Beweistechniken - Universität Stuttgart

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8-10
Beweistechniken
von:
Stefan Behrendt
Christian Hauck
Yücel Köylü
Florina Stefanica
Betreuer:
StD’in Veronika Kollmann
(Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien), Stuttgart)
PD Dr. Peter Lesky
(Universität Stuttgart)
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis
1 Vorbemerkungen
4
1.1
Thema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Zielgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Unterrichtseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Aufbau des Dokuments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Mediale Ausstattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6
Form, Gestaltung und Ausdrucksweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7
Urheberrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Unterrichtseinheit 1 - Aussagenlogik
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Einführungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.2
Geschichtlicher Abriss zu mathematischen Beweisen . . . . . . . . . . . . . .
9
Begriffsbildung mathematische Aussagen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
”
Arbeiten mit Aussagen (Konjunktion, Disjunktion, Negation) . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1
Erklärung Wahrheitstabelle und Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Arbeiten mit Aussagen (Implikation, Äquivalenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1
Einführung der Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2
Übungen zur Implikation und Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Unterrichtseinheit 2 - Gegenbeispiel, Direkter Beweis
3.1
7
16
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1
Wissensbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2
Voraussetzung - Behauptung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3
Beweis durch Gegenbeispiel und direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4
3.3.1
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2
Erklärung Gegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.3
Erklärung direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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4 Unterrichtseinheit 3 - Beweis durch Kontraposition
4.1
4.2
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1
Wissensbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.3
Besprechung der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Indirekter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2
Bestimmung der Kontraposition eines mathematischen Satzes . . . . . . . . 27
4.2.3
Vorführung eines indirekten Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.4
Eigenständige Übungsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Unterrichtseinheit 4 - Beweis durch Widerspruch
5.1
23
32
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.1
Wissensbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.2
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2
Widerspruchsbeweis - Arbeitsblatt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3
Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Unterrichtseinheit 5 - Vollständige Fallunterscheidung
6.1
6.2
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.1
Wissensbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.2
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Beweis durch vollständige Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.1
Einstiegsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.2
Allgemeine Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.3
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Unterrichtseinheit 6 - Vollständige Induktion
7.1
7.2
36
44
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.1
Wissensbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.2
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Beweis durch vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.1
Einstiegsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.2
Allgemeine Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2.3
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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8 Unterrichtseinheit 7 - Übung
8.1
8.2
Inhaltsverzeichnis
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51
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.1.1
Wissensbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.1.2
Arbeitsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2.1
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2.2
Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 Abschlussbemerkungen
54
9.1
Erreichte Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.3
Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
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1
Vorbemerkungen
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Vorbemerkungen
Im Rahmen des Schülerseminars für mathematisch begabte Schüler der Klassen acht bis zehn
an Gymnasien wurde die Thematik Beweistechniken“ erarbeitet. Die vorliegende Unterrichtsvor”
bereitung soll dazu dienen, die Unterrichtsreihe selbst zu halten oder Anregungen zur eigenen
Unterrichtsgestaltung zu geben.
1.1
Thema
Das Thema der vorliegenden Unterrichtsvorbereitung lautet Beweistechniken“. Den Schülern sol”
len die grundlegenden Beweistechniken (direkter Beweis, indirekter Beweis, Beweis durch Widerspruch, vollständige Fallunterscheidung und vollständige Induktion) erläutert werden. Des weiteren
soll erreicht werden, dass die Schüler selbstständig aus dem so erarbeiteten Repertoire dem Beweis
entsprechende Techniken auswählen können. Aufgrund der geringen Dauer von sieben Unterrichtseinheiten zu jeweils 90 Minuten kann natürlich der letzte Punkt nur ansatzweise erreicht werden.
Diese Unterrichtsvorbereitung eignet sich zum ergänzenden Unterricht, da die Thematik in den
Lehrplänen in Baden-Württemberg nicht mehr auftaucht. Gerade für ein Studium, das tiefergehende Mathematik verlangt (nicht nur Mathematik und Physik, sondern auch zum Beispiel
Ingenieursstudiengänge), erweisen sich diese Kenntnisse als sehr nützlich und können die Anfangsschwierigkeiten des Studiums vermindern. Ebenso können hierauf aufbauend weitere mathematische Sachverhalte (zum Beispiel andere Unterrichtsvorbereitungen der Universität Stuttgart im
Rahmen des Schülerseminars) leichter bewiesen werden. Die Schüler erhalten also eine solide Basis
zur weiteren Arbeit.
1.2
Zielgruppe
Die Zielgruppe sind mathematisch begabte Schüler, die über den Schulstoff hinaus Mathematik
betreiben wollen.
Für den täglichen Unterricht ist diese Vorbereitung nicht geeignet, da sie für viele zu schwer
sein wird. Außerdem wird die Thematik in den aktuellen Lehrplänen Baden-Württembergs nicht
verlangt.
Entwickelt wurde der Unterricht für Schüler der achten bis zehnten Klasse. Durch entsprechende
Veränderungen kann aber auch eine andere Altersstruktur angesprochen werden. Vorausgesetzt
wird der Schulstoff bis ungefähr zur achten Klasse. Teilweise auch leicht darüber hinaus.
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1.3
Vorbemerkungen
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Unterrichtseinheiten
Die Vorbereitung besteht aus sieben Unterrichtseinheiten, die jeweils 90 Minuten dauern. Die bauen
zum Teil aufeinander auf, teilweise sind sie jedoch auch voneinander unabhängig. Somit können,
je nach Vorwissen der Schüler, die Unterrichtseinheiten eigenständig verwendet werden können.
Die Themen der Unterrichtseinheiten sind:
• Aussagenlogik: Für einige Beweistechniken und die Analyse der zu beweisenden mathematischen Sätze ist eine Unterrichtseinheit zu den aussagenlogischen Grundlagen unumgänglich.
Den Schülern werden hierbei die Grundlagen und die wichtigsten Verknüpfungen der Aussagenlogik erklärt.
Als Einführungsstunde beschäftigt sich diese Unterrichtseinheit auch mit einem kurzen geschichtlichen Abriss der Beweistechnik.
• Beweis durch Gegenbeispiel, direkter Beweis: In dieser Unterrichtseinheit werden die zwei
einfachsten Beweistechniken erläutert. In der Übung wird schon das übergreifende Lernziel
der selbstständigen Auswahl der Technik eingebracht.
Außerdem werden in dieser Unterrichtseinheit die Begriffe Voraussetzung und Behauptung
behandelt, um eine Basis zur Satzanalyse zu erhalten und dadurch einen korrekten Beweis
aufbauen zu können.
• Beweis durch Kontraposition: In dieser Unterrichtseinheit wird, aufbauend auf die bisherigen
Kenntnisse, die Technik des indirekten Beweises behandelt.
• Beweis durch Widerspruch: Diese Beweisart schließt den Teil der grundlegenden Beweisarten
ab.
• vollständige Fallunterscheidung: Als Hilfsmittel bei unterschiedlichsten Beweisen, kann auf
dieses Thema nicht verzichtet werden. Die Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit Aufbau der
Fallunterscheidung und der Identifizierung der Fälle.
• vollständige Induktion: Teilweise aus den Lehrplänen gestrichen, bildet diese Beweisart den
Abschluss der vorgestellten Techniken. Den Schülern wird auf einfache Weise die Technik
erklärt. Umfangreiche Übungen sollen diese komplizierte Thematik veranschaulichen.
• Übung: Die letzte Unterrichtseinheit dient der Übung der vorherigen sechs Einheiten. Hier
soll vor allem auch die selbstständige Auswahl der entsprechenden Technik eingeübt werden.
Anmerkung
Der Kontrapositionsbeweis wird im weiteren Verlauf auch häufig Indirekter Beweis genannt.
Es existieren auch Definitionen, in denen der Indirekte Beweis als Widerspruchsbeweis oder
als Zusammenfassung der beiden Beweistechniken interpretiert wird. Diese weiteren Definitionen finden hier keine Berücksichtigung. Der Begriff Indirekter Beweis meint im Folgenden
also immer die Technik des Kontrapositionsbeweises.
1.4
Aufbau des Dokuments
Im ersten Teil des Dokuments befinden sich ausführliche Beschreibungen der einzelnen Unterrichtseinheiten. Es werden sowohl thematische als auch didaktische Hinweise gegeben.
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Vorbemerkungen
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Der zweite Teil des Dokuments enthält die notwendigen Dokumente zur Durchführung des Unterrichts. Hierzu zählen Verlaufspläne, Tafelbilder, Arbeitsblätter und Lösungsblätter.
1.5
Mediale Ausstattung
Die Unterrichtseinheiten sind für herkömmliche Klassenzimmer konzipiert. Es werden also eine
Wandtafel, eine Projektionsfläche und ein Projektionsgerät (zum Beispiel Tageslichtprojektor oder
Visualiser) benötigt.
Die Schüler erhalten viele Aufgaben und Informationen auf Arbeitsblättern. Hierbei ist zu beachten, dass ein Blatt (Wissensbaum) auf die Größe DIN A3 konzipiert ist. Alle anderen Arbeitsblätter
sind in der Größe DIN A4 angelegt.
1.6
Form, Gestaltung und Ausdrucksweise
Da die vorliegende Unterrichtsreihe von vier Personen erstellt wurde, können Unterschiede in Form,
Gestaltung und Ausdrucksweise entstehen. Durch Einführung von Vorlagen und Abstimmung verwendeter Begriffe, sollten diese Unterschiede jedoch relativ gering ausfallen. Wir bitten dies zu
entschuldigen.
Die Ausdrucksweise ist stark an die an der Universität Stuttgart verbreiteten Begriffsdefinitionen
orientiert, genauso die verwendeten Schreibweisen und Symbole. Hier sei die Lehrkraft zu eigener
Vorsicht aufgerufen, um eine unnötige Verwirrung der Schüler zu vermeiden.
1.7
Urheberrecht
Die Autoren versichern, nur frei zugängliches Material verwendet zu haben. Die verwendeten Quellen von Bildern und Grafiken sind, soweit diese nicht selbst erstellt sind, angegeben. Andere zitationspflichtige Werke sind zur Erstellung der Unterrichtseinheiten und des vorliegenden Berichts
nicht verwendet worden.
Die Verwendung dieses Dokuments und aller Teile davon zu nicht-kommerziellen Zwecken wird von
den Autoren gestattet. Eine kommerzielle Verwendung bedarf der ausdrücklichen Zustimmung der
Autoren.
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2
2.1
Unterrichtseinheit 1
Aussagenlogik
Seite 7 von 55
Unterrichtseinheit 1 - Aussagenlogik
Einleitung
2.1.1
Einführungsbeispiel
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Die Schüler machen sich Gedanken über mathematische Beweise und erkennen die
Notwendigkeit der Exaktheit, der Vollständigkeit und des richtigen Schließens
keines
Der Lehrer führt den Beweis langsam an der Tafel vor. Die Schüler sollen das Vorgehen verfolgen.
Anmerkung
Bei unkonzentrierten Schülern ist es sinnvoll, die Schüler den Beweis mitschreiben zu lassen
oder Notizen zum Beweis erstellen zu lassen.
Beweis Dreieck
Satz: Jedes Dreieck ist gleichschenklig.
Beweis:
Wichtig: Beim Zeichnen der Skizze ist darauf zu achten, dass der Fehler des Beweises erhalten
bleibt (s. Seite 8)!
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Unterrichtseinheit 1
Aussagenlogik
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Gegeben: Beliebiges Dreieck ABC
Man zeichne:
• Winkelhalbierende an Punkt C
• Mittelsenkrechte auf Strecke AB
• Schnittpunkt D
• Senkrechte auf BC durch D
• Senkrechte auf AC durch D
• Schnittpunkte E, F und G
Dreiecke DF C und DCE sind gleich, da:
• Winkel am Punkt C gleich, da CD Winkelhalbierende
• rechter Winkel am Punkt E bzw. F gleich
• Seite CD gleich
Also ist CE = CF und DE = DF .
Dreiecke ABG und BDG sind gleich, da:
• rechter Winkel am Punkt G gleich
• Seite DG gleich
• Seiten AG und BG gleich, da G Mittelpunkt
Also ist AD = BD.
Dreiecke ADE und BF D sind gleich, da:
• rechter Winkel am Punkt E bzw. F gleich
• Seiten AD und BD gleich (s. oben)
• Seiten DE und DF gleich (s. oben)
Also ist BF = AE.
Somit ist BF + F C = AE + EC, also BC = AC. Deshalb ist das Dreieck gleichschenklig. Leitfrage
Es ist offensichtlich, dass nicht jedes Dreieck gleichschenklig ist. Wo liegt der Fehler?
- Bei richtigem Zeichnen ist der Schnittpunkt D und der Schnittpunkt F außerhalb des
Dreiecks. Somit können BF und F C nicht addiert werden, um die Gesamtlänge BC zu
erhalten (wenn BC kürzere Seite, ansonsten ähnlich).
Leitfrage
Worauf sollten wir also achten, wenn wir einen Beweis durchführen?
- exakt vorgehen, auf Vollständigkeit achten, richtig Schließen (Folgern), ...
Bevor nun mit der Aussagenlogik als Grundlage des Beweisens begonnen wird, soll den Schülern
ein kleiner geschichtlicher Abriss des mathematischen Beweisens gegeben werden.
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2.1.2
Unterrichtseinheit 1
Aussagenlogik
Seite 9 von 55
Geschichtlicher Abriss zu mathematischen Beweisen
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Die Schüler sollen erkennen, dass die folgenden Themen aus einer geschichtlichen
Entwicklung hervorgehen und viel Anstrengung in die Entwicklung der modernen
Mathematik diesbezüglich investiert wurde.
Informationsblatt Geschichtlicher Abriss, Folie Porträts, nach Möglichkeit Buch Euklid - Die Elemente
Der Lehrer erklärt kurz die Errungenschaften drei wichtiger Personen in der Geschichte des mathematischen Beweises. Hierzu gehören Euklid, David Hilbert und Kurt Gödel.
Anmerkung
Es bietet sich für die Lehrkraft an, gut über diese drei Personen informiert zu sein.
Euklid von Alexandria
Seit die Menschheit versucht, ihre Umwelt zu kontrollieren, wird Mathematik betrieben. Schon
Hochkulturen wie die Maya, die Ägypter oder die Babylonier beherrschten viele grundlegende
Methoden (z.B. das Wurzelziehen mit unterschiedlicher Genauigkeit).
In der griechischen Antike (schon vor Christi Geburt) begannen die Mathematiker mit einem
strukturierten Aufbau ihrer Wissenschaft. Jede Behauptung musste bewiesen werden. Dies war
der Beginn des modernen Beweises.
Grundlage des Beweises waren die Voraussetzungen, mit denen logisch auf die Behauptung gefolgert
werden musste.
Euklid von Alexandria lebte ungefähr 360 - 280 v. Chr. und stellte das gesamte damalige mathematische Wissen in seinem dreizehnbändigen Werk Die Elemente“ zusammen (hier ein moderner
”
Nachdruck). Er gilt als Begründer einer wichtigen Beweistechnik: dem Beweis durch Widerspruch.
Alle in den nächsten Terminen vorgestellten Beweisverfahren wurden in dieser Zeit entwickelt.
David Hilbert
Während des Mittelalters wurde in Europa keine Mathematik betrieben. Die Zeit danach war
geprägt davon, verlorenes Wissen wiederzuerlangen. Hierzu wurde die griechische Mathematik als
Vorbild verwendet.
Erst zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts wurde ein weiterer Meilenstein der Beweise geschrieben. David Hilbert, ein deutscher Mathematiker, lebte von 1862 bis 1943. Er setzte sich zum Ziel,
mit so wenig Voraussetzungen wie möglich die gesamte Mathematik aufzubauen. Zusammen mit
vielen anderen Mathematikern dieser Zeit, zum Beispiel auch die erste Mathematikerin Deutschlands Emmy Noether, baute er das System neu auf und bewies viele schon bekannte Sätze auf
dieser Basis neu. Natürlich hat er in seinem Lebenswerk auch unzählige neue Sätze entdeckt und
bewiesen.
Die Grundlagen der im ersten Termin behandelten Aussagenlogik sind zum Beispiel Entwicklungen,
die durch das Vorgehen Hilberts geprägt, umdefiniert und weiterentwickelt wurden.
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Aussagenlogik
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Kurt Gödel
Kurt Gödel war ein österreichischer Mathematiker, der von 1906 bis 1978 lebte. Er zeigte, dass
es Aussagen gibt, die aus den Annahmen Hilberts und dessen Mitstreiter nicht bewiesen werden
können und brachte somit die Mathematik in ein noch nie dagewesenes Chaos, aus der sie sich nur
langsam erholte.
Dies soll uns für unsere Arbeit aber nicht weiter interessieren, da dies nur ein paar wenige bisher
entdeckte Tatsachen betrifft.
2.2
Begriffsbildung mathematische Aussagen“
”
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Die Schüler sollen die Axiomatik der Aussagenlogik verstehen und dies auf Beispielsätze anwenden können.
OH-Folie Beispielblatt 3 und Tafel
In diesem Abschnitt werden die Voraussetzungen einer mathematischen Aussage erarbeitet. Dies
geschieht fragend-entwickelnd durch die Lehrkraft. Hierzu werden vier verschiedene Aussagen herangezogen. Mithilfe der Aussagen wird das Axiom des Ausgeschlossenen Dritten“und des Aus”
”
geschlossenen Widerspruchs“ erarbeitet. Der letzte Satz soll den Schülern zeigen, dass mit den
zwei Axiomen nicht alle Fälle abgedeckt sind. Es wird jeweils eine Aussage durch einen Schüler
vorgelesen und im Anschluss besprochen.
Aufgabe (Teil 1 Beispielblatt 3 )
Mathematische Aussagen
Lösung
• 9 ist durch 3 teilbar.
• VfB Stuttgart wird in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister.
• Alle Autos sind grün.
• Dieser Satz ist falsch.
Anmerkung
Mögliches Tafelbild: Axiome der Aussagenlogik
1. Ausgeschlossenes Drittes: Eine mathematische Aussage ist wahr oder falsch.
2. Ausgeschlossener Widerspruch: Eine mathematische Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch.
Leitfrage
Wie können wir unsere einzelnen Aussagen beschreiben?
- Sie ist wahr (falsch oder nicht entscheidbar).
Leitfrage
Können die Attribute wahr und falsch gleichzeitig auf einen Satz zu treffen?
- Wenn der Satz entscheidbar ist, trifft nur ein Attribut auf die Aussage zu.
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2.3
Unterrichtseinheit 1
Aussagenlogik
Seite 11 von 55
Arbeiten mit Aussagen (Konjunktion, Disjunktion, Negation)
2.3.1
Erklärung Wahrheitstabelle und Verknüpfungen
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Die Schüler kennen die aussagenlogischen Verknüpfungen Konjunktion, Disjunktion
und Negation und können diese in der Wahrheitstabelle eintragen und erkennen.
Folien Beispielblatt Aussagenlogik
Anhand der Beispiele auf dem Beispielblatt werden die drei Verknüpfungen Konjunktion (UND),
Disjunktion (ODER), Negation (NICHT) erklärt. Hierzu sollen die Schüler jeweils feststellen welche
Teilaussagen wahr beziehungsweise falsch sind und welche Sätze wahr beziehungsweise falsch sind.
Dies erfolgt im Unterrichtsgespräch.
Anmerkung
Es bietet sich an, die Teilaussagen farblich zu markieren (zwei Farben für wahr und falsch)
und ebenso die Sätze.
Anmerkung
Die Zeitvorgabe berücksichtigt nicht das Mitschreiben der Schüler. Sollte dies gewünscht
sein, muss die benötigte Zeit entsprechend verlängert werden.
Die Beispiele sind im Anhang aufgelistet.
Die so gewonnenen Erkenntnisse werden an der Tafel in einer Wahrheitstabelle festgehalten. Hierbei ist es sinnvoll, die Negation zuletzt einzutragen, um Verwirrung des doppelten Auftretens zu
vermeiden.
Im Anhang ist das Tafelbild gezeigt.
2.3.2
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
30 min
Die Schüler können grundlegende aussagenlogische Gesetze mit Hilfe einer Wahrheitstabelle zeigen.
Arbeitsblatt KDN, Folie Arbeitsblatt KDN, Hilfsblatt Wahrheitstabelle groß und
klein (in ausreichender Anzahl)
Die erste Aufgabe soll gemeinsam im Unterrichtsgespräch entwickelt werden.
Aufgabe (Nr. 1, Arbeitsblatt KDN )
Fülle die Wahrheitstabelle aus.
Lösung
p
0
1
¬p
1
0
¬(¬p)
0
1
Leitfrage
Was fällt beim Vergleich der ersten und letzten Spalte auf?
- Sie sind gleich.
Die Erkenntnis der doppelten Negation kann an der Tafel festgehalten werden (s. Lösungsblatt
KDN im Anhang).
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Unterrichtseinheit 1
Aussagenlogik
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Die erste Spalte der zweiten Aufgabe wird ebenfalls gemeinsam gelöst. Hierbei ist darauf Wert zu
legen, dass die Schüler den Sinn des schrittweisen Vorgehens erkennen und das Vorgehen nachvollziehen können. Die zweite Spalte soll eigenständig ausgefüllt und anschließend präsentiert werden.
Anmerkung
Auf den Aufgabenblättern wurde der Bearbeitungsplatz reduziert, um eine übersichtliche
Aufgabenstellung zu ermöglichen. Eine schrittweise Lösung von Problemen mit Wahrheitstabellen soll auf den Hilfsblättern hierzu erfolgen.
Aufgabe (Nr. 2, Arbeitsblatt KDN )
Fülle die Wahrheitstabelle aus.
Lösung
p
0
0
1
1
q
1
1
1
1
(¬p) ∧ (¬q)
1
0
0
0
¬(p ∨ q)
1
0
0
0
Leitfrage
Was fällt beim Vergleich der beiden letzten Spalten auf?
- Sie sind gleich.
Die zweite Aufgabe behandelt die Gesetze von de Morgan. Diese können an der Tafel formuliert
werden (s. Lösungsblatt KDN im Anhang).
Die dritte Aufgabe dient der Binnendifferenzierung. Schnelle Schüler können diese bearbeiten,
jedoch sollte im Normalfall aus Zeitgründen auf eine Besprechung verzichtet werden.
2.4
Arbeiten mit Aussagen (Implikation, Äquivalenz)
In diesem Teil der Unterrichtseinheit werden die Begriffe Implikation und Äquivalenz eingeführt.
Hierzu werden im Anschluss vertiefende Übungen durchgeführt.
2.4.1
Einführung der Begriffe
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Die Schüler sollen die Begriffe Implikation und Äquivalenz kennenlernen. Sie sollen
verstehen, wie diese als Aussageverknüpfung wirken.
Beispielblatt 3 und Tafel
Wie schon bei den Verknüpfungen UND bzw. ODER wird die Implikation und Äquivalenz an
Beispielsätzen aus dem Alltag eingeführt. Dieser Abschnitt wird fragend-entwickelnd durch die
Lehrkraft durchgeführt. Die Schüler müssen die Beispielsätze ergänzen, sodass diese wahr sind.
Bei der Implikation sind alle vier Fälle gegeben, sodass im Anschluss diese in die Wahrheitstabelle
an der Tafel eingetragen werden können. Bei der Äquivalenz sind zwei Aussagen gegeben. Diese
sind ebenfalls von den Schülern zu vervollständigen. Anschließend wird die Wahrheitstabelle um
die Spalte Äquivalenz an der Tafel ergänzt.
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Unterrichtseinheit 1
Aussagenlogik
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Aufgabe (Teil 4 Beispielblatt 3 )
Implikation
Lösung
• Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht!
• Wenn es nicht regnet, dann... kann die Straße trotzdem nass sein (umgefallener Tanklaster,
Wasserrohrbruch, ...).
• Wenn die Straße nicht nass ist, kann es dann regnen? Nein.
• Wenn es regnet, dann... ist die Straße nass.
• Wenn die ganze Zahl n durch die Zahl 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
Aufgabe (Teil 5 Beispielblatt 3 )
Äquivalenz
Lösung
• Heute ist genau Mittwoch, wenn... morgen Donnerstag ist oder gestern Dienstag war oder
...
• Wie muss ich meine Aussage: Wenn die ganze Zahl n durch die Zahl 6 teilbar ist, dann
”
ist sie auch durch 3 teilbar.“ erweitern, um eine Äquivalenz zu erhalten? Die Zahl n muss
auch durch 2 teilbar sein.
Leitfrage
Welche Schlüsse kann ich aus den Beispielsätzen für die Implikation schließen?
- Wenn die Aussage p wahr ist, dann kann die Aussage q nicht falsch sein. ( aus p folgt q“)
”
Leitfrage
Welche Schlüsse kann ich für die Äquivalenz ziehen?
- Zwei Aussageteile sind äquivalent, wenn entweder beide Teile wahr oder beide Teile falsch
sind. ( p genau dann, wenn q“)
”
2.4.2
Übungen zur Implikation und Äquivalenz
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Die Schüler sollen die Aussageverknüpfungen Implikation und Äquivalenz anhand
von Wahrheitstabellen anwenden können.
Arbeitsblatt 2
Das Arbeitsblatt 2 ist von den Schüler selbstständig in Einzel- oder Partnerarbeit zu bearbeiten.
