Mathematik lehren und lernen – vom
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Mathematik lehren und lernen – vom wohlverstandenen Fach aus http://www.tu-dortmund.de/mathe2000 m a th e 2 0 0 0 Wie kann man die in der Mathematik liegenden Möglichkeiten so nutzen, dass die Kinder besser lernen und die Arbeit mit ihnen erleichtert wird? Worauf kommt es dabei wesentlich an? Entscheidende Frage: Was ist Mathematik? Igeldreiecke Igeldreiecke 2 7 4 Igeldreiecke 2 13 7 4 Igeldreiecke 13 Partition 11 1 1 1 13 13 13 10 1 2 13 13 4 8 7 1 2 9 2 3 8 1 2 3 13 13 13 5 9 3 7 4 7 3 13 2 1 2 3 13 13 13 5 5 6 6 6 3 4 13 13 5 5 4 6 4 5 2 4 3 1 Verteile die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 auf die fünf Kreise und berechne die inneren Zahlen. 5 2 1 4 1 3 2 4 1 3 6 12 7 10 3 5 4 2 Ist es möglich, die Zahlen so zu verteilen, dass die beiden inneren Zahlen gleich sind? 5 1 2 4 6 12 3 5 5 2 4 3 2 1 5 1 3 4 5 1 4 3 2 5 2 4 3 2 1 5 1 3 4 1 5 4 9 9 3 2 5 2 4 3 2 1 5 1 3 4 1 4 9 9 3 2 5 2 2 4 3 5 1 5 1 3 4 1 2 4 9 9 3 2 5 2 1 4 3 5 5 1 3 4 4 5 8 8 1 4 9 9 3 1 3 5 2 2 5 2 1 3 4 Typische Kennzeichen echter Mathematik Gegeben ist immer ein mathematischer Rahmen: – „Elemente“, die mathematische Eigenschaften haben und zwischen denen mathematische Beziehungen bestehen – mathematisch bestimmte Regeln für das Operieren mit den Elementen Ziel der mathematischen Tätigkeit: – (Kreative) Suche nach Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten („Muster“) – (Kreative) Nutzung der Muster zur Lösung von Aufgaben Mathematik ist die Wissenschaft von (schönen und nützlichen) Mustern, die aktiv und interaktiv erforscht und angewandt werden. Wie kann man die in der Mathematik liegenden Möglichkeiten so nutzen, dass die Kinder besser lernen und die Arbeit mit ihnen erleichtert wird? Worauf kommt es dabei wesentlich an? 1. Ganzheitlicher Einstieg in Zahlräume 2. Durchgehende Betonung der Rechengesetze 3. Systematische Durchführung des Blitzrechenkurses 4. Natürliche Differenzierung bei produktiven Übungen 5. Anleitung zum möglichst selbständigen Umgang mit dem Buch (6. Etablierung der Frühförderung) 1. Ganzheitlicher Einstieg in Zahlräume Beispiel: Zwanzigerraum im 1. Schuljahr Warum eine ganzheitliche (nicht gestufte) Einführung? – Förderung des Verständnisses – Nutzung der Lernvoraussetzungen – Authentische Begegnung mit dem Fach Zur Sicherheit: mehrere Durchgänge durch den Zwanzigerraum Von zentraler Bedeutung am Anfang: Strukturierte Anzahlerfassung („Rechnendes Zählen“) Anzahlen dürfen nicht nur als Ergebnisse von Abzählungen, sondern müssen auch als Ergebnisse von Zerlegungen und Zusammensetzungen verstanden werden. Neues Material: Sieben auf einen Blick. Lernspiele zum rechnenden Zählen 2. Durchgehende Betonung der Rechengesetze 1. Kommutativgesetz der Addition: a+b=b+a 2. Assoziativgesetz der Addition: a + (b + c) = (a + b) + c 3. Kommutativgesetz der Multiplikation: a·b=b·a 4. Assoziativgesetz der Multiplikation: a · (b · c) = (a · b) · c 5. Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d Beispiel: Einmaleins Darstellung der Multiplikation: Rechteckige Punktfelder Mengendarstellung 3·4 Lineare Darstellung am Zahlenstrahl 3+3+3+3 4+4+4 4·3 3·4 Kommutativgesetz b a b a a·b = b·a Assoziativgesetz b a a · b Kreise a Zeilen Assoziativgesetz b a c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c a · b mal c (a · b) · c Assoziativgesetz b a c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c a · b mal c (a · b) · c = a · (b · c) a mal b · c Distributivgesetz 7·9=7·5+7·4 7·9=5·6+5·3+2·6+2·3 Vergleich mit anderen Darstellungen Mengendarstellung 3·4 4·3 Lineare Darstellung am Zahlenstrahl Gravierender Nachteil der beiden