Maßtheorie für Statistiker Grundlagen der Stochastik

Maßtheorie für Statistiker
Grundlagen der Stochastik
Uwe Küchler
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Juli 2013
e-mail: [email protected]
www.mathematik.hu-berlin.de/∼kuechler
2
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1.1 Einige Begriffe der Mengenlehre
1.2 Abbildungen . . . . . . . . . . .
1.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . .
1.4 Produktmengen . . . . . . . . .
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3
3
8
11
19
2 Semialgebren, Algebren, σ-Algebren
2.1 Semialgebren . . . . . . . . . . . . .
2.2 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Messbare Räume und Borelmengen .
2.5 σ-Algebren und Abbildungen . . . .
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23
24
26
29
33
36
3 Mengenfunktionen und
3.1 Definitionen . . . . .
3.2 Diskrete Maße . . . .
3.3 Maße auf (R, B) . .
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Maße
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Messbare Abbildungen
4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Produkt-σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Durch messbare Abbildungen induzierte Maße
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65
65
66
71
73
5 Integration messbarer Funktionen
77
5.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Einige Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3
4
5.4
5.5
5.6
5.7
Integrale bezüglich diskreter Maße . . . . . . . . . . .
Integrale bezüglich absolutstetiger Maße auf (Rd , Bd )
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lebesgue- und Riemannintegrale . . . . . . . . . . . .
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86
93
99
6 Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
6.1 Konvergenz µ-fast-überall . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Vertauschung von Grenzwertbildung und Integration
6.3 Konvergenz dem Maß nach . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Konvergenz in Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Konvergenz im Lp -Sinne . . . . . . . . . . . . . . . .
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106
110
113
115
7 Produktmaße
123
7.1 Messbare Abbildungen auf Produkträumen . . . . . . . . . . . . 123
7.2 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.3 Integrale bezüglich Produktmaßen . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8 Messbare Funktionen mit Werten in Rn
133
8.1 Messbarkeitskriterien und induzierte
Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Finite Maße auf (Rn , Bn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Kapitel 1
Grundbegriffe
1.1
Einige Begriffe der Mengenlehre
Unter einer Menge versteht man laut Georg Cantor (deutscher Mathematiker, 1845-1918)”. . . eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener
Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen”. Die
Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Dabei spielen irgendwelche
Zusammenhänge zwischen den Elementen keine Rolle. Insbesondere kommt es
nicht auf die Reihenfolge an und auch nicht darauf, ob ein Element mehrfach
genannt wird.
Mengen werden wir wie üblich meist mit großen lateinischen Buchstaben
A, B, ... bezeichnen, ihre Elemente meist mit kleinen Buchstaben x, y, . . .. Zu
ihrer Beschreibung verwendet man häufig geschweifte Klammern und zählt
(falls das möglich ist) ihre Elemente auf oder gibt eine sie charakterisierende
Eigenschaft an: So ist die Menge W aller möglichen Ergebnisse eines Wurfes
mit einem normalen Spielwürfel gleich {1, 2, . . . , 6} und die Menge aller geraden, natürlichen Zahlen gleich {2k| k = 0, 1, 2, . . .}.
Hat man es mit mehreren Mengen zu tun, so kann man sie mit einem Index
versehen, der aus irgendeiner Menge I, der Indexmenge , stammt: (Ai , i ∈ I).
Die Indexmenge I ist beliebig, im Fall I ⊆ {0, 1, 2, . . .} spricht man von einer
Folge von Mengen.
Wir stellen in diesem Abschnitt grundlegende Begriffe, Relationen und Operationen der Mengenlehre zusammen, mit denen wir im Weiteren häufig arbeiten
3
4
Uwe Küchler
werden und beginnen mit einigen Bezeichnungen.
x∈A
bedeutet: x ist Element von A,
x 6∈ A
bedeutet: x ist nicht Element von A,
A ⊆ B bedeutet: jedes Element von A ist auch Element von B
(A ist Teilmenge von B),
A⊇B
bedeutet: B ⊆ A,
A = B bedeutet: A ⊆ B und B ⊆ A,
(A und B sind gleich. Das heißt, sie enthalten die gleichen Elemente),
∅
bedeutet: leere Menge,
(die leere Menge enthält kein Element),
Enthält eine Menge mindestens ein Element, so heißt sie nichtleer.
A ∩ B := {x|x ist Element von A und von B}
(Durchschnitt von A und B),
A und B heißein disjunkt, falls A ∩ B = ∅,
A ∪ B := {x|x ist Element von A oder von B}
(Vereinigung von A und B).
Für jegliche Menge A, B und C gelten folgende Gleichungen:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Assoziativgesetze
Grundbegriffe
5

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
Distributivgesetze

Kommutativgesetze

Wir fahren mit der Zusammenstellung von Bezeichnungen fort:
A\B := {x|x ist Element von A, aber nicht Element von B},
(Differenz von A zu B),
A4B := (A\B)∪(B\A) = {x| x ist entweder Element von A oder Element von B}
(Symmetrische Differenz von A und B),
A
B
A
A∪B
A
B
A∩B
B
A\B
A
B
A4B
Abbildung 1.1: Vereinigung von A und B, Durchschnitt von A und B, Differenz
von A zu B, Symmetrische Differenz von A und B
\
Ai := {x|x ∈ Ai für alle i ∈ I},
i∈I
(Durchschnitt der Mengen Ai , i ∈ I)
6
Uwe Küchler
[
Ai := {x|x ∈ Ai für mindestens ein i ∈ I},
i∈I
(Vereinigung der Mengen Ai , i ∈ I)
Ist An , n ≥ 1, eine Folge von Mengen, so definieren wir die Mengen Limes
superior und Limes inferior der Folge (An ) wie folgt:
lim sup An :=
n→∞
∞ [
∞
\
Ak ,
lim inf An :=
n→∞
n=1 k=n
∞ \
∞
[
Ak .
n=1 k=n
Ist E eine Menge, so heißt die Menge P(E) := {A|A ⊆ E} aller Teilmengen
von E die Potenzmenge von E.
Wenn A ⊆ E, so heißt Ac := E\A das Komplement von A bez. E.
Für alle Teilmengen A von E gelten die Gleichungen
(Ac )c = A, A ∩ Ac = ∅ und A ∪ Ac = E.
(1.1)
Weiterhin gelten
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c , A ∩ B c = Ac ∪ B c , A\B = (A ∩ B c ) = (Ac ∪ B)c .(1.2)
E
A
Ac
Abbildung 1.2: Komplement Ac der Menge A bez. der Menge E
Mengen Ai , i ∈ I, heißen paarweise disjunkt, falls Ai ∩ Aj = ∅ für alle i, j ∈ I
mit i 6= j.
Jede Menge S von Teilmengen von E nennen wir ein Mengensystem aus
E. Die Elemente der Menge S sind also Teilmengen der Menge E, d.h.
S ⊆ P(E).
Ein Mengensystem Z = (Zi , i ∈ I) aus E heißt eine Zerlegung von E, falls
Grundbegriffe
a)
[
7
Zi = E (jedes Element von E liegt in mindestens einem der Zi ) und
i∈I
b) Zi ∩ Zj = ∅ für alle i, j ∈ I mit i 6= j (paarweise Disjunktheit)
gelten.
[
0
)[
)[
1
3
2
3
)
1
Abbildung 1.3: Zerlegung des Intervalls [0, 1) in Teilintervalle [0, 31 ), [ 13 , 23 ) und
[ 23 , 1)
Übungsaufgaben
1. Welche
Relationen
bestehen
zwischen
den
Mengen
A = {Stuhl, Hocker, T isch}, B = {Stuhl, T isch, Stuhl, Hocker},
C = {Stuhl, Hocker} und D = {Hocker}?
Geben Sie die Mengen B ∩ C und A ∪ D an.
2. Es seien A und B zwei Mengen. Wie kann man paarweise disjunkte
Mengen A1 , A2 , A3 so wählen, dass A1 ∪ A2 ∪ A3 = A ∪ B gilt?
3. Es seien A und B Teilmengen einer Menge E. Beweisen Sie die Formeln
(1.1) und (1.2).
4. Geben Sie die Elemente der Potenzmenge P{a, b, c} an.
5. Es seien An , n ≥ 1, Teilmengen einer Menge E. Man zeige, dass folgende
Beziehungen gelten:
a) lim inf An =
n→∞
{x ∈ E| es gibt ein n0 = n0 (x), so dass x ∈ An für alle n ≥ n0 } =
{x ∈ E | x ∈ An für alle außer endlich vielen n ≥ 1}
lim sup An =
n→∞
{x ∈ E| für alle n ≥ 1 gibt es ein n1 = n1 (x) ≥ n, so dass x ∈ An1 } =
{x ∈ E | x ∈ An für unendlich viele n ≥ 1},
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Uwe Küchler
b)
lim inf An ⊆ lim sup An .
n→∞
n→∞
6. Eine Folge (An ) von Mengen heißt konvergent, falls
lim inf An = lim sup An =: lim An
n→∞
n→∞
n→∞
gilt.
Zeigen Sie: Wenn An ⊆ An+1 für alle n ≥ 1, so ist (An ) konvergent.
Berechnen Sie lim An .
n→∞
Was gilt im Fall An ⊇ An+1 für alle n ≥ 1?
1.2
Abbildungen
Es seien E und F zwei (nichtleere) Mengen. Eine Abbildung X von der Menge
E in die Menge F ist eine Vorschrift, die jedem Element y von E ein eindeutig
bestimmtes Element X(y) aus F zuordnet. Die Menge E heißt Definitionsbereich der Abbildung X und wird mit Def (X) bezeichnet. Die Abbildung X
nennt man injektiv, falls für alle Elemente y, z von E aus X(y) = X(z) folgt,
dass y = z gilt.
Für jedes y aus E heißt X(y) das Bild von y vermittels X. Die Menge {X(y)|y ∈
E} aller Bilder ist eine Teilmenge von F , man nennt sie den Wertebereich der
Abbildung X und schreibt dafür auch W b(X). Es gilt also W b(X) ⊆ F . Liegt
sogar Gleichheit vor, W b(X) = F , so nennt man X eine surjektive Abbildung
oder eine Abbildung von E auf F . Ist X eine injektive und surjektive Abbildung, so heißt X bijektiv oder auch einfach eine Bijektion von E auf F .
(Wir haben hier stets Def (X) = E angenommen. Die Funktion X braucht
aber auch nur auf einer Teilmenge Def (X) ⊂ E definiert zu sein. Die eben
angegebenen Begriffe werden dann auf analoge Weise definiert.)
Statt Abbildung sagt man häufig auch Funktion.
Ist X eine Abbildung von E in F , so heißt für jede Teilmenge B von F die
Menge
Grundbegriffe
9
X −1 (B) := {u ∈ E | X(u) ∈ B}
(1.3)
das Urbild von B (vermittels X). Wir verwenden mitunter die Kurzschreibweise
{X ∈ B} = X −1 (B).
Die durch (1.3) definierte Vorschrift X −1 heißt die zu X gehörende Urbildoperation . Sie ordnet jeder Teilmenge B von F eine Teilmenge X −1 (B) von E zu,
X −1 ist also eine Abbildung von der Potenzmenge P(F ) in die Potenzmenge
P(E).
Für diese Abbildung gelten die Gleichungen:
X −1 (B ∩ C) = X −1 (B) ∩ X −1 (C)
(1.4)
X −1 (B ∪ C) = X −1 (B) ∪ X −1 (C)
(1.5)
X −1 (F \B) = E\X −1 (B)
(1.6)
X
−1
[
Bi
=
i∈I
X
−1
\
i∈I
[
X −1 (Bi )
(1.7)
X −1 (Bi )
(1.8)
i∈I
Bi
=
\
i∈I
(B, C, Bi ⊆ F, i ∈ I, I irgendeine Indexmenge.)
Die Eigenschaften (1.4) - (1.8) fasst man unter der Bezeichnung Operationstreue von X −1 zusammen: Die Urbildoperation X −1 ist mit den Mengenoperationen ∪, ∩, \ vertauschbar.
Die Operationstreue der Urbildabbildung wird an vielen Stellen der Maßtheorie eine Rolle spielen.
Man beachte: Durch X(C) := {X(y)|y ∈ C}, C ⊆ E, ist auch eine Abbildung
10
Uwe Küchler
X von der Potenzmenge P(E) in die Potenzmenge P(F ) definiert. Diese hat
im allgemeinen nicht die Eigenschaft der Operationstreue.
Ist eine Abbildung X von Def (X) ⊆ E in F injektiv, so existiert für jedes z
aus W b(X) eine eindeutige Lösung y der Gleichung X(y) = z aus Def (X), sie
wird mit y = X −1 (z) bezeichnet. Dadurch ist die zu X inverse Abbildung X −1
definiert. Es gilt
Def (X −1 ) = W b(X) und W b(X −1 ) = Def (X)
sowie
X(X −1 (z)) = z, z ∈ W b(X) und X −1 (X(y)) = y, y ∈ Def (E).
(1.9)
Falls X eine injektive Abbildung ist, so stimmen die Urbildoperation X −1 ({z})
für einelementige Teilmengen {z} von W b(X) ⊆ F mit der inversen Abbildung
X −1 (z) überein: X −1 ({z}) = {X −1 (z)}.
Für jede bijektive Abbildung X von Def (X) ⊆ E auf W b(X) ⊆ F existiert
die inverse Abbildung X −1 , die ebenfalls eine bijektive Abbildung ist, und zwar
von W b(X) ⊆ F auf Def (X) ⊆ E.
Übungsaufgaben
1.
a. Die Abbildung X werde auf E = [−1, 1] definiert durch X(y) = y 2 .
Mit F werde die reelle Achse R bezeichnet. Ist X eine surjektive
Abbildung? Begründen Sie Ihre Antwort!
Wie würden Sie E bzw. F abändern, damit X surjektiv wird (damit
X bijektiv wird)?
b) Man zeige, dass die Abbildungen X und Y , vermittelt durch X(y) =
max(y, 0) =: y + , Y (y) = −min(y, 0) =: y − , y ∈ R, surjektive Abbildungen von R auf [0, ∞) sind. Dasselbe gilt für Z mit Z(y) =
|y| = y + + y − , y ∈ R1 . Sind diese Abbildungen auch bijektiv?
2. Es seien E und F zwei nichtleere Mengen und X eine Abbildung von E
in F . Weiterhin seien Bi , i ∈ I Teilmengen von F . Man zeige, dass die
Gleichungen (1.4)-(1.8) richtig sind.
Grundbegriffe
1.3
11
Reelle Zahlen
Mit N0 := {0, 1, 2, . . . , n, . . .} werde die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet, wir setzen N := N0 \{0} = {1, 2, . . . , n, . . .}, Z bezeichne die Menge aller
ganzen Zahlen : Z := N0 ∪ (−N) mit −N := {−n|n ∈ N}.
Das Symbol Q steht für die Menge aller rationalen Zahlen, das sind Zahlen
mit m, n ∈ Z, n 6= 0. Jede rationale Zahl x hat eine eindeutig
der Form x = m
n
bestimmte periodische Dezimaldarstellung
x = [x] +
∞
X
bk 10−k
(1.10)
k=1
wobei [x] := max{y ∈ Z|y ≤ x} die größte ganze Zahl bezeichnet, die kleiner
oder gleich x ist und die bk ganze Zahlen mit 0 ≤ bk ≤ 9 sind. (Wir vereinbaren
dabei, dass Zahlen der Form
m
X
k=1
−k
bk 10
+
∞
X
9 · 10−k
k=m+1
mit bm < 9 für ein m aus N gleichgesetzt werden mit
m−1
X
bk 10−k + (bm + 1)10−m .
k=1
Wir setzen also zum Beispiel 2, 1507999999 . . . = 2, 1508. Die irrationalen Zahlen entsprechen den nichtperiodischen Dezimalbrüchen, zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die Menge R der reellen Zahlen.
Jede der Mengen
(a, b) := {x ∈ R|a < x < b}, −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞,
heißt ein offenes Intervall aus R, jede der Mengen
[a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}, −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞,
nennt man ein abgeschlossenes Intervall aus R, und jede der Mengen
(a, b] := {x ∈ R|a < x ≤ b}, −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞,
12
Uwe Küchler
wird als ein nach links halboffenes Intervall aus R bezeichnet.
Die Definition von nach rechts halboffenen Intervallen [a, b) erfolgt analog.
Auf Grund dieser Definition und weil ∞ und −∞ keine reellen zahlen sind,
also nicht zu R gehören, gilt für alle a, b aus R
(a, ∞] = (a, ∞), [−∞, b) = (−∞, b), [−∞, ∞] = (−∞, ∞),
(a, a] = (a, a) = [a, a) = ∅ und [a, a] = {a}.
Eine reelle Zahl x heiße positiv (oder nichtnegativ), falls x > 0 (bzw. x ≥ 0)
gilt,
Eine reelle Zahl x heiße negativ (oder nichtpositiv), falls x < 0 (bzw. x ≤ 0) gilt.
Eine nichtleere Menge E heißt eine endliche Menge, falls sie nur endlich viele
Elemente enthält, genauer, falls es eine natürliche Zahl n aus N gibt, so daß
die Elemente von E durch die Zahlen 1, 2, . . . , n alle durchnumeriert werden
können und keine Elemente die gleiche Nummer bekommen.
Die Anzahl n der Elemente von E heißt Kardinalzahl der Menge E, symbolisch: n = card E. Die leere Menge wird ebenfalls als eine endliche Menge
angesehen. Wir definieren card ∅ = 0.
Ist card E = n, so gilt card P(E) = 2n . Mit der Anzahl der Elemente einer
Menge E wächst also die Anzahl aller ihrer Teilmengen exponentiell an, d.h.,
Mengen mit einer großen Anzahl von Elementen besitzen also eine noch viel
umfangreichere Potenzmenge.
Ist eine Menge nicht endlich, so heißt sie unendlich. Die Menge N0 der natürlichen Zahlen und die Menge R der reellen Zahlen sind zum Beispiel unendlich.
Der Begriff der Anzahl der Elemente einer Menge, den wir auf die Möglichkeit
des Durchnumerierens begründet haben, verliert bei unendlichen Mengen seinen Sinn. Man verallgemeinert ihn auf folgende Weise.
Zwei Mengen E und F nennt man gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von E auf F gibt. (Bei endlichen Mengen wird eine bijektive Abbildung
durch das Durchnummerieren hergestellt, sie sind also gleichmächtig, wenn sie
die gleiche Anzahl von Elementen besitzen.) Zum Beispiel ist für alle a, b ∈ R,
Grundbegriffe
13
mit a < b die Menge aller Zahlen aus dem Intervall (a, b) gleichmächtig mit
der Menge R aller reellen Zahlen. (Eine bijektive Abbildung von (0, 1) auf R
ist gegeben durch
y = β(x) :=
2x − 1
.
x(1 − x)
(1.11)
)
Gibt es eine bijektive Abbildung von einer Menge E auf die Menge N0 der
natürlichen Zahlen, so heißt E abzählbar unendlich oder einfach abzählbar. Die
bijektvive Abbildung ordnet jedem Element a von E eine natürliche Zahl n zu,
man sagt, sie numeriere die Elemente von E, m.a.W., man kann E als Folge
(an , n ≥ 0) schreiben oder eben abzählen.
Die Menge N0 der natürlichen Zahlen und die Menge Z der ganzen Zahlen sind
zum Beispiel abzählbar.
Eine Menge, die endlich oder abzählbar ist, heißt höchstens abzählbar. Jede
Teilmenge E 0 einer abzählbaren Menge ist höchstens abzählbar. Ist nämlich
f (.) eine Bijektion von N0 auf E, und schreibt man E als Folge f (n), n ∈ N0 ,
so ist die Teilmenge E 0 entweder endlich oder entspricht einer unendlichen
Teilfolge f (nk ), ist also höchstens abzählbar.
Jede abzählbare Vereinigung höchstens abzählbarer Mengen An , n ∈ N0 ist
höchstens abzählbar. Sind die An paarweise disjunkt, und schreibt man sie als
Matrix so kann man ihre Vereinigung wie in Abb. 1.4 gezeigt, numerieren, d.h.
eine Bijektion angeben. Sind die An nicht paarweise disjunkt, so geht man über
zu den Mengen A01 = A1 , A02 = A2 \A01 , A03 = A3 \(A01 ∪ A02 ), . . . , A0n = An \(A01 ∪
0
∞
. . . A0n−1 ), . . .. Diese sind paarweise disjunkt, und es gilt ∪∞
n=1 An = ∪n=1 An .
Als Sonderfall ergibt sich, dass die Menge N × N := {(m, n)|m, n ∈ N} aller
Paare positiver natürlicher Zahlen abzählbar ist. Jeder positiven rationalen
entspricht genau ein Paar (m, n) von Zahlen M und N aus N ohne
Zahl q = m
n
gemeinsamen Teiler, also gibt es eine Bijektion von Q+ := {q ∈ Q|q > 0} auf
eine Teilmenge von N × N, die nach dem bereits Gesagtem abzählbar ist. Folglich ist auch die Menge Q = Q+ ∪ (−Q+ ) aller rationalen Zahlen abzählbar.
Jede unendliche Menge, die nicht abzählbar unendlich ist, heißt überabzählbar
unendlich. Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar unendlich.
Davon überzeugt man sich wie folgt. Angenommen, R wäre abzählbar. Dann
wäre auch das Intervall (0, 1) abzählbar, da es eine Bijektion (1.11) zwischen
beiden Mengen gibt. Folglich existierte eine bijektive Abbildung von N0 auf
(0, 1), d.h., man könnte die Menge der Zahlen aus (0, 1) als Folge (an , n ∈ N0 )
14
Uwe Küchler
A1 : a11 → a12 a13 → a14 · · ·
. % . %
a
A2 : 21 a22 a23 a24 · · ·
↓ % . %
a
A3 : 31 a32 a33 a34 · · ·
. %
a
A4 : 41 a42 a43 a44 · · ·
↓ %
..
..
..
..
.
.
.
.
