zahlen und geldbeträge bilden und ordnen 3 - SINUS

ZAHLEN UND GELDBETRÄGE BILDEN UND ORDNEN 3
Thema:
Klasse:
Material:
Zeitbedarf:
Bearbeitung:
Dekadische Struktur im Zahlraum bis 1000;
Kombinatorik
3. Klasse (nach Zahlenbuch S. 24 und 28)
Stellentafel und Legeplättchen;
Spielgeld: 100er-Noten, 10er-Noten, 1 Fr. (1 Euro-) Münzen
2 mal 2 Lektionen
S. Tschopp, E. Atz Wolfensberger, E. Hengartner
Aufgabe
Zahlen an der Stellentafel bilden
H
Z
E
a)
Nimm immer drei Plättchen.
Welche Zahlen kannst du darstellen?
Ordne sie nach der Größe.
Wie viele verschiedene Zahlen sind es?
b)
Versuche jetzt dasselbe mit immer zwei Plättchen,
mit einem Plättchen, mit fünf, sechs, ... acht Plättchen.
Wie viele Zahlen kannst du jeweils bilden?
c)
Dividiere die gefundenen Zahlen durch 9: Was fällt auf?
d)
Was geschieht, wenn du noch den Stellenwert für Tausender dazu nimmst?
Geldbeträge bilden
a)
Nimm immer drei Geldstücke.
Welche Geldbeträge kannst du bilden?
Ordne sie nach der Grösse.
Wie viele verschiedene Beträge sind es?
b)
Versuche jetzt dasselbe mit immer zwei Stücken,
mit einem Stück, mit fünf, sechs, … acht Stücken.
Wie viele Beträge kannst du jeweils legen?
c)
Teile die Geldbeträge unter neun Kinder: Was fällt dir auf?
d.
Was geschieht, wenn du noch Tausendernoten dazu nimmst?
(nur SFr,)
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Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B. und Primarschulteam Lupsingen
Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte - Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht
Klett und Balmer Verlag Zug. 2006. Seiten 57-60
Worum geht es?
„Zahlen an der Stellentafel bilden“ und „Geldbeträge bilden“ sind zwei
Lernumgebungen mit gleicher Zielsetzung und Struktur. Zunächst stehen Lernziele
der Zahlraumerweiterung im Zentrum: Im Tausenderraum werden Zahlen mit
Legeplättchen dargestellt und Geldbeträge gebildet und geordnet. Ziel ist der Aufbau
von Größenvorstellungen von Zahlen. Die Zahlen sind an der Stellentafel durch
Plättchen abstrakter repräsentiert als mit den dekadisch gewählten Geldwerten wo
jeder Stellenwert durch die Münzen, die Zehnernoten und die Hunderternoten
unterschieden wird. Für das intendierte Lernziel – den Aufbau von
Grössenvorstellungen – mag dies von Vorteil sein und langsameren Kindern
entgegenkommen. Für Einsichten in Strukturen und die Gestaltung von
Gedankenprotokollen scheint aber die Darstellung mit Plättchen an der Stellentafel
einfacher, wie in den Schülerdokumenten deutlich wird.
Eine Übersicht über die mit unterschiedlicher Anzahl Plättchen bzw. Geldstücken
gelegten und geordneten Zahlen bzw. Geldbeträge soll die Struktur verdeutlichen:
mit 1
mit 2
mit 3
mit 4
100
010
001
200
110
101
020
011
002
300
210
201
120
111
102
030
021
012
003
400
310
301
220
211
202
130
121
112
103
040
031
022
013
004
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
mit n ≤ 9
1
2
3
4
5
1+2+3+4+5=15
Die Anzahl möglicher Zahlen oder Geldbeträge wächst gemäss der fortgesetzten
Addition der natürlichen Zahlen. Es entsteht die Folge der Dreieckszahlen. Am
Beispiel „mit 4 „ wird in der Übersicht durch Hervorheben der Hunderter die
Bildungsregel sichtbar: Mit 4 Hundertern gibt es eine Möglichkeit, mit 3 Hundertern
zwei, mit 2 Hundertern dann drei, mit 1 Hunderter vier und mit 0 Hunderter 5
verschiedene Zahlen oder Geldbeträge, das macht 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
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Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B. und Primarschulteam Lupsingen
Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte - Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht
Klett und Balmer Verlag Zug. 2006. Seiten 57-60
Zu Aufgabe d) Nimmt man die Tausender als Stellenwert oder als Note hinzu, so
wächst die Anzahl möglicher Zahlen bzw. Beträge gemäss der fortgesetzten Addtion
der Dreieckszahlen:
mit 1
mit 2
mit 3
mit 4
1+3=4
1+3+6=10
1+3+6+10=20
1+3+6+10+15=35 usw.
Zu Aufgabe c) Bei alle Zahlen bzw. Geldbeträgen, die mit gleicher Stückzahl gebildet
sind, entsteht bei der Division durch 9 der gleiche Rest. Bei den zehn Zahlen /
Beträgen zum Beispiel, die mit 3 Stücken gebildet bzw. mit drei Plättchen gelegt
wurden, ist der Rest stets drei. Erklärung:
H
Z
E
H
Z
E
H
Z
E
Ich lege mit den drei Plättchen zunächst die Zahl drei. Verschiebe ich nun ein
Plättchen nach zehn, gebe ich „9 dazu“. Mache ich aus einem Einer einen Hunderter,
gebe ich „99 dazu“. Und aus einem Zehner einen Hunderter machen heisst „90
dazu“. So entstehen beim Verschieben der Plättchen stets Neunerdifferenzen..
