Es gibt eine Heuristik, mit der sich die Primzahldichte 1 für großes x

1
Es gibt eine Heuristik, mit der sich die Primzahldichte ln(x)
für
großes x ∈ N plausibel machen lässt. Die Idee besteht darin, das
Änderungsverhalten der Primzahldichte bei x zu untersuchen. Den
Ansatz liefert ein einfaches, aber ineffizientes Verfahren zur
Bestimmung aller Primzahlen, dass
Sieb des Eratosthenes
(1) Man startet mit der Menge S = {n ∈ N | n ≥ 2} und P = ∅.
(2) Sei p das kleinste Element der Menge S.
Nimm p zur Menge P hinzu.
(3) Entferne alle Vielfachen von p aus der Menge S.
(4) Gehe zurück zu Schritt 2.
Wenn man dieses Programm“ unendlich lange laufen lässt,
”
sammeln sich in der Menge P nach und nach alle Primzahlen.
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Das Sieb des Erathosthenes zeigt, dass sich die Primzahldichte an
jeder Primzahl p um den Faktor 1 − p1 ausdünnt, denn jedes p-te
Element wird gestrichen. Diese Beobachtung kann genutzt werden,
1
um die Primzahldichte ln(x)
herzuleiten.
Dazu stellen wir uns vor, dass die Primzahldichte eine
differenzierbare Funktion p : R+ → R ist. Sei nun x ∈ R+ eine
große Zahl und s > 0 im Vergleich dazu klein. Da sich die
Primzahldichte im Intervall [x, x + s] nicht wesentlich ändert, gibt
es dort
≈ sp(x) Primzahlen.
Wie wir anhand des Siebes gesehen haben, verringert sich die
Primzahldichte nach jeder Primzahl um den Faktor ≈ 1 − x1 ,
insgesamt also um den Faktor ≈ (1 − x1 )sp(x) . Es gilt somit
p(x + s) ≈
1
1−
x
sp(x)
p(x)
Dies verwenden wir nun, um die Ableitung von p an der Stelle x zu
bestimmen. Da s im Vergleich zu x klein ist, gilt
p 0 (x) ≈
(1 − x1 )sp(x) p(x) − p(x)
p(x + s) − p(x)
≈
s
s
= p(x)
(1 − x1 )sp(x) − 1
s
Für kleine Wert α und n ∈ N gilt (1 − α)n ≈ 1 − nα. Wenden wir
dies auf α = x1 an, dann folgt
0
p (x) ≈ p(x)
1−
sp(x)
x
s
−1
=−
p(x)2
x
Die Funktion p(x) ist also (näherungsweise) eine Lösung der
Differentialgleichung
y2
y0 = − .
x
Eine solche Differentialgleichung kann mit Standard-Methoden der
einschlägigen Vorlesung gelöst werden. Die Lösungen sind die
Funktionen
1
ϕ(x) =
, c ∈R
ln(x) + c
1
Unsere Überlegung liefert einen weiteren Anhaltspunkt, dass ln(x)
die richtige“ Funktion für die Primzahldichte ist. Die Konstante c
”
spielt im Vergleich zu x eine wesentliche Rolle. Leider ist das nur
eine Heuristik, kein Beweis.
Unser Hauptziel in diesem Vorlesungsabschnitt ist der Nachweis
der asympotischen Gleichheit
π(x) ∼ Li(x).
Diese Aussage ist unter dem Namen Primzahlsatz“ bekannt. Er
”
wird sich aus der Untersuchung der Riemannschen ζ-Funktion
ergeben. Einen ersten Hinweis, dass diese Funktion für die
Primzahlverteilung bedeutsam sein könnte, lieferte ein neuer
Beweis von Euler für die unendliche Anzahl der Primzahlen.
