Vorlesung
Grundlagen der Informatik
Dr. Frank Sausen
Skript und Folien: Prof. Dr. Wolfgang Ertel
6. Oktober 2008
Hochschule
Ravensburg−Weingarten
Technik | Wirtschaft | Sozialwesen
c W. Ertel
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Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis
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Algorithmen auf Graphen – Ergänzung
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Literaturverzeichnis
[1] Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. www.wikipedia.org.
[2] F. Naumann. Vom Abakus zum Internet. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 2001. Geschichte der Informatik.
[3] H. Matis. Die Wundermaschine. mitp-Verlag, 2002. Geschichte des Computers.
[4] W. de Beauclair. Rechnen mit Maschinen – eine Bildgeschichte der
Rechentechnik. Vieweg Verlag, 1968. Die Lektüre dieses Bilderbuches lohnt
sich!
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[5] D. Shasha and C. Lazere. Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Copernicus/ An Imprint of
Springer-Verlag, 1995. Sehr unterhaltsam und informativ.
[6] V. Claus and A. Schwill. Duden Informatik. Bibliographisches Institut &
F.A. Brockhaus AG, 1988. Ein gutes Nachschlagewerk zur Informatik allgemein.
[7] P. Rechenberg and G. Pomberger. Informatik-Handbuch. Hanser Verlag,
2001.
[8] C. Horn and O. Kerner. Lehr- und Übungsbuch Informatik, Band 1:
Grundlagen und Überblick. Fachbuchverlag Leipzig, 2001.
[9] T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, and R. L. Rivest. Introduction to Algorithms. MIT Press, Cambridge, Mass, 1994. Sehr gute Einführung in die
Analyse von Algorithmen.
[10] N. Wirth. Algorithmen und Datenstrukturen. Teubner-Verlag, Stuttgart,
1983 (3. Auflage). Ein Klassiker, vom
Erfinder der Sprache PASCAL.
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[11] R. Sedgewick. Algorithmen. Addison-Wesley, Bonn, 1995. Übersetzung d.
engl. Originals, empfehlenswert.
[12] U. Hedtstück. Einführung in die Theoretische Informatik. Oldenbourg
Verlag, München, 2007. Guter Überblick über Formale Sprachen und Automaten.
[13] P. Tittmann. Graphentheorie. Fachbuchverlag Leipzig, 2003. Sehr gutes
Buch mit vielen Beispielen. Leider fehlen die Wegesuchalgorithmen.
[14] S. Krumke and H. Noltemeier. Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen. Teubner Verlag, 2005. Exakt und gleichzeitig anschaulich.
[15] Paul E. Black (Ed.). Dictionary of Algorithms and Data Structures [online].
National Institute of Standards and Technology, 2004. http://www.nist.
gov/dads.
[16] S. Skiena. The Algorithm Design Manual. Springer Verlag, 1997. Gutes
Buch mit vielen Algorithmen für den Praktiker.
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1 Algorithmen auf Graphen – Ergänzung
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Die Union-Find-Datenstruktur
Eine endliche Menge S sei in die disjunkten Klassen Xi partitioniert:
S = X0 ∪ X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xk
mit Xi ∩ Xj = Ø ∀i, j ∈ {0, 1, . . . , k}, i 6= j.
Zu jeder Klasse Xi wird ein Repräsentant ri ∈ Xi ausgewählt. Die zugehörige
Union-Find-Struktur unterstützt die folgenden Operationen effizient:
Init(S): Initialisiert die Struktur und bildet für jedes x ∈ S eine eigene Klasse mit
x als Repräsentant.
U nion(r, s): Vereinigt die beiden Klassen, die zu den beiden Repräsentanten r und
s gehören, und bestimmt r zum neuen Repräsentanten der neuen Klasse.
F ind(x): Bestimmt zu x ∈ S den eindeutigen Repräsentanten, zu dessen Klasse
x gehört.
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Implementierung
Eine einfache Implementierung speichert die Zugehörigkeiten zwischen den Elementen aus S und den Repräsentanten ri in einer Liste. Für kürzere Laufzeiten
werden jedoch in der Praxis Mengen von Bäumen verwendet. Dabei werden die
Repräsentanten in den Wurzeln der Bäume gespeichert, die anderen Elemente der
jeweiligen Klasse in den Knoten darunter.