Auf dem Blatt befinden sich vier Aufgaben. Die ersten drei Aufgaben behandeln das Thema
Verknüpfung von Aussagen mittels Implikation und Äquivalenz. In Aufgabe zwei und drei müssen
die Schüler aus einem Teil einer Aussageverknüpfung einen weiteren Teil entwickeln und diesen
mittels Wahrheitstabellen beweisen. Aufgabe 4 dient der Binnendifferenzierung und ist eine kleine
Knobelaufgabe.
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Aussagenlogik
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Aufgabe (Arbeitsblatt 2 Aufgabe 1 )
1. Fülle die Wahrheitstabelle aus.
2. Vergleiche die Wahrheitstabellen von p ⇒ q und ¬q ⇒ ¬p. Halte deine Beobachtung fest.
Lösung
1.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬q ⇒ ¬p
1
1
0
1
2. Sie sind gleich.
Anmerkung
Bei Aufgabe 1 handelt es sich um die Aussageform des indirekten Beweises. Dies wird in
Stunde 3 genauer behandelt. Aus diesem Grund werden die Schüler nicht darauf hingewiesen.
Aufgabe (Arbeitsblatt 2 Aufgabe 2 )
1. Stelle die Äquivalenz p ⇔ q mit Hilfe dir bekannter Aussageverknüpfungen dar.
2. Beweise deine Aussage mittels einer Wahrheitstabelle.
Lösung
1. (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
2. (auf dem Hilfsblatt)
Aufgabe (Arbeitsblatt 2 Aufgabe 3 )
1. Gegeben ist folgende unvollständige Aussage ((p ⇒ q) ∧ (
die leere Klammer so, dass die Aussage gilt.
2. Beweise deine Aussage mittels einer Wahrheitstabelle.
Lösung
1. ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)
2. (auf dem Hilfsblatt)
)) ⇒ (p ⇒ r). Bestimme
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Unterrichtseinheit 1
Aussagenlogik
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Aufgabe (Arbeitsblatt 2 Aufgabe 4 )
Für Spaßvögel: Ein Mathematiker schreibt aus dem Urlaub: “Jedesmal wenn es geregnet hat,
kamen Außerirdische und klauten uns unser Zelt.” Was hat er damit gemeint?
Lösung
Da es keine Außerirdischen gibt, hat es auch nicht geregnet.
Anmerkung
Aufgrund von Zeitmangel wurden diese Aufgaben in dem Schülerzirkel nicht mehr besprochen. Dies bietet sich jedoch an. Die Besprechung kann durch die Lehrkraft oder durch
Schülerpräsentationen erfolgen.
2.5
Übung
Die Übung (s. Übungsblatt im Anhang) zum Thema wird als (freiwillige) Hausaufgabe bearbeitet.
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3
Unterrichtseinheit 2
Gegenbeispiel, Direkter Beweis
Seite 16 von 55
Unterrichtseinheit 2 - Gegenbeispiel, Direkter Beweis
3.1
Wiederholung
3.1.1
Wissensbaum
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Kurzwiederholung wichtiger Begriffe der vorherigen Stunde (Thema: Aussagenlogik)
Arbeitsblatt Wissensbaum (DIN A3), Folie Wissensbaum (DIN A3)
Durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch wird der Wissensbaum mit folgenden Informationen gefüllt:
• Wurzeln:
– Ausgeschlossenes Drittes
– Ausgeschlossener Widerspruch
– Euklid, Hilbert, Gödel
• Stamm
– Aussagenlogik
– 0 = falsch / 1 = wahr
– Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz
• unterhalb des Baumes: Wahrheitstabelle der grundlegenden aussagenlogischen Verknüpfungen
Anmerkung
Der vollständig ausgefüllte Wissensbaum befindet sich mit den anderen Unterlagen im Anhang. Aufgrund des begrenzten Zeichensatzes im Grafikprogramm können die logischen Verknüpfungen in den Beschriftungen nur mangelhaft dargestellt werden. Die genauen Symbole
finden sich im ausführlichen Bericht und können bei Bedarf von Hand ergänzt werden.
3.1.2
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
20 min
Aktive Sicherung der wichtigsten Inhalte der vorherigen Stunde (Thema: Aussagenlogik). Begriffsbildung: Beweis durch Wahrheitstabelle
Arbeitsblatt 1 (Wiederholung), Folie des Arbeitsblattes, Wissensbaum von oben
Die Schüler erhalten 10 Minuten Zeit, alleine oder in Kleingruppen die beiden Aufgaben zu bearbeiten. Wichtig ist die Lösung der ersten Aufgabe. Die zweite Aufgabe dient der Binnendifferenzierung.
Während dieser Zeit ist die Lehrkraft unterstützend tätig.
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Unterrichtseinheit 2
Gegenbeispiel, Direkter Beweis
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Aufgabe (Nr. 1 auf Arbeitsblatt 1 )
Beweise den Satz (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) mit Hilfe einer Wahrheitstabelle.
Lösung
p q
0 0
0 1
1 0
1 1
Dritte
p⇔q p⇒q
1
1
0
1
0
0
1
1
und letzte Spalte
q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
1
1
0
0
1
0
1
1
sind offensichtlich äquivalent. Diese Aufgabe zeigt die Aufteilung der Äquivalenz in doppelte Implikation, die beim Beweisen
häufig gebraucht wird.
Anmerkung
Auf dem Arbeitsblatt befinden sich nochmals die aussagenlogischen Grundverknüpfungen,
sodass die Schüler die Möglichkeit haben, sich diese langsam einzuprägen.
Aufgabe (Nr. 2 Arbeitsblatt 1 )
Beweise den Satz (p ⇒ q) ⇔ ((¬p) ∨ q) mit Hilfe einer Wahrheitstabelle.
Lösung
p
0
0
1
1
Die
q p⇒q
0 1
1 1
0 0
1 1
zwei letzten
(¬p) ∨ q
1
1
0
1
Spalten sind offensichtlich äquivalent. Diese Aufgabe ist nicht zwingend zum weiteren Verständnis nötig, zeigt den Schülern jedoch einen
tieferen Einblick in die Aussagenlogik. Vor allem die Möglichkeit des Umformulierens und die
Bedeutung der Äquivalenzverknüpfung wird nochmals deutlicher.
Die Besprechung erfolgt am OHP durch die Schüler oder die Lehrkraft.
Leitfrage
In den Aufgabenstellungen wurde verlangt, den Satz zu beweisen. Wie haben wir dies gelöst?
- Durch das Ausfüllen der Wahrheitstabelle.
Leitfrage
Warum funktioniert dieses Verfahren?
- Alle möglichen Fälle werden überprüft
Diese Erkenntnisse werden direkt im Wissensbaum festgehalten: Ein Ast erhält die Beschriftung
Beweis durch Wahrheitstabelle und die Blätter für Aussagenlogik geeignet und vgl. vollständige
Fallunterscheidung (Hinweis auf die spätere Bearbeitung der vollständigen Fallunterscheidung ist
nötig).
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3.2
Unterrichtseinheit 2
Gegenbeispiel, Direkter Beweis
Seite 18 von 55
Voraussetzung - Behauptung
Dauer:
Ziel:
Material:
20 min
An grundlegenden Satzstrukturen können die Schüler Voraussetzungen und die Behauptungen erkennen.
Folie VB
Die Folie wird durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch gefüllt. Die Schüler sollen mitschreiben, damit im weiteren Verlauf darauf zurückgegriffen werden kann.
Anmerkung
Es bietet sich an, Voraussetzungen und Behauptungen auf der Folie mit einer bestimmten
Farbe zu unterstreichen und die Felder in der selben Farbe auszufüllen.
Aufgabe (erster Punkt Folie VB )
Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
Lösung
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl.“ UND n ist durch 6 teilbar.“
”
”
Behauptung:
n ist durch 3 teilbar.“
”
n ist natürliche Zahl.“ ∧ n ist durch 6 teilbar.“ ⇒ n ist durch 3 teilbar.“
”
”
”
Diese Aufgabe stellt die Wenn - dann“ -Struktur eines Satzes dar, die mit Hilfe der Implikation
”
mathematisch formuliert werden kann. Gleichzeitig werden zwei Voraussetzungen mit Hilfe einer
UND“ -Verknüpfung dargestellt.
”
Im ersten Schritt sollen die Schüler die Behauptung im Satz erkennen. Diese wird unterstrichen
und im Feld Behauptung notiert. Im zweiten Schritt folgt dasselbe mit den Voraussetzungen. In
einem dritten Schritt notiert der Lehrer den Satz in aussagenlogischer Form.
Aufgabe (zweiter Punkt Folie VB )
Für alle natürlichen Zahlen gilt: ist die Zahl durch 2 und durch 5 teilbar, so ist sie durch 10
teilbar.
Lösung
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl.“ ∧ n ist durch 2 teilbar.“ ∧ n ist
”
”
”
durch 5 teilbar.“
Behauptung:
n ist durch 10 teilbar.“
”
Aufgabe (dritter Punkt Folie VB )
Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl n ist gerade.
Lösung
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl.“ ∧ n ist gerade.“
” 2
”
Behauptung:
n ist gerade.“
”
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Unterrichtseinheit 2
Gegenbeispiel, Direkter Beweis
Seite 19 von 55
Aufgabe (vierter Punkt Folie VB )
Die natürliche Zahl n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Lösung
Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 2 und 3 teilbar. Und umgekehrt.
Voraussetzung:
Behauptung:
2 | n“ ∧ 3 | n“
(1) n ist natürliche Zahl.“ ∧ 6 | n“
”
”
”
”
6 | n“
(2) n ist natürliche Zahl.“ ∧ 2 | n“ ∧ 3 | n“
”
”
”
”
((6 | n) ⇔ ((2 | n) ∧ (3 | n)))
⇔
(((6 | n) ⇒ ((2 | n) ∧ (3 | n))) ∧ (((2 | n) ∧ (3 | n)) ⇒ (6 | n)))
Die weiteren Punkte auf der Folie stellen andere verbreitete Satztypen vor. Der zweite und dritte
Punkt auch eine Implikation. Der vierte Punkt eine Äquivalenzaussage. Hier wird die Aufteilung
aus dem Anfangsbeispiel in zwei Implikationen angewendet.
Beim vierten Punkt wird zuerst verbal die Aufteilung in die Implikationen vorgenommen. Hierbei
bietet sich folgende Leitfrage an:
Leitfrage
Wie kann der Satz umformuliert werden, ohne genau“ zu verwenden?
”
- Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 2 und 3 teilbar. Und
umgekehrt.
Erst dann wird der neue Satz in Voraussetzungen und Behauptungen unterteilt. Zusammenfassend
wird wieder die aussagenlogische Schreibweise verwendet.
3.3
Beweis durch Gegenbeispiel und direkter Beweis
3.3.1
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
30 min
Die Schüler sollen die Beweistechniken Beweis durch Gegenbeispiel und direkter Beweis an einfachen Beispielen anwenden können.
Arbeitsblatt 2 (Gegenbeispiel und direkter Beweis), leere Folien
Die Bearbeitung der Aufgaben erfolgt in Einzel- oder Partnerarbeit. Hierfür stehen 20 min Zeit
zur Verfügung. Hierbei sind die ersten drei Aufgaben von jedem zu bearbeiten. Die vierte und
fünfte Aufgabe dienen zur Binnendifferenzierung für schnelle Schüler. Ausgewählte Schüler sollen
die Lösung auf einer Folie notieren und anschließend präsentieren. Die Dauer der Präsentationen
beträgt insgesamt 10 min.
Die Arbeitsanweisung zu jeder Aufgabe lautet: Identifziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist und beweise oder widerlege ihn.
Aufgabe (Nr. 1 Arbeitsblatt 2 )
Jede natürliche Zahl ≥ 2 hat eine gerade Anzahl von Teilern.“
”
Lösung
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. ∧ n ≥ 2.
Behauptung: n hat gerade Anzahl von Teilern.
Gegenbeispiel: n = 4: Teiler: 1,2,4 (allgemein: jede Quadratzahl)
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Unterrichtseinheit 2
Gegenbeispiel, Direkter Beweis
Seite 20 von 55
Aufgabe (Nr. 2 Arbeitsblatt 2 )
Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade.“
”
Lösung
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. ∧ n ist ungerade.
Behauptung: n2 ist ungerade.
Beweis: n ungerade ⇒ n = 2k + 1 mit k ∈ N ⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1
mit (2k 2 + 2k) ∈ N ⇒ n2 ist ungerade. Aufgabe (Nr. 3 Arbeitsblatt 2 )
Das Produkt zweier ungeraden natürlichen Zahlen ist ungerade.“
”
Lösung
Voraussetzung: a, b ungerade natürliche Zahlen.
Behauptung: a · b ungerade.
Beweis: a ungerade ⇒ a = 2k + 1 mit k ∈ N
b ungerade ⇒ b = 2l + 1 mit l ∈ N
⇒ a · b = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1 mit (2kl + k + l) ∈ N ⇒ a · b
ungerade. Aufgabe (Nr. 4 Arbeitsblatt 2 )
n3 ist ungerade, wenn n ungerade natürliche Zahl ist.“
”
a) Verwende die Sätze aus Aufgabe 2 und 3.
b) Vermeide die Sätze aus Aufgabe 2 und 3.
Lösung
Voraussetzung: n ungerade natürliche Zahl.
Behauptung: n3 ungerade.
Beweis:
1. n3 = (n2 ) · n.
n ungerade ⇒ (Aufgabe 1:) n2 ungerade ⇒ (Aufgabe 2:) (n2 ) · n ungerade. 2. n ungerade ⇒ n = 2k + 1 mit k ∈ N ⇒ n3 = (2k + 1)3 = 8k 3 + 12k 2 + 6k + 1 =
2(4k 3 + 6k 2 + 3k) + 1 mit (4k 3 + 6k 2 + 3k) ∈ N ⇒ n3 ungerade. Aufgabe (Nr. 5 Arbeitsblatt 2 )
n(n − 1) + 41 ist für jede natürliche Zahl n Primzahl.“
”
Lösung
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl.
Behauptung: n(n − 1) + 41 ist Primzahl.
Gegenbeispiel: 41, 42 u.a.
n = 41: n(n − 1) + 41 = 41 · 40 + 41 = 412 n = 42: n(n − 1) + 41 = 42 · 41 + 41 = 43 · 41
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3.3.2
Unterrichtseinheit 2
Gegenbeispiel, Direkter Beweis
Seite 21 von 55
Erklärung Gegenbeispiel
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Die Schüler können den Beweis durch Gegenbeispiel erklären.
Wissensbaum von oben
Durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch wird ein Ast des Wissensbaumes gefüllt.
Die wichtigen Punkte sind:
• Das Beispiel erfüllt alle Voraussetzungen.
• Das Beispiel erfüllt die Behauptung nicht.
• ⇒ Der Satz ist widerlegt.
Beim Beweis durch Gegenbeispiel kommt es also nur auf die Wahl des Beispiels an.
Soll ein unbekannter Satz bewiesen werden, so ist es sinnvoll zuerst durch einfache Beispiele die
Gültigkeit des Satzes zu prüfen. Somit kann er evtl. schon sehr einfach widerlegt werden. Wird kein
passendes Gegenbeispiel gefunden, kann mit dem Beweisen des Satzes fortgefahren werden. Häufig
ist es problematisch, wann man damit aufhört, Gegenbeispiele zu suchen. Hier gehört Übung und
Intuition für die Thematik dazu, um effizient zu beweisen.
3.3.3
Erklärung direkter Beweis
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Die Schüler können den direkten Beweis erklären.
keines
Die Erklärung des direkten Beweises erfolgt vorerst nur verbal. In der folgenden Stunde wird das
Wissen am Wissensbaum festgehalten.
Der direkte Beweis ist durch schrittweises Aneinanderhängen bekannter Implikationen charakterisiert. Begonnen wird mit den Voraussetzungen. Hieraus folgt mit einer bekannten Implikation,
dass auch die nächste Behauptung wahr sein muss, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind. Dies
kann anhand der Wahrheitstabelle der Implikationsverknüpfung verdeutlicht werden:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⇒q
1
1
0
1
Nimmt man an, die Voraussetzungen (p) seien erfüllt, so kommen nur noch die unteren zwei Zeilen
in Frage. Da man aber weiß, dass die Implikation wahr ist, bleibt nur noch die unterste Zeile übrig.
Also muss auch die aus den Voraussetzungen folgernde Behauptung wahr sein.
So wird Schritt für Schritt weiter verfahren, bis am Ende die Behauptung da steht. Führt man die
Argumentationskette fort, so gilt zusammenfassend, dass, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind,
auch die Behauptung stimmen muss.
Außer den Voraussetzungen können auch weitere bekannte Tatsachen in den Beweis eingebracht
werden, um wahre Implikationen zu erzeugen. Diese können in jedem Schritt, nicht nur im ersten
Schritt, verwendet werden.
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Unterrichtseinheit 2
Gegenbeispiel, Direkter Beweis
Seite 22 von 55
Anmerkung
Es bietet sich an, diese Sachverhalte an mindestens einem Beispiel des Arbeitsblattes zu
verdeutlichen.
3.4
Übung
Die Übung (s. Übungsblatt im Anhang) zum Thema wird als (freiwillige) Hausaufgabe bearbeitet.
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4
Unterrichtseinheit 3
Beweis durch Kontraposition
Seite 23 von 55
Unterrichtseinheit 3 - Beweis durch Kontraposition
4.1
Wiederholung
4.1.1
Wissensbaum
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Kurzwiederholung wichtiger Begriffe und Beweise der vorherigen Stunde (Thema:
Beweis durch Gegenbeispiel - direkter Beweis)
Arbeitsblatt Wissensbaum (DIN A3), Folie Wissensbaum (DIN A3)
Durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch wird der Wissensbaum mit folgenden Informationen gefüllt:
• Erster Ast und Blätter
– Beweis durch Gegenbeispiel
– Jede natürliche Zahl hat eine gerade Anzahl von Teiler.“
”
• Zweiter Ast und Blätter
– direkter Beweis (p ⇒ q)
– Das Produkt zweier ungeraden natürlichen Zahlen ist ungerade.“
”
– Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade.“
”
Anmerkung
Die notierten bewiesenen Sätze aus der letzten Stunde sind rein exemplarisch.
Leitfrage
Welche Beweisverfahren wurden im letzten Termin behandelt? Welche Beweise wurden
durchgeführt?
- Direkter Beweis und Beweis durch Gegenbeispiel. Einzelne Beweise werden genannt.
4.1.2
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
15 min
Aktive Sicherung der wichtigsten Inhalte der vorherigen Stunden (Thema: Beweis
durch Gegenbeispiel - direkter Beweis).Ebenfalls werden Wahrheitstabellen wiederholt
Arbeitsblatt Wiederholung
Die Schüler erhalten 15 Minuten Zeit, alleine oder in Kleingruppen die Aufgaben zu bearbeiten.Die
erste Aufgabe dient der Wiederholung der Wahrheitstabellen aus Stunde eins. In dieser Aufgabe
werden zwei Aussagen überprüft, bei der ersten handelt es sich um die Aussage des indirekten
Beweises, hier sollen die Schüler die Äquivalenz der Negation erkennen. Bei der zweiten Aussage
handelt es sich um die Umkehrung von Voraussetzung und Behauptung. Die Schüler sollen erkennen, dass die beiden Aussagen nicht äquivalent sind. Die zweite und dritte Aufgabe wurden
in der letzten Stunde behandelt jedoch soll den Schülern nochmals die Chance geboten werden,
diese Aufgabe zu behandeln und diese im Anschluss der Klasse vorzustellen. Die vierte Aufgabe
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Unterrichtseinheit 3
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Beweis durch Kontraposition
Seite 24 von 55
dient der Binnendifferenzierung. Diese soll im weiteren Verlauf indirekt bewiesen werden. An dieser
Stelle sollen die Schüler den direkten Beweis entwickeln.
Aufgabe (Nr. 1 auf Arbeitsblatt Wiederholung)
Sind beide Aussagen wahr? (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) und (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
Lösung
p
q
¬q
¬p
p⇒q
¬q ⇒ ¬p
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
q⇒p
(p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Spalte 7 zeigt die Äquivalenz des indirekten Beweises und in Spalte 9 ist ersichtlich das die zweite
Aussage äquivalent ist. Anmerkung
In den folgenden Aufgaben haben die Schüler die Aufgabe: Identifiziere Voraussetzung(en)
”
und Behauptung(en). Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist und beweise oder widerlege
ihn.“
Aufgabe (Nr. 2 Arbeitsblatt Wiederholung)
n3 ist ungerade, wenn n ungerade natürliche Zahl ist.“
”
Lösung
Voraussetzung: n ungerade natürliche Zahl.
Behauptung: n3 ungerade.
Beweis: 2 Möglichkeiten
a) n3 = (n2 ) · n.
n ungerade ⇒ n2 ungerade ⇒ (n2 ) · n ungerade. ( folgt aus den Aufgaben der letzten
Stunde) b) n ungerade ⇒ n = 2k + 1 mit k ∈ N ⇒ n3 = (2k + 1)3 = 8k 3 + 12k 2 + 6k + 1 =
2(4k 3 + 6k 2 + 3k) + 1 mit (4k 3 + 6k 2 + 3k) ∈ N ⇒ n3 ungerade. Aufgabe (Nr. 3 Arbeitsblatt Wiederholung)
n(n − 1) + 41 ist für jede natürliche Zahl n Primzahl.“
”
Lösung
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl.
Behauptung: n(n − 1) + 41 ist Primzahl.
Gegenbeispiel: 41, 42 u.a.
n = 41: n(n − 1) + 41 = 41 · 40 + 41 = 412 n = 42: n(n − 1) + 41 = 42 · 41 + 41 = 43 · 41
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Unterrichtseinheit 3
Beweis durch Kontraposition
Seite 25 von 55
Aufgabe (Nr. 4 Arbeitsblatt Wiederholung)
Das arithmetische Mittel zweier positiver Zahlen
ist immer größer als deren geometrisches Mit√
”
a
·
b
tel.“ (a, b ∈ R; a, b > 0 und a 6= b) ⇒ a+b
>
2
Lösung
Lösung: Es seien wie in den Voraussetzen gefordert a, b ∈ R, a, b > 0, a 6= b.
⇒ a − b 6= 0
⇒ Betrachtungen des Quadrates von a − b: (a − b)2 = a2 − 2ab + 4b2 > 0
⇒ Addition von 4ab auf beiden √
Seiten: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 > 4ab
⇒ Ziehen der Wurzel: a + b > 2 a · b
a+b √
> a·b ⇒
2
√ 2
√
√
√ √
Alternative:
Da
a
=
6
b
⇒
(
a
−
b)
=
a
+
b
−
2
a
b
>
0
⇒
a
+
b
>
2
ab
√
a+b
⇒ 2 > ab Übrigens erhält man eine einfache geometrische Veranschaulichung (und zugleich einen geometrischen Beweis des Satzes), wenn man die beiden positiven Zahlen x und y in Gestalt von
Strecken aneinander legt und über die entstehende Gesamtstrecke den Thaleskreis aufträgt. Die
Höhe in diesem Halbkreis errichtet über dem Anschlusspunkt der beiden Strecken, hat nach dem
√
den Radius des ThaleskreiHöhensatz für rechtwinklige Dreiecke die Länge x · y, während x+y
2
ses darstellt. Natürlich ist dann der Radius im Falle x 6= y stets größer als die Länge dieser Höhe.
Beide Größen stimmen genau dann überein, wenn x = y ist.
4.1.3
Besprechung der Aufgaben
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Die Schüler sollen üben mathematische Inhalte zu präsentieren
Folie
Einzelne Schüler erhalten im vorherigen Abschnitt leere Overheadfolien auf denen sie ihre Lösungen
während der Bearbeitungszeit notieren. Zur Aufgabe 1 gibt es einen Vordruck einer Wahrheitstabelle.
Die Präsentationen der einzelnen Schüler wird am Overheadprojektor durchgeführt werden und
dauert nicht länger als zwei bis drei Minuten. Nach der jeweiligen Präsentation kann die Klasse
Fragen bzw. Unklarheiten mit dem vortragenden Schüler klären. Die Lehrkraft kann ebenfalls auf
Unklarheiten oder Fragen eingehen.
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Beweis durch Kontraposition
Seite 26 von 55
Anmerkung
Alternativ kann die Besprechung der Aufgaben durch die Lehrkraft fragend-entwickelnd geschehen.
Leitfrage
Welche Voraussetzungen und Behauptungen haben wir? Welche Beweisidee könnte bei dieser
Aufgabe zum tragen kommen?
- Schüler definieren die einzelne Voraussetzungen und Behauptungen.Beweis durch Wahrheitstabelle, Beweis durch Gegenbeispiel und direkter Beweis.
4.2
Indirekter Beweis
In diesem Abschnitt wird die Thematik indirekter Beweis behandelt.
4.2.1
Einführung
Dauer:
Ziel:
Material:
15 min
Die Schüler sollen aus einem Text über eine Gerichtsverhandlung die Aussagelogik
des indirekten Beweises ableiten. Der Begriff Kontraposition soll eingeführt werden.
