c
2
γ
B
cA
B′
Aus der Umkehrung des Satzes von Ceva folgt sofort, daß sich die Seitenhalbierenden in einem
Punkt G schneiden. Dieser Punkt wird Schwerpunkt genannt.
Für viele Aufgaben, in denen Seitenhalbierende vorkommen, ist es nützlich, das aus zwei Dreiecken △ABC gebildete Parallelogramm 2ABA′ C zu betrachten. Aus dem Satz des Pythagoras
folgt
(c + cA )2 + h2C = (2sa )2
b2 = c2A + h2C
Außerdem gilt
b2 + c2 − a2 = 2SA = 2c · cA .
Addiert man diese drei Gleichungen, erhält man
(c + cA )2 + h2C + b2 + b2 + c2 − a2 = (2sa )2 + c2A + h2C + 2c · cA
oder
2b2 + 2c2 = (2sa )2 + a2 .
Aus dieser Formel kann man die Länge der Seitenhalbierenden sa bestimmen. Berücksichtigt
man, welche Bedeutung b, c, a und 2sa für das Parallelogramm 2ABA′ C haben, erhält man
folgenden
Satz:
In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen.
40
2 DAS DREIECK
Analog erhält man folgende Formeln zur Bestimmung der Längen der Seitenhalbierenden aus
den Seitenlängen:
1 2 1 2 1 2
b + c − a
2
2
4
1 2 1 2 1 2
c + a − b
=
2
2
4
1 2 1 2 1 2
=
a + b − c
2
2
4
s2a =
(20)
s2b
(21)
s2c
(22)
Die Strecken Mc G und BG′ sind parallel. Aus dem Strahlensatz folgt dann sofort, daß der
Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 teilt. Hieraus folgt, daß die sechs Dreiecke, die durch Schwerpunkt und je einen Eckpunkt und Seitenmittelpunkt gebildet werden,
flächengleich sind. Der Flächeninhalt jedes dieser Dreiecke ist also 61 S.
Aus den Formeln (20) – (22) folgt
3
s2a + s2b + s2c = (a2 + b2 + c2 ) .
4
Außerdem kann man sie verwenden, um die Seitenlängen durch die Längen der Seitenhalbierenden auszudrücken:
8 2 8 2 4 2
s + s − s
9 b 9 c 9 a
8 2 8 2 4 2
s + s − s
=
9 c 9 a 9 b
8 2 8 2 4 2
=
s + s − s
9 a 9 b 9 c
a2 =
b2
c2
Hieraus erkennt man, wie man ein Dreieck aus gegebenen Seitenhalbierenden konstruieren kann.
Das geht aber auch einfacher, indem man als erstes das Hilfsdreieck △GBG′ aus den Seitenlängen 32 sb , 23 sc und 32 sa konstruiert. Der Flächeninhalt des Dreieck △GBG′ beträgt 13 S.
Benutzt man für dieses Dreieck die Heronsche Formel, erhält man
S 2 = 9ps (ps − sa )(ps − sb )(ps − sc ) ,
wobei ps = 21 (sa +sb +sc ) der halbe Umfang des aus den Seiten sa , sb und sc gebildeten Dreiecks
ist. Die Konstruktion dieses Dreiecks ist nur möglich, wenn sa < sb + sc und die entsprechenden
beiden anderen Dreiecksungleichungen erfüllt sind.
41
2.4 Die Seitenhalbierenden
Der Schwerpunkt G liegt auf der Eulerschen Geraden und teilt sie im Verhältnis 1:2. Das kann
man sich folgendermaßen klar machen (siehe folgendes Bild): Es sei G′ der Schnittpunkt der
Eulerschen Geraden mit sc . Es gilt △ACH ∼ △Mc OMa , da die Seiten paarweise parallel sind.
Außerdem ist Mc Ma : AC = 1 : 2, also auch HC = 2OMc (dieses Ergebnis 2mc = hγ wurde
schon früher rechnerisch erhalten). △CHG′ ∼ △Mc OG′ ebenfalls wegen paarweise paralleler
Seiten. Wegen HC = 2OMc folgt HG′ = 2G′ O und CG′ = 2G′ Mc , das heißt, G′ teilt die
Eulersche Gerade und die Seitenhalbierende sc im Verhältnis 1:2. Das letztere gilt aber gerade
für den Schwerpunkt. Also ist G = G′ .