Abbildung 1.4: Cantorsches Diagonalverfahren
schreiben. Jede der Zahlen an hätte eine eindeutig bestimmte Dezimalentwicklung der Form an = 0, in1 in2 . . . inl . . .. Wir konstruieren eine Zahl a = 0, j1 j2 . . .
aus (0, 1), die nicht in der Folge (an ) vorkommt. Dazu wählen wir für jedes n
aus N0 eine Ziffer jn aus {0, 1, . . . , 9} mit jn 6= inn . Offenbar gilt a 6= an für
alle n aus N0 . Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass die Folge (an ) das
ganze Intervall (0, 1) ausschöpft.
Dei Mächtigkeit der Menge R nennt man die Mächtigkeit des Kontinuums, sie
wird mit dem Buchstaben bezeichnet.
Offenbar gibt es eine bijektive Abbildung f von Q auf eine Teilmenge von
R, nämlich die identische Abbildung f (q) = q, q ∈ Q, aber keine bijektive
Abbildung von Q auf R. Insofern sagt man, die Mächtigkeit des Kontinuums
sei größ als die Mächtigkeit der abzählbaren Menge N0 . Insbesondere folgt,
dass die Menge der irrationalen Zahlen b̈erabzählbar ist. Anderenfalls wäre
die Menge aller reellen Zahlen, die aus den rationalen und den irrationalen
Zahlen besteht, abzählbar.
Unendliche Mengen haben auf den ersten Blick überraschende Eigenschaften.
So können z.B. echte Teilmengen gleichmächtig zur Gesamtmenge sein. Fasst
man also Mächtigkeit als ein Anzahlbegriff auf, so können echte Teilmengen
unendlicher Mengen dieselbe Anzahl von Elementen wie die Gesamtmenge
enthalten. Das widerspricht der Anschauung, und deshalb sollte man bei unendlichen Mengen den Begriff Anzahl von Elementen durch Mächtigkeit der
Menge ersetzen.
Grundbegriffe
15
Ein weiteres Beispiel in diesem Zusammenhang ist das folgende. Die Menge
R2 = R × R aller Paare reeller Zahlen (also die Zahlenebene) hat die gleiche
Mächtigkeit wie die Menge Menge R der reellen Zahlen (d.h. der Zahlengeraden).
Wir überzeugen uns davon, indem wir eine Bijektion zwischen beiden Mengen
angeben.
2x−1
, x ∈ (0, 1) ist eine Bijektion von (0, 1) auf R, durch
Durch y = β(x) := x(1−x)
(y1 , y2 ) := (β(x1 ), β(x2 )) eine Bijektion von (0, 1)2 auf R2 definiert. Es genügt
also zu zeigen, dass (0, 1) und (0, 1)2 gleichmächtig sind. Wir konstruieren eine
entsprechende Bijektion.
Jede Zahl x ∈ (0, 1) hat eine eindeutig bestimmte Dezimaldarstellung
x=
∞
X
bk 10−k mit 0 ≤ bk ≤ 9, k ≥ 1.
(1.12)
k=1
Wir definieren durch
y1 = c1 (x) :=
∞
X
−l
b2l+1 10
und y2 = c2 (x) :=
∞
X
b2l 10−l
l=1
l=0
für jedes x ∈ (0, 1) ein Paar y = c(x) := (y1 , y2 ) reeller Zahlen aus (0, 1)2 .
(Für y1 verwenden wir also die Ziffern in der Darstellung (1.12), die an einer
ungeraden Stelle stehen, und für y2 diejendigen Ziffern aus (1.12), die an einer
geraden Stelle stehen.)
Beispiel:
x = 0, 576903788621 . . . ←→ y = c(x) = (y1 , y2 ) = (0, 560782 . . . , 0, 793861 . . .)
Offenbar ist y = c(x), x ∈ (0, 1), eine injektive Abbildung von (0, 1) in (0, 1)2 .
Sie ist auch surjektiv, denn jedes Paar y = (y1 , y2 ) ∈ (0, 1)2 ist Bild c(x) einer
Zahl x ∈ (0, 1). Ist nämlich
y = (y1 , y2 ) = (
∞
X
−k
y1k 10 ,
k=1
so sei
x=
∞
X
k=0
−2k−1
y1k 10
+
∞
X
y2k 10−k ),
k=1
∞
X
k=1
y2k 10−2k ∈ (0, 1).
16
Uwe Küchler
Es gilt c(x) = (y1 , y2 ), was leicht nachzuprüfen ist. Also ist c(.) eine Bijektion
von (0, 1) auf (0, 1)2 . Durch Zusammensetzung der Bijektionen ergibt sich die
Gleichmächtigkeit von R und R2 .
Eine detailliertere Darlegung der Theorie der Mächtigkeit unendlicher Mengen
findet man z.B. in dem Buch von Alexandroff [1], eine solide und unterhaltsame Auseinandersetzung mit vielen Eigenschaften unendlicher Mengen ist in
der Spezialausgabe der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft [9] enthalten.
Es sei B eine nichtleere Menge reeller Zahlen. Ist c eine reelle Zahl mit x ≤ c
für alle x ∈ B, so heißt c eine obere Schranke für B, und B nennt man nach
oben beschränkt.
Ist cs eine obere Schranke für B und gilt cs ≤ c für alle oberen Schranken c
von B, so nennt man cs die kleinste obere Schranke von B und bezeichnet sie
als Supremum von B, in Zeichen: sup B.
Gibt es keine obere Schranke für B, so setzt man sup B = ∞. Die Menge B
heißt dann nach oben unbeschränkt.
Ist die Zahl sup B endlich, so kann sie zu B gehören, muß es aber nicht. Im ersten Fall nennt man dieses Supremum auch das Maximum von B und schreibt
dafür max B.
Die Definition von unterer Schranke von B, größter unterer Schranke von B,
inf B (Infimum von B) und min B (Minimum von B) erfolgt analog, an Stelle
von ≤ wird ≥ verwendet, an Stelle von ∞ der Wert −∞.
Mit −B := {−x|x ∈ B} gilt für jede Teilmenge B von R
sup (−B) = −inf B,
inf (−B) = −sup B.
Eine Abbildung X, vermittelt durch ((xn ), n ∈ N), von N in eine Menge E
heißt eine Folge aus E. Wir schreiben dafür auch (xn )n≥1 oder einfach (xn ).
Man unterscheide zwischen einer Folge (xn )n≥1 und der Menge {xn |n ∈ N}.
In einer Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an, in einer
Folge sehr wohl.
Grundbegriffe
17
Ist (xn , n ≥ 1) eine Folge aus R, so ist (x̄n ) mit x̄n := supm≥n xm eine monoton
nichtwachsende Folge reeller Zahlen, d.h., es gilt x̄n ≥ x̄n+1 , n ∈ N. Der Wert
inf x̄n = inf sup xm =: lim sup xn
n
n m≥n
n→∞
heißt Limes superior der Folge (xn , n ≥ 1). Analog ist (xn ) mit xn := inf m≥n xm
eine monoton nichtfallende Folge reeller Zahlen , d.h., es gilt xn ≤ xn+1 , n ∈ N.
Den Wert
sup inf xm =: lim inf xn
n
m≥ n
n→∞
nennt man den Limes inferior der Folge (xn , n ≥ 1).
Es gilt stets
−∞ ≤ lim inf xn ≤ lim sup xn ≤ ∞.
n→∞
(1.13)
n→∞
Wenn in der Mitte von (1.13) das Gleichheitszeichen gilt, wenn also lim inf n→∞ xn =
lim supn→∞ xn erfüllt ist, so heißt die Folge (xn , n ≥ 1) konvergent gegen den
Grenzwert x := lim inf n→∞ xn = lim supn→∞ xn . Der Grenzwert x wird auch
als Limes der Folge (xn , n ≥ 1), symbolisch x = limn→∞ xn , bezeichnet.
Eine Folge (xn , n ≥ 1) ist konvergent gegen ein x aus R, wenn sie der Zahl
x beliebig nahe kommt und schließlich auch beliebig nahe bleibt. Genauer:
Wenn für jedes noch so kleine, aber positive ε ein n0 = n0 (ε) existiert, so daß
|xn − x| < ε für alle n ≥ n0 gilt.
Eine Folge (xn , n ≥ 1) konvergiert gegen ∞, falls lim inf xn = ∞, das bedeutet,
falls es zu jeder (noch so großen) Zahl c ein n0 ∈ N gibt, so dass xn ≥ c für
alle n ≥ n0 gilt.
Die Menge Q aller rationalen Zahlen liegt dicht in R in dem Sinne, daß man zu
jeder reellen Zahl x und jeder positiven, noch so kleinen Zahl ε eine rationale
Zahl x0 finden kann mit |x − x0 | < ε.
Ist nämlich x bereits rational, so setzt man xn ≡ x, n ≥ 1.
Ist x irrational, so hat x eine eindeutig bestimmte (nichtperiodische) Dezimalentwicklung
∞
X
x = [x] +
bk 10−k .
k=1
18
Uwe Küchler
Für jedes n ∈ N setzen wir
xn := [x] +
n
X
bk 10−k .
k=1
Ist ε > 0, so findet man ein n0 ∈ N mit 10−n0 < ε. Die Zahl x0 := xn0 ist
rational und erfüllt die Ungleichung |x − x0 | ≤ 10−n0 < ε.
Die rationalen Zahlen bilden also ein unendlich dichtes Netz“ in der Menge
”
R aller reellen Zahlen, das aber nur abzählbar unendlich ist, also wesentlich
weniger Elemente als R enthält.
Es sei bemerkt, dass wir mit der eben dargelegten Methode für jede reelle Zahl
x eine Folge (xn ) rationaler Zahlen finden können, die gegen x konvergieren:
x = limn→∞ xn .
Noch eine andere wichtige Eigenschaft ergibt sich aus dem bisher Bewiesenen.
In jedem Intervall (a, b) positiver, auch noch so kleiner Länge b − a > 0 befinden sich abzählbar unendlich viele rationale und überabzählbar unendlich viele
irrationale Zahlen.
Übungsaufgaben
1. Beweisen Sie:
a) Die Menge Z aller ganzen Zahlen und die Menge aller nichtnegativen
geraden Zahlen {2n|n ≥ 0} sind abzählbar unendlich.
b) Sind A1 und A2 zwei höchstens abzählbar unendliche Mengen, so
ist auch A1 × A2 eine höchstens abzählbar unendliche Menge.
c) Die Menge Qd aller d-dimensionalen Vektoren mit rationalen Komponenten ist abzählbar unendlich.
2. Es sei B eine nichtleere Teilmenge von R. Beweisen Sie:
a) Die Menge aller oberen Schranken von B ist entweder die leere Menge oder ein abgeschlossenes Intervall der Form [c, ∞) für eine reell
Zahl c.
b) Die Menge B sei nach oben beschränkt. Genau dann gilt für eine
reelle Zahl x̄ die Gleichung x̄ = sup B, wenn
(i) x̄ ≥ y für alle y ∈ B, und
Grundbegriffe
19
(ii) Für jede relle Zahl x < x̄ gibt es mindestens ein y ∈ B mit
x < y ≤ x̄.
Dabei ist (ii) gleichbedeutend mit
(ii’) Für jedes ε > 0 gibt es mindestens ein y ∈ B mit x̄−ε < y ≤ x̄.
c) Formulieren Sie die Punkte a) und b) für nichtleere, nach unten
beschränkte Mengen B und x = inf B. Beweisen Sie diese Aussagen.
3. Es sei (xn ) eine Folge reeller Zahlen. Beweisen sie die Ungleichungen
(1.13).
4. Es sei (xn ) eine Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen
a) und b) äquivalent sind:
a) Eine reelle Zahl c ist gleich lim supn→∞ xn ,
b) (i) Für jedes ε > 0 und jedes n ∈ N, gibt es mindestens ein m ≥ n,
so dass gilt xm > c − ε.
(ii) Für jedes ε > 0 gibt es ein n0 ∈ N, (das von ε abhängt,) so dass
gilt xn < c + ε für alle n ≥ n0 .
c) Formulieren Sie zu b)(i) und (ii) analoge Aussagen für lim inf n→∞ xn .
5. Es sei (xn ) eine Folge reeller Zahlen. Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Die Folge (xn ) konvergiert genau dann gegen eine Zahl x ∈ R, wenn
es für alle ε > 0 ein n0 ∈ N gibt, so dass x − ε < xn < x + ε für alle
n ≥ n0 gilt.
b) Die Folge (xn ) konvergiert genau dann gegen eine Zahl x ∈ R, wenn
limn→∞ |xn − x| = 0 gilt.
c) Die Folge (xn ) konvergiert genau dann gegen ∞, wenn es für jede
Zahl c ein n0 gibt, so dass xn ≥ c für alle n ≥ n0 gilt.
1.4
Produktmengen
Am Anfang des Kapitels haben wir die Gesamtheit aller möglichen Ausgänge
eines zufälligen Experimentes zu einer Menge von Ausgängen zusammengefasst. Führt man mehrere Experimente aus, so ist es bequem, zur Beschreibung
20
Uwe Küchler
des Gesamtexperimentes sogenannte Produktmengen zu verwenden. Diese wollen wir hier einführen.
Es seien n ≥ 1 und E1 , E2 , . . . , En nichtleere Mengen. Als Produktmenge
E1 × E2 × . . . × En bezeichnen wir die Menge alle n-Tupel x = (x1 , . . . , xn ) mit
den Koordinaten xk ∈ Ek , k = 1, . . . , n. Anstelle E1 × E2 × . . . × En schreibt
n
Q
man auch kürzer
Ek . Sind alle Ek identisch gleich einer Menge E, so verk=1
wendet man die Bezeichnung E n anstelle
n
Q
Ek .
k=1
Für n = 2 ist zum Beispiel E1 × E2 die Menge aller Paare (x1 , x2 ) mit x1 ∈ E1
und x2 ∈ E2 .
Ist {k1 , k2 , . . . , kl } eine Teilmenge von {1, 2, . . . , n}, so wird durch
πk1 ,k2 ,...,kl x := (xk1 , xk2 , . . . , xkl ) für x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈
n
Y
Ek
(1.14)
k=1
die zur Menge {k1 , k2 , . . . , kl } gehörende Projektion πk1 ,k2 ,...,kl definiert. Dien
Q
se Projektion ist eine Abbildung mit dem Definitionsbereich
Ek und dem
k=1
Wertebereich
l
Q
Ekj . Im Fall l = 1 nennt man sie auch die zum Index k = k1
j=1
gehörende Koordinatenabbildung πk .
Die Produktmenge
Rd := R
. . × R}
| × .{z
n mal
ist der Raum aller Vektoren der Dimension d; d ≥ 1. Es gilt R1 = R.
Für a = (a1 , . . . , ad ) und b = (b1 , . . . , bd ) mit −∞ ≤ ak ≤ bk ≤ ∞, k = 1, . . . , d,
heißt
(a, b] :=
d
Y
(ak , bk ]
k=1
ein nach links halboffener Quader in Rd .
(1.15)
Grundbegriffe
21
Im Fall n = 2 spricht man auch von Rechtecken anstelle von Quadern. Für
n = 1 handelt es sich um Intervalle. Nach rechts halboffene, offene und abgeschlossene Quader [a,b),(a,b) bzw. [a,b] werden analog zum Fall der Intervalle
für d = 1 definiert, siehe Seite 11.
Die reellen Zahlen ak und bk , k = 1, 2, . . . , d, nennen wir Seiten des Quaders
(a, b] bzw.(a, b), [a, b] oder [a, b) .
Sind alle Seiten eines Quaders rationale Zahlen, so bezeichnen wir ihn als einen
Quader mit rationalen Seiten.
Es ist ein weiteres aus der Sicht endlicher Mengen unerwartetes Ergebnis, dass
für jede unendliche Menge E und jedes d ∈ N die Mächtigkeit der Menge E d
gleich der Mächtigkeit von E ist. Insbesondere besitzt Rd die gleiche Mächtigkeit wie R. Für E = Q ist das Gegenstand der Übung 3), für den allgemeinen
Fall siehe z.B. Alexandroff [1], Abschnitt 3.6..
Ist (Ek , k ≥ 1) eine (unendliche) Folge von Mengen, so ist ihre Produktmenge,
∞
Q
bezeichnet durch
Ek := E1 × E2 × . . . × En × . . ., die Menge aller Folgen
k=1
x := (xk , k ≥ 1) mit xk ∈ Ek , k ≥ 1. Sind alle Ek identisch gleich E, so
∞
Q
schreiben wir einfach E N anstelle
Ek . Sind die Elemente einer Menge E
k=1
die möglichen Ausgänge eines zufälligen Experimentes, so stellen die Elemente
von E N zum Beispiel die möglichen Ausgänge einer unbegrenzten Wiederholung des gleichen Experimentes dar.
Fasst man eine Folge (xk , k ≥ 1) mit xk ∈ E als eine Abbildung von der Menge
N in eine Menge E auf, so ergibt sich eine naheliegende Verallgemeinerung der
Produktmenge E N .
Ist I nämlich irgendeine Indexmenge, so verstehen wir unter E I die Menge aller Funktionen x = x(i), i ∈ I, von I in die Menge E. Im Fall I = [0, ∞) kann
man die Menge E I als eine Menge von möglichen Ausgängen eines zeitstetigen
zufälligen Prozesses mit Werten in E ansehen. Für I = {1, 2, . . . , n} bzw. für
I = N ergeben sich die oben eingeführten Produktmengen E n bzw. E N .
Übungsaufgaben
22
Uwe Küchler
1. Es seien E = E1 × E2 die Produktmenge der beiden nichtleeren Mengen
E1 und E2 sowie π1 und π2 die zugehörigen Koordinatenabbildungen.
Weiterhin seien B1 und B2 beliebige Teilmengen von E1 bzw. E2 .
a) Bestimmen Sie die Urbildmengen πj−1 (Bj ), j = 1, 2.
b) Zeigen Sie, dass folgende Gleichung richtig ist
B1 × B2 = π1−1 (B1 ) ∩ π2−1 (B2 )
(1.16)
2. Verallgemeinern Sie die Ergebnisse der Übungsaufgaben 1a) und 1b) von
n = 2 auf beliebiges n ≥ 3.
3. Es sei d ≥ 1. Zeigen Sie:
a) die Menge Qd aller d-dimensionalen Vektoren x = (x1 , x2 , . . . , xd
mit rationalen Koordinaten xk ist abzählbar,
b) die Menge aller offenen Quader (a, b) aus Rd mit rationalen Seiten
ist abzählbar.
Kapitel 2
Semialgebren, Algebren,
σ-Algebren
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematischen Statistik spielen zufällige Versuche eine zentrale Rolle. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass ihr Ergebnis im Rahmen gewisser Möglichkeiten ungewiss ist, d.h., irgendeines von
möglichen Ergebnissen ω aus einer Menge Ω tritt ein. Beim Werfen eines
Würfels zum Beispiel ist Ω = {1, 2, . . . , 6}. Teilmengen von Ω werden als
zufällige Ereignisse aufgefasst, z.B. {2, 4, 6} = ”Es tritt eine gerade Zahl als
Ergebnis ein”. Durch Mengenoperationen wie ∪, ∩ und c werden neue Teilmengen von Ω, also Ereignisse, gebildet. Die Menge der Ereignisse, die bei
einem zufälligen Versuch eintreten können, ist also abgeschlossen gegenüber
Vereinigungs-, Durchschnitts- und Komplementbildung. Bei umfangreicheren
Mengen Ω möglicher Versuchsausgänge ist es allerdings nicht mehr sinnvoll,
alle Teilmengen von Ω als mögliche Ereignisse zu interpretieren. Die Abgeschlossenheit der Menge dieser Ereignisse gegenüber den erwähnten Operationen bleibt jedoch wünschenswert, man setzt sogar voraus, dass sie bezüglich
abzählbar unendlichen Vereinigungen und Durchschnitten vorliegt. (Man findet Ausführungen zum mathematischen Hintergrund dieser Problematik z.B.
im Buch von Elstrodt [3], Kapitel 1, 1.)
In der Maßtheorie werden wir deshalb Systeme von Teilmengen einer Grundmenge studieren, die gewisse Abgeschlossenheitseigenschaften aufweisen. Das
macht diese Begriffe mitunter unanschaulich, der Umgang mit ihnen ist aber
nach etwas Übung nicht so schwierig, wie es für den Anfang scheint. Eine gewisse Vorstellung wird von den jeweiligen Beispielen vermittelt werden.
23
24
Uwe Küchler
2.1
Semialgebren
Es seien E eine nichtleere Menge und S ein Mengensystem aus E, d.h. eine
Teilmenge der Potenzmenge von E: S ⊆ P(E).
Definition 2.1 Man nennt S eine Semialgebra (von Teilmengen von E, bzw.
aus E), falls
E ∈ S, ∅ ∈ S,
(2.1)
für alle A, B ∈ S gilt A ∩ B ∈ S ,
(2.2)
für alle A, B ∈ S gibt es ein n ≥ 1 und paarweise disjunkte
n
[
Ai ∈ S , i = 1, . . . , n, so dass B\A =
Ai gilt.
(2.3)
i=1
Die Eigenschaft (2.2) nennt man Durchschnittsstabilität des Mengensystems
S . Wegen A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · ∩ (An−1 ∩ An ))) gilt sie für alle
Durchschnitte endlich vieler Ai aus S .
Semialgebren von Teilmengen einer Menge sind in manchen Fällen Mengensysteme, bei denen die Struktur ihrer Elemente übersichtlich ist, wie die folgenden Beispiele zeigen.
Beispiele 2.2 Die folgenden Mengensysteme bilden Semialgebren
a) S1 := {(a, b] ⊆ R| − ∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞}
Menge aller nach links halboffenen Intervalle aus R,
b) S2 := {(a1 , b1 ] × (a2 , b2 ]| − ∞ ≤ ak ≤ bk ≤ ∞, k = 1, 2},
Menge aller nach links halboffenen Rechtecke aus R2 ,
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
D2
D3
25
B
A D1
Abbildung 2.1: Eigenschaft (2.3) für S2
c) Sd := {
d
Q
(ak , bk ]| − ∞ ≤ ak ≤ bk ≤ ∞ k = 1, 2, . . . , d} Menge aller
k=1
nach links halboffenen Quader aus Rd .
