Torsten Leddig
Mathias Arbeiter
26.Oktober 2004
Betreuer: Dr.Holzhüter
Physikalisches Praktikum
3. Semester
- passive lineare Netzwerke -
1
Aufgabe:
1. Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung:
(a) Messen Sie an einer Reihenschaltung aus R, L und C als Funktion der Frequenz gleichzeitig
die Teilspannungen und die Phasenverschiebung zwischen Eingangsspannung und Strom.
(b) Stellen Sie die Resultate auf einfachlogarithmischen Papier dar und diskutieren Sie den Verlauf!
(c) Ermitteln Sie aus den grafischen Darstellungen die Resonanzfrequenz f0 , die Güte Q, die
Bandbreite ∆f und die Phasenwinkel ϕ bei fgu und fgo !
Vergleichen Sie diese Werte mit den aus den Bauelementen gewonnenen.
2. Schaltverhalten der Netzwerke:
(a) Die Reihenschaltung aus Aufgabe 1 ist an eine Rechteckspannung mit f << f0 anzuschließen.
Für unterschiedliche Dämpfungen sind die Spannungsverläufe an R, L und C zu oszillografieren, darzustellen und zu diskutieren!
(b) Für den Schwingfall ist das logarithmische Dekrement experimentell und rechnerisch zu bestimmen!
(c) Bauen Sie eine Reihenschaltung aus R und C auf.
Oszillografieren Sie die Spannungsverläufe an R und C für τ = R · C <, =, > ti (ti = halbe
Schwingungsdauer der angelegten Rechtecksspannung).
Diskutieren Sie die experimentellen mit den theoretisch zu erwartenden Kurven (Berechnung
aus Bauelementdaten). Berücksichtigen Sie dabei den Innenwiderstand des Generators mit
Ri = 50Ω
Vorbetrachtung:
Widerstände im Wechselstromkreis:
U
I
• Ohmscher Widerstand:
R=
• Induktiver Widerstand:
XL =
• Kapazitiver Widerstand:
• Blindwiderstand
U
=ω·L
I
XC =
(bei einer Spule)
U
1
=
I
ω·C
1
ωC
p
Z = R2 + X 2
X =ω·L−
• im Reihenschwingkreis:
Begriffe:
• Güte Q:
• Bandbreite: Differenz zwischen Frequenzwerten , bei denen die mittlere Leistung auf die Hälfte ihres
Maximalwertes absinkt
• Impulsdauer: Zeitintervall zwischen ansteigender und abfallender Impulsflanke, gemessen an der
vertikalen 50% - Marke der Signalamplitude
• Tastverhältnisse: Verhältnis Impulsdauer zu Periodendauer
2
1.1. Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung:
Vorüberlegung:
• Eine Maximum bei den Spannungen kommt nicht bei jedem Widerstand zustande
• der Grenzwiderstand Rgr ist der Widerstand bei dem gerade noch ein Maximum auftritt
• ⇒ unser gewählter Widerstand muss geringer sein, als dieser Grenzwiderstand
Rgr =
r
2L
C
C = 10nF
L = 33mH
r
⇒ Rgr =
2 · 33mH
= 2569Ω
10nF
⇒ R < Rgr
⇒ wir wählen R = 1000Ω
Versuchsaufbau:
Durchführung:
• Funktionsgenerator fungiert als Spannungsquelle mit 1V < U < 5V
• Schaltung gemäß Versuchsaufbau
• Eingangsspannung und Spannung über dem ohmschen Widerstand werden vom Oszillator gemessen
3
• Spannung über Kondensator UC und Spannung über der Induktivität UL werden mit digitalen
Vielfachmessern gemessen
• ohmsche Widerstand gemäß ⇒ Vorüberlegung einstellen
• bei konstanter Eingangsspannung U wird die Frequenz kontinuierlich verändert und die Spannungen
gemessen
• dabei sollte der Frequenzbereich so groß sein, dass eine Phasenverschiebung von ca. −90◦ - +90◦
auftritt
Messwerte:
Eingangssspannung U = 2680mV
ohmscher Widerstand der Spule RL = 293.2Ω