Ziemlich am Anfang der ersten Semesters lernt man, dass die
sogenannte harmonische Reihe
∞
X
1
n
=
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ...
n=1
den Wert +∞ hat. Man sagt dazu, dass die harmonische Reihe
divergiert. Der Beweis besteht darin, dass man die Summanden
nach folgendem Schema zusammenfasst.
1 + 12 + 13 + 14 + 51 + 16 + 17 + 18 +
1
1
1
1
1
1
1
1
9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + ...
1
Jede Summe in den Klammern
P∞ist 1≥ 2 . Da es unendlich viele
solche Summen gibt, muss n=1 n = +∞ sein.
Andererseits kann man zeigen, dass die Summe
∞
X
1
ns
n=1
für jedes s > 1 einen endlichen Wert annimmt, also konvergiert.
Für jedes α ∈ R mit |α| < 1 gilt außerdem
∞
X
αn
n=0
Dies ist die geometrische Reihe.
=
1
.
1−α
Euler verwendete diese Ergebnisse über Reihen, um auf folgendem
Wege die Existenz von unendlich vielen Primzahlen nachzuweisen.
Sei P ⊆ N die Menge aller Primzahlen. Weil jede natürliche Zahl
auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen darstellbar ist,
gilt für jedes s ∈ R mit s > 1 jeweils
∞
X
1
ns
X
=
a2 ,a3 ,a5
n=1
∞
X
1
2a2 s
!
·
a2 =0
=
Y
p∈P
1
a2 s 3a3 s 5a5 s ...
2
,...
∞
X
1
3 a3 s
a3 =0
∞
X
1
p as
a=0
!
=
!
·
∞
X
1
5 a5 s
=
!
· ...
a5 =0
Y
1 −1
1− s
p
,
p∈P
wobei im letzten Schritt die geometrische Reihe auf α =
angewendet wurde.
1
ps
Lassen wir nun s von rechts gegen 1 laufen, dann erhalten wir auf
Grund der Divergenz der geometrischen Reihe
Y
1
1
! = 0.
=
1−
∞
p
X
1
p∈P
n=1
n
P
Wäre die Summe p∈P p1 endlich, dann müsste der Ausdruck links
der Theorie der unendlichen Produkte einen Wert 6= 0 annehmen.
So aber ist
X1
divergent ,
p
p∈P
und dazu muss P insbesondere unendlich sein.
Der Beweis von Euler liefert mehr Informationen als der von
Euklid, da er uns die Möglichkeit, die Menge der Primzahlen mit
anderen unendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen zu
vergleich. Da beispielsweise die Reihe
∞
X
1
n2
n=1
einen endlichen Wert besitzt, können wir schließen, dass es mehr“
”
Primzahlen als Quadratzahlen gibt, die Primzahlen in den
natürlichen Zahlen also dichter liegen als die Quadratzahlen.
Von Riemann stammt die Idee, die Funktion
s
X
Y
1
1 −1
=
1− s
ns
p
n=1
p∈P
nicht nur für reelle s > 1, sondern für beliebige komplexe Werte zu betrachten, um
mehr über die Primzahlverteilung in Erfahrung zu bringen.
Um dies im Detail nachvollziehen zu können, benötigen wir noch
einige Grundlagen über komplexe Zahlen.
Die komplexe Exponentialfunktion
Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion für beliebige
x ∈ R eine Reihendarstellung der Form
exp(x)
=
∞
X
xn
n=0
n!
besitzt. In diese Reihe können auch komplexe Werte eingesetzt
werden. Man erhält auf diese Weise die komplexe
Exponentialfunktion. Diese hängt auf direkte Weise mit den
trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus zusammen.
Funktionsgraphen von sin(x) und cos(x)
Für beliebiges ϕ ∈ R gilt
exp(iϕ)
=
∞
X
(iϕ)n
n=0
∞
X
(iϕ)4n
n=0
(4n)!
+
n!
=
∞
∞
∞
X
X
X
(iϕ)4n+1
(iϕ)4n+2
(iϕ)4n+3
+
+
(4n + 1)!