Verzichtet man in der Definition 2.1 auf die Forderung E ∈ S , behält aber
ansonsten (2.2) und (2.3) bei, so nennt man S einen Semiring (oder Halbring)
von Teilmengen von E. Beispiele für Semiringe sind für d ≥ 1:
S˜d := {
d
Y
(ak , bk ]| − ∞ < ak ≤ bk < ∞, k = 1, · · · , d},
k=1
also die Menge aller nach links halboffenen Quader aus Rd mit endlichen
Rändern ak ≤ bk , k = 1, · · · , d.
Übungsaufgaben
1. Man beweise, dass die Mengensysteme aus den Beispielen 2.2a) und 2.2b)
Semialgebren sind.
2. Es seien E1 und E2 zwei nichtleere Mengen und S1 , S2 Mengensysteme
in E1 bzw. E2 .Beweisen Sie:
Wenn Si für i = 1, 2 Semialgebren sind, so ist S : = S1 × S2 =
{B1 × B2 |Bi ∈ Si , i = 1, 2} eine Semialgebra in E := E1 × E2 .
3. Mit Hilfe der Übungsaufgabe 2. zeige man, dass das Mengensystem Sd
für jedes d ≥ 3 eine Semialgebra ist.
4. Es sei E eine nichtleere Menge. Man zeige, dass das Mengensystem
S˜0 := {B ⊆ E|B ist eine endliche Menge}
26
Uwe Küchler
ein Semiring ist. Es ist eine Semialgebra, genau dann, wenn E eine endliche Menge ist.
5. Es seien X eine auf einer Menge E definierte Abbildung in eine Menge
F und S eine Semialgebra von Teilmengen von F . Zeigen Sie, dass
X −1 (S ) = {X −1 (B)|B ∈ S } eine Semialgebra von Teilmengen von E
ist.
2.2
Algebren
Definition 2.3 Es sei E eine nichtleere Menge und A0 ein Mengensystem aus
E. Man nennt A0 eine Algebra (von Teilmengen von E, bzw. aus E), wenn
folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
E ∈ A0 ,
(2.4)
für alle A ∈ A0 gilt Ac ∈ A0 ,
(2.5)
für alle A, B ∈ A0 gilt A ∪ B ∈ A0 .
(2.6)
Folgerung: Sind die Mengen A1 , A2 , . . . , An Elemente einer Algebra A0 von
Teilmengen einer Menge E, so gehören auch ∪nk=1 Ak und ∩nk=1 Ak zu A0 . Das
folgt aus A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = A1 ∪ (A2 ∪ (. . . ∪ (An−1 ∪ An ))) und (2.6) sowie
∩nk=1 Ak = (∪nk=1 Ack )c und (2.5).
Eine Algebra A0 von Teilmengen aus E ist also ein Mengensystem, das gegenüber der Bildung von Durchschnitten und Vereinigungen endlich vieler Elemente aus A0 sowie Komplementbildung bez. E abgeschlossen ist, und das die
ganze Menge E als Element enthält.
Bemerkungen:
Jede Algebra A0 ist auch eine Semialgebra. Es gilt nämlich E ∈ A0 , ∅ ∈ A0
wegen (2.4) und (2.5), also ist (2.1) erfüllt. Sind A, B ∈ A0 , so ist A ∩ B =
(Ac ∪ B c )c ∈ A0 wegen (2.5) und (2.6), somit gilt (2.2). Sind A, B ∈ A0 , so
gehört A\B = (A ∩ B c ) = (Ac ∪ B)c wegen (2.5) und (2.6) ebenfalls zu A0 .
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
27
Das bedeutet, (2.3) ist mit n = 1 und A1 = B\A erfüllt.
Man nennt ein Mengensystem R von Teilmengen einer Menge E einen Ring,
falls
∅ ∈ R,
und für alle A, B ∈ R gelten A ∪ B ∈ R und A\B ∈ R.
Offenbar ist jede Algebra von Teilmengen einer Menge E auch ein Ring (Man
beachte Formel (1.2)), und jeder Ring ist ein Semiring.
Beispiele 2.4 In den folgenden zwei Beispielen sei E irgendeine nichtleere
Menge:
a) Es bezeichne A eine Teilmenge von E. Dann ist das Mengensystem A0 :=
{∅, A, Ac , E} eine Algebra in E.
b) Das Mengensystem
A0 := {A ⊆ E|A oder Ac besteht aus endlich vielen Elementen}
ist eine Algebra in E. Es ist die kleinste Algebra von Teilmengen von
E, die alle einelementigen Mengen {x} ⊆ E umfasst. Das heißt, ist A
eine Algebra von Teilmengen von E mit {x} ∈ A für alle x ∈ E, so gilt
A0 ⊆ A. Wenn E endlich ist, so gilt A0 = P(E).
Theorem 2.5 Ist S eine Semialgebra von Teilmengen von E, so bildet die
Menge A0 (S ) aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Elementen von S , also
(
A0 (S ) :=
n
[
)
Ak |Ak ∈ S , paarweisedisjunkt, n ≥ 1 ,
(2.7)
k=1
eine Algebra von Teilmengen von E.
Dabei ist S ⊆ A0 ( S ) und A0 (S ) ist die kleinste Algebra, die S umfaßt
(in dem Sinne, dass für jede Algebra A, mit S ⊆ A, gilt A0 (S ) ⊆ A).
28
Uwe Küchler
B
A
Abbildung 2.2: Elemente der Algebra A0 (S2 )
Beweis: siehe Übungsaufgabe 2..
Eine analoge Aussage gilt für Semiringe und Ringe anstelle Semialgebren bzw.
Algebren.(Siehe Elstrodt [3], Beispiel 1.5.7)
Beispiele 2.6 Es sei (d ≥ 1). Das folgende Mengensystem bildet eine Algebra
von Teilmengen von Rd :
(
A0 (Sd ) :=
d
[
)
(ak , bk ]| − ∞ ≤ ak ≤ bk ≤ ∞, bk ≤ al , 1 ≤ k ≤ l ≤ d, d ≥ 1
k=1
(Menge aller Vereinigungen endlich vieler, paarweise disjunkter, d-dimensionaler,
nach links abgeschlossener Quader, d ≥ 1 (z.B.entsprechender Intervalle für
d=1 bzw. Rechtecke für d= 2, siehe auch Abbildung 2.2.).
Übungsaufgaben
1. Man beweise, dass die Mengensysteme aus Beispiele 2.4 Algebren sind.
2. Beweisen Sie das Theorem 2.5
Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Richtigkeit folgender Aussage.
Es seien A, B1 , B2 , . . . , Bn Elemente einer Semialgebra S . Dann gibt es
ein m ≥ 1 und paarweise disjunkte Mengen C1 , C2 , . . . , Cm ∈ S , so dass
gilt:
A\(
n
[
i=1
Bi ) =
[
˙ m
j=1
Cj .
(2.8)
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
29
Prüfen Sie nunmehr für A0 (S ) aus (2.7) die Eigenschaften (2.4)-(2.6)
einer Algebra nach.
T
3. Zeigen Sie, dass der Durchschnitt i∈I Ai beliebig vieler Algebren Ai , i ∈
I, wieder eine Algebra ist.
4. Es seien An , n ≥ 1 Algebren von Teilmengen einer Menge E mit der
Eigenschaft
An ⊆ An+1 , n ≥ 1,
und
A∞ :=
∞
[
An = {B ⊆ E| es gibt ein n ≥ 1 mit B ∈ An }.
n=1
Man zeige, dass A∞ eine Algebra ist.
5.
2.3
σ-Algebren
Es sei E eine nichtleere Menge und A ein Mengensystem aus E.
Definition 2.7 Man nennt A eine σ-Algebra (von Teilmengen von E, bzw.
aus E), falls A eine Algebra ist und zusätzlich gilt
falls An ∈ A, n ≥ 1, so ist
∞
[
An ∈ A.
(2.9)
n=1
Eine σ-Algebra A aus E ist also eine Algebra aus E, die zusätzlich abgeschlossen ist bezüglich der Vereinigungsbildung (und damit wegen ∩An = (∪Acn )c
auch der Durchschnittsbildung) von abzählbar unendlich vielen Elementen aus
A.
Beispiele 2.8
a) Es sei E eine nichtleere Menge. Dann ist die Potenzmenge P(E) eine
σ-Algebra aus E.
30
Uwe Küchler
b) Das Mengensystem
A := {A ⊆ R|A oder Ac ist höchstens abzählbar unendlich}
ist eine σ-Algebra aus R. Es ist die kleinste σ-Algebra aus E, die alle
einelementigen Mengen {x} aus E umfasst. Wenn E höchstens abzählbar
ist, so ist A gleich der Potenzmenge P(E).
c) Ist {Zn , n ∈ N} eine Zerlegung der Menge E, so bildet
(
)
[
Zi | I durchläuft alle Teilmengen von N
Z :=
(2.10)
i∈I
eine σ-Algebra aus E. Es ist auch die kleinste σ-Algebra aus E, die alle
Zi , i ∈ N, umfasst.
In den Beispielen b) und c) konnten wir die kleinste σ-Algebra, die das gegebene Mengensystem umfasst, konstruktiv bestimmen, in dem Sinne, dass
wir ihre Elemente beschreiben konnten. Das ist im allgemeinen nicht mehr so.
Man muss auf einen nichtkonstruktiven Weg ausweichen. Der Schlüssel liegt
in folgender Aussage.
Aussage 2.9 Der Durchschnitt A :=
T
Ai = {B ⊆ E|B ∈ Ai , i ∈ I}
i∈I
jeder Menge (Ai , i ∈ I) von σ-Algebren Ai von Teilmengen einer Menge E ist
ebenfalls eine σ-Algebra aus E.
Beweis: Es gilt nach Voraussetzung E ∈ Ai für alle i ∈ I, also ist (2.4) für A
erfüllt. Sind A und B Elemente von A, so gilt wegen (2.6) auch A ∪ B ∈ Ai
für alle i ∈ I, also A ∪ B ∈ A. Somit haben wir (2.6) für A. Die Eigenschaft
(2.5) weist man leicht analog nach.
Aussage 2.10 Ist S irgendein Mengensystem aus E, so gilt
a) Das Mengensystem
\
σ(S ) :=
{A |A ist σ-Algebra aus E mit S ⊆ A}
(2.11)
ist eine σ-Algebra aus E, die S umfasst, d.h., für die gilt S ⊆ σ(S ).
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
31
b) σ(S ) ist die kleinste σ-Algebra mit S ⊆ σ(S ) , m.a.W.,
ist H eine σ-Algebra aus E mit S ⊆ H, so gilt σ(S ) ⊆ H.
Man nennt das Mengensystem S einen Erzeuger der σ-Algebra σ(S ).
Beweis: Nach Aussage 2.9 ist σ(S ) eine σ-Algebra, und es gilt nach Definition
(2.11) die Relation S ⊆ σ(S ).
Angenommen H ist eine σ-Algebra aus E mit S ⊆ H, so folgt aus der Definition (2.11), dass σ(S ) ⊆ H gilt, da H eine der σ−Algebren bei der Durchschnittsbildung auf der rechten Seite von (2.11) ist.
Folgende zwei Eigenschaften (2.12) und (2.13) sind für das Arbeiten mit σ−Algebren
recht nützlich.
Ist A eine σ-Algebra aus E, so gilt σ(A) = A.
(2.12)
Zum Beweis: Wegen A ⊆ σ(A) bleibt nur zu zeigen σ(A) ⊆ A. Das ergibt sich
aber aus der Tatsache, dass A unter den σ−Algebren bei der Durchschnittsbildung auf der rechten Seite von (2.11) vorkommt.
Sind S und S 0 Mengensysteme aus E, so gilt:
aus S ⊆ S 0 folgt σ(S ) ⊆ σ(S 0 ).
(2.13)
Für jede σ-Algebra H, für die S 0 ⊆ H gilt, ist nämlich wegen S ⊆ S 0 auch
S ⊆ H richtig. Damit sind an der Durchschnittsbildung in (2.11) im Fall S
mindestens so viele σ-Algebren H beteiligt, wie bei S 0 . Daraus ergibt sich
(2.13).
Wir haben die Elemente der Algebra A0 (S ) auf konstruktive Weise aus den
Elementen der Semialgebra S erhalten (siehe Aussage 2.7). Dafür mussten wir
nur alle möglichen endlichen Vereinigungen von Elementen von S bilden. Die
σ-Algebra σ(S ) dagegen entstand von oben herab“ mittels Durchschnittsbil”
dung über alle σ-Algebren, die das Mengensystem S umfassen. Diese Methode ist i.a. nicht konstruktiv, selbst wenn S eine Algebra bildet. Die Antwort
32
Uwe Küchler
auf die Frage, ob es nicht genügt, alle abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitte sowie Komplemente von Elementen von S zu bilden, um zu σ(S )
zu gelangen, ist negativ. Wir präzisieren diese Aussage etwas näher und folgen
dabei einer Darstellung von Billingsley [?], Seite 30ff.
Es sei S irgendein Mengensystem aus einer Menge E. Mit S ∗ bezeichnen wir
die Menge aller Elemente aus S , ihrer Komplemente und ihrer endlichen oder
abzählbar unendlichen Vereinigungen und Durchschnitte.
Ist A ein Mengensystem aus einer Menge E, so setzen wir A0 := A und definieren An := A∗n−1 , n ≥ 1. Offenbar gilt An ⊆ σ(A) für jedes n ≥ 1 und
somit
∞
[
An ⊆ σ(A).
(2.14)
n=1
Ein Beispiel, wo in (2.14) nicht die Gleichheit gilt, werden wir im folgenden
Abschnitt kennenlernen.
Beispiele 2.11 Mit
Sd0
:= {(a, b) =
d
Y
(ak , bk )| − ∞ ≤ ak ≤ bk ≤ ∞, k = 1, 2, . . . , d} (2.15)
k=1
gilt
σ(Sd0 ) = σ(Sd ).
Ist nämlich (a, b) =
d
Q
(ak , bk ) ∈ Sd0 , so gilt mit (a, b]n :=
k=1
d
Q
(ak , bkn ] und
k=1
bkn := bk − n1 , falls bk < ∞, und bkn := n, falls bk = ∞ die Beziehung
(a, b]n ∈ Sd und somit (a, b) = ∪dn=1 (ak , bkn ] ∈ σ(Sd ).
Also haben wir Sd0 ⊆ σ(Sd ).
Mittels (2.13) und (2.12) folgt nunmehr
σ(Sd0 ) ⊆ σ(σ(Sd )) = σ(Sd ).
(2.16)
1
Analog erhält man auf der Grundlage von (ak , bk ] = ∩∞
n=1 (ak , bk + n ), falls
bk < ∞ und wegen (ak , ∞] = (ak , ∞) falls bk = ∞ die Beziehung
Sd ⊆ σ(Sd0 ).
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
33
Daraus ergibt sich ebenso mit (2.13) und (2.12) die Beziehung
σ(Sd ) ⊆ σ(σ(Sd0 )) = σ(Sd0 ).
(2.17)
Beide Eigenschaften (2.16) und (2.17) zusammen ergeben
σ(Sd0 ) = σ(Sd ).
2.4
Messbare Räume und Borelmengen
Definition 2.12 Jedes Paar (E, E), wobei E eine nichtleere Menge ist und E
eine σ-Algebra von Teilmengen von E bildet, heißt ein messbarer Raum. Eine
Teilmenge A ⊆ E heißt E-messbar, falls A ∈ E gilt. Sind keine Verwechslungen
möglich, so spricht man einfach von messbaren Mengen.
Definition 2.13
a) Es sei S := {(a, b]| − ∞ ≤ a < b ≤ ∞} (siehe Beispiel 2.2a)).
Dann heißt B := σ(S1 ) die σ-Algebra der Borelmengen (oder Borelsche
σ-Algebra) aus R.
(Emile Borel, französischer Mathematiker,1871-1956)
b) Mit Sd := {
d
Q
(ak , bk ]| − ∞ ≤ ak ≤ bk ≤ ∞, k = 1, 2, . . . , d} (siehe
k=1
Beispiel 2.2b)) heißt Bd := σ(Sd ) die σ-Algebra der Borelmengen (oder
Borelsche σ-Algebra) aus Rd .
Das Mengensystem Sd aller nach links halboffenen Quader im Rd ist also ein
Erzeuger der Borelschen σ-algebra Bd . Jede einelementige Menge {x}, x ∈ Rd ,
ist eine Borelmenge (es gilt nämlich ({x} = ∩n (x − n1 , x])), damit auch jede
Menge B ⊆ Rd mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Elementen, und
somit auch die Menge Qd aller x ∈ Rd , deren Koordinaten sämtlich rational
sind.
Definition 2.14 Eine Menge U ⊆ Rd heißt offen, wenn man für jedes x ∈ U
einen d-dimensionalen Quader Q ∈ Sd0 (siehe (2.15)) finden kann mit x ∈ Q ⊆
U . Eine Menge V ⊆ Rd heißt abgeschlossen, falls ihr Komplement V c = Rd \V
offen ist.
34
Uwe Küchler
Abbildung 2.3: Approximation eines Halbkreises H durch endliche Vereinigungen Hn von Rechtecken: H = ∪∞
n=1 Hn
Bemerkung 2.15 Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen in Rd ist
ebenfalls offen. Geht man zu Komplementen über, so folgt sofort, dass der
Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist.
Aussage 2.16 Es sei d ≥ 1.
Im Rd sind alle Quader der Form (a, b) =
d
Q
(ak , bk ) aus Sd0 (siehe
k=1
(2.15)) offen und alle Quader der Form [a, b] =
d
Q
[ak , bk ] mit −∞ ≤
k=1
ak ≤ bk ≤ ∞, k = 1, 2, . . . , d abgeschlossen im Sinne der Definition 2.14.
a)
b) Jede offene und jede abgeschlossene Menge im Rd ist eine Borelmenge.
c) Bezeichnet U d das System aller offenen Mengen aus Rd und V d das
System aller abgeschlossenen Mengen aus Rd , so gilt
σ(U d ) = σ(V d ) = Bd .
(2.18)
Beweis: a) Ist x = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ (a, b), so ist (a, b) selbst ein Quader aus
Sd0 , wie er in Definition 2.14 gefordert wird, also ist jeder Quader Q = (a, b)
aus Sd0 eine offene Menge.
Im Fall d = 1 ist [a, b]c = (−∞, a) ∪ (b, ∞), also offen. Für d = 2 gilt für
das Komplement [a, b]c = ((−∞, a1 ) × R) ∪ ((b1 , ∞) × R) ∪ (R × (−∞, a2 )) ∪
(R × (b2 , ∞)) eine offene Menge. Diese Menge lässt sich schreiben als [a, b]c =
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
35
π1−1 ((−∞, a1 )∪(b1 , ∞))∪π2−1 ((−∞, a2 )∪(b2 , ∞)). Für allgemeines d ≥ 2 haben
wir
[a, b]c = ∪dk=1 πk−1 ((−∞, ak ) ∪ (bk , ∞)).
Wegen πk−1 ((−∞, ak )∪(bk , ∞)) = (−∞, ∞)×. . . (−∞, ∞)×(ak , bk )×(−∞, ∞)×
. . . × (−∞, ∞) ∈ Sd0 ist also [a, b]c eine Vereinigung offener Mengen, also offen.
b) Ist U eine offene Menge, so können wir zu jedem x ∈ U einen offenen Quader
Q = (a, b) ∈ Sd0 mit x ∈ Q ⊆ U wählen. Berücksichtigen wir Bemerkung, so
können wir einen Quader Q0 = (a0 , b0 ) ∈ Sd0 mit rationalen Endseiten a0k und
b0k finden, für den gilt x ∈ Q0 ⊆ Q ⊆ U richtig ist. Dieser Quader Q0 kommt
in der (abzählbaren) Vereinigung aller Quader Q0 = (a, b) ∈ Sd0 mit rationalen Endseiten a0k und b0k , die Teilmengen von U sind, vor. Diese Vereinigung
enthält aber auch jedes Element x von U , somit ist sie gleich U . Das bedeutet, U ist als abzählbare Vereinigung von Borelmengen (a, b) eine Borelmenge.
Als Konsequenz erhalten wir, dass auch jede abgeschlossene Teilmenge von Rd
Borelsch ist.
Der Teil c) folgt aus Sd ⊆ U d ⊆ Bd und Bd = σ(Sd ) ⊆ σ(U d ) ⊆ Bd sowie
σ(U d ) = σ(V d ).
Also: Die σ-Algebra Bd aller Borelmengen des Rd ist die kleinste σ-Algebra aus
Rd , die alle offenen (bzw. die alle abgeschlossenen) Teilmengen von Rd umfaßt.
Mit anderen Worten, das Mengensystem U der offenen Mengen aus Rd und
das Mengensystem V der abgeschlossenen Mengen aus Rd sind beide Erzeuger von Bd . Wie wir noch sehen werden, sind die messbaren Räume (Rd , Bd )
mit d ≥ 1 sehr gut geeignete Objekte für die Masstheorie im Rd und somit
auch für Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik. Einerseits
ist das Mengensystem der Borelmengen abgeschlossen bezüglich Vereinigungsund Durchschnittsbildung abzählbar unendlich vieler seiner Elemente sowie
bezüglich der Komplementbildung, andererseits ist es das kleinste solche System von Teilmengen von Rd , das auch alle Quader enthält.
Dagegen umfasst die Potenzmenge P(Rd ) von Rd , also die Menge aller Teilmengen von Rd , einfach zu viele Elemente, um eine fruchtbare Masstheorie für
den messbaren Raum (Rd , P(Rd )) zu entwickeln. Zu dieser Problematik siehe
auch Elstrodt [3], Kapitel I, 1.
36
Uwe Küchler
Die allgemeine Form von Borelmengen ist nicht bekannt. Das heißt, man kann
nicht sagen, wie eine Menge beschaffen sein muss, damit sie Borelsch ist.
Man weiss aber, dass die Gesamtheit Bd aller Borelmengen des Raumes Rd
weitaus kleiner ist, als die Menge P(Rd ) aller Teilmengen von Rd (siehe z.B.
Elstrodt,[3], Korollar 8.6).