Folie Einstiegsbeispiel
Dieser Abschnitt findet fragend-entwickelnd durch die Lehrkraft statt. Anhand der Folie Einstiegsbeispiel beschreiben die Schüler, wie der Staatsanwalt die Schuld von Herr X beweist. Weiterhin
formulieren die Schüler eine mögliche Verteidigung von Herr X. Diese Verteidigung wird anschließend auf mathematische Aussagen übersetzt und mit der Aufgabe 1 von dem Arbeitsblatt Wiederholung verglichen. Für die negierte Umkehrung wird durch die Lehrkraft der Begriff Kontraposition
eingeführt. Weiterhin wird darauf verwiesen das die Umkehrung allgemein nicht äquivalent zu unserer Aussage ist, dies geht ebenfalls aus Aufgabe 1 von dem vorherigen Arbeitsblatt hervor. Die
einzelnen Ergebnisse des Unterrichtsgespräches werden an der Tafel festgehalten.
Leitfrage
Wie versucht der der Staatsanwalt die Schuld von Herr X zu beweisen?
- Herr X hat im Juweliergeschäft Y einen Einbruch verübt. Er wurde von der Zeugin Frau
Z in der Nähe des Juwelier Geschäftes gesehen.
Leitfrage
Wie wird die Verteidigung von Herr X aussehen?
- Ich war nicht vor Ort, somit kann ich den Einbruch nicht verübt haben.
Leitfrage
Welche Schlüsse kann ich für die mathematischen Aussagen p und q aus diesem Alltagsbeispiel ziehen?
- p ⇒ q und ¬q ⇒ ¬p
Leitfrage
Können wir begründen oder widerlegen ob diese beiden Aussagen äquivalent sind?
- Ja, dies haben wir in der Aufgabe 1 von dem vorherigen Arbeitsblatt gezeigt.
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Beweis durch Kontraposition
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Anmerkung
Mögliches Tafelbild:
Gerichtsverhandlung
X verübt Einbruch
p
X nicht vor Ort
¬q
4.2.2
⇒
⇒
⇒
⇒
X vor Ort
q Satz
X verübt Einbruch nicht
¬p Kontraposition
Bestimmung der Kontraposition eines mathematischen Satzes
Dauer:
Ziel:
Material:
Zeitlich in den vorherigen Abschnitt eingegliedert.
Die Schüler sollen die Kontraposition eines mathematischen Satzes formulieren
können und bei vorgegeben Formulierungen die richtige erkennen können.
Overheadfolie Übungsblatt 1
Dieser Abschnitt schließt direkt an den vorherigen an und wird auch fragend-entwickelnd durchgeführt. Bei dem ersten mathematischen Satz formulieren die Schüler die Voraussetzung und die
Behauptung. Dies schließt sich an das vorgehen der vorherigen Stunde an und dient der Wiederholung. Anschließend formulieren die Schüler die Kontraposition. Im letzten Schritt wird nochmals
festgehalten, dass der Satz und die Kontraposition aufgrund der Äquivalenz wahr sind. Bei den
weiteren Beispielsätzen sind den Schülern Alternativen für die Kontraposition vorgegeben. Hier
sollen die Schüler jeweils die richtige Formulierung erkennen. Die Sätze und dazugehörigen Formulierungen werden jeweils von einem Schüler vorgelesen.
Anmerkung
Bei Schwierigkeiten mit der Aufgabe können die Voraussetzung und Behauptung der Sätze
durch die Lehrkraft farblich hervorgehoben werden. Weiterhin kann nach einer Benennung
der weiteren Antwortalternativen in den Sätzen zwei bis vier verlangt werden.
Aufgabe (Overheadfolie Übungsblatt 1 )
Formuliere und Erkenne die Kontraposition.
Lösung
Satz: Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann besitzt es zwei gleiche Winkel.“
”
1. Voraussetzung: ein Dreieck ist gleichseitig“ Behauptung: zwei gleiche Winkel“
”
”
2. Kontraposition: Wenn ein Dreieck keine zwei gleichen Winkel besitzt, dann ist es nicht
”
gleichseitig.“
3. Ist der Satz und die Kontraposition war? Warum? Satz und Kontraposition sind wahr.
Wegen Äquivalenz.
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Satz: Wenn ein beliebiger Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB liegt, dann hat
”
P den gleichen Abstand zu den Punkten A und B.“
• Wenn ein beliebiger Punkt P den gleichen Abstand zu den Punkten A und B hat, dann
”
liegt P auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.“ Umkehrung
• Wenn ein beliebiger Punkt P nicht den gleichen Abstand zu den Punkten A und B hat,
”
dann liegt P nicht auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.“ Kontraposition
Satz: Wenn im Dreieck △ABC ein Winkel γ = 90◦ existiert, dann gilt für die Seiten a, b und
”
c des Dreieckes a2 + b2 = c2 .“
• Wenn im Dreieck △ABC kein Winkel γ = 90 existiert, dann gilt für die Seiten a, b und c
”
des Dreieckes a2 + b2 6= c2 .“ Kontraposition der Umkehrung
• Wenn im Dreieck △ABC für die Seiten a, b und c a2 + b2 = c2 gilt, dann existiert ein
”
Winkel γ = 90◦ .“ Umkehrung
• Wenn im Dreieck △ABC für die Seiten a, b und c a2 + b2 6= c2 gilt, dann existiert kein
”
Winkel γ = 90◦ .“ Kontraposition
Satz: Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.“
”
• Wenn die natürliche Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch nicht durch 6
”
teilbar.“ Kontraposition
• Wenn die natürliche Zahl n durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar.“ Um”
kehrung
4.2.3
Vorführung eines indirekten Beweis
Dauer:
Ziel:
Material:
15 min
Die Schüler sollen anhand der Aufgabe 3 von dem Übungsblatt Wiederholung die
Führung eines indirekten Beweises nachvollziehen.
Tafelanschrieb
Die indirekte Lösung der Aufgabe 3 von dem Übungsblatt Wiederholung erfolgt fragend-entwickelnd
durch die Lehrkraft. Zuerst wird die Kontraposition bestimmt und anschließend ausgehend von
dieser der Satz bewiesen. Die einzelnen Schritte werden durch die Lehrkraft an der Tafel festgehalten.
Leitfrage
Wie lautet√die Kontraposition
> a · b) ⇒ ¬(a 6= b)
- ¬( a+b
2
Leitfrage
Wie führen wir den Beweis durch?
- Wir negieren unsere Ausdrücke und lösen unsere Gleichung nach einer Variablen auf.
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Beweis durch Kontraposition
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Anmerkung
Mögliches Tafelbild:
Indirekter Beweis des Satzes
a+b √
> a · b) ⇒ ¬(a 6= b)
2
a+b √
≤ a·b⇒a=b
2
a+b √
Beweis:
≤ a·b
2
a+b √
|·2
≤ a·b
2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ 4ab | − 4ab
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 ≤ 0
⇒a=b
Kontraposition: ¬(
4.2.4
Eigenständige Übungsphase
Dauer:
Ziel:
Material:
25 min
Die Schüler sollen mathematische Sätze mit Hilfe der Technik des indirekten Beweises
lösen.
Arbeitsblatt
Die Schüler erhalten das Arbeitsblatt mit insgesamt drei Aufgaben. Diese Aufgaben sind selbstständig
alleine oder in Kleingruppen zu bearbeiten. Bei den Aufgaben sind jeweils Voraussetzung und Behauptung zu identifizieren, die Umkehrung und die Kontraposition zu formulieren und den Beweis
indirekt zu führen. Die Umkehrung ist auch auf Wahrheit zu überprüfen. Bei der ersten Aufgabe
handelt es sich um die Kontraposition eines Satzes aus der zweiten Stunde. Dies sollten die Schüler
erkennen. Somit ist bei dieser Aufgabe der Beweis nicht mehr zu erbringen. Bei Aufgabe 2 handelt
es sich um den Satz des Thales und bei der dritten Aufgabe ist ein Teilbarkeitsproblem zu lösen.
Diese Phase dient der Vertiefung und Festigung des vorherig erarbeiteten Stoffes.
Aufgabe (Nr.1 Arbeitsblatt)
Wenn n2 eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n eine gerade natürliche Zahl.“
”
Lösung
1. Voraussetzung: n2 natürliche Zahl Behauptung: n natürliche Zahl
2. Umkehrung: Ist n eine gerade Zahl, dann ist auch n2 eine gerade Zahl.“ wahr
”
3. Kontraposition: Ist n eine ungerade Zahl, dann ist auch n3 eine ungerade Zahl.“
”
4. Verweis letzter Termin
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Beweis durch Kontraposition
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Aufgabe (Nr.2 Arbeitsblatt)
Satz des Thales: Wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann
”
hat das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C.“
Lösung
1. Voraussetzung: Punkt C liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB Behauptung:
Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C
2. Wenn das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der Punkt C auf
”
einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
3. Wenn das Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der Punkt C nicht
”
auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
4. Wenn der Punkt C nicht auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das
”
Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C.“
5. 1.Fall: Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt innerhalb des Kreises
mit Durchmesser AB. Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit
dem Durchmesser AB liegt ⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales). Aus der Winkelsumme Dreieck
△ACC1 folgt, dass γ = 180◦ −(180◦ −γ ′ +α′ ) = 180◦ −(180◦ −90◦ +α′ ) > 180◦ −90◦ = 90◦ .
⇒ γ > 90◦
2.Fall: Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt außerhalb des Kreises
mit Durchmesser AB. Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit
dem Durchmesser AB liegt ⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales). Aus der Winkelsumme Dreieck
△ACC1 folgt, dass γ = 180◦ − α − (180◦ − γ ′ ) = 180◦ − α − (180◦ − 90◦ ) < 180◦ − 90◦ = 90◦ .
⇒ γ < 90◦ Anmerkung
Eine ausführliche Lösung mit Skizzen des Satzes des Thales befindet sich im Anhang.
Aufgabe (Nr.3 Arbeitsblatt)
Ist die natürliche Zahl n2 durch 3 teilbar, dann ist auch die natürliche Zahl n durch 3 teilbar.“
”
Lösung
1. Voraussetzung: natürliche Zahl n2 durch 3 teilbar Behauptung: die natürliche Zahl n
durch 3 teilbar
2. Umkehrung: Ist n durch 3 teilbar, dann ist auch n2 durch 3 teilbar.“ wahr
”
3. Kontraposition: Ist n nicht durch 3 teilbar, dann ist auch n2 nicht durch 3 teilbar.“
”
4. Wenn n nicht durch 3 teilbar ist, dann lässt n beim Teilen Rest 1 oder 2 ⇒ die Darstellung
n = 3n1 + 1 ∨ n = 3n2 + 2 ⇒ n2 = 9n1 + 6n1 + 1 = 3(3n21 + 2n1 ) + 1 ∨ n2 = 9n2 + 12n2 + 4 =
3(n22 +4n2 +1)+1 ⇒ lässt in beiden Fällen beim Teilen durch 3 den Rest 1 ⇒ die Behauptung
gilt! Universität Stuttgart
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Beweis durch Kontraposition
Seite 31 von 55
Anmerkung
Aufgrund der Übersichtlichkeit wurde an dieser Stelle auf die Anführung der einzelnen Aufgabenteile bei der Aufgabenstellung verzichtet. Diese sind jedoch bei der Druckvorlage im
Anhang enthalten.
Anmerkung
Bei ausreichender Zeit können die einzelnen Aufgaben durch die Schüler mittels Overheadfolien präsentiert werden. Im Falle von Zeitmangel können einzelne Aufgaben des Arbeitsblattes als (freiwillige) Hausaufgabe eingesetzt werden, um ein Verfestigung des Erlernten zu
erreichen.
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Unterrichtseinheit 4
Beweis durch Widerspruch
Seite 32 von 55
Unterrichtseinheit 4 - Beweis durch Widerspruch
5.1
Wiederholung
5.1.1
Wissensbaum
Dauer:
Ziel:
10 min
Kurzwiederholung wichtiger Begriffe der vorherigen Stunde (Thema: Beweis durch
Kontraposition)
Arbeitsblatt Wissensbaum (DIN A3), Folie Wissensbaum (DIN A3)
Material:
Durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch wird der Wissensbaum mit folgenden Informationen gefüllt:
• Ast:
– Beweis durch Kontraposition
• Blätter
– Satz des Thales
– p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p
Anmerkung
Der vollständig ausgefüllte Wissensbaum befindet sich mit den anderen Unterlagen im
Anhang
5.1.2
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
25 min
Aktive Sicherung der wichtigsten Inhalte der vorherigen Stunde (Thema: Beweis
durch Kontraposition). Begriffsbildung: Beweis durch Kontraposition
Arbeitsblatt 1 (Wiederholung), Folie des Arbeitsblattes, Wissensbaum von oben
Die Schüler erhalten 20 Minuten Zeit, alleine oder in Kleingruppen die beiden Aufgaben zu bearbeiten. Die Schüler sollten die Behauptung und die Voraussetzung richtig identifizieren und die
Umkehrung und die Kontraposition formulieren.
Aufgabe (Nr. 1 auf Arbeitsblatt 1 )
Wenn n2 eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n eine gerade natürliche Zahl.“
”
1. Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
2. Formuliere die Umkehrung.
3. Formuliere die Kontraposition.
Lösung
1. Voraussetzung: n2 natürliche Zahl
Behauptung: n natürliche Zahl
2.Umkehrung: Ist n eine gerade Zahl, dann ist auch n2 eine gerade Zahl.“
”
3.Kontraposition: Ist n eine ungerade Zahl, dann ist auch n3 eine ungerade Zahl.“
”
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Beweis durch Widerspruch
Seite 33 von 55
Diese Aufgabe soll den Schülern die Möglichkeit geben, gelernte Begriffe wie Voraussetzung und
Behauptung besser einzuprägen.
Anmerkung
Es bietet sich an, Voraussetzungen und Behauptungen auf der Folie mit einer bestimmten
Farbe zu unterstreichen und die Felder in der selben Farbe auszufüllen.
Aufgabe (Nr. 2 Arbeitsblatt 1 )
Unter der Voraussetzung des Satz des Thales gilt: Wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem
”
Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C.“
Lösung
Voraussetzung: Punkt C liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB
Behauptung: Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C
Kontraposition: Wenn das Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der
”
Punkt C nicht auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
Umkehrung: Wenn das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der Punkt
”
C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
Kontraposition der Umkehrung: Wenn der Punkt C nicht auf einem Kreis mit dem Durchmesser
”
AB liegt, dann hat das Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C.“
Beweis:
1.Fall:
Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt innerhalb des Kreises mit Durchmesser
AB.
Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt
⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales).
Aus der Winkelsumme Dreieck △ACC1 folgt, dass γ = 180◦ − (180◦ − γ ′ + α′ ) = 180◦ − (180◦ −
90◦ + α′ ) > 180◦ − 90◦ = 90◦ .
⇒ γ > 90◦ 2.Fall:
Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt außerhalb des Kreises mit Durchmesser
AB.
Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt
⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales).
Aus der Winkelsumme Dreieck △ACC1 folgt, dass γ = 180◦ − α − (180◦ − γ ′ ) = 180◦ − α −
(180◦ − 90◦ ) < 180◦ − 90◦ = 90◦ .
⇒ γ < 90◦ Diese Aufgabe sollte den Schülern verdeutlichen, dass es verschiedene Varianten gibt, den Beweis
durch Kontraposition durchzuführen. In dieser Aufgabe wird die Beweistechnik geometrisch angewandt.
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Beweis durch Widerspruch
Seite 34 von 55
Die Besprechung erfolgt am OHP durch die Schüler oder die Lehrkraft.
Leitfrage
In den Aufgabenstellungen wurde verlangt, den Satz zu beweisen. Wie haben wir dies gelöst?
- Durch Kennzeichnung der Voraussetzung und Behauptung und Anwendung der Aussagenlogik
Diese Erkenntnisse werden direkt im Wissensbaum festgehalten: Ein Ast erhält die Beschriftung
Beweis durch Kontraposition und die Blätter p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p und Satz des Thales.
5.2
Widerspruchsbeweis - Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
35 min
Die Schüler sollen die Beweistechnik des Widerspruchsbeweises an einem Beispiel mit
Hilfe eines Lückentextes anwenden können.
Arbeitsblatt 2 (Der Widerspruchsbeweis)
Die Bearbeitung der Aufgabe erfolgt in Einzel- oder Partnerarbeit. Hierfür stehen 20 min Zeit zur
Verfügung. Der Lückentext soll Schritt für Schritt mit den Schülern besprochen werden und die
Lösung auf der Folie festgehalten werden.
Die Arbeitsanweisung zur Aufgabe lautet: Identifziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
Überlege, wie der Aufgabestellung gelöst werden kann. Der Lehrer muss unterstützend durch die
Reihen gehen
Aufgabe
√ (Nr. 1 Arbeitsblatt 2 )
Satz 2 ist irrational “
”
Lösung
√
Behauptung: 2 ist nicht rational.
√
2“ ist rational und führen diese Aussage zum Widerspruch.
Beweis Wir
nehmen
die
“
√
Annahme:
2
ist
rational.
√
Wenn 2 rational ist, dann lässt sie sich als Bruch zweier ganzen Zahlen p und q darstellen
√
p
Also 2 = . Dabei seien p,q schon gekürzt, also teilerfremd.
q√
p
Die Annahme 2 = können wie umformulieren zu
q
2=
p2
⇔ p2 = 2 · q 2 .
q2
(1)
Daraus ergibt sich, dass p gerade ist. Damit lässt sich p also auch als 2 · n wobei (n ∈ Z)
schreiben. Einsetzen in (1) liefert:
(2 · n2 ) = 2 · q 2 ⇔ 4 · n2 = 2 · q 2 ⇔ 2 · n2 = q2
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Beweis durch Widerspruch
Seite 35 von 55
Hieraus ergibt sich, dass auch q gerade ist. Insbesondere haben p und q damit den gemeinsamen
Teiler 2 . Wir hatten aber angenommen, dass p und q teilerfremd sind.
Das ist ein Widerspruch zu unserer Annahme.
√
Folglich muss schon die Behauptung falsch gewesen sein und so bleibt für 2 nichts anderes
übrig als irrational zu sein.
Mit Hilfe der Aussagenlogik sollte nochmals die Beweisführung verinnerlicht werden:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
¬q
1
0
1
0
p⇒q
(¬q ∧ p)
1
0
so erkennt man:p ⇒ q ist tatsächlich wahr, wenn ¬q ∧ p falsch ist!
¬(¬q ∧ p)
⇔
p⇒q
Stellen wir uns p nun als Voraussetzung und q als Behauptung vor, so erhalten wir folgendes
Kochrezept für den Widerspruchsbeweis:
1. Beim Widerspruchsbeweis nehmen wir die Verneinung der Behauptung an und kennzeichnen
sie als Annahme.
2. Die Annahme führen wir zu einem Widerspruch (mit der Voraussetzung), d.h. wir zeigen,
dass Annahme und Voraussetzung nicht gleichzeitig gelten können.
3. Beim Erreichen des Widerspruchs wissen wir: Die Annahme war falsch.
4. Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung.
5.3
Übung
Aufgabe (Nr. 1 auf Arbeitsblatt 1 )
|x − 4| < 1 ⇒ x < 5
Lösung
Behauptung: x < 5
Voraussetzung: |x − 4| < 1
Widerspruchsbeweis: x ≥ 5 ⇒ 1 > |x − 4| = x − 4 ≥ 1
⇒ 1 > 1
Widerspruch
Kontrapositionsbeweis: x ≥ 5 ⇒ |x − 4| = x − 4 ≥ 1
⇒ |x − 4|> 1
Unterschied zwischen Kontraposition und Widerspruch:
Widerspruchsbeweis: Das Gegenteil der Behauptung mit der Voraussetzung wird zum Widerspruch geführt.
Kontraposition: Aus dem Gegenteil der Behauptung folgt das Gegenteil der Voraussetzung.
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6
Unterrichtseinheit 5
Vollständige Fallunterscheidung
Seite 36 von 55
Unterrichtseinheit 5 - Vollständige Fallunterscheidung
6.1
Wiederholung
6.1.1
Wissensbaum
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Wiederholung wichtiger Begriffe der vorherigen Stunde (Thema: Widerspruchsbeweis)
Arbeitsblatt Wissensbaum (DIN A3), Folie Wissensbaum (DIN A3)
Durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch wird der Wissensbaum mit folgenden Informationen gefüllt:
• Ast:
– Widerspruchsbeweis
• Blätter
– (p ⇒ q) ⇔ ¬(¬q ∧ p)
√
– 2 ist nicht rational
Anmerkung
Der vollständig ausgefüllte Wissensbaum befindet sich mit den anderen Unterlagen im Anhang.
6.1.2
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
35 min
Aktive Sicherung der wichtigsten Inhalte der vorherigen Stunde (Thema: Widerspruchsbeweis)
Arbeitsblatt 4 (Wiederholung), Folie des Arbeitsblattes, Wissensbaum von oben
Falls sich die Schüler zu Hause mit den nicht zusammen gelösten Aufgaben vom Arbeitsblatt 4
beschäftigt haben, werden Schülerideen zur Lösung der Aufgaben eingeholt und für alle Anwesenden an der Tafel verständlich erklärt.
Ansonsten werden die Aufgaben fragend-entwickelnd an der Tafel gelöst.
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Vollständige Fallunterscheidung
Seite 37 von 55
Aufgabe (Nr. 2 auf Arbeitsblatt 4 )
Stufenwinkelsatz: α und β seien zwei Stufenwinkel, g und h die zwei dazu gehörenden Geraden
einer Ebene. Beweise Folgendes: Wenn α = β, dann sind g und h parallel.
Lösung
Annahme: g ∦ h ∧ α = β
Wenn g ∦ h, dann schneiden sich die Geraden g und h in einem Punkt A; wir bezeichnen den
Schnittwinkel mit γ
Im entstandenen Dreieck berechnen wir die Winkelsumme:
180◦ = α + γ + (180◦ − β)
Wir setzen α = β ein und erhalten:
180◦ = β + γ + (180◦ − β)
Wir erhalten:
180◦ = γ + 180◦
Also γ = 0◦ . Das würde heißen, dass g und h sich unter einem Winkel von 0◦ schneiden, also
dass sie parallel sind.
Dies ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass g ∦ h.
Folglich kann unsere Annahme nicht gelten. Also gilt g k h, was zu beweisen war. Aufgabe (Nr. 4 Arbeitsblatt 4 )
Beweise den Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Lösung
Voraussetzung: P ist die Menge der Primzahlen.
Behauptung: P ist unendlich.
Beweis:
Annahme: P ist endlich.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ..., n}, wobei n die größte Primzahl ist.
Trick : Wir basteln uns eine Zahl:
z = 2 · 3 · 5 · 7 · ... · n + 1
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Unterrichtseinheit 5
Vollständige Fallunterscheidung
Seite 38 von 55
Diese Zahl z ist eine ungerade Zahl.
z ist nicht teilbar durch 2.
z ist nicht teilbar durch 3.
z ist nicht teilbar durch 5.
z ist nicht teilbar durch 7.
...
z ist nicht teilbar durch n.
Also muss z eine Primzahl sein. Aber z > n; das bedeutet, n ist nicht die größte Primzahl, also
ist dies ein Widerspruch zu unserer Annahme.
Folglich können wir die Menge P mit z ergänzen.
Diesen Vorgang der Erzeugung immer größerer Primzahlen können wir forsetzten.
Wie oft?
Unendlich oft.
Also ist P unendlich.
Also gibt es unendlich viele Primzahlen. 6.2
Beweis durch vollständige Fallunterscheidung
6.2.1
Einstiegsbeispiel
Dauer:
Ziel:
Material:
15-20 min
An einem realen interessanten Beispiel den Beweis durch vollständige Fallunterscheidung kennen lernen.
Einstiegsblatt VF
Aufgabe (Einstiegsblatt VF )
Wählt man fünf natürliche Zahlen aus, so kann man unter diesen immer drei Zahlen finden,
deren Summe durch 3 teilbar ist.
• Formuliere Voraussetzung und Behauptung!
• Welche Fälle kannst Du identifizieren?
Lösung
Voraussetzung: Seien a, b, c, d, e ∈ N
Behauptung: Unter diesen findet man 3 Zahlen, deren Summe durch 3 teilbar ist.
Anmerkung
Den Schülern wird zuerst klar gemacht, dass man beim Teilen natürlicher Zahlen durch
die Zahl 3, den Rest 0, 1 oder 2 erhalten kann.
Stellen wir uns vor, wir haben drei Schachteln (oder Container oder Kisten), auf die wir die
Zahlen aufteilen, bezüglich ihres Restes beim Teilen durch drei: diese sind Schachtel0, Schachtel1,
Schachtel2.
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Unterrichtseinheit 5
Vollständige Fallunterscheidung
Seite 39 von 55
Fall 1:
In einer der Schachteln liegen mindestens 3 Zahlen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
können wir schreiben: a, b, c ∈ Schachtel0. (Es ist nicht wichtig, wo die zwei anderen Zahlen (d
und e) liegen.)
Aufteilen in:
Fall 1.a: In Schachtel0 liegen 3 Zahlen.
Da jede dieser Zahlen durch 3 teilbar ist, ist ihre Summe auch durch 3 teilbar.
Fall 1.b: In Schachtel1 liegen 3 Zahlen.
Wir können schreiben: a = 3k + 1, b = 3l + 1, c = 3m + 1.
Also erhalten wir: a + b + c = ... = 3(k + l + m + 1). Die Summe ist also teilbar durch 3.
Fall 1.c: In Schachtel2 liegen 3 Zahlen.
Wir können schreiben a = 3k + 2, b = 3l + 2, c = 3m + 2.
Also erhalten wir a + b + c = ... = 3(k + l + m + 2). Die Summe ist also teilbar durch 3.