Frequenz f
472
717
858
1001
1162
1325
1497
1690
1921
2286
2661
3099
3342
3885
4277
4706
5000
5437
5883
6200
6605
6866
7022
7278
7462
7768
7868
7924
7987
8170
8237
8303
8403
8591
8635
8788
8937
9158
Spannung UC
2703
2710
2716
2723
2732
2742
2754
2770
2792
2830
2878
2942
2981
3080
3158
3248
3310
3396
3471
3511
3537
3537
3528
3505
3477
3418
3397
3385
3366
3310
3291
3269
3235
3170
3156
3100
3046
2961
Spannung UL
28
45
57
69
85
103
124
150
187
253
335
449
522
713
879
1087
1247
1509
1807
2028
2313
2495
2607
2774
2891
3067
3121
3150
3185
3272
3304
3333
3374
3443
3459
3507
3550
3606
Spannung UR
88
129
155
181
211
242
274
310
356
428
507
603
660
797
894
1017
1103
1234
1375
1460
1570
1633
1670
1714
1750
1770
1785
1785
1790
1800
1802
1800
1800
1803
1800
1800
1790
1775
4
Phasenversch. ϕ
-86
-84
-83
-82
-80
-79
-79
-77
-75
-75
-72
-70
-68
-64
-59
-55
-50
-45
-40
-36
-30
-24
-23
-20
-15
-11
-8
-5
-4
-1
-1
0
1
4
5
7
8
14
9424
9785
10020
10.86
11.6
12.27
13.74
14.53
16.79
18.56
22.90
26.34
32.72
37.60
43.10
50.37
62.74
2855
2712
2627
2292
2036
1822
1442
1278
930
743
465
340
209
150
105
60
9
3660
3714
3740
3769
3753
3712
3596
3529
3362
3258
3087
3007
2926
2895
2878
2874
2888
1740
1710
1680
1570
1460
1360
1180
1090
890
770
590
487
370
306
250
195
125
16
18
25
30
37
40
48
53
63
70
75
78
79
81
82
82
82
1.2. Grafische Darstellung:
• alle drei Spannungen besitzen ein Maximum
• sehr gut erkennbar sind die theoretisch vorausgesagten Verschiebungen der Resonanzfrequenzen für
Spule und Kondensator
5
• die Kurve entspricht dem erwartetem Verlauf
• der Phasensprung ist deutlich erkennbar
1.3. Kenngrößen der Schwingung:
Eigenfrequenz f0 :
abgelesener Wert aus Diagramm: f0 = 8300Hz
Berechnung: f0 =
2π
√
1
= 8761Hz
33mH 10nF
• Die Differenz zwischen errechnetem Wert und dem experimentell errechnetem Wert beträgt 461 Hz
• möglicherweise besitzen die Bauelemente nicht die angegebenen Größen
• weiterhin liegen Fehler in der Spannungsmessung vor, sowie Ablesefehler im Diagramm
Güte der Schwingung:
Bandbreite ∆f = fgo − f gu
• fgu und fgo sind die Frequenzen bei denen die mittlere Leistung auf die Hälfte des Maximalwertes
abgefallen (fgo ) bzw. angstiegen (fgu ) ist ⇒ U → √U2
6
aus dem Diagramm abgelesende Werte:
fgu = 5800Hz
fgo = 12600Hz
⇒ ∆f = 12600Hz − 5800Hz = 6800Hz
Berechnung mit experimentell ermittelten Größen:
mit Qexp =
f0
∆f
⇒
Q=
8300Ht
6800Hz
⇒ Qexp = 1.22
Berechnung mit gegebenen und errechneten Größen:
mit Qtheo =
ω0 ·L
R
1
mit ω0 = √
LC
⇒
Qtheo =
L
√
Rges · L C
Rges = 1000Ω + 50Ω + 293.2Ω = 1343.2Ω
Qtheo =
33mH
√
1343.2Ω · 33mH · 10nF
⇒ Qtheo = 1.35
• der theoretisch berechnete Wert weicht um 0.13 vom experimentell ermitteltem Wert ab
• dies entspricht einer Abweichung von ≈ 10 %
• mögliche Fehlerquellen liegen in Ableseungenauigkeiten vom Diagramm begründet, sowie ungenaue
Angaben bei den Widerständen der Bauelemente
Phasenwinkel:
abgelesene Phasenwinkel für f0 , fgu und fgo :
φf0 = 0◦
φfgu = −43◦
φfgo = 47◦
7
2.1. Spannungsverläufe im R-L-C-Schwingkreis:
Widerstand Rges = R + RL + Ri = (10 + 293 + 50)Ω = 353Ω
Die Frequenz muss niedrig sein, damit Kondensator mit ins spiel kommen kann!