(4n + 2)!
(4n + 3)!
n=0
n=0
=
n=0
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
ϕ4n
(−1)ϕ4n+2
ϕ4n+1
ϕ4n+3
+
+i
+ (−i)
(4n)!
(4n + 2)!
(4n + 1)!
(4n + 3)!
n=0
n=0
n=0
n=0
wobei im letzten Schritt i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i und i 4 = 1
verwendet wurde.
Das kann weiter umgeformt werden zu
X
(−1)n
n=0
n gerade
i
X
(−1)n
n gerade
∞
X
ϕ2n
+
(2n)!
∞
X
ϕ2n+1
+i
(2n + 1)!
n=0
X
(−1)n
n ungerade
X
n ungerade
(−1)n
∞
X
ϕ2n
+
(2n)!
n=0
∞
X
ϕ2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞
∞
X
X
ϕ2n+1
ϕ2n
(−1)n
+i
(−1)n
(2n)!
(2n + 1)!
n=0
n=0
=
Sinus- und Kosinusfunktion besitzen die Reihendarstellungen
cos(ϕ) =
∞
X
n=0
ϕ2n
(−1)
(2n)!
n
und
∞
X
ϕ2n+1
sin(ϕ) =
(−1)n
.
(2n + 1)!
n=0
Somit erhalten wir insgesamt
exp(iϕ)
=
e iϕ
=
cos(ϕ) + i sin(ϕ).
In die Reihen für Sinus und Kosinus lassen sich auch komplexe
Werte einsetzen. Man erhält so die komplexe Sinus- und
Kosinusfunktion.
Die komplexe Exponentialfunktion liefert eine neue Möglichkeit zur
Darstellung komplexer Zahlen.
Satz
Ist z ∈ C, z = x + iy mit Betrag |z| = 1, also x 2 + y 2 = 1, dann
gibt es ein eindeutig bestimmtes ϕ ∈ [0, 2π[, so dass
z
=
cos(ϕ) + i sin(ϕ)
=
e iϕ
erfüllt ist.
Folgerung
Jede komplexe Zahl z besitzt eine eindeutige Darstellung der Form
z
=
re iϕ
mit
r ∈ R+ ,
ϕ ∈ [0, 2π[ .
Den Winkel ϕ nennt man das Argument von z.
Beweis:
Sei r = |z|. Dann ist z1 = r −1 z eine komplexe Zahl vom Betrag 1.
Folglich gibt es ein ϕ ∈ [0, 2π[ mit z1 = e iϕ , und wir erhalten
z = rz1 = re iϕ .
Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion können wir komplexe
Exponentiation zu einer beliebigen Basis a ∈ R+ definieren. Man
setzt
as = e s ln(a)
Für s ∈ R stimmt dies mit der alten Definition überein.
Im folgenden werden wir an Stelle von reellen Funktionen
f : R → R des öfteren komplexe Funktionen der Form C → C.
Frage: Wie lässt sich eine solche Funktion graphisch darstellen?
Weil Definitions- und Bildbereich der Funktion zweidimensional
sind, bräuchte man für die Darstellung des Funktionsgraphen
vier Dimensionen!
Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Problem zu lösen.
Sei f : C → C eine komplexe Funktion und z ∈ C.
I Für den Definitionsbereich verwendet man die
zweidimensionale Ebene. Man hat dann noch eine Dimension,
die Höhe, zur Verfügung. Diese verwendet man, um nur den
Betrag |f (z)|, oder um Real- oder Imaginärteil von f (z)
darzustellen.
I Wird nur |f (z)| dargestellt, geht natürlich Information über
die Funktion verloren, nämlich das Argument von f (z). Dies
kann aber mit Hilfe der Farbe des Funktionsgraphen
dargestellt werden.
I Man kann die gesamte Funktion auch nur zweidimensional
darstellen, indem man den Betrag nicht durch die Höhe,
sondern durch die Helligkeit zum Ausdruck bring.