Als Ergänzung zu den Bemerkungen vor der Gleichung (2.14) halten wir fest,
dass es Borelmengen gibt, die nicht durch eine endliche oder sogar abzählbar unendliche Folge endlicher oder abzählbar unendlicher Vereinigungs- und
Durchschnittsbildungen sowie Komplementbildungen von Intervallen dargestellt werden können. Eine genaue Untersuchung dazu findet man in Billingsley [?], Seite 30 ff.
2.5
σ-Algebren und Abbildungen
Es sei X eine Abbildung von einer nichtleeren Menge E in einen messbaren
Raum (F, F).
Aussage 2.17 Das Mengensystem
EX := X −1 (F) := {X −1 (B)|B ∈ F}
ist eine σ-Algebra aus E.
Die σ-Algebra EX := X −1 (F) heißt auch σ-Algebra der Urbilder von F vermittels X, oder auch die von der Abbildung X erzeugte σ-Algebra in E.
Beweis: Es gilt E ∈ EX wegen X −1 (F ) = E, die anderen Eigenschaften
(2.5),(2.6) und (2.9) einer σ-Algebra folgen aus der Operationstreue von X −1 .
Beispiele 2.18
a) Ist E eine nichtleere Menge, und ist A eine Teilmenge
von E, so bezeichnet man mit 1A die sogenannte Indikatorfunktion von
A. Sie ist definiert durch 1A (y) = 1 für alle y ∈ A und 1A (y) = 0 für alle
y ∈ E\A. Für (F, F) wählen wir (R, B). Die σ-Algebra EX für X = 1A
besteht aus den Elementen ∅, A, Ac , E.
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
37
b) Ist E eine nichtleere Menge, und ist X eine Abbildung von E auf eine höchstens abzählbare Menge F = {x1 , x2 , . . .} paarweise verschiedener xk , k = 1, 2, . . ., so bildet {{y ∈ E|X(y) = xk }, k = 1, 2, . . .} eine
Zerlegung von E, und EX = X −1 (P(F )) besteht aus allen möglichen
Vereinigungen von Elementen dieser Zerlegung (siehe Beispiele 2.8 c)).
Die folgende Aussage wird im Weiteren oft benutzt werden.
Aussage 2.19 Ist S ein Mengensystem in F , so gilt
σ(X −1 (S )) = X −1 (σ(S ))
(2.19)
Beweis: Auf Grund der Eigenschaften (2.12) und (2.13) gilt σ(X −1 (S )) ⊆
X −1 (σ(S )), da X −1 (S ) ⊆ X −1 (σ (S )) und σ(X −1 (S )) die kleinste σAlgebra ist, die X −1 (S ) umfaßt.
Um die umgekehrte Inklusion zu beweisen, setzen wir B := {C ⊆ F |X −1 (C) ∈
σ(X −1 (S))}. Das Mengensystem B ist eine σ-Algebra in F (man nutze die
Operationstreue von X −1 ) und nach Definition von B gilt S ⊆ B. Also ist
σ(S ) ⊆ B und somit gilt auf Grund der Definition von B die Beziehung
X −1 (σ(S ) ⊆ X −1 (B) ⊆ σ(X −1 (S )).
Beispiele 2.20 Setzen wir E = R1 und (F, F) = (R1 , B1 ) so gilt für X(y) =
exp[y], y ∈ E die Beziehung EX = B1 .
Davon überzeugt man sich leicht mittels (1.13) und
S = {(a, b]| − ∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞}.
Übungsaufgaben
1) Zeigen Sie, dass die Mengensysteme aus den Beispielen 2.8 σ-Algebren
sind.
2) Überzeugen sie sich davon, dass die Beziehungen (2.12) und (2.13) richtig
sind.
o
n
k k+1
n
3) für jede natürliche Zahl n aus N ist 4n := 2n | 2n , k = 0, 1, . . . 2 −1
eine Zerlegung des Intervalls [0, 1).
38
Uwe Küchler
a) Man gebe die von 4n erzeugte σ-Algebra An := σ(4n ) von Teilmengen von [0, 1) an.
b) Zeigen Sie, dass
An ⊆ An+1 ,
n≥1
gilt.
c) Gemäß Übungsaufgabe 4. aus Abschnitt 2.2 ist
S :=
∞
[
Ak
k=1
eine Algebra. Zeigen Sie, dass S keine σ-Algebra ist.
d) Welche Teilmengen von [0, 1) gehören zu σ(S )?
4) Es sei f die durch
f (x) = |x|,
x ∈ R1 ,
gegebene Abbildung von R1 in R1 . Bestimmen Sie Bf := f −1 (B).
5) Überzeugen Sie sich davon, dass die Menge {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1}
eine offene Menge in R2 ist.
6) Beweisen Sie die Aussage 1.5.
Hinweis:Zeigen Sie zunächst die Richtigkeit folgender Aussage.
Es seien A, B1 , B2 , . . . , Bn Elemente einer Semialgebra S. Dann gibt es
paarweise disjunkte Mengen C1 , C2 , . . . , Cm ∈ S, so dass gilt:
n
S
Sm
A\( Bi ) = ˙
Cj .
i=1
j=1
Prüfen Sie nunmehr für A die Eigenschaften (2.4)-(2.6) einer Algebra
nach.
7) Es seien (E, E) ein messbarer Raum und C irgendeine nichtleere Teilmenge von E. Durch EC := {C ∩ B|B ∈ E} ist ein Mengensystem in C
definiert, das man die Spur von E auf C nennt. Man zeige:
Semialgebren, Algebren, sigma-Algebren
39
a) das Mengensystem EC ist eine σ−Algebra von Teilmengen von C,
b) ist S ein Erzeuger von E, so ist SC := S ∩ C = {B ∩ C|B ∈ S }
ein Erzeuger von EC , d.h., es gilt
(σ(S ))C = σ(SC )
(Hinweis zu a) und b): Man definiere eine Abbildung H von C in E
durch H(x) := x, x ∈ C und verwende die Aussagen 2.17 und 2.19.
c) wenn C ∈ E, so ist eine Teilmenge B von C genau dann EC -messbar,
wenn sie E-messbar ist.
d) Man gebe einen Erzeuger der σ−Algebra B[0,1) an.
8. Beweisen Sie:
a) Wenn (Ai , i ∈ I) eine Menge offener Mengen in Rd ist, so ist auch
∪i∈I Ai offen in Rd . Eine analoge Aussage gilt nicht für abgeschlossene Mengen.
b) Mittels a) zeige man: Wenn (Bi , i ∈ I) eine Menge abgeschlossener
Mengen in Rd ist, so ist auch ∩i∈I Ai abgeschlossen in Rd . Eine
analoge Aussage gilt nicht für offene Mengen.
40
Uwe Küchler
Kapitel 3
Mengenfunktionen und Maße
In diesem Abschnitt definieren wir Maße auf σ-Algebren, das sind Abbildungen von einer σ-Algebra in die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen einschließlich eventuell des Elementes ∞. Anschaulich könnte man sich darunter
Volumina von Körpern im Raum vorstellen, oder Flächeninhalte von ebenen
Figuren, oder auch Längen eindimensionaler Strecken. Diese klassischen Maße
von Körpern, Flächen und Strecken haben gemeinsame Eigenschaften. Sie sind
nichtnegativ, und sie sind additiv: Fügt man zwei solcher Objekte zusammen,
ohne dass sie sich überlappen, so ist das Gesamtmaß des neuen Objektes gleich
der Summe der Maße der Einzelobjekte.
Volumen von Quadern, Flächeninhalte von Rechtecken und Längen von geraden Strecken sind leicht anzugeben. Aber selbst wenn man die Fläche eines
Kreises bestimmen soll, muss man zu einem Grenzwert von Approximationen
durch endliche Vereinigungen immer feinerer Rechtecke übergehen. Das wird
durch Abbildung 2.4 angedeutet. Um also auch Maße komplizierterer Objekte
in den Griff zu bekommen, fordert man von Maßen eine gewisse Verträglichkeit mit Grenzübergängen, als passende Eigenschaft erweist sich die sigmaAdditivität.
Mathematisch abstrakt werden die genannten Eigenschaften in Definition 3.1
erfaßt, und in dieser Abstraktheit eignet sich der Begriff des Maßes auch sehr
gut zur mathematischen Modellierung von zufälligen Ereignissen und ihren
Wahrscheinlichkeiten. Zu Beginn des Abschnitts 1.1. wurde nämlich angedeutet, dass zufällige Ereignisse mit Teilmengen einer Grundmenge von möglichen
Ausgängen eines zufälligen Versuches werden können. In der Tat modelliert
man diese zufälligen Ereignisse durch Elemente einer σ-Algebra von Teilmengen einer Menge möglicher Versuchsausgänge, und die Wahrscheinlichkeiten
41
42
Uwe Küchler
dieser Ereignisse durch ein Maß auf dieser σ-Algebra.
3.1
Definitionen
Es seien E eine nichtleere Menge, E ein Mengensystem aus E und µ eine
Funktion von E in die Menge [0, ∞) ∪ ∞, wir nennen eine solche Funktion eine
Mengenfunktion.
Definition 3.1
a) Eine Mengenfunktion µ auf E heißt additiv auf E, falls
µ(∅) = 0,
(3.1)
und falls für jedes n ∈ N und für jede Folge (Ak , k = 1, 2, . . . , n) paarn
S
weise disjunkter Mengen Ak aus E mit
Ak ∈ E, gilt:
k=1
µ
[
n
Ak
=
k=1
n
X
µ(Ak ).
(3.2)
k=1
b) Eine Mengenfunktion µ auf E heißt σ-additiv auf E, falls sie additiv auf
E ist, und falls für jede abzählbar unendliche Folge (An , n ≥ 1) paarweise
∞
S
disjunkter Mengen An aus E mit
An ∈ E die Gleichung
n=1
µ
[
∞
n=1
An
=
∞
X
µ(An )
(3.3)
n=1
richtig ist.
Aussage 3.2 Für jede additive Mengenfunktion µ auf einer Algebra A von
Teilmengen einer Menge E gelten folgende Aussagen.
Mengenfunktionen und Maße
43
1) Für alle A, B ∈ A mit A ⊆ B und µ(A) < ∞ gilt µ(B\A) = µ(B)−µ(A),
insbesondere ist µ(A) ≤ µ(B).
(Monotonie der additiven Mengenfunktion µ)
2) Für alle A, B ∈ A mit µ(A ∩ B) < ∞ gilt µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) −
µ(A ∩ B).
3) Die beiden folgende Eigenschaften sind äquivalent:
a) Die additive Mengenfunktion µ ist σ-additiv auf A.
b) Für jede Folge (An ) aus A mit An ⊆ An+1 , µ(An ) < ∞, n ≥ 1, und
∞
∞
S
S
An ∈ A, gilt lim µ(An ) = µ
An .
n=1
n→∞
n=1
(Stetigkeit der Mengenfunktion µ von unten)
4) Die beiden folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
a) Für jede Folge (An ) aus A mit An ⊇ An+1 , n ≥ 1, µ(A1 ) < ∞ und
∞
T
T∞
A
∈
A
gilt
lim
µ(A
)
=
µ
An ).
n
n
n=1
n→∞
n=1
(Stetigkeit der Mengenfunktion µ von oben)
b) T
Für jede Folge (An ) aus A mit An ⊇ An+1 , n ≥ 1, µ(A1 ) < ∞ und
∞
n=1 An = ∅ gilt lim µ(An ) = 0.
n→∞
( Stetigkeit der Mengenfunktion µ in der leeren Menge)
5) Die Eigenschaften in 3) ziehen die Eigenschaften in 4) nach sich. Im Fall,
dass µ(E) < ∞ gilt, sind die Eigenschaften in 3) und 4) äquivalent.
6) Ist µ σ-additiv, so gilt für jede Folge (An ) aus A mit
∞
S
An ∈ A die
n=1
Ungleichung
µ
∞
[
n=1
An ≤
∞
X
µ(An ).
(3.4)
n=1
( Subadditivität der Mengenfunktion µ)
44
Uwe Küchler
Beweis:
1) B = A ∪ (B\A), beide Mengen der rechten Seite sind disjunkt, also gilt
µ(B) = µ(A) + µ(B\A) ≥ µ(A).
2) A ∪ B = (A\B) ∪ (B\A) ∪ (A ∩ B), die Mengen A\B, B\A und A ∩ B
sind paarweise disjunkt, daraus folgt wegen der Additivität von µ und
mit 1) die Behauptung.
3) Es gelte 3a), und es sei An ⊆ An+1 , µ(An ) < ∞, n ≥ 1,
∞
S
An ∈ A.
n=1
Mit Bn := An \An−1 , n ≥ 1, A0 := ∅ gilt
S
Bn =
n
S
An und die Bn sind
n
paarweise disjunkt. Also gilt wegen Definition (3.3) der σ-Additivität
und Eigenschaft 1) sowie (3.1) die Gleichung
µ
[
∞
An
n=1
= lim
m→∞
=µ
[
∞
Bn
n=1
m
X
=
∞
X
µ(Bn ) =
n=1
∞
X
[µ(An ) − µ(An−1 )]
n=1
[µ(An ) − µ(An−1 )] = lim (µ(Am ) − µ(A0 )) = lim µ(Am ).
m→∞
n=1
m→∞
Somit gilt die Eigenschaft 3b).
Ist (An ) eine Folge paarweise disjunkter Mengen mit An ∈ A, n ≥ 1 sowie
∞
S
An ∈ A, und gilt für mindestens ein n ≥ 1 die Gleichung µ(An ) = ∞,
n=1
so ist die Beziehung (3.3) erfüllt. Wir koennen also µ(An ) < ∞ für alle
n ≥ 1 voraussetzen.
Nun definieren wirSeine monoton
Sm
S∞wachsende Folge
∞
Bm := n=1 An , m ≥ 1 aus A. Es gilt n=1 Bn = n=1 An und wegen
3b)
∞
∞
m
∞
[
[
X
X
µ(
An ) = µ(
Bm ) = lim
µ(An ) =
µ(An ).
n=1
m=1
n→∞
n=1
n=1
Also gilt 3a).
4 Aus 4a) folgt als Spezialfall 4b). Es gelte 4b), und
T∞ es sei (An ) eine Folge
aus A mit An ⊇ An+1 , n ≥ 1, µ(A1 ) < ∞ und n=1 An ∈ A. Wir setzen
Mengenfunktionen und Maße
45
T∞
C
:=
A
\(
m
m
n=1 An ), m ≥ 1. Die Folge (Cm ) ist monoton fallend mit
T∞
m=1 Cm = ∅. Wegen
T∞4b) ergibt sich limm→∞ µ(Cm ) = 0. Das
T∞bedeutet
limn→∞ µ(An ) − µ(( n=1 An ) = 0, also limn→∞ µ(An ) = µ(( n=1 An ) =
0. Somit gilt 4a). Wir zeigen, dass 3a) auch 4b) nach sich zieht. Es sei
∞
T
An ⊇ An+1 , n ≥ 1,
An ∈ A und µ(A1 ) < ∞. Wir definieren die
n=1
paarweise disjunkten Cn := An \An+1 , n ≥ 1, und erhalten für jedes
∞
∞
S
T
n ≥ 1 die Beziehung An =
Ck ∪
Ak . Aus Definition (3.3) der σk=n
Additivität, Ck ∩
k=1
T∞
n=1 An = ∅ für alle k ≥ 1 und
folgt
µ(An ) =
∞
X
µ(Ck ) + µ
n→∞
∞
T
µ(Ck ) < µ(A1 ) < ∞
k=1
An .
n=1
k=n
Somit ist lim µ(An ) = µ
\
∞
∞
P
An .
n=1
Nun setzen wir voraus, dass µ ein finites Maß ist und wollen zeigen, dass
aus 4b) die Eigenschaft der σ-Additivität folgt. Dazu sei (An ) eine Folge
∞
S
paarweise disjunkter Mengen mit An ∈ A, n ≥ 1 sowie
An ∈ A. Wir
n=1
S∞
definieren Cm := n=m An , m ≥ 1. Die Folge (Cm ) ist monoton fallend
∞
S
T
An ∈ A sowie Cm = C1 ∩ Ac1 ∩ Ac2 ∩
mit ∞
m=1 Cm = ∅ und C1 =
n=1
. . . Acm−1 ∈ A, m ≥ 2. Folglich gilt wegen der Additivität von µ und 4b)
µ(
∞
[
n=1
An ) = µ(
m
[
An )+µ(Cm+1 ) =
n=1
m
X
n=1
m→∞
µ(An )+µ(Cm+1 ) −→
∞
X
µ(An )
n=1
Also ist (3.3) richtig.
5) Ist n ≥ 2, so gilt
n
[
Ai = A1 ∪ (A2 \A1 ) ∪ (A3 \(A1 ∪ A2 )) ∪ . . . (An \(A1 ∪ . . . ∪ An−1 ),
i=1
und da die Mengen A1 , Aj \(A1 ∪ . . . ∪ Aj−1 ) für j = 2, . . . , n paarweise
disjunkt sind, haben wir für alle n ≥ 2 wegen der Additivität und der
46
Uwe Küchler
Monotonie von µ
µ
[
n
Ai
=
i=1
n
X
µ(Ai \(Ai ∪ . . . ∪ Ai−1 )) ≤
i=1
n
X
µ(Ai ) ≤
i=1
∞
X
µ(Ai )
i=1
Mittels der Stetigkeit der Mengenfunktion µ von unten ergibt sich
∞
n
S
S
µ( Ai ) = lim µ( Ai ) und somit 5).
i=1
n→∞
i=1
Definition 3.3 Es sei E eine σ-Algebra von Teilmengen einer nichtleeren
Menge E.
1) Ist µ eine σ-additive Mengenfunktion auf E, so nennt man µ ein Maß
auf E und das Tripel (E, E, µ) einen Maßraum.
2) Gilt für ein Maß µ auf einer σ-Algebra E die Beziehung µ(E) < ∞, so
heißt µ endliches (oder finites) Maß.
Gilt µ(E) = 1, so nennt man µ normiert.
S
3) Gibt es eine Folge (En ) aus E mit En = E, wobei für alle n gelte
n
µ(En ) < ∞, so heißt µ σ-endliches oder σ-finites Maß.
Normierte Maße heißen auch Wahrscheinlichkeitsmaße (oder Wahrscheinlichkeitsverteilungen), und µ(A) nennt man in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit
von A.
Ein normierter Maßraum (E, E, µ) ist ein Maßraum, dessen Maß µ normiert
ist. Er wird auch Wahrscheinlichkeitsraum genannt.
Beispiele 3.4
k
a) Es seien λ > 0, E := N0 , E := P(N0 ) und qk = λk! , k ∈ N0 . Durch
X
µ(B) :=
qk , B ⊆ N0 ,
(3.5)
k∈B
ist ein endliches Maß µ auf der σ-Algebra P(N0 ) mit µ(N0 ) = exp (λ) gegeben. Mit der Normierung µ∗ (.) := exp (−λ)µ(.) wird (N0 , P(N0 ), µ∗ ) zu einem
Wahrscheinlichkeitsraum.
Mengenfunktionen und Maße
47
b) Sind E eine nichtleere Menge, E := {A ⊆ E|A oder Ac ist höchstens abzählbar},
so ist durch
µ(B) := Anzahl der Elemente der MengeB, B ∈ E,
(3.6)
falls B endlich ist, µ(B) = ∞ anderenfalls,
ein Maß µ auf E definiert. µ ist finit, falls E endlich ist, und µ ist σ−finit,
falls E abzählbar unendlich ist.
Es seien (E, E, µ) ein Maßraum und C eine E-messbare Teilmenge von E. Die
Mengenfunktion µC (.), definiert durch
µC (B) := µ(B), B ∈ EC ,
(3.7)
ist die Einschränkung von µ auf den messbaren Raum (C, EC ).
Ist ν(.) eine σ−additive Mengenfunktion auf einem System S von Teilmengen
einer Menge E, und gibt es ein Maß µ(.) auf einer σ−Algebra E von Teilmengen
von E mit S ⊆ E und µ(B) = ν(B) ür alle B ∈ S , so heißt µ eine Fortsetzung
der Mengenfunktion ν von S auf E.
Definition 3.5 Eine messbare Menge A aus einem Maßraum (E, E, µ) heißt
eine µ-Nullmenge, falls µ(A) = 0 gilt.
Gilt eine Eigenschaft (z.B. X(y) ≥ 0) nicht für alle y ∈ E, sondern nur für
alle y aus dem Komplement Nc einer µ-Nullmenge N, so sagt man, die Eigenschaft gelte µ−fast überall, kurz: µ−f.ü.
Ist (An , n ≥ 1) eine Folge von µ-Nullmengen, so istSwegen der Subadditivität
von Maßen (Eigenschaft 5) aus Aussage 3.2) auch n≥1 An eine µ-Nullmenge.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit Null häufig ignoriert: mit ihrem Eintreten braucht nicht gerechnet zu werden.
Bisher haben wir einige unmittelbare Folgerungen aus der Additivität und σAdditivität von Mengenfunktionen hergeleitet und den Begriff des Maßes auf
einer σ-Algebra E definiert. Wie gelangt man aber zu konkreten Maßen? Die
Angabe der Werte µ(A) für alle A ∈ E erscheint zunächst hoffnungslos, da
man i.a. nicht einmal alle Elemente von E kennt, z.B. für E = Bd , d ≥ 1. Wir
widmen uns als nächstes dieser Frage und beginnen mit dem relativ einfachen
Fall sogenannter diskreter Maße.
48
Uwe Küchler
3.2
Diskrete Maße
Definition 3.6
a) Es seien M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, E
irgend eine Menge und Y := {yn , n ∈ M } eine endliche oder abzählbar unendliche Teilmenge von E. Weiterhin sei (qn , n ∈ M ), eine Folge
positiver reeller Zahlen. Durch
µ(B) :=
X
qn ,
B ⊆ E,
(3.8)
n:yn ∈B
ist auf der σ-Algebra P(E) ein Maß µ definiert.
Die Menge Y heißt Träger des Maßes µ und die qn nennt man die Einzelmaße von µ.
Wegen (3.8) gilt µ({yn }) = qn , n ∈ M und µ(E\Y ) = 0. Das Maß µ
heißt diskretes Maß, da es in diskreten“ Punkten yn konzentriert ist.