Schwingkreis im Schwingfall:
Einstellungen:
L = 33mH
C = 10nF
R = 10Ω
f = 801Hz
Spannung über dem Kondensator:
• die Rechteckspannung führt zu konstanter Eingangsspannung während einer halben Periodendauer
• dadurch ist der Kondensator auf einen bestimmten, von der Eingangsspannung abhängigen, Wert
geladen
• durch die Eingangsspannung wird der Kondenator nun weiter aufgeladen (der Stromfluss sinkt),
wodurch die Spannung steigt
• während des Aufladens, wird in der Spule eine Gegenspannung induziert
• hat sich der Kondensator maximal aufgeladen, ist der Stromfluss maximal gehemmt, und in der
Spule wird keine Gegenspannung induziert
• der Kondensator beginnt sich wieder zu entladen, wodurch die Stromstärke steigt, und in der Spule
wieder eine Gegenspannung induziert wird, wodurch der Stromfluss nur langsam zunimmt
• ist der Kondensator entladen, so ist der Stromfluss maximal
• nach Entladung wird der Stromfluss wieder kleiner, wodurch sich das Magnetfeld in der Spule
ändert, sich dadurch ein Gegenfeld bildet, welches dafür sorgt, dass der Strom weiterfließt und den
Kondensator wieder auflädt
8
• dieser Schwingvorgang wiederholt sich nun ständig
• durch die konstante Eingangsspannung wird der Kondensator natürlich nicht vollständig entladen,
sondern seine Spannung sollte um einen Wert schwingen, welcher der Eingangsspannung entspricht
• die experimentell ermittelte Kurve entspricht genaue diesen theoretischen Vorbetrachtungen
Spannung über der Induktivität:
• zu Beginn der Periode, fällt über der Spule fast die komplette Eingangsspannung ab, da der ohmsche
Widerstand sehr gering ist und der Kondensator noch nicht geladen ist
• lädt sich der Kondensator auf, so wird eine Gegenspannung in der Spule induziert, die UL entgegengesetzt ist
• die Spannung UL wird somit geringer und erreicht ein Minimum, wenn der Kondensator vollständig
entladen ist
• anschließend sinkt der Stromfluss, wodurch abermals eine Gegenspannung induziert wird, die nun
jedoch so gerichtet ist, dass sie den Kondensator wieder auflädt
• die Spannung an der Spule steigt demzufolge (nur mit umgekehrtem Vorzeichen)
• der Kondensator lädt sich abermals auf, die induziert Spannung sinkt und der Schwingvorgang
beginnt von neuem
• an der experimentell ermittelten Kurve ist diese Schwingung der Spannung an der Spule sehr gut
erkennbar
9
Spannung über dem ohmschen Widerstand:
• Spannung am ohmschen Widerstand ist mit dem Strom in Phase
• anfangs fließt maximal Strom und gemäß U = R · I ist UR maximal
• steigt die Spannung über dem Kondensator und der Spule, so verringert sich die Spannung über
dem Widerstand
• bedingt durch die periodische Schwingung von UC und UL schwingt auch UR (siehe Schwingkreis
in der Erklärung von UC und UL )
Schwingkreis im überdämpftem System (Kriechfall):
Einstellungen:
L = 33mH
C = 10nF
R = 100000Ω
f = 801Hz
Spannung über dem ohmschen Widerstand:
10
• am Anfang fließt maximal Strom, so dass gemäß U = R · I die Spannung am Widerstand maximal
ist
• der Kondensator beginnt sich aufzuladen ⇒ eine Gegenspannung wird im Kondensator aufgebaut
⇒ dadurch sinkt die Spannung am ohmschen Widerstand
• da sich der Kondensator exponentielle auf- und entlädt, baut sich die Gegenspannung ebenfalls exp.