Fall 2:
In jeder Schachtel liegen höchstens 2 Zahlen.
Also haben wir in 2 Schachteln je 2 Zahlen und in einer Schachtel eine Zahl.
D. h. in jeder Schachtel liegt mindestens eine Zahl. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können
wir schreiben a ∈ Schachtel0, b ∈ Schachtel1, c ∈ Schachtel2.
Wir können schreiben: a = 3k, b = 3l + 1, c = 3m + 2.
Also erhalten wir: a + b + c = ... = 3(k + l + m + 1). Die Summe ist also teilbar durch 3. Anmerkung
Die Lösung erfolgt an der Tafel, als Vortrag, mit kleinen Fragen an die Schüler zwischendrin.
Bei Fall 1.b oder 1.c kann man versuchen, langsam an die Schüler zu übergeben.
Anmerkung
Es soll mit den Schülern zusammen geklärt werden, dass es keine weiteren Fälle gibt.
6.2.2
Allgemeine Vorgehensweise
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Zusammen mit den Schülern festhalten, wie gerade vorgegangen wurde.
keines
Tafelanschrieb:
Vollständige Fallunterscheidung:
Grundmenge in kleinere Teilmengen zerlegen.
Für jede Teilmenge: Behauptung beweisen.
!! vollständig beweisen → LOGISCHES GEGENTEIL
Anmerkung
Nochmals am Einstiegsbeispiel das logische Gegenteil aufzeigen und farbig markieren: bei
Fall 1: mindestens 3, bei Fall 2: höchstens 2.
6.2.3
Aufgaben
Dauer:
Ziel:
Material:
25-30 Minuten
Anwendungsbeispiele für den Beweis durch vollständige Fallunterscheidung
Arbeitsblatt 5, Folie des Arbeistblattes
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Vollständige Fallunterscheidung
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Aufgabe (Nr. 1 des Arbeitsblattes)
Satz: Jede Primzahl p ≥ 3 kann in der Form p = 4k ± 1 geschrieben werden, wobei k eine
natürliche Zahl ist.
• Formuliere Voraussetzung und Behauptung!
• Zerlege die Grundmenge in geeignete Teilmengen: M1 , M2 , M3 , M4 !
• Untersuche nun für jede der Teilmengen den Zusammenhang zwischen Voraussetzung und
Behauptung!
Lösung
Voraussetzung: p ≥ 3, p ist Primzahl (p ∈ N)
Behauptung: p = 4k ± 1, wobei k ∈ N
Wir zerlegen die Menge N in:
M1 = {4k|k ∈ N}
M2 = {4k + 1|k ∈ N}
M3 = {4k + 2|k ∈ N}
M4 = {4k + 3|k ∈ N}
Fall 1: p ∈ M1
p = 4k ⇒ p ist eine gerade Zahl
p≥3
aus den letzten beiden Reihen folgt: p ist keine Primzahl
⇒ Fall 1 müssen wir nicht betrachten
Fall 2: p ∈ M2
p = 4k + 1 ⇒ p ist ungerade
Wir wissen, dass die Primzahlen, die größer als 3 sind, ungerade Zahlen sind.
Aus den letzten 2 Reihen folgt: p = 4k + 1
Fall 3: p ∈ M3
p = 4k + 2 = 2(2k + 1) ⇒ p ist eine gerade Zahl
p≥3
Aus den letzten beiden Reihen folgt: p ist keine Primzahl
⇒ Fall 3 müssen wir nicht betrachten
Fall 4: p ∈ M4
p = 4k + 3 ⇒ p ist ungerade
Wir wissen, dass die Primzahlen, die größer als 3 sind, ungerade Zahlen sind.
Aus den letzten 2 Reihen folgt: p = 4k + 3
⇒ p = 4k + 4 − 1 = 4(k + 1) − 1 = 4l − 1, wobei l = k + 1 ∈ N Universität Stuttgart
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Aufgabe (Nr. 2 des Arbeitsblattes)
Für beliebige Zahlen x, y soll die Ungleichung |x − y| ≤ |x| + |y| bewiesen werden.
• Überlege, wie viele Fälle mindestens nötig sind, um alle Beträge aufzulösen! (Hinweis: Du
kannst mit weniger als 8 Fällen auskommen.)
• Beweise die Ungleichung!
Lösung
Fall 1: x, y ≥ 0: |x| = x, |y| = y
⇒ |x| + |y| = x + y
Fall 1.a: x ≥ y
|x − y| = x − y und mit (1) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
x−y ≤x+y
⇒ −y ≤ y
Da y ≥ 0, ist die Aussage WAHR.
(2)
Fall 1.b: x < y
|x − y| = y − x und mit (1) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
y−x≤x+y
⇒ −x ≤ x
Da x ≥ 0, ist die Aussage WAHR.
Fall 2: x, y ≤ 0: |x| = −x, |y| = −y
⇒ |x| + |y| = −x − y
Fall 2.a: x ≥ y
|x − y| = x − y und mit (2) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
x − y ≤ −x − y
⇒ x ≤ −x
Da x ≤ 0, ist die Aussage WAHR.
(3)
Fall 2.b: x < y
|x − y| = y − x und mit (2) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
y − x ≤ −x − y
⇒ y ≤ −y
Da y ≤ 0, ist die Aussage WAHR.
Fall 3: x ≥ 0, y ≤ 0: |x| = x, |y| = −y
⇒ |x| + |y| = x − y
(4)
|x − y| = x − y und mit (3)
⇒ Einsetzen der Beträge in die zu beweisende Gleichung ergibt: x − y ≤ x − y, also 0 ≤ 0, also
ist die Aussage WAHR
Fall 4: x ≤ 0, y ≥ 0: |x| = −x, |y| = y
⇒ |x| + |y| = −x + y
(5)
|x − y| = y − x und mit (4)
⇒ Einsetzen der Beträge in die zu beweisende Gleichung ergibt: y − x ≤ −x + y, also 0 ≤ 0, also
ist die Aussage WAHR Anmerkung
Diese Aufgabe wird wahrscheinlich beim nächsten Termin besprochen.
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Anmerkung
Falls die Schüler noch Schwierigkeiten beim Verständnis der Betragssymbole haben, sollte
man zu konkreten Beispielen übergehen.
Anmerkung
Es ist möglich, dass die Schüler z. B. −x als negative Zahl interpretieren, auch wenn x < 0. In
diesem Fall sollte darauf hingewiesen werden, dass das Minuszeichen einen Vorzeichenwechsel symbolisiert und nicht die negativen Zahlen kennzeichnet. Wenn nötig, wieder anhand
konkreter Beispiele erklären.
Aufgabe (Nr. 3 des Arbeitsblattes)
Für beliebige Zahlen x, y soll die Ungleichung |x − y| ≥ |x| − |y| bewiesen werden.
• Überlege, wie viele Fälle mindestens nötig sind, um alle Beträge aufzulösen! (Hinweis: Du
kannst mit weniger als 8 Fällen auskommen.)
• Beweise die Ungleichung!
Lösung
Fall 1: x, y ≥ 0: |x| = x, |y| = y
⇒ |x| − |y| = x − y
Fall 1.a: x ≥ y
|x − y| = x − y und mit (5) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
x−y ≥x−y
⇒0≥0
Die Aussage ist WAHR.
(6)
Fall 1.b: x < y
|x − y| = y − x und mit (5) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
y−x≥x−y
⇒ 2y ≥ 2x
⇒ y ≥ x. Die Aussage ist WAHR.
Fall 2: x, y ≤ 0: |x| = −x, |y| = −y
⇒ |x| − |y| = −x + y
Fall 2.a: x ≥ y
|x − y| = x − y und mit (6) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
x−y ≥y−x
⇒ 2x ≥ 2y
⇒ x ≥ y. Die Aussage ist WAHR.
(7)
Fall 2.b: x < y
|x − y| = y − x und mit (6) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
y−x≥y−x
⇒0≥0
Die Aussage ist WAHR.
Fall 3: x ≥ 0, y ≤ 0: |x| = x, |y| = −y
⇒ |x| − |y| = x + y
(8)
|x − y| = x − y und mit (3)
⇒ Einsetzen der Beträge in die zu beweisende Gleichung ergibt: x − y ≥ x + y, also −y ≥ +y
Da y ≤ 0, ist die Aussage WAHR.
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Vollständige Fallunterscheidung
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Fall 4: x ≤ 0, y ≥ 0: |x| = −x, |y| = y
⇒ |x| − |y| = −x − y
(9)
|x − y| = y − x und mit (4)
⇒ Einsetzen der Beträge in die zu beweisende Gleichung ergibt: y − x ≥ −x − y, also y ≥ −y
Da y ≥ 0, ist die Aussage WAHR. Anmerkung
Diese Aufgabe wird wahrscheinlich beim nächsten Termin besprochen.
Anmerkung
Die Lehrkraft gibt den Schülern einen Hinweis für die möglichen Fälle der letzten zwei Aufgaben.
7
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Vollständige Induktion
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Unterrichtseinheit 6 - Vollständige Induktion
7.1
Wiederholung
7.1.1
Wissensbaum
Dauer:
Ziel:
Material:
5 min
Wiederholung wichtiger Begriffe der vorherigen Stunde (Thema: Beweis durch
vollständige Fallunterscheidung)
Arbeitsblatt Wissensbaum (DIN A3), Folie Wissensbaum (DIN A3)
Durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch wird der Wissensbaum mit folgenden Informationen gefüllt:
• Ast:
– Beweis durch vollständige Fallunterscheidung
• Blatt
– Logisches Gegenteil
Anmerkung
Der vollständig ausgefüllte Wissensbaum befindet sich mit den anderen Unterlagen im Anhang.
7.1.2
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
25-35 min
Aktive Sicherung der wichtigsten Inhalte der vorherigen Stunde (Thema: Beweis
durch vollständige Fallunterscheidung)
Arbeitsblatt 5 (Wiederholung), Folie des Arbeitsblattes, Wissensbaum von oben
Falls sich die Schüler zu Hause mit den nicht zusammen gelösten Aufgaben vom Arbeitsblatt 5
beschäftigt haben, werden Schülerideen zur Lösung der Aufgaben eingeholt und für alle Anwesenden an der Tafel verständlich erklärt.
Ansonsten werden die Aufgaben fragend-entwickelnd an der Tafel gelöst.
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Aufgabe (Nr. 2 des Arbeitsblattes)
Für beliebige Zahlen x, y soll die Ungleichung |x − y| ≤ |x| + |y| bewiesen werden.
• Überlege, wie viele Fälle mindestens nötig sind, um alle Beträge aufzulösen! (Hinweis: Du
kannst mit weniger als 8 Fällen auskommen.)
• Beweise die Ungleichung!
Lösung
Fall 1: x, y ≥ 0: |x| = x, |y| = y
⇒ |x| + |y| = x + y
Fall 1.a: x ≥ y
|x − y| = x − y und mit (1) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
x−y ≤x+y
⇒ −y ≤ y
Da y ≥ 0, ist die Aussage WAHR.
(10)
Fall 1.b: x < y
|x − y| = y − x und mit (1) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
y−x≤x+y
⇒ −x ≤ x
Da x ≥ 0, ist die Aussage WAHR.
Fall 2: x, y ≤ 0: |x| = −x, |y| = −y
⇒ |x| + |y| = −x − y
Fall 2.a: x ≥ y
|x − y| = x − y und mit (2) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
x − y ≤ −x − y
⇒ x ≤ −x
Da x ≤ 0, ist die Aussage WAHR.
(11)
Fall 2.b: x < y
|x − y| = y − x und mit (2) ⇒
Einsetzen der Beträge in die zu beweisende
Gleichung ergibt:
y − x ≤ −x − y
⇒ y ≤ −y
Da y ≤ 0, ist die Aussage WAHR.
Fall 3: x ≥ 0, y ≤ 0: |x| = x, |y| = −y
⇒ |x| + |y| = x − y
(12)
|x − y| = x − y und mit (3)
⇒ Einsetzen der Beträge in die zu beweisende Gleichung ergibt: x − y ≤ x − y, also 0 ≤ 0, also
ist die Aussage WAHR
Fall 4: x ≤ 0, y ≥ 0: |x| = −x, |y| = y
⇒ |x| + |y| = −x + y
(13)
|x − y| = y − x und mit (4)
⇒ Einsetzen der Beträge in die zu beweisende Gleichung ergibt: y − x ≤ −x + y, also 0 ≤ 0, also
ist die Aussage WAHR. Anmerkung
Diese Aufgabe wird wahrscheinlich beim nächsten Termin besprochen.
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Anmerkung
Falls die Schüler noch Schwierigkeiten beim Verständnis der Betragssymbole haben, sollte
man zu konkreten Beispielen übergehen.
Anmerkung
Es ist möglich, dass die Schüler z. B. −x als negative Zahl interpretieren, auch wenn x < 0. In
diesem Fall sollte darauf hingewiesen werden, dass das Minuszeichen einen Vorzeichenwechsel symbolisiert und nicht die negativen Zahlen kennzeichnet. Wenn nötig, wieder anhand
konkreter Beispiele erklären.
Aufgabe 3 von Arbeitsblatt 5 kann analog gelöst werden.
7.2
Beweis durch vollständige Induktion
7.2.1
Einstiegsbeispiel
Dauer:
Ziel:
Material:
20 min
An einem realen Beispiel den Beweis durch vollständige Induktion kennen lernen;
mit Hilfe von Dominosteinen veranschaulichen
Einstiegsblatt VI
Die Lehrkraft führt am Beispiel einer Summe einen Beweis durch vollständige Induktion durch;
die Schüler versuchen nachzuvollziehen.
Anmerkung
Die Menge N∗ bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen, wobei die Zahl Null kein Element
der Menge ist. Also N∗ = N\{0}. Je nach bekannter Notation sollte dies den Schülern erklärt
werden.
Aufgabe (Einstiegsblatt VI )
Beweise folgende Behauptung: P (n): 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
Lösung
Induktionsanfang:
P (1) Summanden: 12 = 1
P (1) Formel: 1(1+1)(2·1+1)
= 1·2·3
=1
6
6
Also: P (1) wahr.
n(n+1)(2n+1)
6
für n ∈ N∗
Induktionsschritt:
wahr
Voraussetzung: 12 + 22 + 32 + ... + k 2 = k(k+1)(2k+1)
6
(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
2
2
2
2
2
Behauptung: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =
wahr
6
k(k+1)(2k+1)
2
2
2
2
2
Beweis: [1 + 2 + 3 + ... + k ] + (k + 1) =
+ (k + 1)2 =
6
2
(k+1)(2k +7k+6)
= (k+1)(k+2)(2k+3)
= (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
wahr
6
6
6
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ∈ N∗ . (k+1)[2k2 +k+6(k+1)]
6
=
Die Signifikanz der Dominosteine ist die folgende:
P (1) ist wahr bedeutet Dominostein 1 fällt um.
P (3) ist wahr bedeutet Dominostein 3 fällt um.
P (k) ist wahr bedeutet Dominostein k fällt um.
P (3) ⇒ P (4) bedeutet Wenn Dominostein 3 umfällt, dann fällt auch Dominostein 4 um, also
Wenn Dominostein 3 umfällt, dann fällt auch sein Nachfolger um.
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Im Induktionsschritt wurde gezeigt wurde gezeigt, dass P (k) ⇒ P (k + 1), d. h. also wenn ein
beliebiger Dominostein umfällt, dann fällt auch sein Nachfolger um.
Beim Induktionsanfang wurde gezeigt, dass P (1) wahr ist, also fällt der erste Dominostein um.
Aber: Wenn Stein 1 umfällt, dann fällt auch Stein 2 um.
Aber: Wenn Stein 2 umfällt, dann fällt auch Stein 3 um.
Aber: Wenn Stein 3 umfällt, dann fällt auch Stein 4 um.
...
Also fallen alle nachfolgenden Steine um. D. h. die Aussage P (n) ist wahr für alle n ∈ N∗ .
7.2.2
Allgemeine Vorgehensweise
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Zusammen mit den Schülern festhalten, wie gerade vorgegangen wurde.
keines
Tafelanschrieb:
Prinzip der vollständigen Induktion:
P (n) ist eine Behauptung, die von n ∈ N∗ abhängt.
1. InduktionsANFANG: Berechne P (1) ist wahr
2. InduktionsSCHRITT: P (k) ⇒ P (k + 1)
(Voraussetzung ⇒ Behauptung)
3. InduktionsSCHLUSS: Aus 1 und 2 ⇒ P (n) ist wahr für n ∈ N∗
Anmerkung
Die Schüler sollen das Prinzip der vollständigen Fallunterscheidung in eigenen Worten zusammen fassen.
Anmerkung
Es soll diskutiert werden, was passiert wenn z. B. P (1), P (2) und P (3) nicht wahr sind,
jedoch P (4) wahr ist und der Induktionsschritt gilt. Dies soll an den Dominosteinen noch
einmal gezeigt werden. Es soll allgemein abstrahiert werden.
Anmerkung
Es soll diskutiert werden, was passiert wenn z. B. P (1) wahr ist, der Induktionsschritt jedoch
nicht gilt.
7.2.3
Aufgaben
Dauer:
Ziel:
Material:
20-30 Minuten
Anwendungsbeispiele für den Beweis durch vollständige Induktion
Arbeitsblatt 6, Folie des Arbeistblattes
Die Schüler bearbeiten zu zweit Aufgaben ihrer Wahl vom Arbeitsblatt 6. Die Lehrkraft läuft
durch den Raum und unterstützt bedarfsbezogen.
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Aufgabe (Nr. 1 des Arbeitsblattes)
Beweise folgende Behauptung: P (n): 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2 für n ∈ N∗
Lösung
Induktionsanfang:
P (1) Summanden: 1 + 3 = 4
P (1) Formel: (1 + 1)2 = 4
Also: P (1) wahr.
Induktionsschritt:
Voruassetzung: P (k): 1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = (k + 1)2 wahr
Wir berechnen P (k+1): [1+3+5+...+(2k+1)]+(2k+3) = (k+1)2 +(2k+3) = k 2 +2k+1+2k+3 =
k 2 + 4k + 4 = (k + 2)2 wahr
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ∈ N∗ . Aufgabe (Nr. 2 des Arbeitsblattes)
Beweise folgende Behauptung: P (n): [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ] ist durch 9 teilbar (n ∈ N∗ )
Lösung
Induktionsanfang:
P (1): 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 ist teilbar durch 9
Also: P (1) wahr.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: [k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] ist teilbar durch 9 - wahr
Wir berechnen P (n+1): [(k +1)3 +(k +2)3 +(k +3)3 ] = [(k +1)3 +(k +2)3 +k 3 +9k 2 +27k +27] =
[k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] + 9n2 + 27n + 27 und da [k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] durch 9 teilbar ist,
ist die ganze Summe durch 9 teilbar. Also ist P (k + 1) wahr.
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ∈ N∗ . Aufgabe (Nr. 3 des Arbeitsblattes)
2
Beweise folgende Behauptung: P (n): n6 + n2 +
Lösung
Induktionsanfang:
2
3
P (1): 61 + 12 + 13 = 1 ∈ N∗ Also: P (1) wahr.
n3
3
ist eine natürliche Zahl für n ∈ N∗
Induktionsschritt:
2
3
Voraussetzung: P (k): k6 + k2 + k3 ∈ N∗ wahr
2
3
2
3
2
2
Wir berechnen P (k +1): k+1
+ (k+1)
+ (k+1)
= k+1
+ k +2k+1
+ k +3k 3+3k+1 = k6 + 61 + k2 + 2k
+ 12 +
6
2
3
6
2
2
2
2
3
2
3
2
3
k3
+ 3k3 + 3k
+ 31 = k6 + k2 + k3 + 16 + 12 + 31 + k + k 2 + k = [ k6 + k2 + k3 ] + [ 16 + 12 + 13 ] + 2k + k 2 ∈ N∗
3
3
2
3
2
3
da [ k6 + k2 + k3 ] ∈ N∗ (wegen P (k)) und [ 61 + 12 + 13 ] = 1 ∈ N∗ und 2k + k 2 ∈ N∗
Also: P (k + 1) wahr
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ∈ N∗ . Anderer Lösungsweg: Hauptnenner → Zähler ist teilbar durch 6
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Unterrichtseinheit 6
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Aufgabe (Nr. 4 des Arbeitsblattes)
Beweise folgende Behauptung: P (n): (n3 + 5n) ist durch 6 teilbar (n ∈ N∗ )
Lösung
Induktionsanfang:
P (1): 13 + 5 · 1 = 6 ist teilbar durch 6
Also: P (1) wahr.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: (k 3 + 5k) ist durch 6 teilbar - wahr
Wir berechnen P (k+1): [(k+1)3 +5(k+1)] = k 3 +3k 2 +3k+1+5k+5 = (k 3 +5k)+3k 2 +3k+6 =
[k 3 + 5k] + 3(k 2 + k) + 6
Zwischenrechnung: k 2 + k ist gerade, kann man durch Fallunterscheidung beweisen (Fall 1: k ist
gerade, Fall 2: k ist ungerade). Also ist k 2 + k durch 2 teilbar. Dann ist 3(k 2 + k) durch 6 teilbar.
Da [k 3 + 5k], 3(k 2 + k) und 6 teilbar durch 6 sind, ist [k 3 + 5k] + 3(k 2 + k) + 6 durch 6 teilbar.
Also ist P (k + 1) wahr
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ∈ N∗ . Aufgabe (Nr. 5 des Arbeitsblattes)
Beweise folgende Behauptung: P (n): 2n + 1 ≤ 2n für n ∈ N∗ , n ≥ 3
Lösung
Induktionsanfang:
P (3): 2 · 3 + 1 = 7 und 23 = 8. 7 < 8
Also: P (3) wahr.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: 2k + 1 ≤ 2k wahr
Wir berechnen P (k + 1):
Anfangen mit der linken Seite von P (k + 1): 2(k + 1) + 1 = 2k + 3 = (2k + 1) + 2 ≤ 2k + 2 <
2k · 2 = 2k+1 . Wir haben die rechte Seite von P (k + 1) erhalten. Also 2(k + 1) + 1 ≤ 2k+1 ist
wahr. Also P (k + 1) ist wahr.
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ≥ 3, n ∈ N∗ . Aufgabe (Nr. 6 des Arbeitsblattes)
Beweise folgende Behauptung: P (n): 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + ... + n · (n + 1) · (n + 2) =
für n ∈ N∗
Lösung
Induktionsanfang:
P (1) Summanden: 1 · 2 · 3 = 6
P (1) Formel: 1(1+1)(1+2)(1+3)
=6
4
Also: P (1) wahr.
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
Induktionsschritt:
Voraussetzung: 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + ... + k · (k + 1) · (k + 2) = k(k+1)(k+2)(k+3)
- wahr
4
Wir berechnen P (k + 1): 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + ... + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) =
k(k+1)(k+2)(k+3)
+ (k + 1)(k + 2)(k + 3) = [(k+1)(k+2)(k+3)](k+4)
= (k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]·[(k+1)+3]
wahr.
4
4
4
∗
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ∈ N . Universität Stuttgart
Unterrichtseinheit 6
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Vollständige Induktion
Seite 50 von 55
Anmerkung
Die zur Anwendung angebotenen Aufgaben spiegeln drei Anwendungsfälle des Beweises durch
vollständige Induktion, und zwar Summen, Ungleichungen und Teilbarkeit. Die Wahl der
Aufgaben zielt darauf hin, den Schülern aufzuzeigen, dass die vollständige Induktion in verschiedenen Kontexten angewendet werden kann. Jedoch darf nicht erwartet werden, dass die
Schüler diese Aufgaben allein lösen können.
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8
Unterrichtseinheit 7
Übung
Seite 51 von 55
Unterrichtseinheit 7 - Übung
8.1
Wiederholung
8.1.1
Wissensbaum
Dauer:
Ziel:
Material:
10 min
Wiederholung wichtiger Begriffe der vorherigen Stunde (Thema: Beweis durch
vollständige Induktion)
Arbeitsblatt Wissensbaum (DIN A3), Folie Wissensbaum (DIN A3)
Durch ein fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch wird der Wissensbaum mit folgenden Informationen gefüllt:
• Ast:
– Beweis durch vollständige Induktion
• Blätter
– Induktionsanfang P (1)
– Induktionsschritt P (k) ⇒ P (k + 1)
– Induktionsschluss P (n) wahr für alle n
Anmerkung
Der vollständig ausgefüllte Wissensbaum befindet sich mit den anderen Unterlagen im Anhang.
Anmerkung
Wichtig ist, dass die Schüler mit eigenen Worten zusammen fassen, wie die vollständige
Induktion funktioniert. Eventuell wieder am Beispiel der Dominosteine.
8.1.2
Arbeitsblatt
Dauer:
Ziel:
Material:
30 min
Aktive Sicherung der wichtigsten Inhalte der vorherigen Stunde (Thema: Beweis
durch vollständige Induktion)
Arbeitsblatt 6 (Arbeitsblatt der vorherigen Stunde), Folie des Arbeitsblattes, Wissensbaum von oben
Falls sich die Schüler zu Hause mit den nicht zusammen gelösten Aufgaben vom Arbeitsblatt 6
beschäftigt haben, werden Schülerideen zur Lösung der Aufgaben eingeholt und für alle Anwesenden an der Tafel verständlich erklärt.
Ansonsten werden die Aufgaben fragend-entwickelnd an der Tafel gelöst.