C
aC
bC
R
HB
ha
hb
Mb
HA
hγ
H
Ma
mb
ma
e
G′
bA
aB
hβ
O
hα
R
hc
A
cA
HC
mc
R
MC
cB
B
42
2 DAS DREIECK
2.5
Das Höhen-Seitenhalbierenden-Dreieck
Dreht man das Dreieck △CB AB B um 90◦ , geht der Punkt CB in den Punkt A über und es
entsteht ein Dreieck △BAB C. Nach dem Strahlensatz ist die Seite AAB doppelt so lang wie
die Seitenhalbierende sb . Folglich ist |CB AB | = 2sb . Diesem Bild man man auch die Größe der
Winkel, nämlich β1 und β2 zu entnehmen.
Es gilt
α
β
γ
αs
βs
γs
=
=
=
=
=
=
α1 + α2
β1 + β2
γ1 + γ2
β1 + γ2
γ1 + α2
α1 + β2
Durch Projektion des Punktes AB auf CB B ′ und analoge Projektionen erhält man
a + aB
c + cB
b + bC
a + aC
c + cA
b + bA
=
=
=
=
=
=
cβ sin β
aβ sin β
aγ sin γ
bγ sin γ
bα sin α
cα sin α
Hieraus erhält man für den Flächeninhalt
ac + caB + acB + aB cB
(a + aB )(c + cB )
=
=
2S△CB B′ AB = aβ cβ sin β =
sin β
sin β
ac sin β + caB sin β + acB sin β + aB cB sin β
=
=
sin2 β
2S△ABC + 2S△ABHA + 2S△BCHC + 2S△HC BHA
=
sin2 β
Es ist also
S△CB B′ AB sin2 β = S△ABC + S△ABHA + S△BCHC + S△HC BHA
Hieraus läßt sich S△A′ B′ C ′ berechnen.
2.5.1
Das Sechseck
S6−Eck = 4S + a2 + b2 + c2 = 4S(cot α + cot β + cot γ + 1) = 2(SA + SB + SC − 2S)
2.5.2
Weiter
• Flächeninhalt S△A′ B′ C ′ berechnen.
• Wo ist der Schnittpunkt von A′ A, B ′ B, ...
• Was ist |A′ B ′ |? Was ist der Streckungsfaktor von S△A′ B′ C ′ zu S△ABC ?
•
43
2.6 Der Feuerbachsche Kreis
2.6
Der Feuerbachsche Kreis
Der Umkreis des Höhenfußpunktsdreiecks △HA HB HC wird Feuerbachscher Kreis genannt. Sein
Mittelpunkt sei F . Neben den Höhenfußpunkten liegen noch viele weitere interessante Punkte
auf diesem Kreis. Die Halbierungspunkte der oberen Höhenabschnitte seien Hα , Hβ und Hγ .
Im folgenden Bild ist der Feuerbachscher Kreis und zwei weitere Kreise eingezeichnet, der Kreis
um Mb mit Radius 2b (auf ihm liegen A, C und nach dem Thalessatz HB und HA ) und der
Kreis um Hγ mit Radius h2γ (auf ihm liegen nach dem Thalessatz H, HB und HA ).
C
α′ α′
aC
bC
Hγ
R
HB
β′
β′
Mb
mb
HA
hγ
α′ ′
α
ha
hb
α β
γ Hγ
β α
Ma
e
ma
F
bA
β
Hα
hα
γ
Oα
γ γ
hβ
Hβ
hc
R
γ′ γ′
′
aB
β α
mc
R
γ′
γ′
γ′
A
cA
HC
Mc
cB
B
Der Feuerbachsche Kreis wird auch Neun-Punkte-Kreis genannt, weil auf ihm neben HC , HB
und HA auch die Punkte Hα , Hβ , Hγ und Ma , Mb und Mc liegen.
