Der Maxwellsche Dämon

Der Maxwellsche Dämon
Proseminar Sommersemester 2010
Von René Florin Wegner
Inhaltsangeabe
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Einleitung,
l
Das Gedankenexperiment
d k
Geschichte (des Maxwellschen Dämons)
Grundlagen (Thermodynamik)
Ratsche mit Sperrhaken
Szilards Modell
Temperatur‐ Dämon
Quellen
Das Gedankenexperiment
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Maxwellscher
ll h Dämon: „A hypothetical
h
h
l being
b
off intelligence
ll
b molecular
but
l l
order of size imagined to illustrate limitations of the second law of
thermodynamics.“ [Webster`s Third New International Dictionary]
Namengebung: „Dämon“ war 1874 von William Thomson)
Maxwellsche
ll h Dämon:
ä
G d k
Gedankenexperiment.
i
Apparatur , die Teilchen in einem abgeschlossenen System so behandeln
((z.B. sortieren),
), dass gegen
g g den zweiten Hauptsatz
p
der Thermodynamik
y
verstoßen wird.
Die Entropie der Teilchen wird ohne Arbeit verringert.
→ Di
Die Gesamtentropie
G
i des
d SSystems scheint
h i zu ffallen.
ll
Geschichte
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3 Phasen
h
für
f d
die Geschichte
h h d
des Maxwellschen
ll h Dämons
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Erste Phase: 1867 – 1929
1867 James Clark Maxwell hatte die Idee
1871 „Theory of Heat“ vorgestellt, um die Grenzen des zweiten
Hauptsatzes der Thermodynamik nahezu legen.
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Dieser Dämon war ein „Temperatur‐Dämon
Temperatur Dämon“
Später (1874 ++) folgten noch viele andere dieser Dämonen, die den
zweiten Hauptsatz der Thermodynamik widersprechen wollten.
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Zweite Phase:
h
1929 – 1961
Leo Szilard veröffentliche 1929: Entropie ~ Informationen
Nebeneffekt: Erfindung des bits (binary digit)
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1951 Shanon Beginn der informationstheoretischen Betrachtung des
Dämons.
Angenommen der Dämon misst durch sehen.
Leon Brillouin und Dennis Gabor: Maxwellschen Dämon exorziert,
exorziert da
über die Photonen die Entropie erhöht wird. Bzw. Stöße verhindern das
genaue Messen.
→ die Existenz von negativer Informations‐ Entropie
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Dritte Phase: ab 1961
1961 Rolf Landauer entdeckte den Landauer Effekt, dass Informations‐
Löschung
h
b
bei Computern d
die Entropie der
d Umgebung
b
erhöhen.
h h
Diskussion über Messungen
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Unabhängig vom Licht als Träger von negativer Entropie
Der Dämon misst und braucht ein Gedächtnis
Hauptsätze der Thermodynamik
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Erster Hauptsatz:
Die totale Energieänderung eines Systems erfolgt durch Austausch von Arbeit und
Wärme.
Sei U die innere Energie, W die verrichtete Arbeit und Q die Wärmemenge
∆U = ∆W + ∆Q
Zweite Hauptsatz:
Es gibt kein Prozess, in dem die Gesamtentropie abnimmt.
→In allen irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie S zu.
∆S > 0
→In allen
ll reversiblen
bl Prozessen bleibt
bl b d
die Entropie konstant.
k
∆S = 0
(Es muss Arbeit von außen aufgewandt werden um die Entropie zu senken.)
Entropie
dQ
∆S = ∫
T
S = k ⋅ ln(Ω)
Ω = Anzahl der Mikrozustände\Realisierungsmöglichkeiten; T = Temperatur;
Bsp N Teilchen befinden sich im Volumen V1 , welches unter Austausch
Bsp.
von Arbeit auf V 2 verändert wird. [wir wissen dQ = P ⋅ dV ; P = N ⋅ k ⋅ T ] →
V
 V2 
dQ 2 N ⋅ k ⋅ T dV
∆S = ∫
=∫
⋅
= N ⋅ k ⋅ ln
T
V
T
 V1 
V1
V
→ Di
Die Entropie
E
i der
d einzelnen
i l
TTeilchen
il h lä
lässt sich
i h ((zu mindestens
i d
hi
hier))
Aufsummieren.