Betrachten wir einige Darstellungen der komplexen
Kosinusfunktion.
Darstellung der Funktion z 7→ | cos(z)|
Darstellung der Funktion z 7→ Im cos(z)
zweidimensionale Darstellung von z 7→ cos(z)
zweidimensionale Darstellung von z 7→ z 2
zweidimensionale Darstellung von z 7→ e z
Wir können nun definieren
Definition
Die Riemannsche ζ-Funktion ist für s ∈ C mit Re(s) > 1 gegeben
durch
∞
X
Y
1 −1
−s
ζ(s) =
n
=
1− s
p
n=1
p∈P
Die Gleichung rechts haben wir bereits für s ∈ R bewiesen. Aber
warum ist die Einschränkung Re(s) > 1 notwendig? Dazu schauen
wir uns den Betrag der Summanden an.
Ist n ∈ N, s ∈ C mit σ = Re(s), t = Im(s), dann gilt
|n−s |
=
|e −s ln(n) |
|e −σ ln(n) | · |e −it ln(n) |
|e −(σ+it) ln(n) |
=
=
e −σ ln(n) · 1
=
=
n−σ
Wir haben bereits gesehen, dass die Summe
∞
X
n−σ
n=1
für σ > 1 konvergiert, aber für σ ≤ 1 divergiert. Dies bedeutet,
dass die Summe
∞
X
n−s
n=1
nur für Re(s) > 1 wirklich einen komplexen Wert liefert! Leider ist
dieser Bereich der Zetafunktion aus zahlentheoretischer Sicht nicht
besonders interessant. Auch die graphische Darstellung in diesem
Bereich wirkt nicht besonders spektakulär.
zweidimensionale Darstellung der ζ-Funktion im Bereich Re(s) > 1
dreidimensionale Darstellung von s 7→ Re ζ(s) im Bereich
Re(s) > 1
Wie wir aber sehen werden, lässt sich die Definition der ζ-Funktion
auf (fast) die gesamte komplexe Ebene ausdehnen. In diesem
Bereich zeigt die Funktion ein deutlich interessanteres Verhalten.
zweidimensionale Darstellung der ζ-Funktion im Bereich
−5 < Re(s) < 5
dreidimensionale Darstellung von s 7→ Re ζ(s) im Bereich
−5 < Re(s) < 5
Wie ist es möglich, dass sich die ζ-Funktion auf fast ganz C
definieren lässt, obwohl die Darstellung
ζ(s)
=
∞
X
n−s
n=1
im Bereich Re(s) ≤ 1 gar keine Werte liefert? Hier kommt eine
wichtige Eigenschaft der ζ-Funktion ins Spiel, nämlich die
komplexe Differenzierbarkeit.
Im Mathematikunterricht der Oberstufe wird der Begriff der
Differenzierbarkeit für reelle Funktionen behandelt. Eine Funktion
f : R → R ist an einer Stelle x ∈ R differenzierbar, wenn der
Grenzwert
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lim
h→0
h
existiert. Anschaulich bedeutet dies, dass der Funktionsgraph im
Punkt (x, f (x)) eine Tangente besitzt, und f 0 (x) ist die Steigung
dieser Tangente.
Ableitung der Kosinusfunktion an der Stelle 0
Die komplexe Differenzierbarkeit einer Funktion f ist völlig analog
definiert, nämlich durch den Grenzwert
f 0 (z)
=
f (z + h) − f (z)
.
h→0
h
lim
Der einzige Unterschied besteht darin, dass z und h komplexe
Zahlen sind. Der Punkt h nähert sich dem Nullpunkt also in der
komplexen Ebene!