auf ⇒ UR sinkt exponentiell ab
• dadurch das der Widerstand so groß ist, kann sich der Kondensator nur sehr langsam entladen
• kippt die Spannung, so beginnt der Vorgang analog nur mit umgekehrten Vorzeichen
Spannung über dem Kondensator:
• Kondensator lädt sich auf
• aufgrund der großen Dämpfung (da großer ohmscher Widerstand) fließt nur ein geringer Strom ⇒
langsame Aufladung (asymptotische Annäherung an den Maximalwert)
• durch den sehr geringen Strom, ist der Einfluss, während des Ent- und Aufladens des Kondensators,
der Spule auf den Schwingkreis sehr klein
• beim Umpolen der Recheckspannung entlädt sich der Kondensator ebenfalls langsam exponentiell
und nähert sich dem Minimalwert an
11
Spannung über der Induktivität:
• am Anfang ist der Kondensator entladen ⇒ keine Gegenspannung ⇒ der Strom steigt von Null auf
den Maximalwert ⇒ eine Gegenspannung wird in der Spule induziert
• der Kondensator beginnt sich nur langsam zu entladen ⇒ geringe Änderung des Magnetfelds ⇒
induzierte Gegenspannung sinkt langsam ab
• ist der Kondensator auf- bzw. entladen und wird die Recheckspannung umgepolt, dann ändert sich
der Strom und damit das Magnetfeld maximal und die induzierte Spannung steigt (für einen kurzen
Moment) schnell an, um dann langsam wieder abzufallen
2.2 Logarithmisches Dekrement:
Formeln:
Theorie: Λtheo =
Rges T0
2L
(1)
12
Experiment: Λexp = ln
µ
UR1
UR2
¶
(2)
Durchführung:
• Schwingfall für UR einstellen
• Schwingungsdauer dieser abklingelnden Schwingung mit dem Oszillograph ermitteln
• diesen Wert in (1) einsetzen und ausrechnen
• danach zwei hintereinander folgende Amplituden der Spannung messen und damit experimentelle
das log. Dek. berechnen (Gleichung (2))
Messwerte:
T0 = 132µs
UR1 = −41.25mV
UR2 = 22.50mV
Λtheo =
353Ω · 132µs
2 · 33mH
⇒ Λtheo = 0.71
¯
¯
¯ −41.25 ¯
¯
Λexp = ln ¯¯
22.50 ¯
Λexp = 0.61
Auswertung:
• die beiden Werte weichen erheblich voneinander ab
• die Periodendauer kann hinreichend exakt bestimmt werden und auch die Spannungsamplituden
sind gut mit Hilfe des Oszillographen zu ermitteln
• ⇒ Ursachen müssen in ungenauen Widerstandswerten liegen
13
2.3. R-C-Schaltkreis:
Versuchsanordnung:
Durchführung:
• die Kapazität wird konstant bei C = 10nF gehalten
• der Widerstand R und die Frequenz der Rechteckspannung sind so zu kombinieren, dass τ = R·C <
, =, > ti (ti ist
• für drei verschieden große Widerständen wurden nun unterschiedliche Frequenzen angelegt und die
verschiedenen Fälle untersucht und ausgewertet
Vorbetrachtung:
• der Kondensator hat genau die halbe Periodendauer der Rechteckspannung Zeit, um sich aufzuladen
• die Geschwindigkeit mit der sich der Kondensator auflädt, ist bestimmt durch τ = R · C
• umso geringer der Widerstand, desto schneller lädt er sich auf
• ist die Frequenz niedrig, hat der Kondensator ausreichend Zeit um sich aufzuladen
14
Widerstand R = 100000Ω
geringe Frequenz f = 390Hz
•
780−1 s−1
U
= 1 − e− 100000Ω·10nF = 72.3%
Uges