Vergrößert
g
sich das Volumen,, so vergrößert
g
sich die Entropie.
p
Offensichtlich sind mit größeren Volumen mehr Mikrozustände möglich.
Ratsche mit Sperrhaken
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Die Ratsche
h mit Sperrhaken
h k ist ein Apparatur, die
d d
dem 2. Hauptsatz
wiederlegen soll.
zwei isolierte Systeme
y
mit Gas der Temperatur
p
T 1 und T2
Im ersten befindet sich ein gezacktes Rad mit Sperrhaken, welches über
eine nicht (Wärme‐) leitende Achse mit ein Flügelrad in zweitem System
starr verbunden ist
ist.
Funktionsweise
Der Sperrhaken
D
S
h k und
dd
das gezackte
kt Rad
R d lassen
l
nur B
Bewegungen d
des
Flügelrades in einer bestimmten Richtung zu. Damit können die
Gasteilchen, welche einen Impuls von beiden Seiten übertragen, das
System auf der Achse nur in einer Richtung drehen
drehen.
Beim Drehen der Achse wird ein Arbeit an einem Gewicht über eine Spule
in der Mitte der Achse verrichtet. Das so entstandene Drehmoment
nennen wir
i L und
dd
den Wi
Winkel
k l um d
den sich
i h di
die A
Achse
h d
dreht
ht θ.
θ
Bei genauerer Betrachtung des Sperrhakens fällt auf, dass (z.B.) eine Feder
diesen in Spannung hält. Dadurch wird beim Drehen in die Durchgangs
Ri h
Richtung
di
die FFeder
d gedehnt
d h und
db
beim
i springen
i
d
des H
Hakens
k
A b i W am
Arbeit
gezacktem Rad verrichtet. Weshalb sich das erste System aufheizt und das
zweite abkühlt.
Wie wir sehen, wird eine Temperaturdifferenz erzeugt und glz. Arbeit an
einem externen Objekt verrichtet, ohne selbst Arbeit aufzuwenden.
Damit widerspricht die Apparatur dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Lösung
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Bereits klassisch
kl
h llässt sich
h mit d
der Brownschen
h Bewegung erklären,
kl
d
dass
es die mit der Temperatur ansteigende Wahrscheinlichkeit gibt, dass die
Feder der Sperre so weit ausgelengt (durch Schwingung) wird, dass das
gezackte Rad durch rutscht und sich in der eigentlich nicht zugelassene
Richtung bewegt.
Die Wahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit dass ein Teilchen im System 2 so stark stößt,
stößt dass
sich das Rad in die Durchlassrichtung sich dreht ist ∝ P ( L ⋅ θ , T2 ) .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Feder durch die Brownsche Schwingung
soweit
i ausgelenkt
l k wird,
id d
dass d
das R
Rad
dd
durch
h flutscht
fl
h ist
i ∝ P (0, T1 )
 W +E
P( E , T ) = exp −

 k ⋅T 
Damit sehen wir, dass nur dann Arbeit verrichtet wird, wenn T1 < T2 ist.
Also wird der zweite Hauptsatz nicht widerlegt.
Silards Modell
Beschreibung
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Im Bild
ld ((a)) h
haben
b wir ein Molekül,
l k l welches
l h sich
h in einem Kasten befindet.
b f d
In (b) sieht man wie eine Trennwand aufgebaut wird (ohne Anwendung
von Arbeit)) und somit das Volumen halbiert. Nachdem der Ort des
Moleküls erneut bestimmt worden ist, (rechte Seite oder linke Seite) hat
sich die Entropie dieses Moleküls verringert. ∆S = −k ⋅ ln(2)
In (c) wird nun ein Gewicht an der Wand angebracht um aus dem
Druckunterschied der beiden Kammern Arbeit zu entnehmen. (d)
Zum Schluss wird dem Molekül aus der Umgebung soviel Wärmeenergie
hinzugefügt, dass wieder ein Thermisches‐ Gleichgewicht herrscht. (a)
Wie wir sehen entsteht ein Kreisprozess, welcher die Entropie des
Universums verringert.
verringert
Interpretation
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Das von (a)
( ) nach
h (b) d
die Entropie abnimmt
b
ohne
h Arbeit
b zu verrichten
h
ist
Unmöglich. Da trotzdem die Wand so beschaffen sein kann, dass an ihr
keine Arbeit beim einführen verrichtet wird, muss die Entropie zumindest
konstant geblieben sein.