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Unterrichtseinheit 7
Übung
Seite 52 von 55
Aufgabe (Nr. 2 auf Arbeitsblatte 6 )
Beweise folgende Behauptung: P (n): [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ] ist durch 9 teilbar (n ∈ N)
Lösung
Induktionsanfang:
P (1): 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 ist teilbar durch 9
Also: P (1) wahr.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: [k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] ist teilbar durch 9 - wahr
Wir berechnen P (n+1): [(k +1)3 +(k +2)3 +(k +3)3 ] = [(k +1)3 +(k +2)3 +k 3 +9k 2 +27k +27] =
[k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] + 9n2 + 27n + 27 und da [k 3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 ] durch 9 teilbar ist,
ist die ganze Summe durch 9 teilbar. Also ist P (k + 1) wahr.
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ∈ N.
Falls die Schüler die vorherige Aufgabe leicht verstanden haben, wird noch eine Aufgabe von
Arbeitsblatt 6 gelöst, beispielsweise die folgende:
Aufgabe (Nr. 5 auf Arbeitsblatt 6 )
Beweise folgende Behauptung: P (n): 2n + 1 ≤ 2n für n ∈ N∗ , n ≥ 3
Lösung
Induktionsanfang:
P (3): 2 · 3 + 1 = 7 und 23 = 8. 7 < 8
Also: P (3) wahr.
Induktionsschritt:
Voraussetzung: 2k + 1 ≤ 2k wahr
Wir berechnen P (k + 1):
Anfangen mit der linken Seite von P (k + 1): 2(k + 1) + 1 = 2k + 3 = (2k + 1) + 2 ≤ 2k + 2 <
2k · 2 = 2k+1 . Wir haben die rechte Seite von P (k + 1) erhalten. Also 2(k + 1) + 1 ≤ 2k+1 ist
wahr. Also P (k + 1) ist wahr.
Laut vollständiger Induktion ist bewiesen: P (n) ist wahr für n ≥ 3, n ∈ N.
8.2
8.2.1
Übung
Zusammenfassung
Dauer:
Ziel:
Material:
20 min
Die Schüler reflektieren die Grundlagen des Beweisens
Arbeitsblatt Fragen
Die Zusammenfassung dient der Reflektion der wichtigsten Grundlagen des Beweisens. Es werden
verschiedene Aspekte hervorgehoben, die in den vorhergehenden Unterrichtseinheiten implizit oder
explizit behandelt wurden. Ein Schüler liest die Zusammenfassung vor. Je nach Vorlieben der
Lehrkraft und der Schüler können einzelne Punkte genauer diskutiert werden.
Anmerkung
Die veranschlagte Zeit beinhaltet keine Diskussionsphase über den Text. Sollte dies
gewünscht werden, so ist entsprechend mehr Zeit einzuplanen.
Die Fragestellungen am Ende des Arbeitsblattes sind von den Schülern selbstständig zu bearbeiten und zu präsentieren. Hierbei wird nochmals die erste Unterrichtseinheit wiederholt und mit
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Unterrichtseinheit 7
Übung
Seite 53 von 55
den folgenden Unterrichtseinheiten in Verbindung gesetzt. Die Schüler sollen erkennen, dass die
verschiedenen Beweismethoden mathematisch den gleichen Sachverhalt repräsentieren.
Aufgabe (Nr. a (Arbeitsblatt Fragen))
Stelle die Beweisarten, direkter Beweis, Beweis durch Kontraposition und Beweis durch
Widerspruch, mittels mathematischen Aussagen dar.
Lösung
direkter Beweis: p ⇒ q; Beweis durch Kontraposition: (¬q) ⇒ (¬p); Beweis durch Widerspruch:
(p ∧ (¬q)) ⇒ FALSCH
Aufgabe (Nr. b (Arbeitsblatt Fragen))
Beweise die Äquivalenz der Aussagen aus Teilaufgabe a).
Lösung
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
alle Aussagen sollten folgendes Ergebnis aufweisen
1
1
0
1
Leitfrage
Warum beweisen wir die Äquivalenz der Aussagen?
- In der zweiten Unterrichtseinheit wurde die Richtigkeit des direkten Beweises anhand der
Wahrheitstabelle aufgezeigt. Da die beiden anderen Methoden äquivalent hierzu sind, sind
auch diese geeignet zu beweisen.
8.2.2
Beweise
Dauer:
Ziel:
Material:
30 min
Die Schüler wenden das Gelernte auf unterschiedliche Probleme an und wählen
selbstständig aus ihrem Repertoire aus.
Arbeitsblatt Beweise
Die Schüler sollen in Einzelarbeit ein oder zwei Beweise erstellen.
Anmerkung
Die Auswahl erfolgte im Schülerseminar durch die Schüler. Um alle Beweise abzudecken,
kann jedoch auch zugewiesen werden.
Für die Beweise zum Satz des Pythagoras und zum Mittelpunktswinkelsatz gibt es jeweils noch
zusätzliche Blätter.
Anmerkung
Gerade beim Satz des Pythagoras gibt es viele unterschiedliche Ansätze. Hier soll nur die
Beweisart von James Garfield (ehemaliger US-amerikanischer Präsident) verwendet werden.
Anmerkung
Beim Mittelpunktswinkelsatz werden auf dem Zusatzblatt die Fallunterscheidungen und Hinweise hierzu gegeben. Es kann versucht werden, die Schüler dies selbst erarbeiten zu lassen.
Als Abschluss sollen die Beweise von den Schülern präsentiert werden.
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Abschlussbemerkungen
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Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
9
Seite 54 von 55
Abschlussbemerkungen
9.1
Erreichte Ziele
Nach der Teilnahme an allen sieben Unterrichtseinheiten können die Schüler:
• Grundlagen der Aussagenlogik:
– Definitionen der Aussagenlogik,
– Wahrheitstabelle,
– Verknüpfungen: Negation, Konjunktion, Disjunktion, Äquivalenz, Kontravalenz, Implikation und
– Verbindung der Verknüpfungen mit zwei und drei Variablen.
• den Beweis mit Wahrheitstabelle,
• den Beweis durch Gegenbeispiel,
• den direkten Beweis,
• den indirekten Beweis,
• den Beweis durch Kontraposition,
• die vollständige Fallunterscheidung,
• die vollständige Induktion,
• Auswahl und Anwendung der Beweistechniken,
• Ansprüche an gute Beweise erfüllen und
• grundlegende Beweise, vor allem aus den Bereichen:
– Teilbarkeit,
– Primzahlen,
– Geometrie,
– Beträge und
– Summen- und Produktformeln.
Aufbauend hierauf können nun vertiefend mathematische Gebiete erforscht werden. Hierzu liefern
andere Schülerseminare viele ausgearbeitete Ideen.
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Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
9.2
Abschlussbemerkungen
Seite 55 von 55
Anhang
Im Anhang befinden sich:
• Verlaufspläne zu allen Unterrichtseinheiten,
• Tafelbilder (sofern vorhanden) zu den Unterrichtseinheiten,
• alle Arbeitsblätter und Folien und
• Lösungen zu allen Aufgaben.
Die Unterlagen sind nach den Unterrichtseinheiten sortiert. Innerhalb der Unterrichtseinheiten ist
zuerst der Verlaufsplan und das Tafelbild aufgeführt. Im Anschluss daran sind die Arbeitsblätter
und Folien chronologisch angehängt. Die Lösungsblätter befinden sich jeweils direkt hinter dem
zugehörigen Arbeitsblatt.
9.3
Danksagung
Hiermit möchten wir uns bei StD’in Veronika Kollmann vom Staatlichen Seminar für Didaktik und
Lehrerbildung (Gymnasien) in Stuttgart und PD Dr. Peter Lesky von der Universität Stuttgart
recht herzlich für die umfangreiche Unterstützung bei der Vorbereitung, der Durchführung und der
Nachbereitung der vorliegenden Unterrichtseinheiten bedanken. Sie gaben uns sowohl in fachlichen
als auch didaktischen Fragestellungen kompetente Hilfestellungen, wofür wir sehr dankbar sind.
Schülerseminar 2010 - Stunde 1: Aussagenlogik
Einleitung
Einführungsbeispiel:
15 min
Jedes Dreieck ist gleichschenklig (Beispiel „Dreieck“) an Tafel (10 min)
S finden Fehler im Beweis
àS machen sich Gedanken über mathematische Beweise
(evtl. weitere Impulse geben)
Ziel: Notwendigkeit v. Exaktheit, Vollständigkeit, richtiges Schließen;
evtl. Vorgehensweisen von Beweisen
Geschichtlicher Abriss zu mathematischen Beweisen
(5min)
Folie „Porträts“, Anschauungsbuch „Euklid: Die Elemente“
Abschließend Ausgabe Information „Geschichtlicher Abriss“
Begriffsbildung „mathematische Aussagen“
10 min
Erklärung der Axiomatik der Aussagenlogik
Fragend-entwickelnder Frontalunterricht anhand von Beispielen auf OHP
Ergebnisse werden an der Tafel festgehalten
(10 min)
Arbeiten mit Aussagen (Konjunktion, Disjunktion, Negation)
40 min
Erklärung der Verknüpfungen und der Wahrheitstabelle
Fragend-entwickelnder Frontalunterricht an Tafel anhand von Beispielen
Negation zuletzt eintragen
(10 min)
Arbeitsblatt „KDN“
Musterbeispiel doppelte Negation gemeinsam
(10 min)
Beispiel de Morgan: erste Spalte gemeinsam, zweite Spalte allein
(10 min)
Ergebnisbesprechung und Formulierung der de Morganschen Gesetze (10 min)
Zusatzaufgabe für Schnelle: Distributivität
Arbeiten mit Aussagen (Implikation, Äquivalenz)
25 min
Erklärung der Begriffe Implikation und Äquivalenz
(5 min)
Fragend-entwickelnder Frontalunterricht anhand von Beispielen auf OHP
Ergebnisse werden an der Tafel festgehalten
Arbeitsblatt „IAe“
(20 min)
EA / PA, Hilfestellung durch L
Aufgaben 2 und 3 sind vorrangig zu bearbeiten, Aufgabe 4 als Binnendifferenzierung
(Aufgabe 2 mit Implikation!)
Übung
Übungsblatt „NOR“ als Hausaufgabe
HA
Material:
L: Beispielblatt „Dreieck“
M: Tafelkreide
L: Informationsblatt „Geschichtlicher Abriss L“
F: Beispielblatt „Porträts“
M: Buch „Euklid: Die Elemente“
S: Informationsblatt „Geschichtlicher Abriss“
F: Beispielblatt „AL“
L: Beispielblatt „AL L“
S: Arbeitsblatt „KDN“
F: Arbeitsblatt „KDN“
L: Arbeitsblatt „KDN L“
M: Folienschreiber
S: 3 Hilfsblätter „Vordruck Wahrheitstabelle klein“
S: 3 Hilfsblätter „Vordruck Wahrheitstabelle groß“
F: Hilfsblatt „Vordruck Wahrheitstabelle klein“
F: Hilfsblatt „Vordruck Wahrheitstabelle groß“
S: Arbeitsblatt „IAe“
F: Arbeitsblatt „IAe“
L: Arbeitsblatt „IAe L“
S: Übungsblatt „NOR“
L: ein Ausdruck für Lehrer
S: Schülersatz
F: Folie
M: sonstiges Material
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Satz: Jedes Dreieck ist gleichschenklig.
Beweis:
Gegeben: Beliebiges Dreieck ABC
Man zeichne:
• Winkelhalbierende an Punkt C
• Mittelsenkrechte auf Strecke AB
• Schnittpunkt D
• Senkrechte auf BC durch D
• Senkrechte auf AC durch D
• Schnittpunkte E, F und G
Termin 1: Einführungsbeweis
Beispielblatt 1
Seite 1 von 2
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Termin 1: Einführungsbeweis
Beispielblatt 1
Seite 2 von 2
Dreiecke DF C und DCE sind gleich, da:
• Winkel am Punkt C gleich, da CD Winkelhalbierende
• rechter Winkel am Punkt E bzw. F gleich
• Seite CD gleich
Also ist CE = CF und DE = DF .
Dreiecke ABG und BDG sind gleich, da:
• rechter Winkel am Punkt G gleich
• Seite DG gleich
• Seiten AG und BG gleich, da G Mittelpunkt
Also ist AD = BD.
Dreiecke ADE und BF D sind gleich, da:
• rechter Winkel am Punkt E bzw. F gleich
• Seiten AD und BD gleich (s. oben)
• Seiten DE und DF gleich (s. oben)
Also ist BF = AE.
Somit ist BF + F C = AE + EC, also BC = AC. Deshalb ist das Dreieck gleichschenklig.
Fehler: Bei richtigem Zeichnen ist der Schnittpunkt D und der Schnittpunkt F außerhalb des
Dreiecks. Somit können BF und F C nicht addiert werden, um die Gesamtlänge BC zu erhalten
(wenn BC kürzere Seite, ansonsten ähnlich).
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Termin 1: Geschichtlicher Abriss
Informationsblatt 1
Seite 1 von 1
Euklid von Alexandria
Quelle: www.mathematik.de
In der griechischen Antike begannen die Mathematiker mit einem
strukturierten Aufbau ihrer Wissenschaft. Jede Behauptung musste
bewiesen werden. Dies war der Beginn des modernen Beweises.
Grundlage des Beweises waren die Voraussetzungen, mit denen logisch auf die Behauptung gefolgert werden musste.
Euklid von Alexandria lebte ungefähr 360 - 280 v. Chr. und stellte das
gesamte damalige mathematische Wissen in seinem dreizehnbändigen
Werk “Die Elemente” zusammen. Er gilt als Begründer einer wichtigen Beweistechnik: dem Beweis durch Widerspruch.
Alle in den nächsten Terminen vorgestellten Beweisverfahren wurden
in dieser Zeit entwickelt.
David Hilbert
Quelle: www.nndb.com
Während des Mittelalters wurde in Europa keine Mathematik betrieben. Die Zeit danach war geprägt davon, verlorenes Wissen wiederzuerlangen. Hierzu wurde die griechische Mathematik als Vorbild
verwendet.
Erst zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts wurde ein weiterer Meilenstein der Beweise geschrieben. David Hilbert, ein deutscher Mathematiker, lebte von 1862 bis 1943. Er setzte sich zum Ziel, mit
so wenig Voraussetzungen wie möglich die gesamte Mathematik aufzubauen. Zusammen mit vielen anderen Mathematikern dieser Zeit,
baute er das System neu auf und bewies viele schon bekannte Sätze
auf dieser Basis neu. Natürlich hat er in seinem Lebenswerk auch
unzählige neue Sätze entdeckt und bewiesen.
Die Grundlagen der im ersten Termin behandelten Aussagenlogik
sind zum Beispiel Entwicklungen, die durch das Vorgehen Hilberts
geprägt, umdefiniert und weiterentwickelt wurden.
Kurt Gödel
Kurt Gödel war ein österreichischer Mathematiker, der von 1906 bis
1978 lebte. Er zeigte, dass es Aussagen gibt, die aus den Annahmen
Hilberts und dessen Mitstreiter nicht bewiesen werden können, und
brachte somit die Mathematik in ein noch nie dagewesenes Chaos,
aus der sie sich nur langsam erholte.
Dies soll uns für unsere Arbeit aber nicht weiter interessieren, da dies
nur ein paar wenige bisher entdeckte Tatsachen betrifft.
Quelle: www.mathematik.ch
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Termin 1: Geschichtlicher Abriss
Informationsblatt 1
Seite 1 von 1
Euklid von Alexandria
Seit die Menschheit versucht, ihre Umwelt zu kontrollieren, wird Mathematik betrieben. Schon
Hochkulturen wie die Maya, die Ägypter oder die Babylonier beherrschten viele grundlegende
Methoden (z.B. das Wurzelziehen mit unterschiedlicher Genauigkeit).
In der griechischen Antike (schon vor Christi Geburt) begannen die Mathematiker mit einem
strukturierten Aufbau ihrer Wissenschaft. Jede Behauptung musste bewiesen werden. Dies war
der Beginn des modernen Beweises.
Grundlage des Beweises waren die Voraussetzungen, mit denen logisch auf die Behauptung gefolgert
werden musste.
Euklid von Alexandria lebte ungefähr 360 - 280 v. Chr. und stellte das gesamte damalige mathematische Wissen in seinem dreizehnbändigen Werk “Die Elemente” zusammen (hier ein moderner
Nachdruck). Er gilt als Begründer einer wichtigen Beweistechnik: dem Beweis durch Widerspruch.
Alle in den nächsten Terminen vorgestellten Beweisverfahren wurden in dieser Zeit entwickelt.
David Hilbert
Während des Mittelalters wurde in Europa keine Mathematik betrieben. Die Zeit danach war
geprägt davon, verlorenes Wissen wiederzuerlangen. Hierzu wurde die griechische Mathematik als
Vorbild verwendet.
Erst zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts wurde ein weiterer Meilenstein der Beweise geschrieben. David Hilbert, ein deutscher Mathematiker, lebte von 1862 bis 1943. Er setzte sich zum Ziel,
mit so wenig Voraussetzungen wie möglich die gesamte Mathematik aufzubauen. Zusammen mit
vielen anderen Mathematikern dieser Zeit, zum Beispiel auch die erste Mathematikerin Deutschlands Emmy Noether, baute er das System neu auf und bewies viele schon bekannte Sätze auf
dieser Basis neu. Natürlich hat er in seinem Lebenswerk auch unzählige neue Sätze entdeckt und
bewiesen.
Die Grundlagen der im ersten Termin behandelten Aussagenlogik sind zum Beispiel Entwicklungen, die durch das Vorgehen Hilberts geprägt, umdefiniert und weiterentwickelt wurden.
Kurt Gödel
Kurt Gödel war ein österreichischer Mathematiker, der von 1906 bis 1978 lebte. Er zeigte, dass
es Aussagen gibt, die aus den Annahmen Hilberts und dessen Mitstreiter nicht bewiesen werden
können und brachte somit die Mathematik in ein noch nie dagewesenes Chaos, aus der sie sich nur
langsam erholte.
Dies soll uns für unsere Arbeit aber nicht weiter interessieren, da dies nur ein paar wenige bisher
entdeckte Tatsachen betrifft.
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Termin 1: Geschichtlicher Abriss (Porträts)
Fachbereich Mathematik
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Beispielblatt 2
Seite 1 von 1
David Hilbert
Euklid von Alexandria
Kurt Gödel
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Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Termin 1: Beispiele zur Aussagenlogik
Beispielblatt 3
Seite 1 von 3
Mathematische Aussagen
• 9 ist durch 3 teilbar.
• Der VfB Stuttgart wird in der nächsten Saison deutscher
Fußballmeister.
• Alle Autos sind grün.
• Dieser Satz ist falsch.
• 9 ist nicht durch 3 teilbar.
• Nicht alle Autos sind grün.
anders:
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Termin 1: Beispiele zur Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Beispielblatt 3
Seite 2 von 3
• 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
• 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
Universität Stuttgart
Termin 1: Beispiele zur Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Beispielblatt 3
Seite 3 von 3
Implikation
• Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht!
• Wenn es nicht regnet, dann...
• Wenn die Straße nicht nass ist, kann es dann regnen?
• Wenn es regnet, dann...
• Wenn die ganze Zahl n durch die Zahl 6 teilbar ist, dann
ist sie auch durch 3 teilbar.
Äquivalenz
• Heute ist genau Mittwoch, wenn...
• Wie muss ich meine Aussage: “Wenn die ganze Zahl n
durch die Zahl 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.” erweitern, um eine Äquivalenz zu erhalten?
Universität Stuttgart
Termin 1: Beispiele zur Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Beispielblatt 3
Seite 1 von 3
Mathematische Aussagen
• 9 ist durch 3 teilbar.
• Der VfB Stuttgart wird in der nächsten Saison deutscher
Fußballmeister.
• Alle Autos sind grün.
• Dieser Satz ist falsch.
Negation, NICHT
• 9 ist nicht durch 3 teilbar.
• Nicht alle Autos sind grün.
anders: Es gibt ein Auto, das nicht grün ist.
Universität Stuttgart
Termin 1: Beispiele zur Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Beispielblatt 3
Seite 2 von 3
Konjunktion, UND
• 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist nicht durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar und 9 ist eine Quadratzahl.
Disjunktion, ODER
• 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
• 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Termin 1: Beispiele zur Aussagenlogik
Beispielblatt 3
Seite 3 von 3
Implikation
• Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht!
• Wenn es nicht regnet, dann...
kann die Straße trotzdem nass sein (umgefallener Tanklaster, Wasserrohrbruch, ...).
• Wenn die Straße nicht nass ist, kann es dann regnen?
Nein.
• Wenn es regnet, dann...
ist die Straße nass.
• Wenn die ganze Zahl n durch die Zahl 6 teilbar ist, dann
ist sie auch durch 3 teilbar.
Äquivalenz
• Heute ist genau Mittwoch, wenn...
morgen Donnerstag ist oder gestern Dienstag war oder
...
• Wie muss ich meine Aussage: “Wenn die ganze Zahl n
durch die Zahl 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3
teilbar.” erweitern, um eine Äquivalenz zu erhalten?
Die Zahl n muss auch durch 2 teilbar sein.
Universität Stuttgart
Termin 1: Konjunktion, Disjunktion, Negation
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt 1
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Fülle die Wahrheitstabelle aus.
Fülle die Wahrheitstabelle aus.
p
¬p
¬(¬p)
p
q
(¬p) ∧ (¬q)
¬(p ∨ q)
Aufgabe 3
Fülle die Wahrheitstabelle aus. Finde hierzu eine alternative Verknüpfung der drei Aussagen,
damit die zwei letzten Spalten übereinstimmen.
p
q
r
(p∨r)∧(q ∨r)
(Hinweis: Betrachte den Zusammenhang zwischen r und dem gewünschten Ergebnis. Welcher wahre
Zustand fehlt? Wie kann dieser mit Hilfe von p und q ausgedrückt werden, sodass falsche Zustände
falsch bleiben? Wie sieht dann der komplette Ausdruck aus? Überprüfe dein Ergebnis.)
Universität Stuttgart
Termin 1: Konjunktion, Disjunktion, Negation
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt 1
Seite 1 von 2
Aufgabe 1
Gemeinsam!
Fülle die Wahrheitstabelle aus.
p
¬p
¬(¬p)
0
1
0
1
0
1
Was fällt beim Vergleich der ersten und letzten Spalte auf ?
Tafel: Doppelte Negation einer Aussage ist äquivalent zur Aussage selbst.
Aufgabe 2
Erste Spalte gemeinsam: Erklärung des Hilfsblattes!
Zweite Spalte allein!
Fülle die Wahrheitstabelle aus.
p
q
(¬p) ∧ (¬q)
¬(p ∨ q)
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
Was fällt beim Vergleich der beiden letzten Spalten auf ?
Tafel: Gesetze von de Morgan:
((¬p) ∧ (¬q)) ⇔ (¬(p ∨ q))
((¬p) ∨ (¬q)) ⇔ (¬(p ∧ q))
Warum gilt dieser Zusammenhang immer? - Weil alle vier möglichen Fälle überprüft wurden. Beweis mit Wahrheitstabelle als erstes Beweisverfahren.
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Termin 1: Konjunktion, Disjunktion, Negation
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt 1
Seite 2 von 2
Aufgabe 3
Vollständig allein! Zusatzaufgabe für schnelle Schüler
Fülle die Wahrheitstabelle aus. Finde hierzu eine alternative Verknüpfung der drei Aussagen, damit
die zwei letzten Spalten übereinstimmen.
p
q
r
(p∨r)∧(q ∨r)
(p ∧ q) ∨ r
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
(Hinweis: Betrachte den Zusammenhang zwischen r und dem gewünschten Ergebnis. Welcher wahre
Zustand fehlt? Wie kann dieser mit Hilfe von p und q ausgedrückt werden, sodass falsche Zustände
falsch bleiben? Wie sieht dann der komplette Ausdruck aus? Überprüfe dein Ergebnis.)
Wenn alle S Aufgabe gelöst haben, oder Nachfragen vorhanden sind:
Tafel: Distributivgesetz der Logik
((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ r)
((p ∧ r) ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ r)
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Termin 1: Vordruck Wahrheitstabelle (2 Aussagen)
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
q
p
q
p
q
p
q
¬p
1
1
0
0
¬q
1
0
1
0
p∧q
0
0
0
1
p∨q
0
1
1
1
p⇒q
1
1
0
1
Hilfsblatt 1
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p⇔q
1
0
0
1
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Termin 1: Vordruck Wahrheitstabelle (3 Aussagen)
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
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p
q
r
p
q
r
¬q
1
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p∧q
0
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1
p∨q
0
1
1
1
p⇒q
1
1
0
1
Hilfsblatt 2
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p⇔q
1
0
0
1
Universität Stuttgart
Termin 1: Implikation, Äquivalenz
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt 2
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
a) Fülle die Wahrheitstabelle aus.
p
q
b) Vergleiche die Wahrheitstabellen von p ⇒ q und
¬q ⇒ ¬p. Halte deine Beobachtung fest.
¬q ⇒ ¬p
Aufgabe 2
a) Stelle die Äquivalenz p ⇔ q mit Hilfe dir bekannter Aussageverknüpfungen dar.
b) Beweise deine Aussage mittels einer Wahrheitstabelle. (auf dem Hilfsblatt)
Aufgabe 3
a) Gegeben ist folgende unvollständige Aussage ((p ⇒ q) ∧ (
leere Klammer so, dass die Aussage gilt.
