Institut für Sportwissenschaft
Universität Graz
Biomechanik des Springens,
Gehens und Laufens
Sigrid Thaller
Institut für Sportwissenschaft
Universität Graz
Bayreuth 2014
S. Thaller
Inhalt
Sprachgebrauch
Sprungkraft
Weitsprung
Stabhochsprung
Hochsprung
Gehen
Laufen
Skalierung
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Freier Fall
Energieerhaltung
Kraft
Muskelkraft
Konservative u. dissipative Kraft
Leistung
Mechanische u. chemische Leistung
Wirkungsgrad
S. Thaller, 2014
Fächerübergreifender Unterricht
Physik und Sport
Vorteile:
Motivation
Probleme:
„Verstehen“
Unterschiedliche „Sprache“
Aktivität
Zu wenig Unterrichtsmaterialien
Experimente
Modelle
...
S. Thaller, 2014
Problem der unterschiedlichen Sprache
Kraft:
Physik: Kraft = Masse x Beschleunigung
Sport: Schnellkraft, Explosivkraft, Startkraft,
Kraftausdauer, Maximalkraft, isometrische Kraft,
konzentrische Kraft, exzentrische Kraft, Relativkraft, ...
Mathematik: Skalar, Vektor, Funktion
S. Thaller, 2014
Kraft
Wer ist „stärker“?
S. Thaller, 2014
Leistung
Physikalische Leistung:
Arbeit pro Zeit
Mechanische
Leistung = 0
Sportliche Leistung:
Sprunghöhe, Laufzeit, Wurfweite....
Was leistet ein
Sportler?
S. Thaller, 2014
„Schwung“
Impuls?
Energie?
...?
S. Thaller, 2014
Sprunghöhe
Höhe des
Schwerpunktes
Höhe der Latte
Differenz zwischen
Ausgangslage und
höchstem Punkt
S. Thaller, 2014
Sprunghöhe
S. Thaller, 2014
Sprunghöhe
S. Thaller, 2014
Sprungkraft
Beinkraft FB,
Hocktiefe s
Energie EB
E B  FB  s
Voraussetzung:
FB näherungsweise konstant
Hubarbeit EH :
E H  m  g  (h  s )
EB
EH
Ermittelung der Hocktiefe s und der Sprunghöhe h.
hs
FB 
m g
s
S. Thaller, 2014
Sprungkraft
b c d
e f g h
Kraft
a
Gewicht
Zeit
In a beginnt die Ausholbewegung nach
unten, b zeigt den Zeitpunkt maximaler
Beschleunigung, zum Zeitpunkt c gleichen
sich Beinkraft und Gewicht aus, die
Nettokraft ist Null. Zwischen c und d gibt
es eine nach oben gerichtete
Gesamtkraft, die Abwärtsbewegung des
Körpers wird gebremst. Zeitpunkt d gibt
den tiefsten Punkt des Körpers an, die
Geschwindig-keit ist Null. Zwischen d und
e führt die Beschleunigung zu einer
Aufwärts-bewegung des Körpers, wobei
im Zeitpunkt e die
Maximalgeschwindigkeit erreicht wird. Ab
dem Zeitpunkt e überwiegt die
Gravitationskraft und in f hebt der Körper
vom Boden ab. h gibt den ersten Kontakt
des Körpers beim Aufsprung an, in der
Mitte zwischen f und h (also bei g) ist der
höchste Punkt erreicht.
S. Thaller, 2014
Sprungkraft und Sprunghöhe
v02
h
2g
Sprunghöhe h,
Absprunggeschwindigkeit v0
Ermittlung der Absprunggeschwindigkeit:
1. Aus der „Flugzeit“ t zwischen Ab- und Aufsprung
v0 
g t
2
2. aus dem Kraftstoß zwischen der Zeit td, an der der tiefste Punkt erreicht ist, und dem
Zeitpunkt tf, an dem der Körper abhebt:
tf
mv0   F (t ) dt
td
3. aus Energieerhaltung, wobei Arbeit durch die Beinkraft auf dem Weg zwischen
tiefstem Punkt (d) und Abheben des Körpers (f) eingebracht wird:
y
f
m  v02
  F ( y ) dy
2
yd
S. Thaller, 2014
Sprungkraft und Sprunghöhe
S. Thaller, 2014
MNI-Fonds für Unterrichts- und Schulentwicklung
PHYSIK UND SPORT 2005
S. Thaller, 2014
MNI-Fonds für Unterrichts- und Schulentwicklung
PHYSIK UND SPORT 2005
S. Thaller, 2014
Weitsprung
y
v0
vy
ymax