Solange wir nicht messen kann das Teilchen noch überall sein. ∆S = 0
Nachdem Messen wissen wir,
wir dass das Molekül sich in eine der beiden
Kammern sich befindet. ∆S = −k ⋅ ln(2)
→ Die Messung muss die die Entropie um ∆S = k ⋅ ln (2) erhöht haben.
Klar ist:
– Die Messung wird Aufwendiger, je unwahrscheinlicher der Ort ist.
– Je
J unwahrscheinlicher
h h i li h der
d Ort
O ist,
i d
desto geringer
i
i di
ist
die Entropie.
E
i
Die Entropie‐Änderung wird ausgeglichen
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Eine Weitere Schussfolgerung erhalten wir, wenn wir die Wand wieder
entfernen (von (b) nach (a))
Wir geben die genauere Information über den Ort des Teilchen auf (wir
löschen Informationen) und die Entropie der Umgebung wird erhöht.
Di
Dieses
P
Prinzip
i i wurde
d von R
Rolf
lf LLandauer
d
1961 an Computern
C
t
experimentell
i
t ll
herausgefunden.
Das Löschen von Information erhöht die Entropie der Umgebung.
Der „Temperatur‐Dämon
Temperatur Dämon“
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Als B
Al
Beispiel
i i l eines
i
M
Maxwellschen
ll h Dämons
Dä
di
diente
t schon
h zu seiner
i
G
Geburt
b t
der „Temperatur‐Dämon“
Die Dazu gehörige Apparatur besteht aus zwei Gefäßen, die über eine
Trennwand
d mit einander
d verbunden
b d sind.
d
Der Dämon steht dabei außerhalb des Systems, so dass er keine Energie
aus dem System entziehen oder hinzufügen kann.
Nun hat der Dämon die Möglichkeiten:
1. Die Teilchen im Gefäß zu beobachten und ihre Geschwindigkeiten
einzuschätzen (messen).
2. Eine in der Trennwand angebrachte Tür so zu öffnen und zu schließen,
dass die auf der Tür zufliegenden Teilchen nach ihrer Geschwindigkeit
in die beiden Gefäße sortiert werden.
werden
→Es entsteht eine Temperaturdifferenz, ohne am Gas Arbeit verrichtet zu
haben.
Hier lässt der Dämon die schnellen Teilchen nur
von rechts nach links durch das Ventil kommen und
die langsamen nur von links nach rechts .
Lösung
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Obwohl
b hl d
der Dämon außerhalb
ß h lb d
der Apparatur ist, so wechselwirkt
h l k er
trotzdem mit den Teilchen innerhalb der Apparatur, indem er deren
Informationen aufnehmen und verarbeiten muss.
Ansatz 1. Der Dämon kommuniziert mittels Lichtsignalen.
→ die absorbierten Photonen ändern den Impuls des Dämons, so dass er
nie in Ruhe ist,
ist um eine genaue Messung der Geschwindigkeiten
vorzunehmen.
Daher kann der Dämon keine relevante Temperaturdifferenz schaffen.
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Allgemein könnte der Dämon die Informationen auch anders aufnehmen.
Es muss also in der Verarbeitung von Informationen liegen
liegen.
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Landauers Prinzip
Der Dämon nimmt Informationen über die Teilchen auf, weshalb sich
seine Entropie erhöht.
Er muss diese Informationen wieder löschen, da er sonst:
bei zu hoher Entropie zu „zerstreut“ist um zu funktionieren.
E kkann die
Er
di IInformationen
f
ti
nur löschen
lö h per Wechselwirkung
W h l ik
mit
it einem
i
anderen System.
Dadurch erhöht er die Entropie dieses Systems. Und die Entropie‐
Änderung aller beteiligten Systeme ist während des gesamten Prozesses
größer gleich 0. (natürlich auch vorher und nachher)
Quellen
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[[1]] Harvey S. Leff
ff and
d Andrew
d
F. Rex, Maxwell‘s
ll‘ Demon 2
[2] Feynman, Vorlesung über Physik 1,2