)) ⇒ (p ⇒ r). Bestimme die
b) Beweise deine Aussage mittels einer Wahrheitstabelle. (auf dem Hilfsblatt)
Aufgabe 4
Für Spaßvögel: Ein Mathematiker schreibt aus dem Urlaub: “Jedesmal wenn es geregnet hat,
kamen Außerirdische und klauten uns unser Zelt.” Was hat er damit gemeint?
Universität Stuttgart
Termin 1: Implikation, Äquivalenz
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt 2
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
a) Fülle die Wahrheitstabelle aus.
p
q
¬q ⇒ ¬p
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
b) Vergleiche die Wahrheitstabellen von p ⇒ q und
¬q ⇒ ¬p. Halte deine Beobachtung fest.
Sie sind gleich.
Aufgabe 2
a) Stelle die Äquivalenz p ⇔ q mit Hilfe dir bekannter Aussageverknüpfungen dar.
(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
b) Beweise deine Aussage mittels einer Wahrheitstabelle. (auf dem Hilfsblatt)
Aufgabe 3
a) Gegeben ist folgende unvollständige Aussage ((p ⇒ q) ∧ (
leere Klammer so, dass die Aussage gilt.
)) ⇒ (p ⇒ r). Bestimme die
((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)
b) Beweise deine Aussage mittels einer Wahrheitstabelle. (auf dem Hilfsblatt)
Aufgabe 4
Für Spaßvögel: Ein Mathematiker schreibt aus dem Urlaub: “Jedesmal wenn es geregnet hat,
kamen Außerirdische und klauten uns unser Zelt.” Was hat er damit gemeint?
Da es keine Außerirdischen gibt, hat es auch nicht geregnet.
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Termin 1: Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Übungsblatt 1
Seite 1 von 3
NOR-Baustein
In der Elektronik werden Schaltungen häufig mit NOR-Bausteinen aufgebaut. Wir wollen nun
versuchen, einige logische Aussagen in dieser Weise zu entwickeln.
Der NOR-Baustein ist ein Bauelement, das eine bestimmte logische Verknüpfung darstellt. Er
verknüpft zwei Zustände zu einem neuen, ähnlich wie die bisher bekannten Verknüpfungen. Wir
nennen die Eingangszustände p und q, den Ausgangszustand o.
Schematisch können wir den NOR-Baustein folgendermaßen darstellen:
Genau wie die bisher kennen gelernten logischen Verknüpfungen, können wir den Ausgangszustand mit Hilfe einer Wahrheitstabelle definieren:
p q o = p NOR q
0 0
1
0 1
0
1 0
0
1 1
0
Hierbei bedeutet eine “1”, dass Strom fließt und eine “0”, dass kein Strom fließt.
Durch geeignete Kombination dieser Bausteine lässt sich jede mögliche logische Verknüpfung realisieren.
Aufgabe 1
Wie kann diese Verknüpfung mit den bereits bekannten Verknüpfungen (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz und Kontravalenz) geschrieben werden?
p NOR q ⇔
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Termin 1: Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
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Übungsblatt 1
Seite 2 von 3
Aufgabe 2
Gegeben ist folgende schematische Verknüpfung:
a) Stelle die Wahrheitstabelle für diese Verknüpfung auf.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
o
b) Welcher bisher eingeführten Verknüpfung entspricht dies?
((p NOR p) NOR q) NOR ((p NOR p) NOR q)⇔
Aufgabe 3
a) Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus.
p
0
1
p NOR p
b) Welche bisher bekannte logische Verknüpfung wird durch p NOR p dargestellt?
p NOR p ⇔
c) Stelle sowohl die Konjunktion als auch die Disjunktion als Verknüpfung der NOR-Bausteine dar.
p∧q ⇔
p∨q ⇔
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Fachbereich Mathematik
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Für die besonders Schnellen: Zusatzaufgabe
Stelle die folgenden Verknüpfungen mit NOR-Bausteinen dar.
a) ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔
b) ((p ⇒ q) ∨r) ⇔
c) (p ⇔ q) ⇔
Termin 1: Aussagenlogik
Übungsblatt 1
Seite 3 von 3
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Termin 1: Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Übungsblatt 1
Seite 1 von 3
NOR-Baustein
In der Elektronik werden Schaltungen häufig mit NOR-Bausteinen aufgebaut. Wir wollen nun
versuchen, einige logische Aussagen in dieser Weise zu entwickeln.
Der NOR-Baustein ist ein Bauelement, das eine bestimmte logische Verknüpfung darstellt. Er
verknüpft zwei Zustände zu einem neuen, ähnlich wie die bisher bekannten Verknüpfungen. Wir
nennen die Eingangszustände p und q, den Ausgangszustand o.
Schematisch können wir den NOR-Baustein folgendermaßen darstellen:
Genau wie die bisher kennen gelernten logischen Verknüpfungen, können wir den Ausgangszustand mit Hilfe einer Wahrheitstabelle definieren:
p q o = p NOR q
0 0
1
0 1
0
1 0
0
1 1
0
Hierbei bedeutet eine “1”, dass Strom fließt und eine “0”, dass kein Strom fließt.
Durch geeignete Kombination dieser Bausteine lässt sich jede mögliche logische Verknüpfung realisieren.
Aufgabe 1
Wie kann diese Verknüpfung mit den bereits bekannten Verknüpfungen (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz und Kontravalenz) geschrieben werden?
p NOR q ⇔ (¬p ∧ ¬q) ⇔ ¬(p ∨ q)
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Termin 1: Aussagenlogik
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Übungsblatt 1
Seite 2 von 3
Aufgabe 2
Gegeben ist folgende schematische Verknüpfung:
a) Stelle die Wahrheitstabelle für diese Verknüpfung auf.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
o
1
1
0
1
b) Welcher bisher eingeführten Verknüpfung entspricht dies?
((p NOR p) NOR q) NOR ((p NOR p) NOR q)⇔ (p ⇒ q)
Aufgabe 3
a) Fülle die folgende Wahrheitstabelle aus.
p
0
1
p NOR p
1
0
b) Welche bisher bekannte logische Verknüpfung wird durch p NOR p dargestellt?
p NOR p ⇔ ¬p
c) Stelle sowohl die Konjunktion als auch die Disjunktion als Verknüpfung der NOR-Bausteine dar.
p ∧ q ⇔ ((p NOR p) NOR (q NOR q))
p ∨ q ⇔ ((p NOR q) NOR (p NOR q))
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Termin 1: Aussagenlogik
Übungsblatt 1
Seite 3 von 3
Für die besonders Schnellen: Zusatzaufgabe
Stelle die folgenden Verknüpfungen mit NOR-Bausteinen dar.
a) ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (((((p NOR p) NOR (q NOR q)) NOR ((p NOR p) NOR (q NOR q)))
NOR r) NOR ((((p NOR p) NOR (q NOR q)) NOR ((p NOR p) NOR (q NOR q))) NOR r))
b) ((p ⇒ q) ∨r) ⇔ (((((p NOR p) NOR q) NOR ((p NOR p) NOR q)) NOR r) NOR ((((p
NOR p) NOR q) NOR ((p NOR p) NOR q)) NOR r))
c) (p ⇔ q) ⇔ (((p NOR q) NOR ((p NOR p) NOR (q NOR q))) NOR ((p NOR q) NOR ((p
NOR p) NOR (q NOR q))))
Schülerseminar 2010 - Stunde 2: Gegenbeispiel, direkter Beweis
Wiederholung
30 min
Wissensbaum: Vorstellen und Ausfüllen (Wurzeln und Stamm)
Fragend-entwickelndes Gespräch
(10 min)
Arbeitsblatt „Wiederholung“
Aufgabe 1: Einzelarbeit
Aufgabe 2: Binnendifferenzierung
Ergebniskontrolle, Beweis durch Wahrheitstabelle
(Eintragen in Wissensbaum)
(10 min)
(10 min)
Voraussetzung – Behauptung
20 min
Beispielblatt „VB“ (OHP)
S sollen Voraussetzungen und Behauptungen an Beispielen erkennen
(20 min)
Beweis durch Gegenbeispiel und direkter Beweis
40 min
Arbeitsblatt „GBdB“:
Aufgabe 1, 2, 3: Einzelarbeit
Aufgabe 4, 5: Binnendifferenzierung
Präsentation der Ergebnisse durch S an OHP, ergänzende Erklärungen von L
(10 min)
Erklärung Gegenbeispiel (verbal) und Eintragen in Wissensbaum
(5 min)
Erklärung des direkten Beweises (verbal)
(5 min)
Übung
HA
Übungsblatt „GBdB“
(20 min)
Material:
S: Arbeitsblatt „Wissensbaum“ (A3)
F: Arbeitsblatt „Wissensbaum“
L: Arbeitsblatt „Wissensbaum“
M: Folienschreiber
S: Arbeitsblatt „Wiederholung“
F: Arbeitsblatt „Wiederholung“
L: Arbeitsblatt „Wiederholung“
F: Beispielblatt „VB“
L: Beispielblatt „VB“
S: Arbeitsblatt „GBdB“
L: Arbeitsblatt „GBdB“
M: leere Folien
S: Übungsblatt „GBdB“
L: ein Ausdruck für Lehrer
S: Schülersatz
F: Folie
M: sonstiges Material
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Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Mathematische Beweise: Wissensbaum
Sammelblatt 1
Seite 1 von 1
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Mathematische Beweise: Wissensbaum
Fachbereich Mathematik
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p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
¬q
1
0
1
0
p∧q
0
0
0
1
Sammelblatt 1
Seite 1 von 1
p∨q
0
1
1
1
p⇒q
1
1
0
1
p⇔q
1
0
0
1
Universität Stuttgart
Termin 2: Wiederholung
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
p
0
0
1
1
q
0
1
0
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¬p
1
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0
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¬q
1
0
1
0
p∧q
0
0
0
1
p∨q
0
1
1
1
p⇒q
1
1
0
1
Wiederholungsblatt 1
Seite 1 von 1
p⇔q
1
0
0
1
Aufgabe 1
Beweise den Satz (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) mit Hilfe einer Wahrheitstabelle.
p
q
Aufgabe 2
Beweise den Satz (p ⇒ q) ⇔ ((¬p) ∨ q) mit Hilfe einer Wahrheitstabelle.
p
q
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Fachbereich Mathematik
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Termin 2: Voraussetzung - Behauptung
Beispielblatt 1
Seite 1 von 3
• Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist
sie auch durch 3 teilbar.
Voraussetzung:
Behauptung:
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Fachbereich Mathematik
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Termin 2: Voraussetzung - Behauptung
Beispielblatt 1
Seite 2 von 3
• Für alle natürlichen Zahlen gilt: ist die Zahl durch 2 und
durch 5 teilbar, so ist sie durch 10 teilbar.
Voraussetzung:
Behauptung:
• Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl n ist gerade.
Voraussetzung:
Behauptung:
Universität Stuttgart
Termin 2: Voraussetzung - Behauptung
Fachbereich Mathematik
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Beispielblatt 1
Seite 3 von 3
• Die natürliche Zahl n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn
sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Voraussetzung:
(1)
(2)
Behauptung:
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Termin 2: Voraussetzung - Behauptung
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Beispielblatt 1
Seite 1 von 1
• Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
Voraussetzung:
“n ist natürliche Zahl.”
UND “n ist durch 6 teilbar.”
Behauptung:
“n ist durch 3 teilbar.”
“n ist natürliche Zahl.” ∧ “n ist durch 6 teilbar.”
⇒ “n ist durch 3 teilbar.”
• Für alle natürlichen Zahlen gilt: ist die Zahl durch 2 und durch 5 teilbar, so ist sie durch 10
teilbar.
Voraussetzung:
“n ist natürliche Zahl.” ∧ “n ist durch 2 teilbar.” ∧ “n ist
durch 5 teilbar.”
Behauptung:
“n ist durch 10 teilbar.”
• Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl n ist gerade.
Voraussetzung:
“n ist natürliche Zahl.” ∧ “n ist gerade.”
Behauptung:
“n2 ist gerade.”
• Die natürliche Zahl n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 2 und 3 teilbar. Und
umgekehrt.
Voraussetzung:
Behauptung:
(1)
“n ist natürliche Zahl.” ∧ “6 | n”
“2 | n” ∧ “3 | n”
(2)
“n ist natürliche Zahl.” ∧ “2 | n” ∧ “3 |
n”
“6 | n”
((6 | n) ⇔ ((2 | n) ∧ (3 | n)))
⇔
(((6 | n) ⇒ ((2 | n) ∧ (3 | n))) ∧ (((2 | n) ∧ (3 | n)) ⇒ (6 | n)))
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Termin 2: grundlegende Beweisverfahren
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt 1
Seite 1 von 1
Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist
und beweise oder widerlege ihn.
Aufgabe 1
“Jede natürliche Zahl ≥ 2 hat eine gerade Anzahl von Teilern.”
Aufgabe 2
“Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade.”
Aufgabe 3
“Das Produkt zweier ungeraden natürlichen Zahlen ist ungerade.”
Aufgabe 4
“n3 ist ungerade, wenn n ungerade natürliche Zahl ist.”
a) Verwende die Sätze aus Aufgabe 2 und 3.
b) Vermeide die Sätze aus Aufgabe 2 und 3.
Aufgabe 5
“n(n − 1) + 41 ist für jede natürliche Zahl n Primzahl.”
Universität Stuttgart
Termin 2: grundlegende Beweisverfahren
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt 1
Seite 1 von 2
Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist
und beweise oder widerlege ihn.
Aufgabe 1
“Jede natürliche Zahl ≥ 2 hat eine gerade Anzahl von Teilern.”
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. ∧ n ≥ 2.
Behauptung: n hat gerade Anzahl von Teilern.
Gegenbeispiel: n = 4: Teiler: 1,2,4 (allgemein: jede Quadratzahl)
Aufgabe 2
“Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade.”
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. ∧ n ist ungerade.
Behauptung: n2 ist ungerade.
Beweis: n ungerade ⇒ n = 2k + 1 mit k ∈ N ⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1
mit (2k 2 + 2k) ∈ N ⇒ n2 ist ungerade. Aufgabe 3
“Das Produkt zweier ungeraden natürlichen Zahlen ist ungerade.”
Voraussetzung: a, b ungerade natürliche Zahlen.
Behauptung: a · b ungerade.
Beweis: a ungerade ⇒ a = 2k + 1 mit k ∈ N
b ungerade ⇒ b = 2l + 1 mit l ∈ N
⇒ a · b = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1 mit (2kl + k + l) ∈ N ⇒ a · b
ungerade. Aufgabe 4
“n3 ist ungerade, wenn n ungerade natürliche Zahl ist.”
a) Verwende die Sätze aus Aufgabe 2 und 3.
b) Vermeide die Sätze aus Aufgabe 2 und 3.
Voraussetzung: n ungerade natürliche Zahl.
Behauptung: n3 ungerade.
Beweis:
a) n3 = (n2 ) · n.
n ungerade ⇒ (Aufgabe 1:) n2 ungerade ⇒ (Aufgabe 2:) (n2 ) · n ungerade. b) n ungerade ⇒ n = 2k + 1 mit k ∈ N ⇒ n3 = (2k + 1)3 = 8k 3 + 12k 2 + 6k + 1 = 2(4k 3 +
6k 2 + 3k) + 1 mit (4k 3 + 6k 2 + 3k) ∈ N ⇒ n3 ungerade. Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Termin 2: grundlegende Beweisverfahren
Arbeitsblatt 1
Seite 2 von 2
Aufgabe 5
“n(n − 1) + 41 ist für jede natürliche Zahl n Primzahl.”
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl.
Behauptung: n(n − 1) + 41 ist Primzahl.
Gegenbeispiel: 41, 42 u.a.
n = 41: n(n − 1) + 41 = 41 · 40 + 41 = 412 n = 42: n(n − 1) + 41 = 42 · 41 + 41 = 43 · 41
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Termin 2: Gegenbeispiel, direkter Beweis
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Übungsblatt 1
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist
und beweise oder widerlege ihn.
a) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 und durch 5 teilbar, wenn sie durch 10 teilbar
ist.
b) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 und durch 4 teilbar, wenn sie durch 8 teilbar
ist.
Interpretiere deine Ergebnisse.
Aufgabe 2
Formuliere und beweise eine Regel für die Teilbarkeit durch:
a) 25
b) 15
c) eine von dir gewählte Zahl
Universität Stuttgart
Termin 2: Gegenbeispiel, direkter Beweis
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Übungsblatt 1
Seite 1 von 4
Aufgabe 1
Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist
und beweise oder widerlege ihn.
a) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 und durch 5 teilbar, wenn sie durch 10 teilbar
ist.
Der Satz ist eine Äquivalenzaussage, d.h. es müssen zwei Implikationen bewiesen werden:
• Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. n ist durch 2 und durch 5 teilbar.
Behauptung: n ist durch 10 teilbar.
Beweis:
Da n durch 2 teilbar ist, exisitert eine natürliche Zahl l, sodass n = 2 · l.
Da n durch 5 teilbar ist, existiert eine natürliche Zahl k, sodass n = 5 · k.
Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man:
2·l =5·k
5·k
⇔
l=
2
Da l natürliche Zahl ist und 5 nicht durch 2 teilbar ist, muss k durch 2 teilbar sein. Dies
bedeutet, dass eine natürliche Zahl m existiert, sodass k = 2 · m. Hieraus folgt, dass
n = 5 · 2 · m = 10 · m. Also ist n durch 10 teilbar.
• Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. n ist durch 10 teilbar.
Behauptung: n ist durch 2 und 5 teilbar.
Beweis:
Da n durch 10 teilbar ist, existiert eine natürliche Zahl l, sodass gilt n = 10 · l.
Hieraus folgt direkt n = 2 · 5 · l. Also gibt es eine natürliche Zahl k = 2 · l und eine
natürliche Zahl m = 5 · l, hieraus folgt n = 5 · k und n = 2 · m. Somit ist n durch 2 und
5 teilbar.
b) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 und durch 4 teilbar, wenn sie durch 8 teilbar
ist.
Der Satz ist eine Äquivalenzaussage, d.h. es müssen zwei Implikationen bewiesen werden:
• Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. n ist durch 2 und durch 4 teilbar.
Behauptung: n ist durch 8 teilbar.
= 3, 12
= 6), aber nicht
Gegenbeispiel: n = 12: 12 ist durch 2 und durch 4 teilbar ( 12
4
2
12
3
durch 8 ( 8 = 2 ). Also stimmt der Satz nicht.
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Termin 2: Gegenbeispiel, direkter Beweis
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Übungsblatt 1
Seite 2 von 4
• Voraussetzung: n ist natürliche Zahl. n ist durch 8 teilbar.
Baheuptung: n ist durch 2 und durch 4 teilbar.
Beweis:
Analog zu zweitem Teil von a) .
Bemerkung: Da die erste Implikation des Satzes schon falsch war, ist der gesamte Satz falsch.
Jedoch kann, da die zweite Implikation richtig ist, der Satz umformuliert werden: “Wenn eine
natürliche Zahl durch 8 teilbar ist, dann ist sie auch durch 2 und durch 4 teilbar.”
Interpretiere deine Ergebnisse.
In beiden Fällen gilt, dass eine Zahl das Produkt der beiden anderen Zahlen ist (10 = 2 · 5 und
8 = 2 · 4). Nun stellt sich also die Frage, warum gilt in einem Fall die Äquivalenz und im anderen
Fall nur die Implikation?
Hierzu kann ein Teil des Beweises der ersten Implikation von a) betrachtet werden:
l=
5·k
2
Hieraus wurde gefolgert, dass k durch 2 teilbar sein muss, da 5 nicht durch 2 teilbar ist.
Formulieren wir diesen Teil allgemein mit zwei Zahlen a und b, so gilt:
l=
a·k
b
Die obige Folgerung, dass k durch b teilbar sein muss, gilt nur(!), wenn a nicht durch b teilbar ist.
In Aufgabe b) ist a = 4 und b = 2, also kann nicht zwingend gefolgert werden, dass k durch 2
teilbar ist.
Nun stellt sich berechtigterweise die Frage: Wenn aber b = 4 und a = 2 gewählt wird, dann teilt b
nicht a. Warum ist dann k nicht durch 4 teilbar und somit der Beweis erbracht?
Die Antwort hierauf ist etwas versteckt. Da man den Bruch 2·k
zu k2 kürzen kann, muss k also nur
4
durch 2 teilbar sein, was bedeutet, dass n durch 4 teilbar ist. Dies ist jedoch eine Voraussetzung
und erfüllt nicht die Behauptung.
Man muss also vorsichtig sein, bei der Anwendung des Hilfssatzes, beziehungsweise diesen richtig
formulieren:
Satz: Sind zwei natürliche Zahlen a und b teilerfremd, k eine weitere natürliche Zahl und
natürliche Zahl, so muss k durch b teilbar sein.
a·k
b
eine
Beweis: Ein Bruch ergibt nur dann eine natürliche Zahl, wenn der Zähler Vielfaches des Nenner
ist (leicht zu zeigen). Da a und b jedoch teilerfremd sind, muss k Vielfaches von b sein und somit
b Teiler von k.
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Termin 2: Gegenbeispiel, direkter Beweis
Fachbereich Mathematik
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Übungsblatt 1
Seite 3 von 4
Bemerkung: Dieser Beweis ist nicht zwingend gut. Jedoch bräuchte man für einen unanfechtbaren,
vollständigen Beweis einige Sätze zur Primfaktorzerlegung, die diesen Rahmen sprengen würden.
Bemerkung zu 1a: Natürlich muss der Beweis der ersten Implikation an geeigneter Stelle durch “2
und 5 sind teilerfremd” erweitert werden.
Vorbemerkung zu Aufgabe 2: Diese Arten von Teilbarkeitsregeln durch Aufteilung in zwei Faktoren, deren Produkt die Zahl ergibt, sind also nur dann möglich, wenn zwei teilerfremde Teiler
gefunden werden können.
Aufgabe 2
Formuliere und beweise eine Regel für die Teilbarkeit durch:
a) 25
Die Teiler von 25 sind 1, 5 und 25. Es kann also keine Regel wie in Aufgabe 1 gefunden
werden (s. Vorbemerkung).
Bemerkung: Eine Regel mit 1 oder 25 wäre witzlos. In der Mathematik heissen Teiler, die
nicht 1 und nicht die Zahl selbst sind, echte Teiler. Viele Sätze machen nur Sinn, wenn man
nur echte Teiler benutzt (wie in unserem Fall).
Trotzdem gibt es eine sehr einfache Regel zur Überprüfung auf Teilbarkeit von 25:
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch
25 teilbar sind.
Dies ist wieder eine Äquivalenzaussage und kann somit in zwei Implikationen zerlegt werden:
• Voraussetzung: Eine natürliche Zahl n. n ist durch 25 teilbar.
Behauptung: Die letzten zwei Ziffern sind durch 25 teilbar.
Beweis:
Da n durch 25 teilbar ist, existiert eine natürliche Zahl l mit n = 25 · l. Diese Zahl kann
mit Rest durch 4 geteilt werden, das bedeutet, es existieren natürliche Zahlen k und m
mit l = 4 · k + m (durch geschickte Wahl von k, gilt, dass m nur 0, 1, 2 oder 3 sein
kann). Eingesetzt und umgeformt ergibt sich:
n = 25 · (4 · k + m)
⇔
n = 100 · k + 25 · m
Multipliziert man eine natürliche Zahl mit 100, so sind die letzten beiden Ziffern gleich
0. Also bildet 25·m die letzten beiden Ziffern. Durch die oben erwähnte geschickte Wahl
von k, ist 25 · m entweder 00, 25, 50 oder 75. Also besteht m nur aus zwei Ziffern, die
durch 25 teilbar sind.
• Voraussetzung: Eine natürliche Zahl n. Die letzten beiden Ziffern sind durch 25 teilbar.
Behauptung: n ist durch 25 teilbar.
Beweis:
n kann in zwei Teile aufgeteilt werden: Ein Teil mit den Einern und Hunderten und
ein Teil mit allen höherwertigen Stellen. Mathematisch geschrieben ergibt sich: n =
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Termin 2: Gegenbeispiel, direkter Beweis
Fachbereich Mathematik
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Übungsblatt 1
Seite 4 von 4
100 · k + m mit k, m natürliche Zahlen. m entspricht hierbei den letzten beiden Ziffern,
ist also nach Voraussetzung durch 25 teilbar. Es existiert also eine natürliche Zahl i mit
m = 25 · i. Eingesetzt und umgeformt ergibt sich:
n = 100 · k + 25 · i
⇔
⇔
n = 4 · 25 · k + 25 · i
n = 25 · (4 · k + i)
Da 4 · k + i natürliche Zahl ist, ist n durch 25 teilbar.
b) 15
Die Teiler von 15 sind 1, 3, 5, 15. Also gibt es zwei teilerfremde echte Teiler (3 und 5), deren
Produkt 15 ist.
Die Teilbarkeitsregel ist also:
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 15 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar
ist.
Der Beweis erfolgt analog zu Aufgabe 1a.
c) eine von dir gewählte Zahl
Mit Hilfe der Bemerkungen können zwei Arten von Teilbarkeitsregeln unterschieden werden:
• Regeln mit zwei teilerfremden Teilern, deren Produkt die Zahl selbst ergibt (sogenannte
teilerfremde echte Teilerpaare). Der Beweis erfolgt analog zu Aufgabe 1a.