vx
x
S. Thaller, 2014
Vorauss.:
Absprung auf gleicher Höhe wie
Landung:
Weitsprung
y
 v x (t ) 


v (t )  
 v y (t ) 
vx  v0  cos 
v0
vy
ymax

vx
bleibt für alle t gleich
x
v y (t )  v0  sin   g  t
Daraus kann man die Ortskoordinaten berechnen (Ursprung in x0):
x  v0 cos   t
y  v0 sin   t 
t
g 2
t
2
eliminieren
y  tan   x 
g
 x²
2
2  v0  (cos  )²
S. Thaller, 2014
Weitsprung
y  tan   x 
g
 x²
2
2  v0  (cos  )²
Sprungweite:
x max 
y
v  sin(2 )
g
2
0
v0
vy
ymax

vx
x
 = 45o ?
v = 9 m/s
Maximalhöhe:
Sprungweite von 8,3 m ?
y max
v02  (sin  )²

2 g
ymax = 2,1 m
Modellfehler!!!!
S. Thaller, 2014
Darstellung des Modellierungsprozesses
Definition des Teils
der Realität und
des Modellzwecks
Empirische
Untersuchungen,
Identifikation der
Mechanismen
und Beziehungen
Mängel des
Modells
Validierung:
Experimente,
Vergleich mit Daten,
Simulationen
Mathematisches
Modell
Analyse des
Modells,
Simulationen
S. Thaller, 2014
Weitsprung
Vertikalgeschwindigkeit höchstens 3 m/s.
Horizontalgeschwindigkeit etwa 8 m/s
Absprungwinkel etwa 20o.
y
v0
vy
ymax