Beweis: Nach dem Peripherie-Zentriwinkelsatz gilt ∢HB Hγ H = 2∢HB CH = 2α′. Also ist
∢HB Hγ HC = 2α′ . Die beiden Winkel ∢HB Hγ HC und ∢HB HA HC sind also gleich und liegen
über derselben Sehne HB HC . Folglich liegt Hγ auf demselben Kreis wie HC , HB und HA . Analog
kann man zeigen, daß Hα und Hβ auf dem Feuerbachschen Kreis liegen.
Ebenfalls nach dem Peripherie-Zentriwinkelsatz gilt ∢AMb HC = 2∢ACH = 2α′ . Der Winkel
∢AMb HC ist der Außenwinkel am Punkt Mc im Viereck 2Mb HB HA HC und genausogroß wie der
gegenüberliegende Innenwinkel ∢HB HA HC . Also ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel
∢HB HA HC und ∢HB Mc HC zu 180◦ und 2Mb HB HA HC ist ein Sehnenviereck. Folglich liegt
Mb auf demselben Kreis wie HC , HB und HA . Analog kann man zeigen, daß Ma und Mc auf
dem Feuerbachschen Kreis liegen.
Der Mittelpunkt F des Feuerbachschen Kreises liegt damit auf den Mittelsenkrechten der
44
2 DAS DREIECK
Strecken HA Ma , HB Mb und HC Mc und somit auf der Eulerschen Geraden. △CHO ∼ △Mc OF ,
da die Seiten paarweise parallel sind. Außerdem ist das Ählichkeitsverhältnis 2 : 1. Also halbiert
F die Eulersche Gerade und es gilt RF = F MC = 12 R.
2.7
Der Inkreis und die Ankreise
Ein Kreis, der durch drei gegebene Punkte geht ist eindeutig bestimmt. Es ist der Umkreis
des aus den Punkten gebildeten Dreiecks. Ein Kreis, der drei gegebene Geraden berühert ist
nicht eindeutig bestimmt. Der Inkreis ist unter allen diesen Kreisen der, im Inneren des aus
den Geraden gebildeten Dreiecks liegt. Die drei anderen möglichen Kreise sind die Ankreise des
Dreiecks. Sie berühren je eine Seite des Dreiecks und die Verlängerungen der beiden anderen
Seiten.
AC
ra
p-b
BC
p-a
IA
rb
ab
Cγ
ba
γ
IB
′
p-a γ ′ γ p-b
p-c
wB
Ibb
a-c
Wb
Ib r
bc
wγ
γ
α
rb
BA
p-c
p-c p-a
p-c
Aα
α′ ′
α
α
wα
p-a
p-b
Ia Wa
c-b
r
Iaa
I
α β
wA
ac
ra
p-c
AB
β
r
Ic a-b
Wc
p-b
wβ
Icc
p-c
β′
β
β
β′
p-b
p-a
B
p-a
p-b
cb
CA
wC
CB
ca
rc
rc
IC
45
2.7 Der Inkreis und die Ankreise
Die Innenwinkel sind hier ausnahmsweise statt mit α, β und γ mit 2α′ , 2β ′ und 2γ ′ bezeichnet.
Damit erhält man die gleiche Winkelkonstellation wie im Höhenfußpunktsdreieck.
Die Mittelpunkte der Ankreise IA , IB und IC sind die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden
der Innen- und Außenwinkel. Da die Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels senkrecht aufeinander stehen sind die Winkelhalbierenden der innenwinkel des △ABC gleichzeitig
die Höhen im △IA IB IC . Das ist die Umkehrung des Satzes über die Winkelhalbierenden im
Höhenfußpunktsdreieck.
Die Längen der Abschnitte, in die die Berührungspunkte des Inkreise die Dreiecksseiten teilen,
lassen sich leicht bestimmen. Es seien
AIc = AIb = x , BIa = BIc = y , CIb = CIa = z
(die Gleichheiten folgen aus dem Tangentenabschnittssatz). Dann gilt
x + y = c, y + z = a, z + x = b.