”
(Das Wort diskret steht hier für abgetrennt, einzeln.)
b) Gilt in a) die Beziehung qn = 1 für alle n ∈ M , so ist
µ(B) = Anzahl der Elemente y aus Y, die auch zu B gehören.
Das Maß µ heißt in diesem Fall das Zählmaß auf Y .
q1
q2
y2
y1
q1
q3
y2
y1
E
q3
q2
y2
B
y2
E
Abbildung 3.1: Diskretes Maß µ mit Träger {y1 , y2 , y3 } und Einzelmaßen
q1 , q2 , q3 . Das Maß von B ist gemäß(3.8) µ(B) = q1 + q2 .
Mengenfunktionen und Maße
49
Diskrete Maße sind einfach zu handhaben, wegen (3.8) sind sie für jede Menge
B ⊆ Y explizit definiert und können (zumindestens prinzipiell) unmittelbar
berechnet werden. Da sie durch die Folge (yn , qn )n∈M eindeutig bestimmt sind,
heißt mitunterP
die Folge (yn , qn )n∈M bereits ein diskretes Maß.
Gilt überdies
n∈M qn = 1, so spricht man von diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen oder -verteilungen (die Gesamtwahrscheinlichkeit Eins ist auf die
yn , n ∈ M, verteilt).
Ist Y eine endliche Menge, z.B. Y = {y1 , y2 , . . . , yn }, und gilt qk ≡ n1 , so heißt
die dadurch gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung die gleichmäßige Verteilung auf {y1 , y2 , . . . , yn }. Sie stellt das mathematische Modell der rein zufälligen Auswahl eines Elementes aus {y1 , y2 , . . . , yn } dar: Jedes Element von Y
wird bei einer zufälligen Auswahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt.
Klassische Beispiele sind das Werfen einer Münze mit den Versuchsergebnissen
W “für Wappen und Z “für Zahl, das Werfen eines regelmäßigen Spielwürfels
”
”
mit den möglichen Ergebnissen 1, 2, . . . , 6 oder die zufällige Auswahl einer Kugel aus einer Lostrommel beim Lotto 6 aus 49 “.
”
3.3
Maße auf (R, B)
Bisher haben wir Beispiele für Maße kennen gelernt, die explizit auf gegebenen σ−Algebren, meist auf größtmöglichen, nämlich den Potenzmengen, definiert werden konnten. Im Allgemeinen werden Maße jedoch nur auf sehr viel
kleineren Mengensystemen vorgegeben und müssen dann auf größere geeignet
fortgesetzt werden.
In diesem Abschnitt werden wir Maße auf der reellen Achse R, versehen mit
der σ−Algebra B der Borelmengen, durch einfachere Objekte, nämlich ihre
Verteilungsfunktionen, charakterisieren, was den Umgang mit ihnen wesentlich erleichtert. Dabei beschränken wir uns zunächst auf finite Maße, zu denen
auch die Wahrscheinlichkeitsmaße gehören. Im Weiteren behandeln wir lokal
finite Maße, das sind solche, die für beschränkte Mengen endlich sind. Dadurch
werden wichtige σ−finite Maße wie das Lebesguemaß, das jedem Intervall seine
Länge als Maß zuweist, erfasst.
Definition 3.7 Für jedes endliche Maß µ auf (R, B) ist durch
F (x) := µ((−∞, x]), x ∈ R,
(3.9)
50
Uwe Küchler
eine Funktion F auf R definiert, die als Verteilungsfunktion des Maßes µ bezeichnet wird.
Wegen Eigenschaft 3.2a) gilt für x ≤ y die Beziehung
µ((x, y]) = F (y) − F (x).
(3.10)
Die folgende Aussage fasst einige weitere Eigenschaften von Verteilungsfunktionen F zusammen.
Aussage 3.8 Es sei F die Verteilungsfunktion eines endlichen Maßes µ auf
(R, B). Dann gilt:
a) F ist monoton nichtfallend: x ≤ y =⇒ F (x) ≤ F (y) für alle x, y ∈ R,
b) lim F (x) =: F (−∞) = 0,
x↓−∞
lim F (x) =: F (∞) < ∞,
x↑∞
c) F ist von rechts stetig: F (x + 0) := lim F (y) = F (x),
y↓x
d) F (x) − F (x − 0) := F (x) − lim F (y) = µ({x}), x ∈ R1 .
y↑x
Beweis: Zum Beweis werden die Eigenschaften 1), 3) und 4) von Aussage 3.2
eingesetzt. Dazu beachte man:
a) (−∞, x] ⊆ (−∞, y] für x ≤ y,
T
b) aus xn ↓ −∞ folgt (−∞, xn ] = ∅,
n
S
aus xn ↑ +∞ folgt (−∞, xn ] = R,
n
c) aus yn ↓ x ergibt sich
T
(−∞, yn ] = (−∞, x].
n
T
d) µ({x}) = µ( (x − n1 , x]) = lim [F (x) − F (x − n1 )] = F (x) − F (x − 0). n
n→∞
Die Punkte x ∈ R mit µ({x}) > 0 sind also genau die Punkte aus R, in denen
F nicht stetig ist: F (x + 0) 6= F (x − 0).
Der Wert F (∞) ist gleich dem gesamten Maß µ(R) des Maßes µ.
Mengenfunktionen und Maße
51
1
qn
q3
q2
q1
y1
y2
y3
...
yn
Abbildung 3.2: Verteilungsfunktion eines diskreten Maßes µ auf R1 mit dem
Träger {y1 , y2 , . . . , yn } und den Einzelmaßen q1 , q2 , . . . , qn
Definition 3.9 Ist F eine Funktion auf R mit den Eigenschaften a) - c) aus
Aussage 3.8, so nennt man sie ebenfalls eine Verteilungsfunktion auf R.
Im Folgenden wollen wir zeigen, dass es zu jeder Verteilungsfunktion F auf R
ein Maß µ auf (R, B) gibt, so daß (3.10) gilt.
Es sei F eine Verteilungsfunktion auf R. Durch
µF ((a, b]) := F (b) − F (a),
−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞
(3.11)
mit F (−∞) := 0, F (∞) := lim F (x),
x→∞
wird eine additive Mengenfunktion µF auf der Semialgebra S aller nach
links halboffenen Intervalle aus R definiert. Sind nämlich A := (a1 , a2 ] und
B := (b1 , b2 ] aus S mit A ∩ B = ∅ und A ∪ B ∈ S , so muss a2 = b1
oder b2 = a1 gelten. Im ersten Fall ist A ∪ B gleich (a1 , b2 ], im zweiten
gleich (b1 , a2 ]. Die Additivität von µF auf S folgt nun im ersten Fall aus
F (b2 ) − F (a1 ) = (F (b2 ) − F (b1 )) + (F (a2 ) − F (a1 )). Der zweite Fall ergibt sich
analog.
Wir erweitern µF zu einer additiven Mengenfunktion auf der kleinsten Algebra
A0 = A0 ( S ), die S umfaßt.
Für A ∈ A0 gilt (siehe Theorem 2.5) A =
n
S
(ak , bk ] für gewisse Intervalle
k=1
(ak , bk ], die paarweise disjunkt gewählt werden können. Nun definieren wir
52
Uwe Küchler
µF (A) :=
n
X
F (bk ) − F (ak ).
(3.12)
k=1
Die Addivität dieser Mengenfunktion µ auf A0 ist einfach zu sehen.
Die folgende Aussage ist entscheidend für unser Vorhaben, nachzuweisen, dass
µF zu einem finiten Maß auf B erweitert werden kann.
Aussage 3.10 Die durch (3.12) definierte Mengenfunktion µF ist σ-additiv
auf A0 (S ).
Beweis: (Wir folgen hier einem Beweis, der in Siraev [[7]], Kapitel II, angegeben
ist.) Wegen Aussage 3.2 Punkt 4) genügt es, die Stetigkeit von µF in der
leeren Menge zu zeigen. Dazu nehmen wirTan, (An ) sei eine Folge von Mengen
aus A0 (S ) mit An ⊇ An+1 , n ≥ 1, und n An = ∅. Wir wollen zeigen, dass
limn→∞ µF (An ) = 0 gilt. Aus Aussage 3.2 Punkt 3) folgt dann, dass µF eine
σ−additive Mengenfunktion auf A0 (S ) ist.
Erster Schritt: Wir nehmen zusätzlich an, dass es eine positive Zahl N gibt, so
dass alle An in dem Intervall [−N, N ] enthalten sind. Die Mengen An haben
eine einfache Struktur. Sie sind (siehe Theorem 2.5) endliche Vereinigungen
von nach links halboffenen Intervallen
An =
kn
[
In,k mit In,k = (an,k , bn,k ], k = 1, 2, . . . , kn .
(3.13)
n=1
Die Funktion F ist rechtsseitig stetig. Folglich gibt es zu jeder positiven Zahl
ε Zahlen a0n,k mit an,k < a0n,k < bn,k und F (an,k ) − F (a0n,k ) < ε · 2−n · 2−kn , 1 ≤
k ≤ kn , n ≥ 1.
Sn 0
Die Mengen Bn := kn=1
[an,k , bn,k ] sind
T abgeschlossen, es
T gilt Bn ⊆ An und
−n
µF (An \Bn ) < ε · 2 , n ≥ 1. Wegen n An = ∅ gilt auch n Bn = ∅.
T 0
Lemma 3.11 Es gibt eine Zahl n0 ≥ 1 mit nn=1
Bn = ∅.
Das bedeutet, bereits
endlich viele
BSn haben einen leeren Durchschnitt.
T
S der
c
Beweis: Wegen n Bn = ∅ gilt n Bn = n R\Bn = R, und somit überdeckt
das Mengensystem (Bnc )n≥1 aus offenen Mengen Bnc insbesondere die abgeschlossene und beschränkte Menge [−N, N ]. Nach einem Satz aus der Analysis
Mengenfunktionen und Maße
53
(Überdeckungssatz von heine und borel) genügt bereits eine endliche Anc
zahl von offenen
Das heißt, es gibt ein
Sn0 Mengen Bn , um [−N, N ] zu überdecken.
Tn0
n0 ≥ 1 mit n=1 R\Bn ⊇T[−N, N ]. Also ist n=1 Bn ⊆ [−N, N ]c , was wegen
0
Bn ⊆ [−N, N ], n ≥ 1, zu nn=1
Bn = ∅ führt.
Nun gilt
An0 ⊆ An0 −1 ⊆ . . . A1
und
µF (An0 ) = µF (An0 \(
n0
\
Bk )) + µF (
k=1
µF (An0 \(
n0
\
Bk )) ≤ µF (
k=1
µF (Ak \Bk ) ≤
Bk ) =
k=1
k=1
n0
X
n0
\
n0
[
Ak \Bk ) ≤
k=1
n0
X
ε · 2−k ≤ ε.
k=1
Wir haben also für jedes noch so kleine, aber positive ε ein n0 = n0 (ε) gefunden, so dass 0 ≤ µF (An ) ≤ µF (An0 ≤ ε für alle n ≥ n0 gilt. Das bedeutet
limn→∞ µF (An ) = 0.
Zweiter Schritt: Es sei ε > 0. Wir wählen ein N so groß, dass
ε
µF ([−N, N ]) > µF (R) −
2
erfüllt ist. Dann gilt
µF (An ) = µF (An ∩ [−N, N ]) + µF (An ∩ (R\[−N, N ])) ≤
ε
µF (An ∩ [−N, N ]) + .
2
Ersetzt man im ersten Beweisschritt die Mengen An durch An ∩ [−N, N ], so
ergibt sich für genügend großes n, dass µF (An ∩ [−N, N ]) < 2ε wird.
Ganz allgemein gilt der folgende
Satz 3.12 (Fortsetzungssatz für σ-additive Mengenfunktionen)
Es sei µ eine σ-additive σ-finite Mengenfunktion auf einer Algebra A0 von
Teilmengen einer nichtleeren Menge E. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes
Maß µ̃ auf σ(A0 ) für das gilt
µ̃(A) = µ(A) für alle A aus A0 .
54
Uwe Küchler
Man nennt µ̃ die Fortsetzung der Mengenfunktion µ von A0 zu einem Maß auf
σ(A0 ) und bezeichnet es der Einfacheit halber ebenfalls mit µ.
Wir begnügen uns hier mit einer Beweisskizze, eine detaillierte Darstellung der
Einzelheiten findet man z.B. in Elstrodt [??], Kap.II.
Für jede Teilmenge B von E definieren wir
µ∗ (B) := inf{
∞
X
µ(Bn )|Bn ∈ A0 , n ≥ 1, B ⊆
n=1
∞
[
Bn }
n=1
mit inf ∅ := ∞.
Dadurch ist eine Mengenfunktion µ∗ (.) auf der Potenzmenge P(E) mit Werten in
R ∪ {∞} definiert. Sie heißt das von µ erzeugte äußere Maß, ihre Konstruktion und
der Nachweis ihrer in der folgenden Aussage angegebenen Eigenschaften stammen
weitgehend von c. caratheodory (griechischer Mathematiker, 1873-1950).
Die Menge aller Teilmengen B von E, für die gilt
µ∗ (C) = µ∗ (C ∩ B) + µ∗ (C ∩ B c ) für alle C ⊆ R mit µ∗ (C) < ∞
bezeichnen wir mit Aµ∗ . Die folgende Aussage fasst eine ganze Reihe von Eigenschaften der σ−Algebra Aµ∗ und des äußeren Maßes µ∗ zusammen.
Aussage 3.13 Das Mengensystem Aµ∗ und das äußere Maß µ∗ haben folgende Eigenschaften:
a) Aµ∗ ist eine σ−Algebra,
b) A0 ⊆ Aµ∗ , (und folglich auch σ(A0 ) ⊆ Aµ∗ )
c) die Einschränkung µ∗ |Aµ∗ von µ∗ auf Aµ∗ ist ein Maß,
d) auf A0 stimmen µ∗ und µ überein: µ∗ (B) = µ(B), B ∈ A0 ,
(µ∗ ist also eine Fortsetzung von µ auf die σ−Algebra Aµ∗ )
e) µ∗ ist die einzige σ−finite Fortsetzung von µ auf σ(A0 ).
Folgerung 3.14 Die durch µF in (3.12) gegebene σ-additive Mengenfunktion µF
auf A0 (S ) besitzt eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf die σ-Algebra B =
σ(A0 (S )) = σ(S ) der Borelmengen aus R. Wir werden sie ebenfalls mit µF bezeichnen.
Mengenfunktionen und Maße
55
0, 5
1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Abbildung 3.3: Einzelmaße und Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
B(n, p) mit n = 4, p = 0, 4
Damit ist insgesamt eine bijektive Entsprechung zwischen den endlichen Maßen auf B und den Verteilungsfunktionen F auf R hergestellt:
Jedem endlichen Maß µ ist durch (3.8) eine Verteilungsfunktion F zugeordnet,
und zu jeder Verteilungsfunktion F existiert ein Maß µ, dessen Verteilungsfunktion eben dieses F gemäß (3.8) ist. Wenn man also ein Maß µ auf R1
charakterisieren will, so muss man nicht µ(B) für jede Borelmenge B aus B1
kennen, sondern es genügt, die Verteilungsfunktion F des Maßes µ zu kennen.
Die Untersuchung von Maßen µ auf B ist somit zurückgeführt auf die Untersuchung von Verteilungsfunktionen F auf R.
Beispiele 3.15
a) Es sei (yn , qn ), n ≥ 1, ein diskretes endliches Maß auf (R, P(R)), siehe
Beispiele 1.22 und die Bemerkungen danach. Seine Verteilungsfunktion
F ist gegeben durch
F (x) := µ((−∞, x]) =
X
qk ,
x ∈ R.
k:yk ≤x
Die Funktion F ist eine monoton nichtfallende, stückweise (d.h. auf den
Intervallen [yk , yk+1 ), falls man die Folge (yn ) monoton wachsend anordnen kann) konstante, von rechts stetige Funktion mit Sprüngen der Höhe
qk = F (yk ) − F (yk − 0) in den Punkten yk , k ≥ 1.
56
Uwe Küchler
b) Es seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Durch


0, falls y ≤ a

L(y) := y − a, falls y ∈ (a, b)

 b − a, falls y ≥ b
ist die Verteilungsfunktion eines Maßes
µL =: λ[a,b] auf (R, B) gegeben. Für jedes Intervall (c, d] ⊆ [a, b] gilt
λ[a,b] ((c, d]) = d − c, und jede zu [a, b] disjunkte Borelmenge besitzt das
λ[a,b] -Maß Null.
1
Das normierte Maß b−a
λ[a,b] wird gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf dem Intervall [a, b] genannt. Sie modelliert den zufälligen Versuch, rein
zufällig (sozusagen auf gut Glück) einen Punkt aus dem Intervall [a, b] auszuwählen und ist damit das kontinuierliche Gegenstück zur gleichmäßigen Verteilung auf einer endlichen Menge (siehe ).
Mit der Bezeichnung Ik := (k, k + 1], k ∈ Z, gilt
n
X
λIk = λ(−n,n+1] , n ≥ 1
(3.14)
−n
Aussage 3.16 Durch
λ(B) := sup{λ(−n,n+1] (B)|n ≥ 1}, B ∈ B,
(3.15)
ist ein σ−finites Maßλ(.) auf (R, B) definiert, das folgende Eigenschaften hat
λ([a, b]) = b − a, für alle a, b ∈ R mit a ≤ b,
(3.16)
λ(B + {x}) = λ(B), B ∈ B,
(3.17)
(Translationsinvarianz)
Das Maß λ heißt Lebesguemaß (Henri Lebesgue, französischer Mathematiker, 1875-1941). Beweis:Sind
Bn , n ≥ 1 paarweise disjunkte Borelmengen aus
S
R, so gilt mit B := n Bn nach Definition
λ(B) = sup{λ(−n,n+1] (B)|n ≥ 1}.
Mengenfunktionen und Maße
57
Da (λ(−n,n+1] (B), n ≥ 1) eine wachsende Folge bildet, ergibt die rechte Seite
dieser Gleichung unter Verwendung von (3.14) den Wert
lim λ(−n,n+1] (B) = lim
n→∞
n→∞
n
X
λIk (B) =
k=−n
∞
X
λIk (B).
k=−∞
Nun verwenden wir die σ−Additivität der Maße λIk und erhalten
∞
X
λIk (B) =
k=−∞
∞ X
∞
X
λIk (Bn ).
k=−∞ n=1
Auf Grund des großen Umordnungssatzes für Reihen nichtnegativer Zahlen
ergibt sich
∞ X
∞
X
k=−∞ n=1
λIk (Bn ) =
∞ X
∞
X
n=1 k=−∞
λIk (Bn ) =
∞
X
λ(Bn ).
n=1
Damit ist die σ−Additivität der Mengenfunktion λ bewiesen. Da λ auf der
σ−Algebra
S B definiert ist, handelt es sich um ein Maß auf B. Wegen λ([−n, n]) <
∞ und n [−n, n] = R ist λ σ−finit. Für alle a, b ∈ R mit a ≤ b gibt es ein
hinreichend großes N ∈ N mit [a, b] ⊆ [−N, N ]. Für dieses N gilt λ([a, b]) =
sup{λ(−n,n+1] ([a, b])|n ≥ 1} = λ(−N,N +1] ([a, b]) = L(b) − L(a − 0) = b − a.
Die Menge M aller Borelmengen aus R, für die die Translationseigenschaft
(3.17) gilt, ist eine σ−Algebra. Hat man nämlich eine Folge paarweise disjunkter Borelmengen Bn , so sind auch alle Bn + {x} für beliebige x aus R
Borelmengen. (Die Abbildung h(z) := z − x, z ∈ R, ist stetig, damit Borelmessbar, und es gilt h−1 (B) = {y ∈ R|h(y)
S ∈ B} = {y ∈SR|y − x ∈ B} =
{z + x|z ∈ B} = B + {x}.) Außerdem ist n (Bn + {x}) = ( S
n Bn ) + {x}) und
dieSBn + {x} sind ebenfalls
paarweise disjunkt. Also gilt λ((Sn Bn ) + {x}) =
P
λ( n (Bn + {x})) = n λ((Bn + {x})). Folglich gehört auch ( n Bn ) + {x}) zu
M. Dass mit B auch B c zu M gehört, zeigt man auf die gleiche Weise mittels
(B + {x})c = B c + {x}. Wegen ∅ + {x} = ∅ gehört auch die leere Menge zu M.
Offensichtlich ist jedes Intervall (a, b] Element von M. Nun ergibt sich M = B
aus (2.13) und (2.12).
Insbesondere gilt für jede reelle Zahl x die Gleichung λ({x}) = 0. Zum Nachweis setze man in (3.16) a = b = x. Ist B eine abzählbar unendliche Teilmenge von R, so gilt. folglich λ(B) = 0. Abzählbar unendliche Teilmengen
58
Uwe Küchler
von R sind also Nullmengen bezüglich des Lebesguemaßes, m.a.W. LebesgueNullmengen.Somit hat die Menge Q aller rationalen Zahlen aus R das Lebesguemaß Null.
Nicht jede Lebesgue-Nullmenge aus R ist jedoch höchstens abzählbar unendlich. Ein häufig zitiertes Beispiel ist das sogenannte Cantorsche Diskontinuum,
eine Teilmenge des Intervalls [0, 1], die wie folgt konstruiert wird.
Wir entfernen in einem nullten Schritt aus dem Intervall [0, 1] das mittlere
offene Drittel I0,1 := ( 31 , 23 ). Der Rest besteht aus den abgeschlossenen Intervallen K0,1 := [0, 31 ] und K0,2 := [ 32 , 1] mit λ(K0,1 ∪ K0,2 ) = 23 . Aus jeder dieser
beiden Mengen entfernen wir im ersten Schritt wieder das offene mittlere Drittel I1,1 := ( 19 , 29 ) bzw. I1,2 := ( 79 , 98 ). Nun ist die Restmenge auf die vier abgeschlossenen Intervalle K1,1 := [0, 91 ], K1,2 := [ 29 , 13 ], K1,3 := [ 23 , 79 ], K1,4 := [ 98 , 1]
reduziert. Diese haben zusammen das Lebesguemaß 4 · 19 = ( 32 )2 .