vx
Sprunghöhe etwa 1/2 Meter
Sprungweite unter 6 m
Weltrekord der Männer 8,95 m
???
Schwerpunkt beim Absprung etwa in 1 m Höhe
Verschiebung des Schwerpunkts im Körper durch Sprungtechnik
Landung
S. Thaller, 2014
Sprung mit Armbewegung
S. Thaller, 2014
Armbewegung und Schwerpunkt
Kraftmessplatte oder Waage
Kraft abhängig von der Frequenz der
Armbewegung
K = Differenz aus Kraftmessung ohne Person und mit Person
S. Thaller, 2014
Griechischer Weitsprung
Masse:
1.072 kg - 4.629 kg
Mittlere Masse:
2.3 kg
Mittlere Länge:
25 cm
S. Thaller, 2014
Ergebnisse der Sprungversuche
2,50
Sprungweite [m]
2,00
Romana
Thomas
1,50
Elias
Philipp
1,00
Theodora
Claudia
0,50
0,00
0
1
2
3
4
5
Sprungart
1: Ohne Armbewegung
2: Mit Armbewegung
3: 1kg/Arm
4: 2 kg/Arm
S. Thaller, 2014
change of height
[% without arms]
Griechischer Weitsprung
4
3
2
no additional
mass
1
0
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
subjects
S. Thaller, 2014
change of height
[% without arms]
Griechischer Weitsprung
4
3
2
no additional
mass
additional
mass 2+2 kg
1
0
-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
subjects
S. Thaller, 2014
Griechischer Weitsprung
Wrist height[m]
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Subject
no arm movement
no additional mass
additional mass 4 kg
S. Thaller, 2014
Griechischer Weitsprung
Proband A
Proband B
Sprung ohne
Zusatz-gewichte
0.937 m
0.948 m
Sprung mit
Zusatzmasse 4 kg
0.945 m
0.943 m
S. Thaller, 2014
Bewegungsmodell Strecksprung
S. Thaller, 2014
Modell einer Streckbewegung
X
Xo
.
FNM
to , Xo, Vo
Anfangsbedingungen
Lr, Lo, Lu
Ko, Ku
Knochenlängen
Ursprung u. Ansatz d.
Muskeln
fmax, pmax
Muskeleigenschaften vmax
(HILL: a,b,c)
Einschaltparameter
m
Ko
xx
Lo
Lr
A
Lu
Ku
m
FNM
Masse
Kräfte, die nicht vom
Muskel erzeugt werden
S. Thaller, 2014
Modulares Bewegungsmodell
Kraftgesetz Muskel
Kräfte auf Grund von
Muskelkraft
BewegungsGleichung
(Newton)
Kräfte, die nicht von
Muskeln erzeugt werden
Aktivierung
Geometrie
Anfangsbedingungen
S. Thaller, 2014
Kraftgesetz Muskel
F = (-) k . Dx
Federkonstante k
bewegungsunabhängig!
S. Thaller, 2014
Hillsche Gleichung
a [N]
b [m/s]
c [W]
c
f 
a
vb
fiso
fiso = c/b - a
Kraft f
vmax = c/a - b
pmax
pmax = fopt .vopt =
fopt
Geschw. v
vopt
vmax
ab  c  2 abc
f opt 
ac
a
b
vopt 
bc
b
a
S. Thaller, 2014
Sprung
Einfluss auf die Kontraktionsgeschwindigkeit der
Muskulatur!
S. Thaller, 2014
Rekord (m)
Stabhochsprung
7
6
5
4
3
2
1
0
1800
Energieübertragung
Stahl
m  v2
Kunststoff
2
 m g  h
Bambus
1850
1900
1950
2000
2050
Jahr
v2
h
2 g
Absprunggeschwindigkeiten bis zu 10 m/s
Schwerpunktserhöhung 5 m
Schwerpunkt am Anfang in etwa 1 m Höhe
Springer stößt sich auch noch mit den Händen vom Stab ab
S. Thaller, 2014
John Young, Apollo 16, April 20, 1972
Wie hoch springt ein Astronaut?
Ist der Sprung am Mond mit
einem Sprung auf der Erde
vergleichbar?
Copyright Calvin J. Hamilton
S. Thaller, 2014
Sprung am Mond
Einfachere Modelle:
A.
Voraussetzung:
Absprunggeschwindigkeit vab auf der Erde und am Mond gleich
kinetische Energie wird in Hubenergie umgewandelt:
2
v ab
h
2 g
Da g am Mond um einen Faktor sechs kleiner ist, ergibt sich eine sechsfache
Sprunghöhe.
S. Thaller, 2014
Sprung am Mond
B.
Voraussetzung:
Die Kraft beider Beine FB ist auf der Erde und am Mond gleich.
m  a  FB  m  g  F1
beschleunigende Kraft:
a
Beschleunigung:
Schwerpunktshöhe
1
F1
m
1
1
t²
h   a  t ²  v0  t  s   F1   s
2
m
2
s Hocktiefe,
Anfangsgeschwindigkeit v0 ist null
Höhe beim Absprung hab einsetzen ergibt die bis zum Absprung benötigte Zeit tab :
t ab 
FB ~ 2mg:
2(hab  s)  m
F1
Schwerpunktserhöhung am Mond elfmal so groß ist
wie auf der Erde.
S. Thaller, 2014
Sprung am Mond
C. Muskelkraft
Geometrie
Simulationsprogramm:
http:www.uni-graz.at/sigrid.thaller
Höhe (m)
Aktivierung
2.5
2
1.5
Mond
Mars
Erde
1
A
B
Person
Die Schwerpunktserhöhung am Mond ist etwa zwölfmal so hoch wie auf der Erde, aber:
keine einheitlicher Faktor für alle Personen, Gravitationsänderung wirkt sich
unterschiedlich auf verschiedene Personen aus.
S. Thaller, 2014
Gehen
LS
Gehen als natürliche Fortbewegung: 3-5 km/h
S. Thaller, 2014
Étienne Jules Marey 1830-1904
Gehen
Sphygmograph von Marey
Chronofotografie eines
Pelikanflugs, um 1882
S. Thaller, 2014
Gehen
Étienne Jules Marey 1830-1904
„Prof. Mareys Studien erwiesen sich auch für die Militärpraxis von Werth. Marey
machte in der französischen Academie der Wissenschaften die Mittheilung, dass nach
seinen Untersuchungen 70 Schritt in der Minute das beste Marschtempo sind. Der
deutsche Turnschritt ist 1 Kilometer in 10 Minuten, also 175 Schritt in der Minute. Das
Militär macht in munterem Marschtempo bekanntlich 120 Schritt in der Minute“
Josef Maria Eder, 1886
Aus: Albertina Wien, 2009
S. Thaller, 2014
Gehen als Pendelschwingung
abwechselndes Vorschwingen der Beine, ohne dass wir sie über die
Muskeln beschleunigen.
Dauer T
mathematisches Pendel:
Masse m
gewichtsloser Faden der Länge L
L
T  2
g
g Gravitationsbeschleunigung
S. Thaller, 2014
Gehen als Pendelschwingung
Masse über das gesamte Bein verteilt
Physikalisches Pendel
effektiven Pendellänge Leff
Leff etwa 2/3 der Beinlänge, Leff = 2L/3:
T  2
Leff
g
 2
2L
3g
S. Thaller, 2014
Gehen als Pendelschwingung
T  2
Leff
g
 2
2L
3g
Ein Schritt (Schrittlänge LS) entspricht einer halben
Schwingung
Gehgeschwindigkeit v :
2 LS LS
v