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist
1
(b + c − a) = p − a
2
1
(c + a − b) = p − b
y =
2
1
z =
(a + b − c) = p − c
2
x =
Auch die Längen der Abschnitte, in die die Berührungspunkte der Ankreise die Dreiecksseiten
teilen, lassen sich leicht bestimmen. Es folgt wieder aus dem Tangentenabschnittssatz
b + ACA = a + BCB , c = AIcc + Icc B = ACA + BCB
und hieraus
ACA = AIcc = p − b
BCB = Icc B = p − a
und analog die anderen Längen (siehe Bild). Hieraus folgt u.a.
AAB = AAC = BBA = BBC = CCA = CCB = p .
Die Winkelhalbierenden und Verbindungslinien der Ankreismittelpunkte zerlegen die Figur in
sechs rechtwinklige Dreiecke, von denen es drei Gruppen ähnlicher Dreiecke gibt. Hieraus folgen
Streckenverhältnisse:
r
ra
p−b
p−c
=
=
=
p−a
p
rc
rb
p−a
rb
p−c
r
=
=
=
p−b
p
ra
rc
r
rc
p−a
p−b
=
=
=
p−c
p
rb
ra
rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln α, α′
rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln β, β ′
rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln γ, γ ′
1
1
1
1
S = a · r + b · r + c · r = (a + b + c) · r = p · r
2
2
2
2
(23)
46
2 DAS DREIECK
Aus Formel (23) für den Flächeninhalt des Dreiecks △ABC und (19) folgt
1
1 2S 2S 2S
S = p · r = (a + b + c)r =
r,
+
+
2
2 hA hB hC
also
1
1
1
1
+
+
.
=
r
hA hB hC
Aus Formel (23) folgt weiter
S = p · r = ra (p − a) = rb (p − b) = rc (p − c)
ra =
S
S
S
, rb =
, rc =
p−a
p−b
p−c
=⇒ S 2 = r · ra · rb · rc
Weiter ergibt sich aus den Streckenverhältnissen:
ra · rb = p(p − c)
rb · rc = p(p − a)
rc · ra = p(p − b)
r · ra = (p − b)(p − c)
r · rb = (p − c)(p − a)
r · rc = (p − a)(p − b)
ra · rb − r · rc = p(p − c) − (p − a)(p − b) = p2 − p2 − p(a + b − c) − ab =
1
1
2
2
(a + b + c)(a + b − c) − 2ab =
(a + b) − 2ab − c =
=
2
2
1 2
=
(a + b2 − c2 ) = SC
2
SA = r b · r c − r · r a
SB = r c · r a − r · r b
SC = r a · r b − r · r c
a2 = SB + SC = rc · ra − r · rb + ra · rb − r · rc = (rb + rc )(ra − r)
b2 = SC + SA = ra · rb − r · rc + rb · rc − r · ra = (rc + ra )(rb − r)
c2 = SA + SB = rb · rc − r · ra + rc · ra − r · rb = (ra + rb )(rc − r)
SA + SB + SC = ra · rb + rb · rc + rc · ra − r(ra + rb + rc )
ra · rb + rb · rc + rc · ra = SA + SB + SC + r(ra + rb + rc ) =
1 2
=
(a + b2 + c2 ) + (p − a)(p − b) + (p − b)(p − c) + (p − c)(p − a) =
2
1 2
(a + b2 + c2 ) + 3p2 − 2p(a + b + c) + ab + bc + ca =
=
2
1
(a + b + c)2 − p2 = 2p2 − p2 = p2
=
2
2.7 Der Inkreis und die Ankreise
47
Dividiert man diese Formel durch ra · rb · rc , erhält man
1
1
1
p2
S2
1
+ + =
= 2
=
ra rb rc
ra · rb · rc
r · ra · rb · rc
r
und nebenbei
r(ra + rb + rc ) = ab + bc + ca − p2 .
Hieraus folgt
abc = p − (p − a) p − (p − b) p − (p − c) = p3 − p2 (p − a) + (p − b) + (p − c) +
+ p (p − a)(p − b) + (p − b)(p − c) + (p − c)(p − a) − (p − a)(p − b)(p − c) =
S2
= pr(ra + rb + rc ) − pr 2
= p(ab + bc + ca) − p3 −
p
und nach Division durch pr = S
ra + rb + rc = 4R + r .