Die der Aufgabe c) und d) zugrunde liegende Struktur öffnet ein mögliches
Entdeckungsfeld für Schnellere. Sie ist kein Lernstoff, sondern eine zusätzliche
Herausforderung für einige Kinder.
Wie kann man vorgehen? (Unterrichtsprotokoll von Salome Tschopp)
Geldbeträge bilden (1 bis 2 Lektionen):
Die Lernumgebung mit den Geldbeträgen wählte ich zuerst, weil die Kinder konkret
mit Spielgeld Beträge bilden können. Ich habe sie im Kreis eingeführt: Je drei
Einfränkler, drei Zehnernoten und drei Hunderternoten lagen in der Mitte.
Abwechselnd nahm ein Kind jeweils drei Geldstücke, berechnete den Betrag und
notierte ihn an der Wandtafel. Wir besprachen, wie man die Arbeit darstellen und die
nach Grösse geordneten Beträge notieren kann. Dann arbeiteten die Kinder allein
oder zu zweit. Sie hatten Spielgeld auf den Schülerpulten zur Verfügung. Die meisten
arbeiteten aber ohne das Spielgeld, also abstrakt und zudem recht systematisch.
Zahlen an Stellentafel bilden (etwa eine Woche später; 1 bis 2 Lektionen)
An der Wandtafel habe ich eine dreistellige Zahl mit Magnetplättchen dargestellt. Ein
Kind notierte die Zahl daneben. Wir bildeten weitere Zahlen mit gleich vielen
Plättchen und notierten sie. Anschliessend sollten die Kinder in Partnerarbeit
möglichst viele Zahlen mit drei Plättchen finden und notieren. Eine Stellentafel und
Plättchen standen ihnen zur Verfügung. Wir sammelten und ordneten die
gefundenen Zahlen und wir besprachen die Darstellung. Die meisten Kinder
erkannten in der weiteren Arbeit den Zusammenhang beider Lernumgebungen. Sie
fühlten sich gefordert durch das Addieren, Ordnen, Kombinieren und Darstellen im
Tausenderraum. Die Arbeit machte ihnen Spass.
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Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B. und Primarschulteam Lupsingen
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Dokumente aus der Erprobung
Julia hat zunächst Zahlen an der Stellentafel mit drei Plättchen gebildet: Von den
zehn möglichen Zahlen hat sie sieben gefunden und korrekt der Grösse nach
geordnet. Von den 21 möglichen Lösungen mit fünf Plättchen hat sie acht gefunden
und von der kleinsten zur grössten Zahl richtig geordnet. Als letztes Beispiel wählt
sie die drei Zahlen mit einem Plättchen. Auf der Ebene des Lernziels ist sie
erfolgreich.
Janick bildet zuerst Zahlen an der Stellentafel mit drei Plättchen und ordnet sie
nach der Grösse. Er hat alle zehn Zahlen gefunden. Interessant ist ein Vergleich mir
derselben Aufgabe mit Geldbeträgen: Es scheint für ihn schwieriger zu sein,
Übersicht zu bewahren.
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Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B. und Primarschulteam Lupsingen
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An der Stellentafel hingegen
versucht Janick es sogar mit 8
Plättchen. Er findet zwar nur 34 von
45 Lösungen; aber seine
Suchstrategie ist bemerkenswert: Er
beginnt mit acht Plättchen als
Hunderter und verschiebt dann
Plättchen für Plättchen zunächst an
die Zehnerstelle, dann ebenso
systematisch an die Einerstelle, bis
alle acht Plättchen dort liegen und
die Zahl 8 darstellen. Dann
verschiebt er wiederum systematisch
die Plättchen von der Einer- zur
Zehnerstelle und gewinnt so weitere
acht Zahlen. Das Lernziel – Ordnen
von Zahlen nach Grösse – tritt in den
Hintergrund zugunsten eines
systematischen Bildens und
Darstellens von Zahlen.
Cordula stellte zunächst wie Janick
Zahlen mit drei, dann mit vier
Plättchen an der Stellentafel dar und
ordnete sie korrekt (ist hier nicht
abgebildet). Die Zahlen mit 5 und mit
8 Plättchen schreibt sie sodann
geordnet von der grössten zur
kleinsten Zahl auf, ohne auf das
Arbeitsmittel der Stellentafel
zurückzugreifen. Sie hat die
kombinatorische Regel der
Zahlenbildung völlig begriffen.
Cordula, Nife und Anna haben die
Zusatzaufgabe c. gelöst: „Dividiere
die gefundenen Zahlen durch 9. Was
fällt auf?“ (Die geforderten
Divisionen gehören ins 4.
Schuljahr!). Alle drei haben
zutreffend beschrieben, dass mit
gleicher Anzahl Plättchen bzw.
Geldstücken derselbe Rest entsteht.
Die Bemerkung „weil 5 Geldstücke
(bzw. Plättchen) sind“ ist vermutlich
auch als Teil der Beschreibung und
nicht als Erklärung zu verstehen.
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Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B. und Primarschulteam Lupsingen
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