Führt man dieses Vefahren fort, so erhält man nach dem n-ten Schritt 2n+1
S n+1
abgeschlossene Intervalle Kn,k , k = 1, 2, . . . , 2n+1 . Die Menge Kn := 2k=1 Kn,k
ist als endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen abgeschlossen und hat die
Gesamtlänge λ(Kn ) = ( 32 )n+1 . Die Folge (Kn ), n ≥ 0 ist eine fallende Mengenfolge, da aus jedem Kn,k im nächsten Schritt das offene mittlere Drittel
T∞ entfernt wird. Wir definieren das Cantorsche Diskontinuum C als C := n=0 Kn .
Wegen der Stetigkeit das Lebesguemaßes λ von oben (siehe Aussage 3.2) gilt
λ(C) = limn→∞ λ(Kn ) = limn→∞ ( 32 )n+1 = 0.
Die Menge C enthält alle Endpunkte der offenen Intervalle In,j , j = 1, 2, . . . , 2n ;
n ≥ 0, von denen es abzählbar unendlich viele gibt. Darüberhinaus enthält sie
aber noch weitaus mehr Elemente, wie die folgende Aussage zeigt.
Aussage 3.17 Die Menge C ist eine abgeschlossene, überabzählbar unendliche
Menge vom Lebesguemaß Null.
Dass C als Durchschnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, haben wir
in Bemerkung 2.15 gesehen. Die Überabzählbarkeit ist schwieriger nachzuweisen. Den entsprechenden Beweis und eine Reihe weiterer Eigenschaften der
Menge C findet man in Elstrodt [3] Kap.II, §8. Die Menge C enthält kein
einziges Intervall positiver Länge, sonst wäre ihr Lebesguemaß positiv. Sie ist
also sehr zerstreut auf [0, 1], daher die Bezeichnung Diskontinuum.
Mengen mit den Eigenschaften, die in Aussage 3.17 genannte wurden, treten in
der Wahrscheinlichkeitstheorie bei stochastischen Prozessen, z.B. der Brownschen Bewegung und anderen Diffusionsprozessen, als Zeiten des Durchschreitens gewisser Niveaus, beispielsweise der Null, auf, vgl. [].
Mengenfunktionen und Maße
59
1
λ
F (x)
f (x)
x
x
Abbildung 3.4: Dichte f (x) = λe−λx 1[0,∞) (x) und Verteilungsfunktion F (x) =
(1 − e−λx )
Beispiele 3.18
a) (Vorläufige Definition von Dichten, vgl. Abschnitt 3.5.)
Es seien F eine Verteilungsfunktion und f eine nichtnegative, stückweise
stetige Funktion auf R. (Eine Funktion f (.) heißt stückweise stetig auf
R, falls sie auf R definiert ist, falls sie stetig ist außer in endlich vielen
Punkten y1 , y2 , . . . , yn , und falls in diesen Punkten die rechts- und linksseitigen Grenzwerte limy↑yk f (y), limy↓yk f (y), k = 1, 2, . . . , n existieren
und endlich sind.) Es gelte
Zx
F (x) =
f (s)ds,
x ∈ R.
−∞
Dann heißt F eine absolutstetige Verteilungsfunktion und f nennt man
eine Dichte von F .
(Zu absolutstetigen Funktionen siehe auch Kapitel VI.)
Es gilt in diesem Fall
f (y) =
und
dF
(y) = F 0 (y)
dy
für alle y ∈ R, in denen f stetig ist,
Z∞
f (s)ds = F (∞) < ∞.
−∞
(Die Integrale in diesem Beispiel sind Integrale im Sinne von Riemann,
wir werden den Begriff der Dichte in Abschnitt 3.5 allgemeiner formulieren.)
b) Das Lebesguemaß λ[a,b] hat eine Dichte, und zwar 1[a,b] (.).
60
Uwe Küchler
x) Es sei λ > 0. Durch f (y) = λ exp −(λy), y ∈ R, ist die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes mit der Verteilungsfunktion F (y) = (1 −
exp (−λy)1[0,∞) (y), y ∈ R, gegeben, der Exponentialverteilung mit dem
Parameter λ.
Die Cantorsche Funktion
aus der Stetigkeit einer Verteilungsfunktion folgt noch nicht, dass sie eine Dichte besitzt. Wir geben hier ein Gegenbeispiel an, dessen
Konstruktion auf Georg Cantor zurückgeht.
Es sei
1 2
1
F1 (x) = 0, x ≤ 0, F1 (x) = , x ∈ I0,1 = ( , ), F1 (x) = 1, x ≥ 1.
2
3 3
Auf den Intervallen K0,1 = (0, 31 ) und K0,2 = ( 23 , 1) wird F1 linear fortgesetzt,
so dass eine stetige Funktion entsteht.
Wir definieren die Funtion F2 durch

0 :



1


4 :
1
:
F2 (x) =
2


3

:


4
1 :
x≤0
x ∈ I1,1 = ( 91 , 29 )
x ∈ I0,1 = ( 31 , 23 )
x ∈ I1,2 = ( 97 , 89 )
x≥1
Auf den übrigen Intervallen K1,1 , . . . , K1,4 wird F2 wieder linear zu einer insgesamt stetigen Funktion fortgesetzt.
Dieser Prozeß der Definition neuer Funktionen Fn+1 aus Fn wird fortgeführt.
Auf den offenen Intervallen Im,k , k = 1, 2, . . . , m + 1, m = 0, 1, . . . , n auf denen
Fn konstant ist, wird Fn+1 gleich Fn gesetzt. Die restlichen abgeschlossenenen
Intervalle Kn,k , k = 1, 2, . . . , 2n werden jeweils in drei gleich lange Teile geteilt, auf dem mittleren offenen Intervall wird Fn+1 gleich dem arithmetischen
Mittel von Fn auf den benachbarten Konstanzintervallen von Fn gesetzt, und
auf dem ersten und dritten Teil des Intervalls wird Fn+1 wieder linear zu einer
stetigen Funktion fortgesetzt. (Siehe Abbildung ) Führt man diesen Prozess
unbegrenzt weiter, so erhält man eine Folge (Fn , n ≥ 1) von Verteilungsfunktionen, die für n → ∞ gegen eine stetige Verteilungsfunktion F , die sogenannte
Cantorsche Funktion, konvergieren.
Mengenfunktionen und Maße
1
1
F1
0
61
1
1
F2
( )
0
( )
1
F3
()( )()
()( )()
0
Abbildung 3.5: Konstruktion der Cantor’sche Funktion auf [0, 1]
Diese Verteilungsfunktion ist auf jedem der Intervalle In,k sowie auf (−∞, 0)
und (0, ∞) konstant, hat also dort die Ableitung Null. Daraus ergibt sich,
dass F keine Dichte besitzt. Es sei µF das von F erzeugte Maß auf (R, B).
Interessant ist, dass jedes der Intervalle In,k das µF −Maß Null hat, dass also
das gesamte Maß µF auf dem Cantorschen Diskontinuum konzentriert ist, das
das Lebesguemaß Null besitzt, wobei kein einzelner Punkt ein positives Maß
besitzt.
Das bedeutet aus der Sicht der Wahrscheinlichkeitstheorie, dass eine Zufallsgröße X, deren Verteilungsfunktion die Cantorsche Funktion ist, mit Wahrscheinlichkeit Eins nur Werte aus einer Lebesgue-Nullmenge annimt, und kein
Wert eine positive Wahrscheinlichkeit hat, angenommen zu werden. Man bezeichnet solche Verteilungsfunktionen auch als singulär.
Eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft der Cantorschen Funktion ist die folgende. Sind X und Y zwei vonenander unabhängige Zufallsgrößen, die beide
die gleiche Verteilung mit der Cantorschen Funktion als Verteilungsfunktion
besitzen, so ist die Summe X + Y gleichmäßig auf [0, 2] verteilt.(Siehe [[4]].)
Das in Aussage angegebene Maß µ∗ auf A∗ hat aufgrund ihrer Definition die
Eigenschaft, dass jede Teilmenge einer µ∗ −Nullmenge aus A∗ ebenfalls eine
µ∗ −Nullmenge aus A∗ ist. Diese Eigenschaft nennt man Vollständigkeit des
Maßes.
Definition 3.19 Ein Maßraum (E, E, µ) heißt vollständig, falls jede Teilmenge einer µ-Nullmenge aus E ebenfalls zu E gehört (und damit auch eine µNullmenge ist). Wenn (E, E, µ) vollständig ist, so heißt auch µ vollständig.
Aussage 3.20 Es seien (E, E, µ) ein Maßraum und N die Menge aller Teil-
1
62
Uwe Küchler
mengen von µ-Nullmengen aus E.
a) Das Mengensystem
Ē := {B ∪ N |B ∈ E, N ∈ N}
ist eine σ−Algebra Ē von Teilmengen von E,
b) die auf Ē durch
µ̄(B ∪ N ) := µ(B), B ∈ E, N ∈ N
definierte Mengenfunktion µ̄ ist ein Maß, und µ̄(.) ist eine Fortsetzung
des Maßes µ von E auf Ē.
c) (E, Ē, µ̄) ist ein vollständiger Maßraum.
Man nennt (E, Ē, µ̄) die Vervollständigung von (E, E, µ).
Beweis der Aussage: a) Wir zeigen zunächst, dass Ē eine σ−Algebra ist. Dass
die leere Menge zu Ē gehört, ist offensichtlich. Ist B ∈ Ē, so gibt es ein B0 ∈ E
und ein N ∈ N mit B = B0 ∪ N . Nach Definition von N existiert ein M ∈ E
mit N ⊆ M und µ(M ) = 0. Nun gilt B c = B0c ∩ N c = B0c ∩ (M c ∪ (M ∩ N c )) =
(B0c ∩ M c ) ∪ (B c ∩ M ∩ N c ). Wegen B0c ∩ M c ∈ E und B c ∩ M ∩ N c ⊆ M ist
B c ∈ Ē.
Dass die abzählbare Vereinigung von Mengen Bn aus Ē wieder zu Ē gehört,
folgt aus der Tatsache, dass die abzählbare Vereinigung von µ−Nullmengen
wieder eine µ−Nullmenge ist.
b) Die σ−Additivität von µ̄ ist offensichtlich. Wir zeigen noch, dass die Definition von µ̄ eindeutig ist. Dazu nehmen wir an, B ∈ Ē können wir auf zwei
Weisen darstellen: B = B0 ∪N und B = B1 ∪M mit B0 , B1 ∈ E und N, M ∈ N.
Dann gibt es eine µ-Nullmenge P aus E mit M ⊆ P . Also ist B0 ⊆ B1 ∪ P
und somit gilt µ(B0 ) ≤ µ(B1 ) + µ(P ) = µ(B1 ). Auf analoge Weise zeigt man
µ(B1 ) ≤ µ(B0 ). Also gilt µ(B1 ) = µ(B0 ) und somit hängt die Definition von
µ̄(B) nicht von der Darstellung von B durch Elemente von E und N ab. c) Es
gilt E ⊆ Ē, und auf E ist µ̄ = µ (man setze in der Definition von Ē und µ̄ für
N die leere Menge ein). Also ist µ̄ eine Fortsetzung von µ auf Ē. hfill
Mengenfunktionen und Maße
63
Ist λ(.) das Lebesguemaß auf (R, B), so bezeichnet man die Vervollständigung
von (R, B) bezülich λ(.) mit (R, L) und nennt L die σ-Algebra der Lebesguemessbaren Mengen. Das vervollständigte Maß λ̄(.) auf L nennt man ebenfalls Lebesguemaß. Zur Abgrenzung heiß das Maß λ(.) auf B mitunter auch
Lebesgue-Borelsches Maß.
Übungsaufgaben
1. Es sei µ ein diskretes Maß auf (R1 , B) mit dem Träger N und µ({n}) >
0, n ≥ 1. Man gebe diejenigen Teilmengen von R an die µ-Nullmengen
sind.
2. Es seien F eine Verteilungsfunktion auf R, definiert durch
1
1
1
F (x) = 1[0,∞) (x) + 1[1,∞) (x) + 1[2,∞) (x),
4
2
4
x∈R
und µF das durch F vermittels (3.11) auf B festgelegte Maß. Berechnen
Sie das µF -Maß folgender Mengen
b) B = (− 21 , 23 )
ė) E = (3, ∞)
a) A = [1, ∞)
d) D = ( 32 , 52 )
c) C = [0, 2)
f) [0, 1] ∪ [2, 5).
3. Es sei (E, E, µ) ein finiter Maraum und (An , n ≥ 1) eine Folge von Teilmengen von E mit An ∈ E, n ≥ 1.
Man beweise das folgende Lemma von Borel-Cantelli:
Wenn
∞
X
n=1
µ(An ) < ∞, so gilt µ(lim sup An ) = 0
(3.18)
n→∞
. Hinweis: Nutzen Sie die Eigenschaften 3) und 6) der Aussage 3.2 aus.
4. Es seien (E, E, µ) ein finiter Maßraum und (Ak , k = 1, 2, . . . , n) eine Folge
von Mengen aus E.
a) Man beweise die Gültigkeit der Gleichungen
µ(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = µ(A1 ) + µ(A2 ) + µ(A3 )−
64
Uwe Küchler
µ(A1 ∩ A2 ) − µ(A1 ∩ A3 ) − µ(A2 ∩ A3 ) + µ(a1 ∩ A2 ∩ A3 )
.
b) Man zeige mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle n ≥ 2
gilt:
n
n
[
X
X
\
µ( Ak ) =
(−1)k−1
µ( Ai ).
k=1
k=1
I⊆{1,2,...,n},cardI=k
i∈I
(Ein- und Ausschlußformel)
P
Die Summation I⊆{1,2,...,n},cardI=k erfolgt über alle möglichen Teilmengen von {1, 2, . . . , n} mit genau k Elementen.
Kapitel 4
Messbare Abbildungen
4.1
Definitionen
Messbare Abbildungen sind ein zentraler Gegenstand der Maßtheorie. In der
Wahrscheinlichkeitstheorie dienen sie zur Modellierung von Zufallsgrößen. Während
normierte Maßräume (Ω, F, P) als zufällige Experimente angesehen werden, die
im Hintergrund ablaufen und eventuell nicht wahrgenommen werden können,
dienen messbare Funktionen von Ω in R1 oder Rd als Modell beobachtbarer Teilaspekte des zugrundeliegenden Experimentes. Die Voraussetzung der
Messbarkeit sichert die Existenz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße im Bildraum R1 oder Rd .
Es seien(E, E) und (F, F) zwei messbare Räume und X eine Abbildung von E
in F . (Wir verwenden die Bezeichnungen Abbildung und Funktion synonym.)
Definition 4.1 Die Abbildung X heißt (E, F)-messbar (wenn keine Verwechslungen möglich sind, auch kürzer E-messbar, oder einfach messbar), falls
X −1 (B) ∈ E für alle B ∈ F, d.h., falls
(4.1)
X −1 (F) ⊆ E.
Ist F, F) = (Rd , Bd ), so heißt jede (E, Bd )-meßbare Abbildung von E in Rd
auch Borel-messbar oder Borelsch.
Beispiele 4.2 Gegeben sei ein messbarer Raum (E, E).
65
66
Uwe Küchler
a) Es seien α ∈ R1 , α 6= 0, A ⊆ E. Die Funktion X(y) = α1A (y), y ∈ E,
ist E-messbar genau dann, wenn A ∈ E, insbesondere ist jede konstante
Funktion messbar.
b) Gilt A1 , A2 , . . . , An ∈ E, so ist
X(y) =
n
X
αk 1Ak (y), y ∈ E,
(4.2)
k=1
E-messbar für jede Wahl reeller Zahlen α1 , α2 , . . . , αn . Funktionen X von
der Gestalt (2.2) nennen wir einfache Funktionen oder Elementarfunktionen.
Man prüft leicht nach, dass, wenn X und Y einfache Funktionen sind,
auch αX + βY (α, β ∈ R1 ) eine einfache Funktion ist.
Es sei X eine Abbildung von einer Menge E in einen messbaren Raum (F, F).
Aussage 4.3
1) EX := X −1 (F) ist eine σ-Algebra,
2) EX ist die kleinste σ-Algebra H aus E, so dass X eine (H, F)-messbare
Abbildung ist.
Beweis:
1): Diese Eigenschaft liegt vor wegen der Operationstreue von X −1 .
2):(2.1) ist für EX = X −1 (F) erfüllt, also ist X eine (EX , F)-messbare Abbildung.
Ist H eine σ-Algebra aus E und X eine (H, F)-messbare Abbildung, so gilt
wegen (2.1), dass X −1 (F) ⊆ H richtig ist. Das heißt, dass EX die kleinste σAlgebra H aus E ist, bezüglich der X eine (H, F)-messbare Abbildung ist. Die σ-Algebra EX nennen wir die von X erzeugte σ-Algebra.
4.2
Eigenschaften
Der Begriff der messbaren Funktion ist einfach zu formulieren, aber im allgemeinen schwer nachzuprüfen, da man die Elemente von F meist nicht explizit
kennt. Aussage 1.17 erlaubt es uns, mit der folgenden Aussage und ihrer Folgerung einfache Messbarkeitskriterien zu formulieren.
Messbare Abbildungen
67
Satz 4.4 Es sei S ein Erzeuger von F, d.h., es gelte σ(S) = F. Genau dann ist
X eine (E, F)-messbare Funktion, wenn
X −1 (S) ⊆ E.
(4.3)
Beweis: Aus (2.1) folgt offensichtlich (2.3). Also erfüllt jede (E, F)-messbare
Abbildung die Inklusion (2.3). Aus (2.3) folgt mittels Aussage 1.17, dass X −1 (F)
= X −1 (σ (S)) = σ(X −1 ( S )) ⊆ σ(E) = E erfüllt ist. Also gilt (2.1).
Folgerungen 4.5
a) Eine Abbildung X von (E, E) in R1 ist genau dann Borel-messbar, wenn
für alle x ∈ R1 gilt
{y ∈ R1 |X(y) ≤ x} ∈ E.
(4.4)
Beweis: Aus der Borel-Messbarkeit von X folgt sofort (2.4). Gilt (2.4),
so ist X −1 ((a, b]) = X −1 ((−∞, b])\X −1 ((−∞, a]) ∈ E für alle a, b mit
−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞. Die Menge S dieser Intervalle (a, b] ist aber ein
Erzeuger von B1 . Mit Aussage 1.17 folgt die (E, B1 )-Messbarkeit von
X.
b) Sind Xn , n ≥ 1 Borel-messbare Abbildungen von (E, E) in R1 , so sind es
auch
sup Xn ,
n≥1
inf Xn ,
n≥1
lim sup Xn ,
n→∞
lim inf Xn .
n→∞
(Hierbei erfolgt die Bildung von supXn , inf Xn , usw. punktweise, d.h., es
gilt (supn≥1 Xn )(y) := supn≥1 (Xn (y)), y ∈ E, usw..)
Beweis: Weil Xn Borel-messbarTist, gilt {Xn ≤ x} ∈ E für alle x ∈ R1 .
Daraus folgt {supn Xn ≤ x} = {Xn ≤ x} ∈ E. Also ist sup Xn wegen
n
Sn
Folgerung a) Borel-messbar. Analog gilt {inf n Xn < x} = {Xn < x} ∈
n
T
E, also auch {inf n Xn ≤ x} = m {inf n Xn < x + m1 } ∈ E für alle
x ∈ R1 . Somit ist inf n Xn ebenfalls Borel-messbar. Es gilt lim sup Xn =
n→∞
inf n supm≥n Xm und lim inf = supn inf m≥n Xm , somit folgt der Rest von
n→∞
b).
68
Uwe Küchler
c) Sind Xn , n ≥ 1, wie in c) definiert und konvergieren die Xn punktweise
gegen X, dann ist X Borel-messbar.
Beweis: In diesem Fall gilt X = lim sup Xn = lim inf Xn und somit ist X
n→∞
n→∞
Borel-messbar.
Die Folgerung 2.5 c) besagt, dass punktweise Grenzwertbildung aus der Menge
der messbaren Funktionen nicht hinaus führt. Diese Eigenschaft hat z. B. die
Menge aller stetigen Funktionen nicht.
Bisher haben wir als konkrete Beispiele messbarer Funktionen nur die einfachen
Funktionen kennengelernt. Die folgende Aussage liefert uns eine ganze Reihe
weiterer Beispiele.
Aussage 4.6 Es sei X eine stetige Funktion von R1 in sich. Dann ist X
Borel-messbar.
n
P
ai y i ist {y ∈ R1 |Q(y) ≤ x} VereiniBeweis: Für jedes Polynom Q(y) :=
i=0
gung von höchstens n Intervallen, also Borel-messbar. Also ist nach Folgerung
2.5a) jedes Polynom Q Borel-messbar. Für jedes N > 0 ist 1[−N,N ] (y)X(y)
punktweiser Grenzwert einer Folge von Polynomen (Weierstraßscher Approximationssatz), folglich Borel-messbar.
Daraus ergibt sich, dass auch X Borel-messbar ist.
(Karl Weierstraß, deutscher Mathematiker, 1815-1897)
Bemerkung: Die Aussage gilt auch für stetige Funktionen X von (Rn in Rd .
Im folgenden Beispiel geben wir eine einfache (im Sinne von Beispiel 2.2a))
Borel-messbare Funktion an, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetig ist.
Beispiel 4.7 (Dirichletsche Funktion) Die Funktion X(y) = 1Q (y), y ∈ [0, 1],
ist Borel-messbar, da die Menge Q der rationalen Zahlen Borel-messbar ist.
Andererseits ist X an keiner Stelle y ∈ [0, 1] stetig, da lim inf z→y X(z) = 0
und lim supz→y X(z) = 1 für alle y ∈ [0, 1] gilt.
(Peter Gustave Dirichlet, deutscher Mathematiker, 1805-1859)
Messbare Abbildungen
69
Die nächsten beiden Aussagen werden es uns ermöglichen, aus gegebenen
messbaren Funktionen weitere zu bilden.