Nach dem Satz des Pythagoras erhält man für die Abstände der Eckpunkte von den Ankreismittelpunkten (z.B. CIA = ab )
S2
p(p − b)(p − c)
+ (p − b)2 =
+ (p − b)2 =
2
(p − a)
p−a
p − b
p−b
p − b
2
p(p − c) + (p − b)(p − a) =
2p − p(a + b + c) + ab =
ab
=
p−a
p−a
p−a
a2b = ra2 + (p − b)2 =
Analog erhält man
p−b
ab
p−a
p−a
rb2 + (p − a)2 =
ab
p−b
p−c
ac
ra2 + (p − c)2 =
p−a
p−a
rc2 + (p − a)2 =
ac
p−c
p−b
rc2 + (p − b)2 =
bc
p−c
p−c
bc
rb2 + (p − c)2 =
p−b
a2b = ra2 + (p − b)2 =
b2a =
a2c =
c2a =
c2b =
b2c =
Hieraus erhält man
ab bc ca = ac ba cb = a b c = 4R r p
48
2 DAS DREIECK
Ebenfalls nach dem Satz des Pythagoras erhält man für die Längen der Winkelhalbierenden
S2
(p − a)(p − b)(p − c)
wα2 = r 2 + (p − a)2 = 2 + (p − a)2 =
+ (p − a)2 =
p
p
p−a
p − a
=
(p − b)(p − c) + p(p − a) =
bc
p
p
p−b
wβ2 = r 2 + (p − b)2 =
ac
p
p−c
ab
wγ2 = r 2 + (p − c)2 =
p
p−b
p−c
ab 2
wA
= a2b + wγ2 =
p(p − b) + (p − a)(p − c) =
ab +
ab =
p−a
p
p(p − a)
2
a
a bc
=
4Rr
=
p(p − a)
p−a
ab2 c
b
2
wB
=
=
4Rr
p(p − b)
p−b
c
abc2
2
=
4Rr
wC =
p(p − c)
p−c
Hieraus erhält man
wα · wβ · wγ = 4Rr 2
wA · wB · wC = 16R2 r
Das Produkt der beiden Winkelhalbierendenabschnitte ist – genau wie das Produkt der beiden
Höhenabschnitte – konstant. Es gilt also
wα · wA = wβ · wB = wγ · wC =
√
√
3
3 w · w · w · w
64R3 r 3 = 4R r
α
β
γ
A · wB · wC =
Für die Seitenlängen des Dreiecks △IA IB IC erhlat man
ab + ba =
√
= c
ca + ac
bc + cb
ab
s
s
s
r
p−b √
p−a
ab
+ ab
=
(p − a + p − b) =
p−a
p−b
(p − a)(p − b)
ab
(p − a)(p − b)
r
ac
= b
(p − a)(p − c)
s
bc
= a
(p − c)(p − b)
2.7 Der Inkreis und die Ankreise
49
Für die Gesamtlänge der Winkelhalbierenden folgt
abc2
p−c
−
bc =
(p − a)(p − b) p − b
bc
bcp
bc
ac − (p − c)(p − a) =
p(p − b) =
=
(p − a)(p − b)
(p − a)(p − b)
p−a
acp
=
p−b
abp
=
p−c
(wA + wα )2 = (ab + ba )2 − b2c =
(wB + wβ )2
(wC + wγ )2
Hieraus folgt
(abc)2
(4SR)2 p
(ab + ba )(bc + cb )(ca + ac ) =
=
= 16R2 p
2
(p − a)(p − b)(p − c)
S
s
p3 a2 b2 c2
abcp2
=
= 4Rp2
(wA + wα )(wB + wβ )(wC + wγ ) =
(p − a)(p − b)(p − c)
S
Die Winkelhalbierenden teilen die gegenüberliegende Dreiecksseite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Das heißt, es gilt
Wa B
c
=
b
Wa C
Hieraus folgt mit Wa B + Wa C = a (und analog für die zyklisch vertauschten Größen):
c
b
a, Wa C =
a
b+c
b+c
c
a
Wb A =
b, Wb C =
b
a+c
a+c
b
a
c, Wc B =
c
Wc A =
a+b
a+b
Wa B =