T

3g
2L
Schrittlänge korreliert mit der Beinlänge:
LS
2 / 3 L  LS  L
die energetisch günstigste Gehgeschwindigkeit ist rein durch
die Beinlänge bestimmt.
S. Thaller, 2014
Gehen als Pendelschwingung
v
2 LS LS

T

3g
2L
2 / 3 L  LS  L
LS
Beinlänge L = 1 m:
v = 2,9 km/h - 4,5 km/h
Beinlänge L = 1/2 m:
Geschwindigkeit um Faktor 1,4 langsamer,
Frequenz um Faktor 1,4 höher
S. Thaller, 2014
Energie und Leistung
Die Gesamtleistung eines Erwachsenen beim Gehen
ist etwa 350 W.
Grundumsatz 85 W
Mechanischer Wirkungsgrad etwa 20 %
Mech. Muskelleistung:
Pm  (350  85)  0,2 W  50 W
S. Thaller, 2014
Leistung beim Gehen
Mech. Muskelleistung: Pm ~ 50 W
Leistung zum Heben des
Körpers:
Ph 
mgh
 mghf
TS
Masse m
Höhe h
Frequenz f
Zeit TS
Leistung Ph
(75 kg)
(4 cm)
(1,5 S/s)
(44 W)
fast die gesamte Muskelleistung ist Hubleistung
S. Thaller, 2014
Energie und Leistung beim Gehen und Laufen
Marathon
Aerobe Leistung P ~ v
Aerobe Leistung P ~ v3
Gehen
600
15
Laufen
10
m = 65 kg
5
Gehen
6
12
18
v (km/h)
Energie (kcal)
Leistung (kcal/min)
(gemessen durch Rate des
Sauerstoffverbrauchs)
Laufen
400
m = 65 kg
x = 10 km
200
Gehen
6
12
18
v (km/h)
(nach Griffing (88))
S. Thaller, 2014
Energie - ein Vergleich
benötigte Energie
(J pro kg und km)
Maus
10000
Fliege
1000
Kaninchen
Biene
Hund
Kolibri
100
Auto
gehender Mensch
Flugzeug
Radfahrer
10
10-6
Hubschrauber
10-4
10-2
1
102
104
106
transportierte Masse (kg)
(nach DiLavore (76))
S. Thaller, 2014
Gehen als Sport
Hubarbeit macht den höchsten Energieanteil aus
Hubhöhe (Schwerpunktserhöhung) möglichst gering
Gehbewegung symmetrisch,
Abwärtsbewegung höchstens mit der Geschwindigkeit des freien Falls
Aufwärtsbewegung höchstens mit der Geschwindigkeit des freien
Falls
Mindestdauer eines möglichst schnell ausgeführten Schritts ist allein durch die
Hubhöhe (und g) bestimmt:
2h
TS  2
g
LS LS
v

