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Modellierung
intraspezifischer
Konkurrenz
Ein Unterrichtsbeispiel für den
Stochastikunterricht der Sek I
16. Forum für Begabungsförderung in Mathematik
21. – 23. März 2013, Julius-Maximilians-Universität Würzburg
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Einleitung
• Zielsetzung des Stochastikunterrichts in der Sek I:
22. März 2013
-
Deskriptive Statistik
-
Kombinatorik
-
Simulieren und Modellieren
-
Hinführung zur Inferenzstatistik
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Einleitung
• Typische Aufgaben und Problemstellungen (I):
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Einleitung
• Typische Aufgaben und Problemstellungen (II):
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Einleitung
• Typische Aufgaben und Problemstellungen (III):
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Einleitung
• Ziel: Präsentation eines Unterrichtskonzepts für den
Stochastikunterricht der Sek I mit Bezug zu
Problemstellungen der theoretischen Biologie
22. März 2013
-
Modellierung intraspezifischer Konkurrenz
(Tauben-Falken-Problem)

evolutionär stabile Strategien (ESS)
-
Verknüpfung kombinatorischer Probleme mit
der Analyse funktionaler Zusammenhänge
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
• Ausgangssituation:
Tiere einer Art treffen im Kampf um Ressourcen
1:1 aufeinander
• Modellierung zweier prototypischer Verhaltesweisen:
Falke (F)
Taube (T)
Der Falke kämpft um die Ressource
Die Taube zieht sich aus Kämpfen zurück
 Vier Kombinationsmöglichkeiten bei Konflikten:
F:F, F:T, T:F, T:T
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
kämpft
gegen
Falke
Taube
Falke
Taube
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
kämpft
gegen
Falke
Falke
Sieger ist unverletzt
und erhält die
gesamte Ressource;
Verlierer ist verletzt
und erhält nichts
Taube
Taube
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
kämpft
gegen
Falke
Falke
Sieger ist unverletzt
und erhält die
gesamte Ressource;
Verlierer ist verletzt
und erhält nichts
Taube
22. März 2013
Taube
Die Ressource
wird ohne Kampf im
Verhältnis 1:1 geteilt
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
kämpft
gegen
Falke
Taube
Taube zieht sich
unverletzt zurück;
Falke
Sieger ist unverletzt
und erhält die
gesamte Ressource;
Verlierer ist verletzt
und erhält nichts
Taube zieht sich
unverletzt zurück;
Taube
Falke erhält die
gesamte Ressource
22. März 2013
Falke erhält die
gesamte Ressource
Die Ressource
wird ohne Kampf im
Verhältnis 1:1 geteilt
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
• Modellannahmen:
22. März 2013
-
Wert der Ressource: V > 0
-
Größe der Beschädigung: C > 0 und C > V
(sonst gäbe es keine Tauben)
-
p(F) = p
p(T) = 1 – p
-
p(F:F)
p(F:T, T:F)
p(T:T)
= p²
= 2  p  (1 – p)
= (1 – p)²
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
gewinnt
im Mittel
Falke
Taube
Falke
Taube
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
gewinnt
im Mittel
Falke
Falke
0,5  (V – C)
Taube
Taube
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
gewinnt
im Mittel
Falke
Falke
0,5  (V – C)
Taube
22. März 2013
Taube
0,5  V
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
22. März 2013
gewinnt
im Mittel
Falke
Falke
0,5  (V – C)
Taube
0
Taube
0,5  V
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
22. März 2013
gewinnt
im Mittel
Falke
Taube
Falke
0,5  (V – C)
V
Taube
0
0,5  V
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
• Fragestellung: Wie viele Tiere zeigen das Verhalten
als Falke oder das Verhalten als Taube innerhalb
einer evolutionär stabilen Strategie?
• Vorüberlegung (I):
22. März 2013
-
Zeigen sehr viele Tiere das Verhalten von
Tauben, ist es vorteilhaft die Strategie eines
Falken anzuwenden.
-
Zeigen sehr viele Tiere das Verhalten von
Falken, ist es vorteilhaft die Strategie einer
Taube anzuwenden.
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
• Vorüberlegung (II):
22. März 2013
-
Ist C gegenüber V sehr groß, ist zu erwarten,
dass mehr Tiere das Verhalten einer Taube als
eines Falken zeigen.
-
Ist C gegenüber V sehr klein, ist zu erwarten,
dass mehr Tiere das Verhalten eines Falken als
einer Taube zeigen.
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
• E(F, F) = 0,5  (V – C)
E(T, F) = 0
E(F, T) = V
E(T, T) = 0,5  V
• Falke trifft mit Wahrscheinlichkeit p auf Falken;
Fitness verändert sich im Mittel um 0,5  (V – C);
Falke trifft mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf Taube;
Fitness verändert sich im Mittel um V
• Taube trifft mit Wahrscheinlichkeit p auf Falken,
Fitness verändert sich im Mittel um 0;
Taube trifft mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf Taube;
Fitness verändert sich im Mittel um 0,5  V
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
• W(F) = W0 + 0,5  p  (V – C) + (1 – p)  V
W(T) = W0 + 0,5  (1 – p)  V
• Evolutionär stabile Strategie: W(F) = W(T)
 W0 + 0,5  p  (V – C) + (1 – p)  V =
W0 + 0,5  (1 – p)  V
 0,5  p  V – 0,5  p  C + V – p  V =
0,5  V – 0,5  p  V
 0,5  p  C = 0,5  V
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
C–V
V
p =
und
1–p=
C
C
• Als evolutionär stabile Strategie stellt sich für die
Häufigkeit, mit der Tiere das Verhalten als Falke
(bzw. als Taube) zeigen, das Verhältnis von Wert der
Ressource und der durchschnittlichen Beschädigung
ein (bzw. von C – V und C)
• Rückbezug zur Vorüberlegung:
C groß  p klein
22. März 2013
V groß  p groß
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
V
p=
C
• C = const
 p = p(V) als proportionaler Zusammenhang
• V = const
 p = p(C) als antiproportionaler Zusammenhang
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Konzept: Intraspezifische Konkurrenz
V
p=
C
 p = p(V, C) als Funktion R+ X R+  [0;1]
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Erfahrungen
• Möglicher Einstieg über Simulation:
22. März 2013
-
Alle SuS sind Tiere mit Fitness W0 = 100
-
Rundenweise „Kampf“ gegen einen zufällig
bestimmten Mitschüler mit V = 10 und C = 40
-
Rundenweise legen die SuS geheim fest, ob sie
das Verhalten als Falke oder Taube zeigen.
-
Rundenweise werden f(F), f(T) und W notiert.
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
Erfahrungen
• Ziel: Maximierung von W
• Fragen zur Analyse:
-
Pendelt sich p(F) auf einen bestimmten Wert
stabil ein?
-
Wie häufig nutzen SuS mit hohem W die
Strategien F und T?
• Realisieren einer Simulation am PC parallel zur
theoretischen Herleitung der ESS
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
VIELEN DANK!
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
VIELEN DANK!
22. März 2013
Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie
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Modellierung intraspezifischer Konkurrenz