• der Kondensator schafft es also nicht zu knapp drei Viertel aufzuladen
• dadurch wird eine nicht zu vernachlässigende Spannung im Kondensator aufgebaut, wodurch die
resultierende Spannung am Widerstand R mit steigender Aufladung des Kondensators merklich
sinkt
• die experimentell ermittelte Kurve bestätigt diese theoretische Vorüberlegung
hohe Frequenz f = 10439Hz
•
4.78·10−5 s
U
= 1 − e− 100000Ω·10nF = 4.7%
Uges
15
• der Kondensator kann sich nur zu knapp 5 % aufladen
• dadurch wird keine nennenswerte Spannung am Kondensator aufgebaut, so dass fast die komplette
Recheckspannung über dem ohmschen Widerstand abfällt
• in der experimentell ermittelten Kurve wird deutlich, dass die Spannung über dem Kondensator
kaum erkennbar ist, und somit die Spannung über dem Widerstand fast identisch mit der Eingangsspannung ist
• die Theorie wurde bestätigt!
Widerstand R = 500Ω
geringe Frequenz f = 390Hz (Übersicht)
geringe Frequenz f = 390Hz (detaillierter Ausschnitt)
16
•
1.28·10−3 s
U
= 1 − e− 500Ω·10nF = 100%
Uges
• der Kondensator schafft es also sich komplett innerhalb einer halben Periode aufzuladen
• da der ohmsche Widerstand sehr gering ist, kann ein großer Strom fließen
• nur in der kurzen Phase, während die Rechteckspannung umpolt, fällt über dem Widerstand eine
große Spannung ab
• da der Kondensator sich schnell auflädt, wird demzufolge schnell eine Spannung im Kondensator
aufgebaut, so dass der Strom gehemmt wird, der Widerstand des Kondensators somit erhöht wird
und über dem ohmschen Widerstand kaum noch Spannung abfällt
• da der Kondensator wesentlich weniger Zeit zum Aufladen benötigt, als die halbe Periodendauer der
Rechteckspannung, steigt die Spannung am Kondensator sprunghaft an, um dann konstant über
den Rest der halben Periodendauer zu bleiben
• dadurch kommt es auch kurz nach dem Umpolen der Rechteckspannung nur zu einer kurzen Spannungsspitze am ohmschen Widerstand
• die kurze Spannungsspitze am ohmschen Widerstand ist in der experimentell ermittelten Kurve
sehr gut sichtbar
• in der detaillierteren Auflösung ist des Weiteren der exponentielle Ent- und Aufladevorgang des
Kondensators sehr gut zu sehen
hohe Frequenz f = 22750Hz
•
2.19·10−5 s
U
= 1 − e− 500Ω·10nF = 98.7%
Uges
• der Kondensator schafft es sich nahezu komplett aufzuladen
• anders als bei geringer Frequenz, braucht er jedoch fast genau die halbe Periodendauer bis er sich
vollständig aufgeladen hat
• dadurch erstreckt sich der exponentielle Spannungsverlauf über die gesamte halbe Periodendauer
und wird nicht nur als kurze Spannungsspitze sichtbar
• der exponentielle Auf- und Entladevorgang sind sehr deutlich an den Kurven zu erkennen
17
Widerstand R = 4520Ω
• die Kurven bei diesem Widerstand stellen Zwischenstufen dar, zwischen den Extremsituationen
R = 100000Ω und R = 500Ω
• die Auswertung erfolgt analog den vorherigen
geringe Frequenz f = 398Hz
hohe Frequenz f = 22750Hz
18
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