Darstellungen: Mit ihnen lassen sich die Rechengesetze nicht begründen und beim Lernen und bei Beweisen nicht zum Tragen bringen. Einfache Aufgaben: Aufgaben mit den Multiplikatoren 1, 2, 5, 10 (Kernaufgaben) Wichtig bei der Einführung und bei grundlegenden Übungen: Qualität vor Quantität! Weniger Aufgaben, die gründlich gelöst und besprochen werden, sind besser, als viele Aufgaben, die schematisch gelöst werden. Auch das Einmaleins wird in mehreren Durchgängen behandelt, insbesondere an der Einspluseinstafel: Anmerkung – zur Bildung von Lerngruppen in altersdurchmischten Klassen Hierzu: Broschüre „Mathematikunterricht in jahrgangsbezogenen und jahrgangsgemischten Klassen – mit dem ZAHLENBUCH“ (herunter zu laden von „mathe 2000“-Homepage www.tu-dortmund.de/mathe2000) 4. Systematische Durchführung des Blitzrechenkurses Übersicht über den Blitzrechenkurs Rechnen bis 20 Rechnen bis 100 Rechnen bis 100 Rechnen bis 1 M Wie viele? Wie viele? Welche Zahl? Einmaleins - auch umgekehrt Zahlen lesen Zahlenreihe Zählen in Schritten Verdoppeln/Halbieren im Hunderter Ergänzen bis 1 M Zerlegen Ergänzen zum Zehner Wie viele? Stufenzahlen teilen Ergänzen bis 10/20 Ergänzen bis 100 Zählen in Schritten Subtraktion von Stufenzahlen Verdoppeln 100 teilen Ergänzen bis 1000 Zählen in Schritten Einspluseins Verdoppeln/ Halbieren 1000 teilen Einfache Plus- und Minusaufgaben Kraft der Fünf Einfache Plusaufgaben Verdoppeln/ Halb. im Tausender Verdoppeln/ Halbieren Einsminuseins Einfache Minusaufgaben Einfache Plus- und Minusaufgaben Stelleneinmaleins Halbieren Zerlegen Mal 10/durch 10 Einfache Malaufgaben Zählen in Schritten /Mini-Einmaleins Einmaleins am Feld / am Plan Zehnereinmaleins Einfache DivisionsAufgaben Thematische Linien des Blitzrechenkurses: Wie viele? Welche Zahl? Zahlenreihe / Zählen in Schritten Zerlegen (additiv und multiplikativ) Ergänzen Verdoppeln/Halbieren Einfache Plus- und Minusaufgaben Einfache Mal- und Divisionsaufgaben Der Kurs stützt grundlegende Zahl- und Operationsvorstellungen und ist damit gleichzeitig ein schlüssiges Diagnose- und Förderprogramm. Rechnen bis 100 Blitzrechnen im 2. Schuljahr Wie viele? Welche Zahl? Zählen in Schritten Ergänzen zum Zehner Ergänzen bis 100 100 teilen Verdoppeln/ Halbieren Einfache Plusaufgaben Einfache Minusaufgaben Zerlegen Einmaleins am Feld / am Plan Kartei Blitzrechnen. Basiskurs Zahlen. Teile 1 - 4 CD-ROM Blitzrechnen 1/2 3/4 Neue Reihe zusätzlicher Arbeitshefte: „Verstehen und Trainieren. Grundaufgaben zum Zahlenbuch“ CD-ROM (Selbst)-Kontrolle der Übungsfortschritte durch a) Testmodule für die Übenden b) „Auswertungstool“ für Lehrkräfte Empfehlungen für die Organisation des Blitzrechnens: Aufklärung Den Kindern und den „Eltern“ die Bedeutung des Kurses, die Notwendigkeit fortgesetzten Übens und die Erreichbarkeit der Ziele bewusst machen (nur 10 Übungen pro Schuljahr) Einführung fester Gewohnheiten im Üben, unter Nutzung der Kartei und der CD-ROM Rekrutierung und Einweisung von „Rechentrainern“, zumindest für rechenschwache Kinder Kontrolle der Übungsziele Blitzrechenpass Doppelte Funktion des Blitzrechenkurses Diagnose- und Förderprogramm Automatisierungsprogramm Broschüre „Blitzrechenoffensive!“ Anregungen zur intensiven Förderung von Basiskompetenzen Download von Homepage Klett und Balmer Weitere Basiskurse: Kartei Sachrechnen im Kopf. Basiskurs Größen. 