Aussage 4.8 Es seien X eine (E, F)-messbare Abbildung von (E, E) in (F, F)
und Y eine (F, G)-messbare Abbildung von (F, F) in (G, G). Dann ist die zusammengesetzte Abbildung
Z(y) := Y (X(y)), y ∈ E,
eine (E, G)-messbare Abbildung von (E, E) in (G, G).
Symbolisch: Z := Y ◦ X.
Beweis: Z −1 (B) = X −1 (Y −1 (B)) ∈ E für alle B ∈ G, da Y −1 (B) ∈ F für alle
B ∈ G.
Aussage 4.9
a) Sind X1 , X2 , . . . , Xn reellwertige Borel- messbare Funktionen auf (E, E), und ist h eine Borel-messbare Funktion von Rn in Rd ,
so ist h(X1 , . . . , Xn ) eine E-messbare Funktion von (E, E) in Rd .
b) Sind X und Y Borel-messbar, so sind es auch X+Y, X·Y, max(X, Y ), min(X, Y )
.
und, (falls Y 6= 0), X
Y
Beweis:
a) X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ist eine Borel-messbare Funktion von (E, E) in
Rn . (Wir werden das in Aussage 6.1 beweisen.)Es gilt nämlich für (a, b] =
n
n
Q
T
(ak , bk ] die Beziehung X −1 ((a, b]) = {y ∈ E|X(y) ∈ (a, b]} =
{y ∈
k=1
k=1
E|Xk (y) ∈ (ak , bk ]} ∈ E. Anwendung von Satz 2.4 liefert die E-Messbarkeit
von X. Die Anwendung von Aussage 2.8 ergibt die Behauptung a).
b) Die angegebenen Funktionen (x, y) 7→ x + y, max(x, y), min(x, y), x\y
sind stetig (letztere auf R1 ×(R1 \{0})). Aus der Bemerkung nach Aussage
2.6 folgt die Behauptung.
Der Begriff der messbaren Funktion ist recht abstrakt, und es ist auf den
ersten Blick nicht klar, wie umfangreich die Menge aller messbaren Funktionen
ist. Stetige Funktionen sind auf jeden Fall in dieser Menge enthalten. Auch
Indikatorfunktionen messbarer Mengen und einfache Funktionen (im Sinne
von (2.2)) gehören dazu.
70
Uwe Küchler
Der folgende Satz zeigt, dass man andererseits jede messbare Funktion durch
einfache Funktionen beliebig genau annähern kann. Wir werden später sehen,
dass er den Umgang mit messbaren Funktionen sehr erleichtert.
Approximation Borel-messbarer Funktionen
Satz 4.10 Für jede nichtnegative Borel-messbare Funktion X von (E, E) in
R1 gibt es eine nichtfallende Folge (Xn , n ≥ 1) einfacher nichtnegativer Borelmessbarer Funktionen, die punktweise von unten gegen X konvergiert:
0 ≤ Xn (y) ≤ Xn+1 (y) ≤ X(y), n ≥ 1, y ∈ E
und
lim Xn (y) = X(y), y ∈ E.
n→∞
Beweis: Wir setzen
Xn (y) :=
k · 2−n , falls X(y) ∈ [k · 2−n , (k + 1)2−n ) und 0 ≤ k ≤ n2n ,
n
, falls X(y) ≥ n + 2−n .
Die Xn sind einfache, insbesondere Borel-messbare, Funktionen mit
Xn (y) ≤ Xn+1 (y) ≤ X(y), y ∈ E und
|Xn (y) − X(y)|1{X≤n} (y) ≤ 2−n , y ∈ E.
(4.5)
(4.6)
Also gilt
lim Xn (y) = X(y) für alle y ∈ E.
n→∞
Folgerung 4.11 Mit Hilfe des Satzes 2.10 zeigt man leicht, dass jede Borelmessbare Funktion X von E in R1 punktweiser Grenzwert einer Folge (Xn )
einfacher (insbesondere Borel-messbarer) Funktionen ist.
(Man verwende die Zerlegung X = X + − X − mit X + = max(X, 0) und X − =
− min(X, 0).)
Messbare Abbildungen
71
X(y)
n
Xn (y)
(k + 1)2−n
k2−n
y
Abbildung
4.1:
Approximation von X(y) = y 2 durch einfache Funktionen
Pn2
n −1
Xn (y) = k=0 k2−n · 1X −1 ([k2−n ,(k+1)2−n )) (y)
4.3
Produkt-σ-Algebren
Produktmengen und Produkt-σ-algebren dienen in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Modellierung mehrerer gleichzeitig oder nacheinander ausgeführter
zufälliger Versuche. Um die Notation nicht mit technischen Details zu überlasten, beginnen wir mit dem Fall des Produktes zweier messbarer Räume.
Gegeben seien zwei messbare Räume (E1 , E1 ) und (E2 , E2 ). Wir bilden die
Produktmenge
E := E1 × E2 = {y = (y1 , y2 )T : y1 ∈ E1 , y2 ∈ E2 }
und führen die Projektionsabbildungen (oder Koordinatenabbildungen) P1 ein
durch
Pi : E → Ei ,
Pi y = yi ,
die jedem Paar y = (y1 , y2 ) ∈ E seine i-te Koordinate yi zuordnet, i = 1, 2.
Definition 4.12 Die kleinste σ-Algebra E in E, bezüglich der beide Pi jeweils
(E, Ei )-messbar sind, heißt die Produkt-σ-Algebra von E1 und E2 . Sie wird mit
E = E1 ⊗ E2
bezeichnet.
72
Uwe Küchler
Aussage 4.13 S1 und S2 seien Erzeuger von E1 bzw. E2 . Dann wird E1 ⊗ E2
vom System S1 × S2 aller Mengen S1 × S2 mit Si ∈ Si , i = 1, 2, erzeugt:
E = E1 ⊗ E2 = σ(S1 × S2 ) = σ({S1 × S2 : S1 ∈
S1
, S2 ∈
S2
}).
Beweis: Pi ist (E, Ei )-messbar, folglich gilt Pi−1 (Si ) ⊆ E, i = 1, 2, und somit
S1
× S2 = P1−1 (S1 ) ∩ P2−1 (S2 ) ⊆ E.
(4.7)
Daraus folgt
σ(S1 × S2 ) ⊆ E.
(4.8)
Andererseits sind P1 bzw. P2 bez. (σ(S1 × S2 ), Ei ) messbar. Es gilt nämlich (siehe
Aussage 1.17) Pi−1 (Ei ) = Pi−1 (σ(Si )) = σ(Pi−1 (Si )) ⊆ σ(P1−1 (S1 ) ∩ P2−1 (S2 )) =
σ(S1 × S2 ), i = 1, 2, und somit, nach Definition der Produkt-σ-Algebra,
E ⊆ σ(S1 × S2 ).
(4.9)
Aus (2.8) und (2.9) folgt die Aussage.
Bemerkung: Auf analoge Weise definiert man für gegebene messbare Räume
n
Q
(Ei , Ei ), i = 1, 2, . . . , n, den Produktraum E =
Ei und die Produkt-σAlgebra E =
n
N
i=1
Ei .
i=1
Gilt (Ei , Ei ) ≡ (E1 , E1 ), so schreibt man
n
N
Ei =: En1 .
i=1
Folgerung 4.14 Im Fall (Ei , Ei ) = (R1 , B1 ), i = 1, 2, . . . , d, erhalten wir als
Produkt-σ-Algebra die σ-Algebra Bd der Borelmengen aus Rd .
In der Tat, ist S die Semialgebra der nach links halboffenen Intervalle aus R1 ,
so ist Sd gleich der Semialgebra der nach links halboffenen Quader aus Rd , und
somit gilt die Folgerung.
Messbare Abbildungen
73
Man kann diese Definition auf Produkträume mit beliebig vielen Faktoren “
”
Ei ausdehnen. Wir skizzieren das Vorgehen.
Q
Ist I eine Indexmenge (z.B. N oder [0, ∞)), so bezeichnet
Ei die Menge aller
i∈I
Funktionen x = (xi , i ∈ I) auf I mit xi ∈ Ei , i ∈ I.
Q
Für jedes i ∈ I sei Pi der Projektionsoperator von
Ei in Ei , gegeben durch
i∈I
Q
Pi x = xi für x = (xi , i ∈ I) in
Ei .
Qi∈I
Als Produkt-σ-Algebra E =
Ei wird die kleinste σ-Algebra von Teilmengen
i∈I
Q
von
Ei bezeichnet, bez. der alle Pi , i ∈ I, (E, Ei )−messbar sind.
i∈I
Im Fall Ei ≡ E schreiben wir E I bzw. EI anstelle
Q
Ei bzw.
i∈I
Q
Ei .
i∈I
Für I = {1, 2} haben wir die Konstruktion ausgeführt.
Die messbaren Räume (RN , EN ) und (R[0,∞) , E[0,∞) ) dienen in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Beschreibung unendlicher Folgen von Zufallsgrößen bzw.
zufälliger Prozesse mit stetiger Zeit.
4.4
Durch messbare Abbildungen induzierte
Maße
Es seien (E, E, µ) ein Maßraum (µ sei σ-finit) und X eine (E, F)-messbare
Abbildung von (E, E) in einem messbaren Raum (F, F).
Aussage 4.15 Durch
µX (B) := µ(X −1 (B)),
B ∈ F,
(4.10)
ist auf F ein σ-finites Maß µX definiert, das als das von X induzierte Maß auf
F oder als Bildmaß von µ bez. X bezeichnet wird. Ist µ(E) = 1, so nennt man
(in der Wahrscheinlichkeitstheorie) µX auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Zufallsgröße X.
Bemerkung: Damit µ(X −1 (B)) für B aus F überhaupt definiert ist, muss X −1 (B)
zu E gehören. Das wird gerade durch die (E, F)−Messbarkeit von X bewirkt.
74
Uwe Küchler
Beweis: µX (∅) = 0, µX
∞
P
∞
S
Bk
= µ X −1
k=1
∞
S
Bk
= µ
k=1
∞
S
X −1 (Bk ) =
k=1
µX (Bk ) für jede paarweise disjunkte Folge (Bk ) aus F. Dabei haben wir die
k=1
Operationstreue von X −1 benutzt.
Beispiele 4.16 Es sei (F, F) = (R1 , B1 ). Besteht der Wertebereich von X
(also die Menge {X(y)|y ∈ E}) aus den Zahlen xk , k ≥ 1, so ist µX ein
diskretes Maß mit den Einzelmaßen
µX ({xk }) = µ({y ∈ E : X(y) = xk }) = µ(X = xk ),
k ≥ 1,
(4.11)
und für jede Menge B ⊆ R1 ist
µX (B) = µ({y ∈ E : X(y) ∈ B}) =
X
µX ({xk }).
(4.12)
k:xk ∈B
Ist µ darüber hinaus ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so sagt man, X habe eine
diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung µX .
Besitzt µX eine Dichte fX (wir nehmen wieder der Einfacheit halber hier an,
daß fX stückweise stetig ist), so gilt
X
Z
µ (B) =
fX (x)dx,
z. B. für B = [a, b],
(4.13)
B
und man sagt, X habe eine absolut-stetige Verteilung mit der Dichte fX , oder
verkürzt, X habe die Dichte fX .
(Für allgemeine Borelmengen B wird das Integral, das in (2.13) auftritt, im
nächsten Abschnitt definiert werden.)
Im Allgemeinen kann man im Fall (F, F) = (R1 , B1 ) und µ(E) < ∞ das
Bildmaß µX charakterisieren durch seine Verteilungsfunktion
FX (x) := µX ((−∞, x]) = µ(X −1 ((−∞, x])) =: µ(X ≤ x), x ∈ R1 ,
(siehe Folgerung 1.27).
Übungen
Messbare Abbildungen
1) Beweisen Sie: Wenn Si für i = 1, 2 Semialgebren in Ei sind, so ist
eine Semialgebra in E1 × E2 .
75
S1
×
S2
2) Es sei E = [0, 1), E = B1[0,1) und X(y) = y 2 für y ∈ E. Konstruieren
Sie eine nichtfallende Folge (Xn , n ≥ 1) einfacher nichtnegativer Borelmessbarer Funktionen, die punktweise von unten gegen X konvergiert.
3) Es sei X eine Abbildung von einer Menge E in einen messbaren Raum
(F, F) und EX := X −1 (F) die von X in E erzeugte σ-Algebra. Ist Y eine
(EX , Bd )−messbare Abbildung von E in Rd , so existiert eine (F, Bd )messbare Abbildung h von F in Bd , so dass gilt Y (y) = h(X(y)), y ∈ E.
Hinweis:Zunächst sei X = 1B für ein B ∈ EX . Für dieses X gilt die
Aussage, da B = X −1 (C) für ein C ∈ F und 1X −1 (C) = 1C (X) gelten.
In diesem Fall kann man h = 1C setzen. Auf analoge Weise behandle
man den Fall einfacher (EX , Bd )−messbarer Abbildungen. Anschließend
wende man den Approximationssatz 2.10 bzw. Folgerung 2.11 an.
4) Zeigen Sie: Wenn (E, E, µ) ein diskreter Maßraum ist, und wenn X eine
messbare Abbildung von (E, E, µ) in einen messbaren Raum (F, F) ist,
so ist auch µX ein diskretes Maß.
5) Es sei E = {1, 2, . . . , 6}2 und E = P(E). Mit µ werde das normierte
Zählmaß auf (E, E) bezeichnet. Die Abbildung X sei auf E definiert
durch X(y) = y1 + y2 , für y = (y1 , y2 ) ∈ E.
a) Geben Sie die Elemente der σ−Algebra EX an.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung µX von X.
6) Es seien E = [0, 1), E = B1[0,1) und µ = λ[0,1) das Lebesguemaß auf E.
Durch X(y) = y n , y ∈ E, ist eine Borel-messbare Abbildung X von E in
R1 definiert. Man bestimme das von X induzierte Maß µX auf (R1 , B1 ).
Besitzt X eine Dichte?
76
Uwe Küchler
Kapitel 5
Integration messbarer
Funktionen
5.1
Definitionen
Es seien (E, E, µ) ein Maßraum, µ ein finites Maß und X eine Borel-messbare
Funktion
in R1 . Wir werden in diesem Abschnitt das InZ auf (E, E) mit Werten
Z
tegral
X(y)µ(dy) (kurz:
E
Xdµ) der Funktion X bez. des Maßes µ über die
E
Menge E einführen. Dieser Integralbegriff wird in Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik verwendet, um Erwartungswerte, Varianzen, Kovarianzen und
höhere Momente von Zufallsgrößen zu berechnen. Er gestattet u. a. eine einheitliche Behandlung diskreter und absolut-stetiger Maße.
Wir beginnen mit dem Fall, dass X eine einfache Funktion ist, d. h.,
X(y) =
m
X
ai 1Ai (y),
y ∈ E,
(5.1)
i=1
für gewisse ai ∈ R1 , Ai ∈ E, i = 1, 2, . . . , m, m ≥ 1.
Definition 5.1 Als Integral der einfachen Funktion X aus (3.1) über E bezüglich
µ bezeichnet man die Zahl
Z
X(y)µ(dy) :=
m
X
i=1
E
77
ai µ(Ai ).
(5.2)
78
Uwe Küchler
Das Integral hängt nicht von der Wahl der Darstellung (3.1) ab (siehe zum
Beispiel Elstrodt [3], Kap.IV,Lemma 1.1).
Wir erwähnen zunächst zwei schnell einzusehende Eigenschaft dieses Integralbegriffs.
Es seien X und Y einfache Funktionen.
a) Aus X ≤ Y (d.h. X(y) ≤ Y (y) für alle y ∈ E) folgt
Z
Z
Xdµ ≤
E
Y dµ,
(5.3)
E
(Monotonie des Integrals)
b) für alle a, b ∈ R1 gilt
Z
Z
Xdµ + b
(aX + bY )dµ = a
E
Z
E
Y dµ.
(5.4)
E
(Linearität des Integrals)
Es sei nun X eine nichtnegative Borel-messbare Abbildung von (E, E) in R1 .
Auf Grund des Satzes 2.10 über die Approximation Borel-messbarer Funktionen gibt es eine nichtfallende Folge (Xn ) nichtnegativer einfacher Funktionen
mit lim Xn (y) = X(y), y ∈ E.
n→∞
Z
Wegen (3.3) ist die bereits mit (3.2) definierte Folge (
Xn dµ, n ≥ 1) moE
noton nichtfallend und besitzt folglich einen (evtl. unendlichen) Grenzwert,
nämlich ihr Supremum.
Definition 5.2 Als Integral von X über E bezüglich des Maßes µ bezeichnet
man den Wert
Z
Z
X(y)µ(dy) := lim
Xn (y)µ(dy)
n→∞
E
E
(5.5)
Integration messbarer Funktionen
79
Die Funktion X, die integriert wird, nennt man Integrand, die Menge E, über
die sich das Integral erstreckt, heißt Integrationsbereich.
Ist X eine beliebige Borel-messbare Funktion von E in R1 , so benutzen wir die
Zerlegung X(y) = X + (y) − X − (y) mit X + (y) := max(X(y), 0) und X − (y) :=
− min(X(y), 0).
Z
Z
+
X dµ und
Definition 5.3 Sind
E
X − dµ beide endlich, so heißt X bez. µ
E
integrierbar, und wir definieren
Z
Z
Z
+
Xdµ := X dµ − X − dµ.
E
Z
+
X dµ = ∞ und
Ist
E
Z
E
X dµ < ∞, so definieren wir
Z
+
X dµ < ∞ und
Im Falle
Z
−
E
Z
E
E
Xdµ := ∞.
ZE
X dµ = ∞ setzen wir
Xdµ := −∞.
−
E
E
Auch in diesen Fällen heißt X integrierbar bez. µ, allerdings ist das Integral
gleich +∞ bzw. −∞.
Z
Z
+
Anderenfalls, also wenn
X dµ = X − dµ = ∞, nennen wir X nicht inteE
E
grierbar bez. µ.
Z
Ohne Beweis vermerken wir, dass das Integral
Xdµ nicht von der Wahl
E
der approximierenden Folge (Xn ) einfacher Funktionen abhängt (siehe z.B.
Elstrodt [3],Kap.IV, Korollar 2.2). Das soeben eingeführte Integral heißtµIntegral oder auch Lebesgueintegral über die Funktion X (nach dem Maß µ)
(siehe Elstrodt [3], Kap.8, S.110).
80
Uwe Küchler
Definition 5.4 Ist X eine bezüglich µ integrierbare Funktion und ist A ∈ E,
so ist offensichtlich auch X · 1A bez. µ integrierbar. Wir schreiben in diesem
Fall
Z
Z
Xdµ := X · 1A dµ
(5.6)
A
E
Auch in diesemn Zusammenhang heißt A der Integrationsbereich, über den die
Funktion X integriert wird.
Wir benötigen noch den Integralbegriff für den Fall, dass µ ein σ-finites Maß
ist. In diesem Fall sei {Bn , n ≥ 1, } eine Zerlegung von E in messbare Mengen
Bn mit µ(Bn ) < ∞. Wir definieren für nichtnegative messbare Funktionen X
Z
Xdµ :=
E
∞ Z
X
Xdµ,
n=1B
n
und erweitern diesen Integralbegriff auf beliebige messbare Funktionen X wie
oben durch Zerlegung von X in Positiv- und Negativteil.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematischen Statistik werden messbare Funktionen X zur Modellierung von Zufallsgrößen verwendet. Ihr Integral
bezüglich des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes µ ist der Erwartungswert EX von X. Er spielt in der Statistik, zum Beispiel auf Grund des
Gesetzes der großen Zahlen, eine fundamentale Rolle. (Siehe z.B. Schmidt [5],
Kap.15.)
5.2
Einige Eigenschaften des Integrals
In diesem Abschnitt nehmen wir an, (E, E, µ) sei ein σ−finiter Maßraum. Wir
bezeichnen die Menge aller Borel-messbaren Funktionen X auf (E, E) mit Werten in R1 , deren Integral über E bez. µ endlich ist, mit L1 (ausführlicher:
L1 (E, E, µ)).
Integration messbarer Funktionen
81
Z
Xdµ kann man bereits
Allein auf Grundlage der Definition des Integrals
E
eine ganze Reihe von Eigenschaften dieses herleiten.
Satz 5.5 Im Folgenden seien X und Y bez. µ integrierbare Funktionen mit
endlichem Integral, also Elemente von L1 (E, E, µ). Es gelten folgende Aussagen:
a) Z
Für alle a, b ∈ R1 istZaX + bY ∈Z L1 (E, E, µ), und es gilt
(aX + bY )dµ = a Xdµ + b Y dµ,
E
E
E
(man sagt, L1 (E, E, µ) bilde ein linearen Raum),
Z
Z
Z
Xdµ ≥ 0, wenn X ≤ Y , so
Xdµ ≤ Y dµ,
b) wenn X ≥ 0, so
E
E
E
(man sagt, die Integration sei eine monotone Operation),
Z
Z
c) | X(y)µ(dy)| ≤ |X(y)|µ(dy) < ∞,
E
E
(Spezialfall der Jensenschen Ungleichung; siehe Abschnitt 3.6.)
Z
Z
d) wenn µ({y ∈ E|X(y) 6= Y (y)}) = 0, so ist X(y)µ(dy) = Y (y)µ(dy),
E
(das Integral
R
E
Xdµ ist unempfindlich gegenüber Änderungen des Inte-
E
granden X(.) auf einer µ-Nullmenge),
R
e) Aus X ≥ 0 und Xdµ = 0 folgt X = 0 µ-fast überall.
E
Beweis:
a) Es seien X und Y nichtnegative Funktionen aus L1 (E, E, µ) und (Xn )
bzw. (Yn ) nichtfallende Folgen einfacher Funktionen mit X = lim Xn , Y =
n
lim Yn , a, b ≥ 0. Dann ist Zn := (aXn + bYn ) eine wachsende Folge einfan
cher Funktionen mit lim Zn = aX + bY . Also gilt (siehe (3.3)und (3.5))
n
82
Uwe Küchler
Z
Z
(aX + bY )dµ : = lim
n
E
Z
Z
(aXn + bYn )dµ = lim a Xn dµ + b Yn dµ
n
E
E
E
Z
Z
Y dµ.