Beispiel:
Die Funktion f : C → C, z 7→ z 2 ist überall komplex
differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle 1 + i erhält man durch
die Rechnung
f 0 (1 + i)
=
1
(f (1 + i + h) − f (1 + i))
h→0 h
lim
1
((1 + i + h)2 − (1 + i)2 )
h→0 h
lim
lim
h→0
lim
h→0
=
1
((1 + i)2 + 2h(1 + i) + h2 − (1 + i)2 )
h
1
(2h(1 + i) + h2 )
h
=
lim (2(1 + i) + h)
h→0
=
=
=
2 + 2i.
Genauso kann man nachrechnen, dass f 0 (z) = 2z für alle z ∈ C
erfüllt ist. Bis hierhin gibt es also keinen Unterschied zur reellen
Differenzierbarkeit.
Allerdings besitzen komplex differenzierbare Funktionen im
Vergleich zu den reell differenzierbaren einige sehr verblüffende
Eigenschaften, die sie von den reell differenzierbaren deutlich
unterscheiden.
Satz (VEKDF, Teil I)
Stimmen zwei komplex differenzierbare Funktion f , g : C → C nur
auf einem winzigen Bereich der komplexen Ebene überein, dann
sind sie auf ganz C gleich.
Dieses Ergebnis ist unter den Namen Identitätssatz oder
Permanenzprinzip bekannt. Beispielsweise gibt es nur eine einzige,
komplex differenzierbare Funktion f : C → C mit der Eigenschaft
f (x)
=
x2
für x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1
,
nämlich f (z) = z 2 . Die Funktion ist durch die Werte auf dem
Intervall [0, 1] eindeutig festgelegt.
Man bezeichnet deshalb komplex differenzierbare Funktionen auch
als holomorph: Ein winziger Teil der Funktionswerte enthält die
Information über die gesamte Funktion!
Für differenzierbare Funktionen f : R → R gilt das
Permanenzprinzip nicht. Auch wenn man f (x) für x ∈ [0, 1] kennt,
weiß man noch nichts über den Wert f (5).
Wenden wir uns einer weiteren wichtigen Eigenschaft der
holomorphen Funktionen zu.
Definition
Eine Potenzreihe ist eine komplexe Funktion der Form
f (z)
=
∞
X
an (z − a)n
n=0
mit a ∈ C und an ∈ C für alle n ∈ N.
Beispiele für Potenzreihen haben wir bereits gesehen, etwa die
komplexe Exponentialfunktion
exp(z)
=
∞
X
zn
n=1
n!
=
1 + z + 21 z 2 + 61 z 3 + ...
Die Potenzreihe der Exponentialfunktion konvergiert in jedem
Punkt, d.h. das Einsetzen beliebiger komplexer Werte liefert immer
ein endliches Ergebnis. Bei andere Reihen braucht dies nicht der
Fall zu sein. Beispielsweise konvergiert die Potenzreihe
∞
X
zn
n=0
nur für komplexe Zahlen z mit |z| < 12 , also für alle Zahlen im
offenen Kreis vom Radius 12 .
Allgemein gilt: Entweder eine Potenzreihe konvergiert auf ganz C,
oder sie konvergiert auf einer offenen Kreisscheibe mit einem
gewissen Radius r > 0. Hierbei kann im Prinzip Radius r
vorkommen.
Satz (VEKDF, Teil II)
Sei D ⊆ C und f : D → C eine holomorphe Funktion. Dann ist f
in einer Umgebung von jedem Punkt a ∈ D durch eine Potenzreihe
darstellbar. Das bedeutet: Es gibt einen Kreis K um a und
a0 , a1 , ... ∈ C, so dass
f (z)
=
∞
X
an (z − a)
n=0
für alle z ∈ K erfüllt ist.
Dabei kann es vorkommen, dass die Potenzreihe auf der rechten
Seite sogar auf einem Kreis K konvergiert, der über den
Definitionsbereich D der Funktion hinausgeht! Auf diese Weise
kann man den Definitionsbereich von f erweitern. Man bezeichnet
diesen Vorgang als analytische Fortsetzung der Funktion f .