Übersicht: Maß

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Übersicht: Maß
Definition (Additivität). Sei M eine nichtleere Menge und S ein System von
Teilmengen von M mit ∅ ∈ S. Des Weiteren sei µ : S → [0, +∞].
(i) µ heißt σ-additiv, falls für jede Folge von disjunkten Mengen {An }N
n=1 aus
FN
S mit A := n=1 An und N ∈ N ∪ {+∞} gilt:
µ(A) =
N
X
µ(Ak ).
k=1
(ii) µ heißt endlich-additiv, falls für jede Folge von disjunkten Mengen {An }N
n=1
FN
aus S mit A := n=1 An und N ∈ N gilt:
µ(A) =
N
X
µ(Ak ).
k=1
(iii) µ heißt σ-subadditiv, falls für alle Folgen {An }N
n=1 aus S mit A ⊂
und N ∈ N ∪ {+∞} gilt:
µ(A) ≤
N
X
SN
n=1 An
µ(Ak ).
k=1
(iv) µ heißt endlich-subadditiv, falls für alle Folgen {An }N
n=1 aus S mit A ⊂
SN
n=1 An und N ∈ N gilt:
µ(A) ≤
N
X
µ(Ak ).
k=1
Definition (Maß). Sei M eine nichtleere Menge und S ein System von Teilmengen
von M mit ∅ ∈ S. Eine Funktion µ : S → [0, +∞] heißt Maß, falls
(i) µ(∅) = 0
(ii) µ is σ−additiv.
Wir nennen ein Maß µ endliches Maß, falls µ : S → [0, ∞), d.h. µ(A) < ∞ für alle
A ∈ S.
Wintersemester 2013/2014
Maß- und Integrationstheorie
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Definition (Inhalt/endlich-additives Maß). Sei M eine nichtleere Menge und S
ein System von Teilmengen von M mit ∅ ∈ S. Eine Funktion µ : S → [0, +∞]
heißt Inhalt (oder endlich-additives Maß), falls
(i) µ(∅) = 0
(ii) µ ist endlich-additiv.
Bemerkung.
1. Die Normierung µ(∅) = 0 stellt sicher, dass µ(A) = ∞ für alle A ∈ S ausgeschlossen wird. Es gilt nämlich A = A ∪ ∅ und somit µ(A) = µ(A) + µ(∅).
2. Ein Maß µ mit der Eigenschaft µ(M ) = 1 wird Wahrscheinlichkeitsmaß genannt. µ(A) bezeichnet dann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des
Ereignisses A ∈ S.
3. Das Maß ist subtraktiv, d.h. für A, B ∈ S mit B ⊂ A gilt:
µ(A \ B) = µ(A) − µ(B).
4. Das Maß ist monoton, d.h. für A, B ∈ S mit B ⊂ A gilt: µ(A) ≥ µ(B).
5. Sei A eine σ-Algebra über einer Menge M und µ ein Maß auf A. Dann heißt
(i) (M, A) messbarer Raum oder Messraum.
(ii) (M, A, µ) Maßraum.
Im Fall, dass µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, nennt man (M, A, µ)
Wahrscheinlichkeitsraum.
Beispiel. Sei M eine nichtleere Menge.
(i) Sei A eine σ-Algebra und für x ∈ M sei δx : A → [0, ∞] definiert durch
δx (A) =
1, falls x ∈ A
0, falls x 6∈ A
für A ∈ A.δx heißt Dirac-Maß an der Stelle x und ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
(ii) Sei µ : P(M ) → [0, ∞] mit
µ(A) = |A|
für A ∈ P(M ). Dann heißt µ Zählmaß und ist ein endliches Maß, falls M
eine endliche Menge ist.
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(iii) Sei µ : P(M ) → [0, ∞] mit
µ(A) = 0
für alle A ∈ P(M ). Dann heißt µ Nullmaß.
Satz (Zusammenhang: Stetigkeit und σ-Additivität).
Sei R ein Ring und µ : R → [0, ∞]. Für die folgenden Eigenschaften
(i) µ is σ-additiv.
(ii) Für jede Folge {An }∞
n=1 in R mit An ⊂ An+1 und A :=
S∞
∈ R gilt:
S∞
∈ R gilt:
n=1 An
µ(A) = lim µ(An ).
n→∞
(iii) Für jede Folge {An }∞
n=1 in R mit An ⊃ An+1 und A :=
n=1 An
µ(A) = lim µ(An ).
n→∞
(iv) Für jede Folge {An }∞
n=1 in R mit An ⊃ An+1 und
T∞
n=1 An
= ∅ gilt:
µ(A) = lim µ(An ).
n→∞
gilt:
(i) ⇐⇒ (ii) ⇐= (iii) ⇐⇒ (iv).
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