U nion(r, s): Hängt die Wurzel des Baumes von s als neues Kind unter die Wurzel
des Baumes von r.
F ind(x): Wandert vom Knoten x aus den Pfad innerhalb des Baumes nach oben
bis zur Wurzel und gibt diese als Ergebnis zurück.
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Heuristiken
Um die Operationen Find und Union zu beschleunigen, gibt es die zwei Heuristiken
Union-By-Size und Pfadkompression.
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Union-By-Size
Bei der Operation U nion(r, s) wird der Baum, der kleiner ist, unter den größeren
Baum gehängt. Damit verhindert man, dass einzelne Teilbäume zu Listen entarten
können wie bei der einfachen Implementierung (r wird in jedem Fall Wurzel des
neuen Teilbaums). Die Tiefe eines Teilbaums T kann damit nicht größer als log |T |
werden. Mit dieser Heuristik verringert sich die Worst-Case-Laufzeit von F ind von
O(n) auf O(log n). Für eine effiziente Implementierung führt man bei jeder Wurzel
die Anzahl der Elemente im Teilbaum mit.
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Pfadkompression
Um spätere F ind(x) Suchvorgänge zu beschleunigen, versucht man die Wege vom
besuchten Knoten zur zugehörigen Wurzel zu verkürzen.
1. maximale Verkürzung (Wegkompression)
Nach dem Ausführen von F ind(x) werden alle Knoten auf dem Pfad von x zur
Wurzel direkt unter die Wurzel gesetzt. Dieses Verfahren bringt im Vergleich
zu den beiden folgenden den größten Kostenvorteil für nachfolgende Aufrufe
von F ind für einen Knoten im gleichen Teilbaum. Zwar muss dabei jeder
Knoten auf dem Pfad zwischen Wurzel und x zweimal betrachtet werden, für
die Laufzeit-Komplexität ist das jedoch unerheblich.
2. Aufteilungsmethode (splitting)
Während des Durchlaufes lässt man jeden Knoten auf seinen bisherigen Großvater zeigen (falls vorhanden); damit wird ein durchlaufender Pfad in zwei der
halben Länge zerlegt.
3. Halbierungsmethode (halving)
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Während des Durchlaufes lässt man jeden zweiten Knoten auf seinen bisherigen
Großvater zeigen.
Diese Methoden haben beide dieselben amortisierten Kosten wie die erste Kompressionsmethode (Knoten unter die Wurzel schreiben). Alle Kompressionsmethoden beschleunigen zukünftige F ind(x)-Operationen.
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Laufzeiten
Union-Find-Datenstrukturen ermöglichen die Ausführung der obigen Operationen
mit den folgenden Zeitkomplexitäten (n = |S|):
Implementierung mit einer Liste L, worst-case: F ind: O(n), U nion: O(1)
Implementierung mit Bäumen:
• ohne Heuristiken: F ind: O(n), U nion: O(1)
• mit Union-By-Size, worst-case: F ind: O(log(n)), U nion: O(1)
• mit Union-By-Size, Pfadkompression, worst-case: F ind: O(log(n)), U nion:
O(1)
• mit Union-By-Size, Pfadkompression, Folge von f F ind- und u U nionOperationen (amortisiert): O (u + (n + f ) · (log∗(n)))
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Test auf Zyklus
Zur effizienten Durchführung des Tests auf einen Zyklus baut man die Mengen Xi
so auf, dass zwei Knoten u und v eines Graphen genau dann in der selben Menge
liegen, wenn es einen Weg von u nach v gibt.
Bevor man nun eine Kante k = (u, v) zu einem Graphen hinzufügt, testet man, ob
u und v bereits durch den bisherigen Graphen verbunden sind (also ob F ind(u) =
F ind(v) ist). Ist dies der Fall, so würde man durch hinzufügen von k einen Zyklus
erzeugen. Man kann k also nicht hinzufügen. Ist dagegen F ind(u) 6= F ind(v), so
kann man k hinzufügen und man vereinigt die beiden, durch u und v identifizierten
Mengen, zu einer neuen Menge U nion(u, v).
Das folgende Beispiel illustriert die Vorgehensweise:
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Anwendung von Find Union zur Zyklendetektion
Graph
Partition
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
2
1
3
5
6
7
9
8
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