TS
2
g
2h
S. Thaller, 2014
Gehen als Sport
LS LS
v

TS
2
g
2h
Bei gegebener Schrittlänge hängt die Gehgeschwindigkeit
von der Hubhöhe ab.
Durchschnittsgeschwindigkeit von Gehern ist etwa v = 5 m/s
Schrittlänge LS = 0,8 m
Hubhöhe von 3 cm
v = 8 m/s:
Hubhöhe von 1,2 cm
S. Thaller, 2014
Fächerübergreifender Unterricht
BAND 64
LEOPOLD MATHELITSCH
SIGRID THALLER
SPORT UND PHYSIK
Buch und CD: ISBN 978-3-7614-2765-1
Arbeitsblätter: ISBN 978-3-7614-2766-8
S. Thaller, 2014
Fächerübergreifender Unterricht
S. Thaller, 2014
Fächerübergreifender Unterricht
S. Thaller, 2014
Energiebereitstellung im Muskel
% Energie
KP-Prozess
100 -
anaerobe
Glykolyse
aerobe
Prozesse
50 -
0
20
40
60
80
100
Die Energie für die
Muskelkontraktionen wird
aus der Umwandlung von ATP
(Adenosintriphosphat) in ADP
(Adenosindiphosphat) bereit
gestellt.
Zeit (s)
ATP-Vorrat reicht nur für einige Sekunden
ATP wird erzeugt durch
anaeroben Abbau von Kreatinphospat (KP)
anaeroben Abbau von Zucker
und durch oxidative, aerobe Umwandlung von Zucker und Fett
S. Thaller, 2014
Conconi-Test
Bei länger andauernden, nicht zu anstrengenden Bewegungen wird die Energie durch
aerobe Prozesse, also unter Verwendung von Sauerstoff, gewonnen.
Steigt die Belastung, so wird mehr Sauerstoff gebraucht und daher steigt auch die
Herzfrequenz an, um den Transport des Sauerstoffs sicher zu stellen.
Ab einer bestimmten Belastungsstufe kann nicht mehr genug Sauerstoff transportiert
werden, die Energie wird zusätzlich durch anaerobe Prozesse bereitgestellt. Der Muskel
übersäuert durch das dabei erzeugte Laktat und die Herzfrequenz steigt nicht mehr so
stark an.
S. Thaller, 2014
Herzfrequenz (Schläge/min)
Conconitest
190
180
170
160
150
140
130
120
o
o
o
o
o
o
o
o
o
10
12
14
16
18
v (km/h)
S. Thaller, 2014
Gullivers Reisen
Jonathan Swift 1667-1754
Springen große Menschen (Tiere)
gleich hoch wie kleine?
public domain
S. Thaller, 2014
Skalierung
Länge, Fläche, Volumen?
Masse
Volumen
Energiebedarf
Volumen
Energieaufnahme
Fläche
Energieverbrauch
Fläche
Muskelkraft
Fläche
S. Thaller, 2014
Sprunghöhe
F  s  m g  H
F s
H
m g
Skalierung:
L²  L
0
H
L
L³
S. Thaller, 2014
Sprunghöhe
S. Thaller, 2014
Sprunghöhe
S. Thaller, 2014
Modell der Maximalgeschwindigkeit im Sprint
während des ganzen Laufs maximale Muskelkraft
Vorauss.
Beinkraft
FB  1,5  m  g
Distanz d, während der die Muskelkraft wirkt, ist etwa ein Drittel der Beinlänge L
N Beschleunigungsschritte
L 1
E B  N  FB  d  N  1,5  m  g    N  m  g  L
3 2
v  N gL
Nach 10 Schritten Max.Geschw.
L = 1 m: v = 10 m/s.
S. Thaller, 2014
Skalierung: Geschwindigkeit
v  N gL
N Anzahl der Schritte ~ 1/Schrittlänge
Schrittlänge ~ Beinlänge L
v
1
 L  L0
L
Geschwindigkeit unabhängig von der Masse
S. Thaller, 2014
Geschwindigkeit
S. Thaller, 2014
Danke für die
Aufmerksamkeit!
S. Thaller, 2014
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Biomechanik des Springens