• Individuelle Regeln, z.B.
– Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2
teilbar ist.
– Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3
teilbar ist.
– Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern
durch 4 teilbar sind.
– Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 5
teilbar ist.
– Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern
durch 8 teilbar sind.
– Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9
teilbar ist.
– ...
Die individuellen Regeln müssen entsprechend beweisen werden (ein Beweis ist in Aufgabe
2b dargestellt).
Bemerkung: Hinter den individuellen Teilbarkeitsregeln stehen allgemeinere Zusammenhänge.
Die Erläuterung dieser Zusammenhänge sprengt jedoch den Rahmen.
Anwendung des Erlernten aus
dem letzten Termin
Übungsphase 1
Einführung
Einführung in die Systematik
indirekter Beweis
Einführung der Begriffe
Kontraposition,
Umkehrung und Kehrsatz
Besprechung Auf- Wiederholung direkter Beweis
gabe 3
Wiederholung des letzten
Termins
Inhalt
Einstieg
Abschnitt
Unterrichtsform
Bei welcher Aussage handelt
es sich um die Kontraposition?
Welche Vorrausstezungen und
Behauptungen haben wir?
Welche Ideen habt ihr für diesen Beweis? Was wissen wir?
Wie versucht der Staatsanwalt
die Schuld von Herr X zu beweisen?
Wie wird die Verteidigung von
Herr X aussehen?
Welche Schlüsse kann ich für
die mathematischen Aussagen
p und q aus diesem Alltagsbeispiel ziehen?
Arbeitsblatt_Wdh
Overhead: Folie Wissensbaum
Medien
Schülerpräsentation Tafel oder Overhead
oder durch Lehrer
(Fragend
entwickelnd)
Fragend entwickelnd Overhead: Folie Einstiegs Beispiel
Tafel: Implikationen
Welche Beweisverfahren wur- Fragend entwickelnd
den im letzten Termin behandelt?
Welche
Beweise
wurden
durchgeführt?
Partnerarbeit
Leitfragen
Hinweis: Wird in diesem Text die männliche Form (z.B. Schüler) benutzt ist auch immer die weibliche Form (z.B. Schülerin) gemeint.
Verlaufsplan
15min
10min
15min
5min
Zeit
Umsetzung des Erlernten
Übungsphase 2
Besprechung
Übungsphase 2
Vorführung eines indirekten
Beweises
Besprechung Aufgabe 3 Übungsblatt_Wdh
Mittels indirekter
Beweis
Schülerpräsentation
Wie lautet die Kontraposition? Fragend entwickelnd
Wir wollen rein mit der symbolischen Schreibweise argumentieren!
Wie können wir diesen Beweis
führen?
Wie kann der nächste Schritt
aussehen?
Partnerarbeit
Overhead durch Schüler beschriebene Folie
Arbeitsblatt_IB
Tafel
5min
20min
15min
a+b
2
>
√
ab Fachbereich Mathematik
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Übrigens erhält man eine einfache geometrische Veranschaulichung (und zugleich einen geometrischen Beweis des Satzes), wenn man die
beiden positiven Zahlen x und y in Gestalt von Strecken aneinander legt und über die entstehende Gesamtstrecke den Thaleskreis aufträgt.
Die Höhe in diesem Halbkreis errichtet über dem Anschlusspunkt der beiden Strecken, hat nach dem Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke
√
den Radius des Thaleskreises darstellt. Natürlich ist dann der Radius im Falle x 6= y stets größer als die
die Länge x · y, während x+y
2
Länge dieser Höhe. Beide Größen stimmen genau dann überein, wenn x = y ist.
Lösung: Es seien wie in den Voraussetzen gefordert (a, b ∈ R, a, b > 0) a 6= b.
⇒ a − b 6= 0
⇒ Betrachtungen des Quadrates von a − b: (a − b)2 = a2 − 2ab + 4b2 > 0
⇒ Addition von 4ab auf beiden √
Seiten: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 > 4ab
⇒ Ziehen der Wurzel: a + b > 2 a · b
a+b √
⇒
> a·b 2
√
√
√
√ √
Alternative: Da a 6= b ⇒ ( a − b)2 = a + b − 2 a b > 0 ⇒ a + b > 2 ab ⇒
Das arithmetische Mittel zweier positiver Zahlen ist
√ immer größer als deren geometrisches Mittel.“
”
Sei a, b ∈ R und a, b > 0, dann gilt a 6= b) ⇒ a+b
>
a·b
2
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Termin 3: Indirekter Beweis
Tafelanschrieb
Seite 1 von 2
⇒
⇒
⇒
⇒
X vor Ort zwischen 23.00 und 23.15 Uhr
q Satz
X verübt Einbruch nicht
¬p Kontraposition
Kontraposition: ¬(
a+b √
> a · b) ⇒ ¬(a 6= b)
2
a+b √
≤ a·b⇒a=b
2
a+b √
≤ a·b
Beweis:
2
a+b √
≤ a·b
|·2
2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ 4ab | − 4ab
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 ≤ 0
⇒a=b
Indirekter Beweis des Satzes
X verübt Einbruch
p
X nicht vor Ort zwischen 23.00 und 23.15 Uhr
¬q
Gerichtsverhandlung
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Termin 3: Indirekter Beweis
Tafelanschrieb
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Termin 3: Indirekter Beweis
Wiederholung
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
Sind beide Aussagen wahr?
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) und (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
p
q
Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist
und beweise oder widerlege ihn.
Aufgabe 2
n3 ist ungerade, wenn n ungerade natürliche Zahl ist.“
”
Aufgabe 3
n(n − 1) + 41 ist für jede natürliche Zahl n Primzahl.“
”
Aufgabe 4
Das arithmetische Mittel zweier verschiedener positiver Zahlen ist immer größer als deren geome”
trisches Mittel.“
√
a·b
>
Sei a, b ∈ R; und a, b > 0, dann gilt a 6= b ⇒ a+b
2
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Wiederholung Lösung
Seite 1 von 2
Aufgabe 1
Sind beide Aussagen wahr?
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) und (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
p
q
¬q
¬p
p⇒q
¬q ⇒ ¬p
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
q⇒p
(p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Überlege, ob der Satz wahr oder falsch ist
und beweise oder widerlege ihn.
Aufgabe 2
“n3 ist ungerade, wenn n ungerade natürliche Zahl ist.”
Voraussetzung: n ungerade natürliche Zahl.
Behauptung: n3 ungerade.
Beweis: 2 Möglichkeiten
a) n3 = (n2 ) · n.
n ungerade ⇒ (Aufgabe 1:) n2 ungerade ⇒ (Aufgabe 2:) (n2 ) · n ungerade. b) n ungerade ⇒ n = 2k + 1 mit k ∈ N ⇒ n3 = (2k + 1)3 = 8k 3 + 12k 2 + 6k + 1 = 2(4k 3 +
6k 2 + 3k) + 1 mit (4k 3 + 6k 2 + 3k) ∈ N ⇒ n3 ungerade. Aufgabe 3
“n(n − 1) + 41 ist für jede natürliche Zahl n Primzahl.”
Voraussetzung: n ist natürliche Zahl.
Behauptung: n(n − 1) + 41 ist Primzahl.
Gegenbeispiel: 41, 42 u.a.
n = 41: n(n − 1) + 41 = 41 · 40 + 41 = 412 n = 42: n(n − 1) + 41 = 42 · 41 + 41 = 43 · 41
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Wiederholung Lösung
Seite 2 von 2
Aufgabe 4
Das arithmetische Mittel zweier positiver
√ Zahlen ist immer größer als deren geometrisches Mittel.“
”
>
a·b
(a, b ∈ R; a, b > 0 und a 6= b) ⇒ a+b
2
Lösung: Es seien wie in den Voraussetzen gefordert a, b ∈ R, a, b > 0, a 6= b.
⇒ a − b 6= 0
⇒ Betrachtungen des Quadrates von a − b: (a − b)2 = a2 − 2ab + 4b2 > 0
⇒ Addition von 4ab auf beiden √
Seiten: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 > 4ab
⇒ Ziehen der Wurzel: a + b > 2 a · b
a+b √
> a·b ⇒
2
√
√
√ √
√
Alternative:
Da a 6= b ⇒ ( a − b)2 = a + b − 2 a b > 0 ⇒ a + b > 2 ab
√
> ab ⇒ a+b
2
Übrigens erhält man eine einfache geometrische Veranschaulichung (und zugleich einen geometrischen Beweis des Satzes), wenn man die beiden positiven Zahlen x und y in Gestalt von Strecken
aneinander legt und über die entstehende Gesamtstrecke den Thaleskreis aufträgt. Die Höhe in
diesem Halbkreis errichtet über dem Anschlusspunkt der beiden Strecken, hat nach dem Höhensatz
√
den Radius des Thaleskreises darstellt.
für rechtwinklige Dreiecke die Länge x · y, während x+y
2
Natürlich ist dann der Radius im Falle x 6= y stets größer als die Länge dieser Höhe. Beide Größen
stimmen genau dann überein, wenn x = y ist.
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Termin 3: Indirekter Beweis
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Aufgabe 1
Sind beide Aussagen wahr?
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) und (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
p q
Wiederholung
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Termin 3: Indirekter Beweis
Wiederholung
Seite 2 von 2
Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Überlege,
ob der Satz wahr oder falsch ist und beweise oder widerlege
ihn.
Aufgabe 2
n3 ist ungerade, wenn n ungerade natürliche Zahl ist.“
”
Aufgabe 3
n(n − 1) + 41 ist für jede natürliche Zahl n Primzahl.“
”
Aufgabe 4
Das arithmetische Mittel zweier verschiedener positiver Zah”
len ist immer größer als deren geometrisches Mittel.“√
a·b
Sei a, b ∈ R; und a, b > 0, dann gilt a 6= b ⇒ a+b
2 >
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Geometrische Deutung
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Termin 3: Indirekter Beweis
Wiederholung: Geometrische Deutung
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Gerichtsverhandlung
Seite 1 von 1
Gerichtsverhandlung
Herr X steht vor Gericht. Der Staatsanwalt liest die Anklageschrift vor:
Herr X hat am 6.1.2010 zwischen 23.00 und 23.15 Uhr im
”
Juweliergeschäft Y einen Einbruch verübt. Er wurde zu dieser Uhrzeit von der Zeugin Frau Z in der Nähe des Juwelier
Geschäftes gesehen.“
Herr X behauptet: Ich habe den Einbruch nicht begangen.“
”
Auch Herr X wird versuchen, seine Aussage zu beweisen, um
freigesprochen zu werden. Dabei hat er Glück. Zu der fraglichen Zeit war er nämlich mit mehreren Freunden zusammen.
Er sagt also zu seiner Verteidigung:
...
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Termin 3: Indirekter Beweis
Übungsblatt 1
Seite 1 von 3
Satz: Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann besitzt es zwei
”
gleiche Winkel.“
a) Voraussetzung:
Behauptung:
b) Kontraposition:
c) Ist der Satz und die Kontraposition wahr? Warum?
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Termin 3: Indirekter Beweis
Übungsblatt 1
Seite 2 von 3
Satz: Wenn ein beliebiger Punkt P auf der Mittelsenkrech”
ten einer Strecke AB liegt, dann hat P den gleichen Abstand
zu den Punkten A und B.“
• Wenn ein beliebiger Punkt P den gleichen Abstand zu
”
den Punkten A und B hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.“
• Wenn ein beliebiger Punkt P nicht den gleichen Abstand
”
zu den Punkten A und B hat, dann liegt P nicht auf der
Mittelsenkrechten der Strecke AB.“
Satz: Wenn im Dreieck △ABC ein Winkel γ = 90 exi”
stiert, dann gilt für die Seiten a, b und c des Dreieckes
a2 + b2 = c2.“
• Wenn im Dreieck △ABC kein Winkel γ = 90 existiert,
”
dann gilt für die Seiten a, b und c des Dreieckes
a2 + b2 6= c2.“
• Wenn im Dreieck △ABC für die Seiten a, b und c
”2
a + b2 = c2 gilt, dann existiert ein Winkel γ = 90.“
• Wenn im Dreieck △ABC für die Seiten a, b und c
”2
a + b2 6= c2 gilt, dann existiert kein Winkel γ = 90.“
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Termin 3: Indirekter Beweis
Übungsblatt 1
Seite 3 von 3
Satz: Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann
”
ist sie auch durch 3 teilbar.“
• Wenn die natürliche Zahl n nicht durch 3 teilbar ist,
”
dann ist sie auch nicht durch 6 teilbar.“
• Wenn die natürliche Zahl n durch 3 teilbar ist, dann ist
”
sie auch durch 6 teilbar.“
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Übungsblatt 1 Lösung
Seite 1 von 1
Satz: Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann besitzt es zwei gleiche Winkel.“
”
a) Voraussetzung:
ein Dreieck ist gleichseitig“
”
Behauptung:
zwei gleiche Winkel“
”
b) Kontraposition:
Wenn ein Dreieck keine zwei gleichen Winkel besitzt, dann ist es nicht gleichseitig.“
”
c) Ist der Satz und die Kontraposition war? Warum?
Satz und Kontraposition sind wahr. Wegen Äquivalenz.
Satz: Wenn ein beliebiger Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB liegt, dann hat
”
P den gleichen Abstand zu den Punkten A und B.“
• Wenn ein beliebiger Punkt P den gleichen Abstand zu den Punkten A und B hat, dann
”
liegt P auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.“ Umkehrung
• Wenn ein beliebiger Punkt P nicht den gleichen Abstand zu den Punkten A und B hat,
”
dann liegt P nicht auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.“ Kontraposition
Satz: Wenn im Dreieck △ABC ein Winkel γ = 90 existiert, dann gilt für die Seiten a, b und c
”
des Dreieckes a2 + b2 = c2 .“
• Wenn im Dreieck △ABC kein Winkel γ = 90 existiert, dann gilt für die Seiten a, b und c
”
des Dreieckes a2 + b2 6= c2 .“ Kontraposition der Umkehrung
• Wenn im Dreieck △ABC für die Seiten a, b und c a2 + b2 = c2 gilt, dann existiert ein Winkel
”
γ = 90.“ Umkehrung
• Wenn im Dreieck △ABC für die Seiten a, b und c a2 + b2 6= c2 gilt, dann existiert kein
”
Winkel γ = 90.“ Kontraposition
Satz: Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.“
”
• Wenn die natürliche Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch nicht durch 6 teilbar.“
”
Kontraposition
• Wenn die natürliche Zahl n durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar.“ Umkeh”
rung
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Termin 3: Indirekter Beweis
Arbeitsblatt
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
Wenn n2 eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n eine gerade natürliche Zahl.“
”
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Beweise den Satz mithilfe der Technik des indirekten Beweises.
Aufgabe 2
Satz des Thales: Wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat
”
das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C.“
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Formuliere die Kontraposition der Umkehrung.
e) Beweise den Satz mithilfe der Kontraposition der Umkehrung.
Aufgabe 3
Ist die natürliche Zahl n2 durch 3 teilbar, dann ist auch die natürliche Zahl n durch 3 teilbar.“
”
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Beweise den Satz mithilfe der Technik des indirekten Beweises.
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Termin 3: Indirekter Beweis
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Seite 1 von 3
Aufgabe 1
Wenn n2 eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n eine gerade natürliche Zahl.“
”
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Beweise den Satz mithilfe der Technik des indirekten Beweises.
a) Voraussetzung: n2 natürliche Zahl
Behauptung: n natürliche Zahl
b) Umkehrung: Ist n eine gerade Zahl, dann ist auch n2 eine gerade Zahl.“ wahr
”
c) Kontraposition: Ist n eine ungerade Zahl, dann ist auch n3 eine ungerade Zahl.“
”
d) Verweis letzter Termin
Aufgabe 2
Satz des Thales: Wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat
”
das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C.“
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Formuliere die Kontraposition der Umkehrung.
e) Beweise den Satz mithilfe der Kontraposition der Umkehrung.
a) Voraussetzung: Punkt C liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB
Behauptung: Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C
b)
Wenn das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der Punkt C auf
”
einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
c)
Wenn das Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der Punkt C nicht
”
auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
d)
Wenn der Punkt C nicht auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das
”
Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C.“
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Termin 3: Indirekter Beweis
Arbeitsblatt Lösung
Seite 2 von 3
e) 1.Fall:
Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt innerhalb des Kreises mit Durchmesser AB.
Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt
⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales).
Aus der Winkelsumme Dreieck △ACC1 folgt, dass γ = 180◦ − (180◦ − γ ′ + α′ ) = 180◦ −
(180◦ − 90◦ + α′ ) > 180◦ − 90◦ = 90◦ .
⇒ γ > 90◦
2.Fall:
Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt außerhalb des Kreises mit Durchmesser AB.
Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt
⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales).
Aus der Winkelsumme Dreieck △ACC1 folgt, dass γ = 180◦ − α − (180◦ − γ ′ ) = 180◦ − α −
(180◦ − 90◦ ) < 180◦ − 90◦ = 90◦ .
⇒ γ < 90◦
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Termin 3: Indirekter Beweis
Arbeitsblatt Lösung
Seite 3 von 3
Aufgabe 3
Ist die natürliche Zahl n2 durch 3 teilbar, dann ist auch die natürliche Zahl n durch 3 teilbar.“
”
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Beweise den Satz mithilfe der Kontraposition der Umkehrung.
a) Voraussetzung: natürliche Zahl n2 durch 3 teilbar
Behauptung: die natürliche Zahl n durch 3 teilbar
b) Umkehrung: Ist n durch 3 teilbar, dann ist auch n2 durch 3 teilbar.“ wahr
”
c) Kontraposition: Ist n nicht durch 3 teilbar, dann ist auch n2 nicht durch 3 teilbar.“
”
d) Wenn n nicht durch 3 teilbar ist, dann lässt n beim Teilen Rest 1 oder 2 ⇒ die Darstellung
n = 3n1 + 1 ∨ n = 3n2 + 2
⇒ n2 = 9n1 + 6n1 + 1 = 3(3n21 + 2n1 ) + 1 ∨ n2 = 9n2 + 12n2 + 4 = 3(n22 + 4n2 + 1) + 1 ⇒
lässt in beiden Fällen beim Teilen durch 3 den Rest 1 ⇒ die Behauptung gilt! Universität Stuttgart
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Aufgabe 1
Beweise die Äquivalenz (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p):
p q
Welche Schlüsse können daraus gezogen werden?
Arbeitsblatt
Seite 1 von 3
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Termin 3: Indirekter Beweis
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt
Seite 2 von 3
Bearbeite die Arbeitsaufträge in den folgenden Aufgaben:
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Bestimme den Kehrsatz. Ist dieser gültig?
c) Bestimme die Kontraposition.
d) Bestimme die Gegenannahme.
e) Beweise den Satz mithilfe der Technik des indirekten Beweises, falls dieser Satz in den bisherigen Terminen noch
nicht bewiesen wurde.
Aufgabe 2
Wenn n2 eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n
”
eine gerade natürliche Zahl.“
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Beweise den Satz mithilfe der Technik des indirekten Beweises.
Aufgabe 3
Ist die natürliche Zahl n2 durch 3 teilbar, dann ist auch
”
die natürliche Zahl n durch 3 teilbar.“
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
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Fachbereich Mathematik
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Termin 3: Indirekter Beweis
Arbeitsblatt
Seite 3 von 3
b) Formuliere die Umkehrung. Ist diese wahr oder falsch?
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Beweise den Satz mithilfe der Technik des indirekten Beweises.
Aufgabe 4
Wenn die natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist
”
sie auch durch 3 teilbar.“
Aufgabe 5
α und β seien zwei Stufenwinkel, g und h die zwei dazugehörigen Geraden einer Ebene.
Wenn α = β gilt, dann sind die Gerade g und h parallel.“
”
Schülerseminar 2010 – Stunde 4: (Widerspruchbeweis)
Wiederholung
30 min
Übungsphase: Arbeitsblatt „Wiederholung“
Aufgabe 1: Einzelarbeit
(15 min)
Aufgabe 2: Partnerarbeit
Ergebniskontrolle-Besprechung Aufgabe 2
(10 min)
Schülerpräsentation oder durch Lehrer (TB, OHP)
Wissensbaum: Welche Beweisverfahren wurden im letzten Termin behandelt?
Welche Beweise wurden durchgeführt
(5 min)
Fragend-entwickelndes Gespräch
(Eintragen in Wissensbaum)
Einführung
Einführung Widerspruchbeweis
25-35 min
(15 min)
Einstiegsbeispiel Die Wurzel aus 2 ist rational anhand eines Lückentextes
und führen diese Aussage zum Widerspruch
Besprechung und Hinleitung zur Aussagenlogik
OHP
OHP-Tafel
Übungsphase 1
(15 min)
35 min
Arbeitsblatt
Aufgabe 1-4: Partnerarbeit
(25 min)
Präsentation der Ergebnisse durch S an OHP, ergänzende Erklärungen von L
(10 min)
Abschluss
HA
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Termin 4:Widerspruchbeweis
Wiederholung
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
Wenn n2 eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n eine gerade natürliche Zahl.“
”
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung.
c) Formuliere die Kontraposition.
Aufgabe 2
Satz des Thales: Wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat
”
das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C.“
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Kontraposition des Satzes von Thales.
c) Formuliere die Umkehrung des Satzes von Thales.
d) Formuliere die Kontraposition der Umkehrung.
e) Beweise die Umkehrung mit Hilfe seiner Kontraposition.
Dabei gilt die Voraussetzung des Satzes von Thales.
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Termin 4: Widerspruchbeweis
Arbeitsblatt-Wdh.-Lösung
Seite 1 von 2
Aufgabe 1
Wenn n2 eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n eine gerade natürliche Zahl.“
”
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Umkehrung.
c) Formuliere die Kontraposition.
a) Voraussetzung: n2 natürliche Zahl
Behauptung: n natürliche Zahl
b) Umkehrung: Ist n eine gerade Zahl, dann ist auch n2 eine gerade Zahl.“
”
c) Kontraposition: Ist n eine ungerade Zahl, dann ist auch n3 eine ungerade Zahl.“
”
Aufgabe 2
Unter der Voraussetzung des Satz des Thales gilt:
Wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck △ABC
”
einen rechten Winkel bei C.“
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
b) Formuliere die Kontraposition des Satz des Thales.
c) Formuliere die Umkehrung des Satz des Thales.
d) Formuliere die Kontraposition der Umkehrung.
e) Beweise die Umkehrung mit Hilfe seiner Kontraposition.
a) Voraussetzung:Punkt C liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB
Behauptung: Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C
b)
Wenn das Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der Punkt C nicht
”
auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
c)
Wenn das Dreieck △ABC einen rechten Winkel bei C hat, dann liegt der Punkt C auf
”
einem Kreis mit dem Durchmesser AB.“
d)
Wenn der Punkt C nicht auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das
”
Dreieck △ABC keinen rechten Winkel bei C.“
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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e) 1.Fall:
Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt innerhalb des Kreises mit Durchmesser AB.
Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt
⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales).
Aus der Winkelsumme Dreieck △ACC1 folgt, dass γ = 180◦ − (180◦ − γ ′ + α′ ) = 180◦ −
(180◦ − 90◦ + α′ ) > 180◦ − 90◦ = 90◦ .
⇒ γ > 90◦
2.Fall:
Annahme: Es existiert ein Dreieck △ABC mit C liegt außerhalb des Kreises mit Durchmesser AB.
Beweis: Wähle C1 mit der Eigenschaft das C1 auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt
⇒ γ ′ = 90◦ (Satz des Thales).
Aus der Winkelsumme Dreieck △ACC1 folgt, dass γ = 180◦ − α − (180◦ − γ ′ ) = 180◦ − α −
(180◦ − 90◦ ) < 180◦ − 90◦ = 90◦ .
⇒ γ < 90◦
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Termin 4: Widerspruchbeweis
Arbeitsblatt-Wdh.-Lösung
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Aufgabe 1
Unter der Voraussetzung des Satz des Thales gilt:
Wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck △ABC
”
einen rechten Winkel bei C.“ Beweise die Umkehrung mit Hilfe seiner Kontraposition.
1.Fall:
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2.Fall:
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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Von der Irrationalität
√
2
Info:Definition Rationale Zahlen:
Q ist die Menge aller rationalen Zahlen
p
Q=
| p, q ∈ Z ∧ q 6= 0
q
√
√
p
Satz: Ist 2 durch mit p, q ∈ Z darstellbar, dann ist 2 rational.
q
√
p
Voraussetzung: Ist 2 durch mit p, q ∈ Z darstellbar
q
√
Behauptung: dann ist 2 rational.
√
Satz 2 ist √
irrational
Behauptung: 2 ist nicht
.
√
Beweis: Wir nehmen die “ 2“ ist rational und führen diese Aussage zum Widerspruch.
√
Annahme: 2 ist
.
√
Wenn 2 rational ist, dann lässt sie sich als Bruch zweier ganzen Zahlen p und q darstellen
√
Also 2 =
. Dabei seien p,q schon gekürzt, also teilerfremd.
Die Annahme
√
2=
können wie umformulieren zu
2=
Wenn p2 gerade ist, dann ist auch q
schreiben. Einsetzen in (1) liefert:
p2
⇔ p2 =
q2
(1)
.
. Damit lässt sich p also auch als
wobei (n ∈ Z)
(2 · n2 ) = 2 · q 2 ⇔ 4 · n2 = 2 · q 2 ⇔ 2 · n2 =
Hieraus ergibt sich, dass auch q
ist. Insbesondere haben p und q damit den gemeinsamen
Teiler . Wir hatten aber angenommen, dass p und q teilerfremd sind.