3/4 1/2 Kartei Geometrie im Kopf. Basiskurs Formen. Anmerkungen: – zur Förderung von Kindern, die sich schwerer tun – zur Stoffverteilung 5. Natürliche Differenzierung bei produktiven Übungen HarmoS Grundlegendes Üben Kompetenzbereiche Zahl und Variable Raum und Form Größen und Maße Funkt. Zusammenhänge Daten und Zufall Basiskompetenzen (z.B. Einmaleins) Automatisierendes Üben Handlungsaspekte – Wissen, Erkennen, Beschreiben – Operieren und Berechnen – Verwenden von Instrumenten – Darstellen und Kommunizieren – Mathematisieren, Modellieren – Argumentieren und Begründen – Interpretieren und Reflektieren der Resultate – Erforschen und Explorieren Produktives Üben Lernumgebung zur produktiven Übung der schriftlichen Addition (Neues) ZAHLENBUCH 3, S. 85 und S. 121 2 3 4 5 6 7 Bilde aus diesen Ziffernkarten auf verschiedene Weisen zwei dreistellige Zahlen und addiere sie. Größtes, kleinstes Ergebnis? Finde Ergebnisse, die nahe beieinander liegen. Ist es möglich, runde Zahlen wie 700, 800, 900, 1000 als Ergebnisse zu erhalten? 5 2 7 1 6 4 3 1 1 1 7 0 246 + 357 11 603 642 +1753 1395 725 +1 463 1188 643 +1572 1 1215 634 +1572 1 1206 245 +1763 1 1008 635 + 1472 1 1107 564 + 1237 1 801 543 +1762 1 1305 642 + 357 999 465 + 237 11 702 643 + 257 11 900 603 702 801 900 1008 1107 1206 1305 Fragen: Warum ist 900 als Ergebnis möglich, während 700, 800, 1000, 1100 and 1200 nicht als Ergebnisse möglich erscheinen? Welche Besonderheiten weisen die möglichen Ergebnisse auf? Analyse mit Hilfe der Stellenwerttafel Z E Z 725 +1436 1 1161 E Z 725 +1436 1 1161 E Z 725 +1436 1 1161 E 27 Plättchen Z E 725 +1436 1 1161 563 + 274 1 837 27 Plättchen Z E 27 Plättchen Z 725 +1436 1 1161 E 27 Plättchen Z 725 +1436 1 1161 E 27 Plättchen Z 725 +1436 1 1161 E Z 725 +1436 1 1161 E 18 Plättchen Z 725 +1436 1 1161 E Z 725 +1436 1 1161 E 9 Plättchen 1+1+6+1=9 563 + 274 1 837 Z E 27 Plättchen 563 + 274 1 837 Z E 563 + 274 1 837 Z E 563 + 274 1 837 Z E 18 Plättchen 8 + 3 + 7 = 18 Erkenntnis: Bei jedem Übertrag werden es 9 Plättchen weniger. Folgerung: Als Ergebnisse erhält man nur Zahlen, die sich mit 9, 18, 27 oder 36 Plättchen legen lassen (m.a.W.: Zahlen mit der Quersumme 9, 18, 27 oder 36). Wie oft die Plättchenzahl um 9 vermindert wird, hängt von der Anzahl der Überträge ab. Beliebige Additionsaufgabe: 3457 + 68905 11 1 72362 3 + 4 + 5 + 7 = 19 6 + 8 + 9 + 0 + 5 = 28 28 + 19 = 47 3 Überträge: 3 · 9 = 27 47 – 27 = 20 7 + 2 + 3 + 6 + 2 = 20 Operativer Beweis der Neunerprobe für die Addition Neue Reihe zusätzlicher Arbeitshefte: „Probieren und Kombinieren. Igelaufgaben zum Zahlenbuch“ Anmerkung: – zur Differenzierung 5. Anleitung zum möglichst selbständigen Umgang mit dem Buch durch – Lehr-/Lernformate, die sich ständig wiederholen z.B. Rechenwege, einfache Aufgaben, Aufgaben verändern (Von einfachen zu schwierigen Aufgaben) 5. Anleitung zum möglichst selbständigen Umgang mit dem Buch durch – Lehr-/Lernformate, die sich ständig wiederholen z.B. Rechenwege, einfache Aufgaben, Aufgaben verändern (Von einfachen zu schwierigen Aufgaben) – durchgehende Übungsformate: Zahlenmauern, Rechendreiecke, Schöne Päckchen, Schöne Päckchen?, Zauberquadrate – durchgehende inhaltliche Linien – wenige häufig verwendete Anschauungsmittel, einfache Sprache Empfehlung: Einrichtung von Kleingruppen nach japanischem Vorbild 6. Etablierung der Frühförderung Zahlenbuch für die frühkindliche Bildung Spielebücher Malhefte Handbuch Worlddidac Award Zentrale inhaltliche Ziele der mathematischen Frühförderung: Förderung der Formbewusstheit Förderung der numerischen Bewusstheit Grundformen unterscheiden Schulung der Feinmotorik Anfang der Zahlenreihe kennen und Zahlaspekte unterscheiden Schulung der strukturierten Anzahlerfassung Würfelspiel “Voll besetzt” Strukturierung der Würfelbilder: Denkspiel “Plätze tauschen” vh Schlusswort: Warnung vor „standardisation by a low standard“ (G.K. Chesterton in einem Vortrag 1927 über „Culture and the Coming Peril“) Plädoyer für „swissness“ auch im Bildungswesen [email protected]