Das ist ein Widerspruch zu unserer Annahme.
Folglich muss schon die Behauptung falsch gewesen sein und so bleibt für
als
zu sein.
√
2 nichts anderes übrig
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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Arbeitsblatt-Lösung
Seite 1 von 2
Von der Irrationalität
√
2
Info:Definition Rationale Zahlen:
Q ist die Menge aller rationalen Zahlen
p
| p, q ∈ Z ∧ q 6= 0
Q=
q
√
√
p
Satz: Ist 2 durch mit p, q ∈ Z darstellbar, dann ist 2 rational.
q
√
p
Voraussetzung: Ist 2 durch mit p, q ∈ Z darstellbar
q
√
Behauptung: dann ist 2 rational.
√
irrational
Satz 2 ist √
Behauptung: 2 ist nicht rational.
√
Beweis: Wir nehmen die “ 2“ ist rational und führen diese Aussage zum Widerspruch.
√
2 ist rational.
Annahme:
√
Wenn 2 rational ist, dann lässt sie sich als Bruch zweier ganzen Zahlen p und q darstellen
√
p
Also 2 = . Dabei seien p,q schon gekürzt, also teilerfremd.
q
√
p
Die Annahme 2 = können wie umformulieren zu
q
2=
p2
⇔ p2 = 2 · q 2 .
q2
(1)
Wenn p2 gerade ist, dann ist auch p gerade ist. Damit lässt sich p also auch als 2 · n wobei (n ∈ Z)
schreiben. Einsetzen in (1) liefert:
(2 · n2 ) = 2 · q 2 ⇔ 4 · n2 = 2 · q 2 ⇔ 2 · n2 = q 2
Hieraus ergibt sich, dass auch q gerade ist. Insbesondere haben p und q damit den gemeinsamen
Teiler 2 . Wir hatten aber angenommen, dass p und q teilerfremd sind.
Das ist ein Widerspruch zu unserer Annahme.
Folglich muss schon die Behauptung falsch gewesen sein und so bleibt für
als irrational zu sein.
√
2 nichts anderes übrig
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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Einstiegsbeispiel-2
Seite 1 von 1
Aussagenlogik
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
¬q p ⇒ q (¬q ∧ p)
1
0
1
0
so erkennt man:
p ⇒ q ist tatsächlich wahr, wenn
¬(¬q ∧ p)
falsch ist!
⇔
Stellen wir uns p nun als Voraussetzung und q als Behauptung vor, so
erhalten wir folgendes Kochrezept für den Widerspruchbeweis:
1. Beim Widerspruchbeweis nehmen wir die Verneinung der Behauptung an und kennzeichnen sie als Annahme.
2. Die Annahme führen wir zu einem Widerspruch (mit der Voraussetzung), d.h. wir zeigen, dass Annahme und Voraussetzung nicht
gleichzeitig gelten können.
3. Beim Erreichen des Widerspruchs wissen wir: Die Annahme war
falsch.
4. Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung.
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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Einstiegsbeispiel-2
Seite 1 von 1
Aussagenlogik
p
0
0
1
1
q ¬p ¬q p ⇒ q (¬q ∧ p)
0 1 1
1
0
1 1 0
1
0
0 0 1
0
1
1 0 0
1
0
so erkennt man:p ⇒ q ist tatsächlich wahr, wenn ¬q ∧ p falsch ist!
¬(¬q ∧ p)
⇔
p⇒q
Stellen wir uns p nun als Voraussetzung und q als Behauptung vor, so
erhalten wir folgendes Kochrezept für den Widerspruchbeweis:
1. Beim Widerspruchbeweis nehmen wir die Verneinung der Behauptung an und kennzeichnen sie als Annahme.
2. Die Annahme führen wir zu einem Widerspruch (mit der Voraussetzung), d.h. wir zeigen, dass Annahme und Voraussetzung nicht
gleichzeitig gelten können.
3. Beim Erreichen des Widerspruchs wissen wir: Die Annahme war
falsch.
4. Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung.
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Termin 4: Widerspruchbeweis
Arbeitsblatt
Seite 1 von 1
Aufgabe 1
|x − 4| < 1
⇒
x<5
a) Identifiziere Annahme und Vorausetzung.
b) Führe die Annahme zum Widerspruch.
c) Formuliere die Kontraposition.
d) Was ist der Unterschied zum Widerspruchbeweis?
Aufgabe 2
α und β seien zwei Stufenwinkel, g und h die zwei dazugehörenden Geraden einer Ebene. Es
gilt der Satz: Wenn α = β ist, dann gilt g und h sind parallel.
Aufgabe 3
Sei n ∈ N. Wenn n2 gerade, dann ist auch n gerade.
Aufgabe 4
Man beweise: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Aufgabe 5
√
3 ist nicht rational
a) Formuliere die Behauptung.
b) Formuliere die Gegenannahme.
c) Führe den Widerspruchbeweis durch.
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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Arbeitsblatt-Lösung
Seite 1 von 4
Aufgabe 1
|x − 4| < 1
⇒
x < 5
a) Annahme: x < 5 und Vorausetzung: |x − 4| < 1
b) Beweis:
⇒ 1 > |x − 4| = x − 4
⇒
1 > 1
≥
1
Widerspruch
c) Kontraposition:
x ≥ 5 ⇒ |x − 4| = x − 4
⇒ |x − 4|> 1
≥
1
d) Widerspruchbeweis: Das Gegenteil der Behauptung mit der Voraussetzung wird zum Widerspruch
geführt
Kontraposition: Aus dem Gegenteil der Behauptung folgt das Gegenteil der Voraussetzung.
Aufgabe 2
α und β seien zwei Stufenwinkel, g und h die zwei dazugehörenden Geraden einer Ebene. Es
gilt der Satz: Es gilt der Satz: Wenn α = β ist, dann gilt g und h sind parallel..
p:Voraussetzung α = β
q:Behauptung g und h parallel
Annahme: g ∦ h
Also die Geraden g und h schneiden sich unter dem Winkel γ
⇒ 180◦ = α + (180◦ − β) + γ
⇔ 180◦ = α + γ + 180◦ − β
⇔ α=β−γ
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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Arbeitsblatt-Lösung
Seite 2 von 4
⇒α=β−γ
Dies ist ein Widerspruch.
Also muss g k h sein und α = β.
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Termin 4: Widerspruchbeweis
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Arbeitsblatt-Lösung
Seite 3 von 4
Aufgabe 3
Sei n ∈ N. Wenn n2 gerade, dann ist auch n gerade.
Annahme: n ist ungerade. Dann läßt sich n darstellen in der Form n = 2k + 1 mit einer Zahl
k ∈ N. Folglich ist
n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k) + 1
eine ungerade Zahl im Widerspruch zur Voraussetzung, dass n2 gerade sein soll.
Aufgabe 4
Man beweise: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Annhame: Es gibt nur endlich viele Primzahlen:
p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; p4 = 7; p5 = 11; ....pn , wobei pn die größte Primzahl sei.
Man bildet das Produkt aller Primzahlen und addiert 1.
b = p1 · p2 · p3 · p4 · p5 · ... · pn
Die entstehende Zahl b ist keine Primzahl, weil sie größer ist als die größte Primzahl pn .
Sie muss sich daher aus den Primzahlen p1 , p2 ...pn multiplikativ zusammensetzen. b muss daher
durch mindestens eine der Primzahlen p1 , p2 ...pn teilbar sein.
Andrseits erkennt man bei Division von b durch eine Primzahl, dass b wegen der Addition von 1
durch keine Primzahl teilbar ist.
Das ist ein Widerspruch
⇒ Der Satz ist richtig, da die Annahme zu einem Widerspruch führt.
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Termin 4: Widerspruchbeweis
Fachbereich Mathematik
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Arbeitsblatt-Lösung
Seite 4 von 4
Aufgabe 5
√
3 ist nicht rational
a) Behauptung:
√
3 ist nicht rational
√
b) Die Gegenannahme: 3 ist rational
c) Der Widerspruchbeweis:
√
√
Angenommen, 3 wäre nicht irrational. Dann wäre 3 ∈ Q und es gäbe somit teilerfremde
Zahlen p und q aus N, für die gilt:
√
3=
p
q
Daraus folgt:
3q 2 = p2
Die Gleichung hat zur Folge, dass p2 durch 3 teilbar ist, woraus folgt, dass auch ein p durch
3 teilbar sein muss. Es gibt also ein k ∈ N0 , so dass p = 3k.
Setzen wir diese Beziehung in die obige Gleichung ein, so erhalten wir
q 2 = 3k 2
Analog zu oben erfolgt nun, dass q 2 und somit auch q durch 3 teilbar ist. Das bedeutet
aber, dass 3 sowohl p als auch q teilt und die Zahlen p und q somit nicht, wie angenommen,
teilerfremd sind - ein Widerspruch.
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Vollständige Fallunterscheidung
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Stunde 5
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Stunde 5 - Verlaufsplan
Wiederholung
– Wissensbaum
Dauer:
5 Minuten
Ziel:
Wiederholung wichtiger Begriffe der vorherigen Stunde (Thema: Widerspruchsbeweis)
Material: Wissensbaum, Folie des Wissensbaumes
– Aufgabe Nr. 2 und Nr. 4 auf Arbeitsblatt 4
Dauer:
35 Minuten
Ziel:
Anwendungsaufgaben Widerspruchsbeweis
Material: Arbeitsblatt 4, Folie des Arbeitsblattes
Beweis durch vollständige Fallunterscheidung
– Einstiegsbeispiel
Dauer:
15-20 min
Ziel:
Schachtelbeispiel
Material: Einstiegsblatt VF
– Allgemeine
Dauer:
Ziel:
Material:
Vorgehensweise
5 Minuten
Vorgehen beim Beweis durch vollständige Fallunterscheidung
keines
– Aufgaben
Dauer:
25-30 Minuten
Ziel:
Anwendungsbeispiele
Material: Arbeitsblatt 5, Folie des Arbeistblattes
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Termin 5: Vollständige Fallunterscheidung
Einstiegsblatt VF
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Satz: Wählt man fünf natürliche Zahlen aus, so kann man unter diesen immer drei Zahlen finden,
deren Summe durch 3 teilbar ist.
Formuliere Voraussetzung und Behauptung!
Welche Fälle kannst Du identifizieren?
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Termin 5: Vollständige Fallunterscheidung
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Arbeitsblatt 1
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Aufgabe 1:
Satz: Jede Primzahl p ≥ 3 kann in der Form p = 4k ±1 geschrieben werden, wobei k eine natürliche
Zahl ist.
Formuliere Voraussetzung und Behauptung!
Zerlege die Grundmenge in geeignete Teilmengen M1 , M2 , M3 , M4 !
Untersuche nun für jede der Teilmengen den Zusammenhang zwischen Voraussetzung und
Behauptung!
Aufgabe 2:
Für beliebige Zahlen x, y soll die Ungleichung
|x − y| ≤ |x| + |y|
bewiesen werden.
Überlege, wie viele Fälle mindestens nötig sind, um alle Beträge aufzulösen! (Hinweis: Du
kannst mit weniger als 8 Fällen auskommen.)
Beweise die Ungleichung!
Aufgabe 3:
Für beliebige Zahlen x, y soll die Ungleichung
|x − y| ≥ |x| − |y|
bewiesen werden.
Überlege, wie viele Fälle mindestens nötig sind, um alle Beträge aufzulösen! (Hinweis: Du
kannst mit weniger als 8 Fällen auskommen.)
Beweise die Ungleichung!
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Vollständige Induktion
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Stunde 6
Seite 1 von 1
Stunde 6 - Verlaufsplan
Wiederholung
– Wissensbaum
Dauer:
5 min
Ziel:
Wiederholung wichtiger Begriffe der vorherigen Stunde (Thema: Beweis
durch vollständige Fallunterscheidung)
Material: Wissensbaum, Folie des Wissensbaumes
– Aufgabe Nr. 2 auf Arbeitsblatt 5
Dauer:
25-35 min
Ziel:
Anwendungsaufgabe vollständige Fallunterscheidung
Material: Arbeitsblatt 5, Folie des Arbeitsblattes
Beweis durch vollständige Induktion
– Einstiegsbeispiel
Dauer:
20 min
Ziel:
Summenbeispiel
Material: Einstiegsblatt VF, Dominosteine
– Allgemeine
Dauer:
Ziel:
Material:
Vorgehensweise
10 Minuten
Vorgehen beim Beweis durch vollständige Induktion
keines
– Aufgaben
Dauer:
20-30 Minuten
Ziel:
Anwendungsbeispiele
Material: Arbeitsblatt 6, Folie des Arbeistblattes
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Termin 6: Vollständige Induktion
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Einstieg
Seite 1 von 1
Beweise folgende Behauptung:
P (n): 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n(n+1)(2n+1)
6
für n ∈ N∗
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Termin 6: Vollständige Induktion
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Arbeitsblatt1
Seite 1 von 1
Beweise folgende Behauptungen:
1. P (n): 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2 für n ∈ N∗
2. P (n): [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ] ist durch 9 teilbar (n ∈ N)
3. P (n):
n
6
+
n2
2
+
n3
3
ist eine natürliche Zahl für n ∈ N
4. P (n): (n3 + 5n) ist durch 6 teilbar (n ∈ N)
5. P (n): 2n + 1 ≤ 2n für n ∈ N∗ , n ≥ 3
6. P (n): 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + ... + n · (n + 1) · (n + 2) =
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
für n ∈ N∗
Schülerseminar 2010 - Stunde 7: Übung
Wiederholung
40 min
Ausfüllen des restlichen Wissensbaums
Fragend-entwickelnder Frontalunterricht
(10 min)
Bearbeitung zweier Aufgaben des Arbeitsblattes der vorherigen Stunde
Aufgaben 2 und 5
Wenn Schüler Aufgaben bearbeitet haben: Schülerpräsentation
Ansonsten fragend-entwickelnder Frontalunterricht
(30 min)
Zusammenfassung
20 min
L liest Zusammenfassung der Beweise vor – evtl. anschließende Diskussion
(10 min)
S bearbeiten Fragen des Arbeitsblattes und präsentieren Lösungen
(10 min)
Übung Beweise
30 min
S bearbeiten ein oder zwei Beweise (selbstständige Auswahl)
(15 min)
S präsentieren die Beweise
(15 min)
Material:
S: Arbeitsblatt „Wissensbaum“ (A3)
F: Arbeitsblatt „Wissensbaum“
L: Arbeitsblatt „Wissensbaum“
S: Arbeitsblatt 6 (vorherige Stunde)
L: Arbeitsblatt 6
S: Arbeitsblatt „Fragen“
F: Arbeitsblatt „Fragen“
L: Arbeitsblatt „Fragen“
S: Arbeitsblatt „Beweise“
L: Arbeitsblatt „Beweise“
S: Arbeitsblatt „Pythagoras“
S: Arbeitsblatt „Umfangswinkel“
L: ein Ausdruck für Lehrer
S: Schülersatz
F: Folie
M: sonstiges Material
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Termin 7: Beweistechniken
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Zusammenfassung - Fragen
Seite 1 von 2
Zusammenfassung
Ein Satz besteht aus Voraussetzung(en) und Behauptung(en).
• Vollständige Fallunterscheidung und
• Vollständige Induktion
Voraussetzungen und Behauptungen sind mathematische Aussagen. Wenn alle Voraussetzun- kennen.
gen wahr sind, müssen auch die Behauptungen
Beweise können
wahr sein.
Der Beweis eines Satzes muss nachweisen, dass
die Behauptungen wahr sind. Dabei können
• die Voraussetzungen,
• Definitionen oder bekannte Tatsachen,
• Axiome,
• korrekt oder fehlerhaft,
• verständlich oder unverständlich,
• elegant oder umständlich,
• wohlstrukturiert oder verschlungen
• als wahr bewiesene Aussagen (Sätze, ...) sein. Wir versuchen, immer die erstere Eigenschaft zu erfüllen.
und
Zur Konstruktion von Beweisen gibt es
• Schlussregeln
verwendet werden.
In den vergangenen Terminen lernten wir die
Schlussregeln
• direkter Beweis,
• Beweis durch Kontraposition,
• Beweis durch Widerspruch,
• Regeln,
• Methoden,
• Strukturen und
• Strategien.
Die meisten Beweise benötigen außerdem eine
gute Beweisidee.
Aufgabe
a) Stelle die Beweisarten, direkter Beweis, Beweis durch Kontraposition und Beweis
durch Widerspruch, mittels mathematischen Aussagen dar.
b) Beweise die Äquivalenz der Aussagen aus Teilaufgabe a).
p
q
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Termin 7: Beweistechniken
Zusammenfassung - Fragen
Seite 1 von 1
Aufgabe
a) Stelle die Beweisarten, direkter Beweis, Beweis durch Kontraposition und Beweis
durch Widerspruch, mittels mathematischen Aussagen dar.
Lösung: direkter Beweis: p ⇒ q; Beweis durch Kontraposition: (¬q) ⇒ (¬p); Beweis durch
Widerspruch: (p ∧ (¬q)) ⇒ FALSCH
b) Beweise die Äquivalenz der Aussagen aus Teilaufgabe a).
p
q
alle Aussagen sollten folgendes Ergebnis aufweisen
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
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Termin 7: Beweistechniken
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Beweise
Seite 1 von 1
Bearbeite für untenstehende Sätze folgende Aufgaben (wähle selbst aus, welche dieser Sätze du
bearbeiten willst):
a) Identifiziere Voraussetzung(en) und Behauptung(en). Hinweis: Achte auf Äquivalenzaussagen!
b) Formuliere, wenn möglich, Umkehrung, Kontraposition und Umkehrung der Kontraposition.
c) Überlege welche(s) Beweisverfahren zum Beweisen sinnvoll verwendet werden können.
d) Beweise den Satz. Erfrage hierzu weitere Informationsblätter.
Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate der an den rechten Winkel anliegenden Seiten ist gleich dem Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite.
Gilt in einem Dreieck, dass die Summe der Quadrate der an den rechten Winkel anliegenden Seiten
ist gleich dem Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite ist, so ist das Dreieck
rechtwinklig.
(Verwende für den Beweis die Beweisidee nach James Garfield)
Satz vom Mittelpunktswinkel
Seien zwei Punkte A, B und C auf einem gemeinsamen Kreisbogen mit Mittelpunkt M . Dann gilt:
2 · ∠ACB = ∠AM B.
Summation spezieller Brüche
a)
1
1·2
+
1
2·3
b)
1
21
+
2
22
+ ... +
+
3
23
1
n·(n+1)
+ ... +
n
2n
=
n
n+1
=2−
n+2
2n
p-q-Formel und Mitternachtsformel
a) Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms, gegeben durch p(x) = x2 + px + q, lassen sich,
sofern vorhanden, folgendermaßen berechnen:
r p 2
p
−q
x1,2 = − ±
2
2
b) Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms, gegeben durch p(x) = ax2 + bx + c mit a 6= 0,
lassen sich, sofern vorhanden, folgendermaßen berechnen:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
c) p-q- und Mitternachtsformel sind äquivalent, d.h. es werden bei jedem Polynom zweiten Grades
die selben Nullstellen ermittelt.
(Beweise die Teile a) und c))
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Termin 7: Beweistechniken
Fachbereich Mathematik
Schülerseminar 2010/11, Kl. 8 - 10
Beweise
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Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate der an den rechten Winkel anliegenden Seiten ist gleich dem Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite.
Gilt in einem Dreieck, dass die Summe der Quadrate der an den rechten Winkel anliegenden Seiten
ist gleich dem Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite ist, so ist das Dreieck
rechtwinklig.
(Verwende für den Beweis die Beweisidee nach James Garfield)
Lösung: Das Eintragen der Seiten ist offensichtlich. Die Gleichungen für den Flächeninhalt des
Trapezes lauten:
• A=
a+b
(a
2
• A=
ab
2
+
+ b)
c2
2
+
ab
2
Also gilt: (a + b)2 = 2ab + c2 und es folgt offensichtlich: a2 + b2 = c2 .
Umkehrung: Voraussetzung: Dreieck mit Seiten a, b und c, für das gilt: a2 + b2 = c2 . Behauptung:
Das Dreieck ist rechtwinklig. Beweis: Man nehme ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a und
b (Katheten), dann gilt nach dem Satz des Pythagoras c′2 = a2 + b2 (Hypothenuse). Somit ist n.V.
c′ = c. Zwei Dreiecke mit drei gleichen Seiten sind kongruent, also sind auch alle Winkel gleich.
Also ist das Dreieck aus der Voraussetzung rechtwinklig.
Satz vom Umfangswinkel
Der Mittelpunktswinkel ist immer genau doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Lösung: Fall 1: ABM gleichschenklig mit AM = BM , also ∠BAM = ∠ABM = 45 (aus Winkelsumme). Dreieck BCM ebenso. Also Umfangswinkel 90° und Mittelpunktswinkel 180°.
Fall 2: ∠AM C = 180 − ∠CAM − ∠M CA. Dreieck ACM gleichschenklig mit AM = CM und
somit ∠AM C = 180 − 2∠CAM . Nebenwinkel: 180 − ∠AM C = 2∠CAM . Dreieck BCM ebenso.
Addition ergibt Behauptung.
Fall 3: Wie Fall 2, nur statt abschließender Addition Subtraktion.
Summation spezieller Brüche
a)
1
1·2
+
1
2·3
b)
1
21
+
2
22
+ ... +
+
3
23
1
n·(n+1)
+ ... +
n
2n
=
n
n+1
=2−
n+2
2n
Lösung: offensichtlich mittels vollständiger Induktion
p-q-Formel und Mitternachtsformel
a) Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms, gegeben durch p(x) = x2 + px + q, lassen sich,
sofern vorhanden, folgendermaßen berechnen:
r p
p 2
−q
x1,2 = − ±
2
2
b) Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms, gegeben durch p(x) = ax2 + bx + c mit a 6= 0,
lassen sich, sofern vorhanden, folgendermaßen berechnen:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
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Beweise
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c) p-q- und Mitternachtsformel sind äquivalent, d.h. es werden bei jedem Polynom zweiten Grades
die selben Nullstellen ermittelt.
(Beweise die Teile a) und c))
Lösung: Teil a: Einfacher Weg: Einsetzen in Gleichung ergibt richtige Aussage. Schwierigerer Weg:
Herleitung über quadratische Ergänzung.
Teil c: Substitution: p = ab und q = ac . Funktioniert durch Einsetzen in beide Gleichungen (in
p-q-Formel einfacher). Die jeweils andere Formel erhält man nun durch Äquivalenzumformungen.
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Satz von Pythagoras
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Der Satz von Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate der an den rechten Winkel anliegenden Seiten ist gleich dem Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite.
Gilt in einem Dreieck, dass die Summe der Quadrate der an den rechten Winkel anliegenden Seiten
ist gleich dem Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite ist, so ist das Dreieck
rechtwinklig.
Konkreter:
Im dargestellten Dreieck gilt:
a2 + b2 = c2
Die Umkehrung besagt, dass, wenn in einem Dreieck obige
Formel gilt, so muss es rechtwinklig sein.
Der Beweis gliedert sich in zwei Teile: Beweis der Formel für rechtwinklige Dreiecke und Beweis
der Umkehrung. Zum Beweis soll die Beweisidee von Garfield verwendet werden.
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Satz von Pythagoras
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a) Beweis der Formel für rechtwinklige Dreiecke (Satz des Pythagoras):
Bezeichne in der dargestellten Figur die Dreiecksseiten a, b und c.
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes auf folgende Weisen:
• Formel für den Flächeninhalt von Trapezen
• Summe der Flächeninhalte der drei Dreiecke (Tipp: Zeige, dass das mittlere Dreieck rechtwinklig ist, so kannst du für alle drei Dreiecke die einfachere Formel für den Flächeninhalt
von rechtwinkligen Dreiecken verwenden.)
Setze die beiden Terme gleich, da sie den gleichen Flächeninhalt beschreiben und vereinfache so
weit wie möglich.
b) Beweis der Umkehrung:
Nehme ein rechtwinkliges Dreieck mit a und b als Katheten. Was folgt hieraus?
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Satz vom Umfangswinkel
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Der Satz vom Umfangswinkel
Der Mittelpunktswinkel ist immer genau doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Konkreter:
Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt M und drei Punkte A, B und C auf dem Kreis. Dann heißt
der Winkel BMA Mittelpunktswinkel (µ) und der Winkel BCA Umfangswinkel (ϕ) über der
Strecke AB.
Dann ist der Mittelpunktswinkel (µ) doppelt so groß wie der Umfangswinkel (ϕ).
Zum Beweis müssen drei Fälle unterschieden werden:
Der Umkreismittelpunkt M liegt auf einer Dreiecksseite, im Inneren des Dreiecks oder außerhalb
des Dreiecks.
a) Fall 1: M liegt auf einer Seite von △ ABC
Beweise den Satz im vorliegenden Fall. Tipp: Winkelsumme im Dreieck.
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Satz vom Umfangswinkel
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b) Fall 2: M liegt innerhalb von △ ABC
Beweise den Satz im vorliegenden Fall durch Anwendung des ersten Falles auf Dreiecke, die mit
der Hilfsgeraden gebildet werden.
c) Fall 3: M liegt außerhalb von △ ABC
Beweise den Satz im vorliegenden Fall durch Anwendung des ersten Falles.