Xdµ + b
= a
E
E
Im allgemeinen Fall nutzt man wieder die Zerlegungen X = X + − X −
und Y = Y + − Y − ,
Z
b) der erste Teil ergibt sich aus der Definition von Xdµ, der zweite folgte
E
aus Y − X ≥ 0 und Teil a),
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
c) | Xdµ| = | X dµ − X dµ| ≤ X dµ + X − dµ
E
E
E
E
E
Z
Aus dieser Ungleichung ist ersichtlich, dass genau dann
Xdµ endlich
E
Z
|X|dµ es ist.
ist, wenn
E
d) Nach Voraussetzung ist A := {y ∈ E|X(y) 6= Y (y)} eine µ-Nullmenge.
Wir setzen zunächst voraus, dass X, Y ≥ 0 gilt. Dann haben wir
Z
Z
Y dµ =
E
Y 1A dµ +
E
Z
Y 1Ac dµ =
E
Z
Y 1A dµ +
E
Z
X 1Ac dµ. (5.7)
E
Es sei (Yn ) eine nichtfallende Folge einfacher Funktionen mit lim Yn = Y .
n
Dann ist auch (1A Yn ) eine nichtfallende Folge einfacher Funktionen und
es gilt lim 1A · Yn = 1A Y wie in Satz 2.9. Somit ist (siehe Definition 3.2)
n
Z
Y 1A dµ = lim
Z
n
E
E
Yn 1A dµ.
Integration messbarer Funktionen
Z
Daraus folgt 0 ≤
83
Yn 1A dµ ≤ Cn · µ(A) = 0 für ein Cn > 0, da Yn
E
Z
nach oben beschränkt ist. Also gilt
Y 1A dµ = 0. Analog zeigt man
E
Z
X 1A dµ = 0. Daraus ergibt sich mit (3.7)
E
Z
Z
Y dµ =
E
Xdµ.
E
Beispiel 5.6 Es sei (E, E, µ) = ([0, 1), B1[0,1) , λ[0,1) ), wobei λ das Lebesguemaß
auf B1 bezeichne. Die Funktion X sei die Dirichletsche
R Funktion, siehe Beispiel
1.7. Dann ist X bez. λ[0,1) integrierbar, und es gilt [0,1) Xdλ[0,1) = 0, da X =
0 λ[0,1) −f.ü..
Wir haben im Abschnitt 1.3 beim Studium von Maßen auf der reellen Achse
gesehen, dass es eine bijektive Entsprechung zwischen finiten Maßen auf B1
1
und Verteilungsfunktionen
R
R F auf R gibt. Aus diesem Grund schreibt man auch
häufig R1 XdF anstelle R1 Xdµ. Das Gleiche gilt übrigens auch für Maße auf
Bn mit n > 1. Wir kommen darauf in Kapitel 6 zurück.
5.3
Substitutionsregel
Wir nehmen wieder an, dass (E, E, µ) ein σ−finiter Maßraum sei.
Satz 5.7 (Substitutionsregel) Es seien X eine (E, F)-messbare Funktion
von einem Maßraum (E, E, µ) in einem messbaren Raum (F, F), h eine Borelmessbare Funktion von F in R1 , µX das Bildmaß von µ vermittels der Abbildung X (siehe (2.10)).
Dann gilt
84
Uwe Küchler
a) h ◦ X = h(X) ∈ L1 (E, E, µ) genau dann, wenn h(·) ∈ L1 (F, F, µX ),
b) falls h ≥ 0, oder falls h die Eigenschaften aus a) hat, dann
Z
Z
h(X(y))µ(dy) =
E
h(x)µX (dx)
(5.8)
F
Beweis: Die Gleichung (3.8) gilt für h(x) = 1B (x), B ∈ F, x ∈ F , nach Definition (2.10) des Bildmaßes µX :
Z
X
X
h(x)µ (dx) = µ (B) = µ(X
−1
Z
(B)) =
E
1X −1 (B) (y)µ(dy) =
E
Z
E
1B (X(y))µ(dy) =
Z
h(X(y))µ(dy).
E
Auf Grund der Linearität der Integration gilt (3.8) für alle einfachen Funktionen. Ist h ≥ 0 und hn eine wachsende Folge einfacher Funktionen mit
h(x) = lim hn (x), x ∈ F , so folgt (3.8) aus der Definition der Integrale
n
siehe (3.5). Den allgemeinen Fall erhält man wieder mittels h = h+ − h− . Bemerkung: Die hier verwendete Methode zum Beweis einer Eigenschaft von
Integralen heißt mitunter die Lifting-Methode“. Eine Aussage über messba”
re Funktionen wird zunächst für messbare Indikatorfunktionen bewiesen, was
sich häufig als einfach herausstellt, und dann mit Hilfe des Approximationssatzes 2.10. und der Zerlegung in Positiv- und Negativteil auf das Niveau von
allgemeinen messbaren Funktionen geliftet“.(Elstrodt [3], S.109 nennt sie al”
”
gebraische Induktion“.)
Die
Z Bedeutung des Satzes 3.6 besteht darin, dass man zur Berechnung von
h(X(y))µ(dy) nur das Bildmaß µX und die Funktion h(.) verwenden muss,
E
nicht die Abbildung X und das Maß µ selbst.
Für die Wahrscheinlichkeitstheorie heißt das, daß der Erwartungswert (und
auch alle sogenannten Momente) einer Zufallsgröße X über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) allein durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung PX bestimmbar sind, die konkrete Form der Zufallsgröße X (d.h. der A-meßbaren
Integration messbarer Funktionen
85
Abbildung ω −→ X(ω)) dabei also keine Rolle spielt. Das ist von grundsätzlicher Bedeutung, da i.a. der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) hypothetische
Natur besitzt, gut geeignet für theoretische Überlegungen, in der Praxis aber,
auf Grund von Stichproben, nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung PX zugänglich ist.
5.4
Integrale bezüglich diskreter Maße
Wir setzen jetzt voraus, daß (E, E, µ) ein diskreter finiter Maßraum ist, d.h.,
es gibt eine Folge (yn , n ∈ M ) aus E mit M ⊆ N und eine Folge (qn , n ∈ M )
positiver Zahlen, mit endlicher Summe, so dass
µ(B) =
X
für alle B ∈ E
qn ,
(5.9)
n:yn ∈B
gilt.
Die Gleichung (3.9) definiert sogar ein Maß µ auf der Menge P(E) aller Teilmengen von E, diskrete Maße gestatten also eine Erweiterung“ auf die ma”
ximale σ-Algebra P(E) von Teilmengen von E.
Offenbar ist jede reellwertige Funktione X auf E eine (P(E), B1 )-messbare
Funktion. Mit Y := {yn , n ∈ M }) gilt wegen µ(Y c ) = 0 die Gleichung X =
1Y · X µ-fast überall und wegen Satz 3.5 d) ist
Z
Z
Xdµ =
E
1Y · Xdµ.
E
Setzt man Ym := {yn , n ∈ M, n ≤ m}, so ist die Abbildung
y → 1Ym (y) · X(y) =
X
n∈M ;n≤m
1{yn } (y) · X(yn )
(5.10)
86
Uwe Küchler
eine einfache Funktion, also gilt nach Definition
Z
X
1Ym · Xdµ =
X(yn )qn .
n∈M :n≤m
E
Ist X nichtnegativ, so folgt für m → ∞ aus der Definition (3.5) des Integrals
die Formel
Z
X
Xdµ =
X(yn )qn .
(5.11)
n∈M
E
Für beliebige X benutzt man wieder die Zerlegung X = X + − X − , um (3.11)
zu zeigen.
daß X genau dann µ-integrierbar ist mit endlichem Integral
REs ergibt sich,P
Xdµ, wenn
|X(yn )| qn < ∞.
E
n∈M
Die Berechnung von Integralen bezüglich diskreter Maß ist damit auf Summenbildungen reduziert.
5.5
Integrale bezüglich absolutstetiger Maße
auf (Rd, Bd)
Es sei zunächst (F, F) = (R1 , B1 ). Die Berechnung von Integralen der Form
(3.8) wird häufig einfacher, wenn das Maß µX eine Dichte besitzt.
Ist E = R1 , E = B1 und λ dasZ Lebesguemaß auf B1 (siehe Beispiele 1.28
c)), so nennen wir das Integral
Xdλ das Lebesgueintegral der Funktion X
R1
1
Z
bezüglich des Lebesguemaßes über R und bezeichnen es mit
Z
der Deutlichkeit halber, mit L −
der Dichte eines Maßes.
X(y)dy oder,
R1
X(y)dy. Wir präzisieren jetzt den Begriff
R1
Definition 5.8 Es seien µ ein σ-finites Maß auf B1 , und f eine nichtnegative
Borel-messbare Funktion auf R1 mit
Integration messbarer Funktionen
87
Z
µ((a, b]) =
−∞ ≤ a < b ≤ ∞.
f (x)dx,
(5.12)
(a,b]
Dann heißt f Dichte des Maßes µ und das Maß µ heißt absolutstetig (bez. des
Lebesguemaßes).
Für die Verteilungsfunktion F jedes endlichen absolutstetigen Maßes µ auf B1
gilt dann (siehe (Definiton 1.23):
Z
F (x) = µ((−∞, x]) =
f (s)ds,
x ∈ R1 .
(5.13)
(−∞,x]
Ist f eine darüber hinaus stückweise stetige Funktion, so existiert in jedem
Stetigkeitspunkt x von f die Ableitung F 0 (x) und es gilt
F 0 (x) =
dF
(x) = f (x) λ − f. ü.
dx
(5.14)
Wir Zerwähnen hier vorgreifend auf Abschnitt 3.7, dass das Lebesgueintegral
L−
X(y)dy für den Fall, dass X eine hinreichned glatte Funktion ist (z.B.
R1
stetig, oder zumindestens stückweise stetig) gleich dem aus dem Gymnasium
bekannten Riemann-Integral ist.
Beispiele 5.9
a)
f (x) = exp
−
(x−m)2
2σ 2
,
x ∈ R1
ist für feste m ∈ R1 und σ 2 > 0 die Dichte eines sogenannten Gaußschen
Maßes µ auf B1 ( Normalverteilung N (m, σ 2 )“, falls µ normiert wird).
”
b) Das Lebesguemaß λ auf einem Intervall [a, b] hat die Dichte f (x) =
1[a,b] (x), x ∈ R1 .
88
Uwe Küchler
Der Begriff der Dichte bez. des Lebesguemaßes λd wird im Fall (F, F) =
(Rd , Bd ) analog definiert. Das Intervall (a, b] in (3.12) wird dabei durch einen
d-dimensionalen Quader (a, b] (siehe (1.1)) ersetzt.
Ist f eine Dichte von µX , so nennt man sie auch Dichte der meßbaren Funktion
X. Hintergrund ist, daß man in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik gern
von Dichten von Zufallsgrößen X spricht und dabei Dichten ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilungen PX meint.
Der folgende Satz erlaubt die Rückführung von Integralen bezüglich Maßen auf
(Rd , Bd ) mit Dichten auf die Berechnung von Lebesgueintegralen bez. des Lebesguemaßes. Später werden wir sehen, daß man diese wiederum häufig durch
Riemannintegrale, wie sie aus dem Gymnasium bekannt sind, auswerten kann.
Für sie gibt es eine Füllle von konkreten Berechnungsformeln, z.B. die Substitutionsregel oder die Methode der partiellen Integration.
Es sei µ ein σ−finites Maß auf Bd mit einer Dichte f und d ≥ 1.
Satz 5.10 ZFalls h eine reellwertige Borel-messbare Funktion auf Rd ist mit
h ≥ 0 oder
|h(z)|µ(dz) < ∞, so gilt
Z
Z
h(y)µ(dy) =
Rd
h(z)f (z)dz.
(5.15)
Rd
Insbesondere haben wir
Z
µ(B) =
f (z)dz für alle B ∈ Bd .
(5.16)
B
Beweis: Wir verwenden die Lifting Methode. Für h = 1(a,b] ist der Satz nach
Formel (3.12)(in seiner allgemeinen Form mit (a, b] als Quader) richtig. Nun
erweitert man ihn mit Hilfe der Linearität der Integralbildung auf einfache
Funktionen und durch monotone Limites auf nichtnegative messbare Funktionen h. Abschließend zerlegt man beliebige messbare Funktionen h in Positivund Negativteil h = h− − h− .
Transformationssatz für Dichten
Integration messbarer Funktionen
89
Wir beschränken uns in diesem Punkt der Klarheit halber auf reellwertige
Borel-messbare Funktionen X. Der Fall Rd mit d > 1 wird später in Kapitel 6
behandelt.
Es sei X eine reellwertige Borel-messbare Funktion auf einem finiten Maßraum
X
(E, E, µ) mit der Dichte f . Das bedeutet, das durch
Z X induzierte Maß µ hat
f (x)dx für alle B ∈ B1 .
die Dichte f , es gilt also (siehe (3.16)) µX (B) =
B
Häufig hat man die Verteilung einer Borel-messbaren Funktion Y auf (E, E, µ)
zu berechnen, die eine Funktion von X ist. Dazu nehmen wir an, h sei eine
Borel-messbare Funktion von R1 in sich, und es gelte
y ∈ E.
Y (y) := h(X(y)),
Offenbar gilt für die Verteilungsfunktion FY von Y
FY (y) = µ(Y ≤ y) = µ({z ∈ E|h(X(z)) ≤ y}) = µ(h(X) ≤ y).
Aus dieser Gleichung gewinnen wir folgende
Aussage 5.11 Es seien fX eine stückweise stetige Dichte von X und {x ∈
R1 |fX (x) > 0} ein Intervall I = (a, b). Weiterhin sei h eine stetig differenzierbare, streng monotone Funktion auf dem Intervall I mit einem Intervall
J = (c, d) ⊆ R1 als Wertebereich und mit h0 (x) 6= 0 für alle x ∈ I. (Die Funktion h ist insbesondere eine bijektive Abbildung von I auf J.)
Gilt Y = h(X) und setzt man g(y) := h−1 (y), y ∈ J, g(y) := 0, y ∈ R1 \J, so
besitzt Y ebenfalls eine Dichte, wir bezeichnen sie mit fY , und es gilt
fY (y) = fX (g(y))|g 0 (y)|, y ∈ (c, d),
fY (y) = 0, y ∈ R1 \(c, d).
(5.17)
Gleichung (3.17) kann man auch wie folgt schreiben
fX (x) = fY (h(x))|h0 (x)|, x ∈ (a, b),
fX (x) = 0, x ∈ R1 \(a, b).
Beweis: Wir wissen aus der Differential- und Integralrechnung, dass g(.) differenzierbar ist. Es sei h zunächst (streng) monoton wachsend. Dann gilt
FY (y) = µ(Y ≤ y) = µ(h(X) ≤ y) = µ(X ≤ g(y)) =
90
Uwe Küchler
Z
X
µ ((−∞, g(y)]) =
fX (s)ds = FX (g(y)).
(−∞,g(y)]
Das Integral kann als Riemann-Integral aufgefasst werden, da fX nach Voraussetzung stückweise stetig ist.(Wir gehen in Abschnitt 3.7 noch darauf ein.)
Nach der Substitionsregel der Differential- und Integralrechnung ist es gleich
Z y
fX (g(y)) · g 0 (y)dy.
−∞
Daraus folgt, dass FY eine Dichte besitzt (siehe (3.13) und (3.14)), und dass
gilt
fY (y) := FY0 (y) = fX (g(y)) · g 0 (y),
y ∈ (c, d).
Da h nur Werte aus (c, d) annimmt, ist µ(Y ∈
/ (c, d)) = 0, wir können also
fY (y) = 0, y ∈ R1 \(c, d) setzen.
Ist h (streng) monoton fallend, so haben wir fY (y) = fX (g(y))·(−g 0 (y)). Somit
ergibt sich die Formel (3.17).
Beispiele 5.12
Dann ist
1) Es sei h(x) = ax + b, x ∈ R1 , mit a 6= 0, Y = aX + b.
g(y) =
y−b
a
sowie fY (y) =
1
y−b
fX (
)
|a|
a
und
fX (x) = |a| · fY (ax + b).
2) Ist X eine Borel-messbare reellwertige Funktion auf (E, E),und µX eine
(normierte) N (m, σ 2 )-Verteilung, dann besitzt Y = exp(X) eine Dichte
der Form
1
2
fY (y) = √
exp − 2 (ln y − m) , y > 0
2σ
2πσ 2 y
1
fY (y) = 0,
y ≤ 0.
Das Maß bzw. die Verteilung mit dieser Dichte nennt man logarithmische
Normalverteilung mit den Parametern m und σ 2 .
Integration messbarer Funktionen
91
Die Cantorsche Funktion, Fortsetzung
Wir zeigen jetzt, dass die am Ende des Abschnitts 1.3. definierte Cantorsche
Funktion F , die eine Verteilungsfunktion auf R1 ist, keine Dichte besitzt, obwohl sie stetig ist.
Angenommen, die Dirichletsche Funktion F habe eine Dichte f . Nach Definiton ist die Funktion F konstant auf jedem der Intervalle
1 2 1 2 7 8
(0, ∞), (−∞, 0), ( , ), ( , ), ( , ), . . . .
3 3 9 9 9 9
Auf diesen Intervallen ist F folglich stetig differenzierbar, und dort gilt
F 0 (x) =
dF
(x) = f (x) = 0
dx
Das Lebesguemaß der Vereinigung dieser Intervalle aus (0, 1) (außer den beiden erstgenannten) ist gleich Eins. Also gilt F 0 (x) = f (x) = 0 λ-f.ü., und somit
kann nicht (3.13) gelten. Also besitzt das von der (stetigen) Cantorschen Funktion erzeugte Maß keine Dichte.
Weitere interessante Eigenschaften der Cantorschen Funktion und des von ihr
erzeugten Maßes findet man z.B. in Elstrodt [3], S.73ff.
Wir beenden diesen Abschnitt mit der Definition bestimmter Teilmengen der
Menge aller Borel-messbarer Funktionen auf einem Maßraum (E, E, µ), die sich
später als sehr nützlich erweisen werden, und von denen im nächsten Punkt
einige Eigenschaften zusammengestellt werden.
Definition 5.13 (Die Mengen Lp (E, E, µ)) Es seien (E, E, µ) ein σ-finiter
Maßraum und p ≥ 1. Wir bezeichnen mit Lp = Lp (E, E, µ) die Menge aller
reellwertigen Borel-messbaren Funktionen X auf E mit
Z
|X(y)|p µ(dy) < ∞.
E
p
Für jedes X aus L definieren wir
Z
k X kp :=
E
p1
|X(y)|p dµ .
92
Uwe Küchler
Die Menge L∞ = L∞ (E, E, µ) ist definiert als Menge aller reellwertigen, Borelmessbaren Funktionen X auf (E, E, µ), die beschränkt sind: sup |X(y)| < ∞.
y∈E
Wir setzen für alle X aus L∞
k X k∞ := sup |X(y)|.
y∈E
Übungen
1) Überprüfen Sie, ob die zwei Funktionen f und g, definiert durch
f (y) = 21[0, 3 ] (y) + 41[ 1 ,1] (y), y ∈ [0, 1],
4
4
g(y) = 21[0, 1 ] (y) + 61[ 1 , 3 ] (y) + 41( 3 ,1] (y), y ∈ [0, 1],
4
4 4
4
auf dem Intervall [0, 1] gleich sind. Berechnen Sie die Integrale
R
und [0,1] g(y)dy.
R
[0,1]
f (y)dy
2) Durch
Xn (y) =
k k+1
k
für y ∈ [ n , n ), k = 0, 1, . . . , 2n − 1
n
2
2
2
ist eine Folge (Xn , n ≥ 1) definiert. Zeigen Sie: (Xn ) ist eine monoton nichtfallende Folge von einfachen Funktionen und bestimmen Sie
den
Grenzwert X = X(y) für n R→ ∞. Berechnen Sie die Integrale
R
X
n (y)dy und ihren Grenzwert [0,1] X(y)dy.
[0,1]
3) Die Abbildung X habe die Dichte f (y) = λ exp[−λy]1(0,∞) (y), y ∈ R1
für ein λ > 0. Welche Dichte hat die Funktion Y = exp[−aX] für a 6= 0?
Integration messbarer Funktionen
5.6
93
Ungleichungen
In diesem Punkt nehmen wir an, dass (E, E, µ) ein finiter Maßraum ist. Wir
beweisen bzw. stellen eine Reihe nützlicher und in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, aber auch darüber hinaus häufig verwendeter Ungleichungen
vor.
Aussage 5.14 (Jensenschen Ungleichung) Es sei X(·) eine Borel-messbare
Abbildung von einem finiten Maßraum (E, E, µ) in R1 . Ist g eine konvexe Funktion auf R1 , d.h. gilt für alle x, y ∈ R1 und alle λ ∈ (0, 1) die Ungleichung
g(λx + (1 − λ)y) ≤ λg(x) + (1 − λ)g(y),
so ist
Z
g
X(y)µ(dy)
E
Z
≤
g(X(y))µ(dy).
E
(J.L.W.V. Jensen, dänischer Mathematiker, 1876-1925) Zum Beweis dieser
Ungleichung siehe z.B. Schmidt [5], Seite 280.
Aussage 5.15 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Sind X und Y Elemente von L2 (E, E, µ), so ist X ·Y ∈ L1 (E, E, µ), und die Cauchy-Schwarzsche
Ungleichung ist gültig:
Z
2 Z
Z
2
X · Y dµ ≤ X dµ · Y 2 dµ, m.a.W.
E
E
(5.18)
E
Z
|
X · Y dµ| k X k2 · k Y k2
(3.18’)
E
Die Gleichheit ” = ” gilt genau dann, wenn es Zahlen a, b ∈ R1 gibt mit
|a| + |b| > 0 und
aX + bY = 0 µ − f.ü..
(5.19)
94
Uwe Küchler
(Augustion Louis Cauchy, französischer Mathematiker, 1789-1857, Herrmann Amandus Schwarz, deutscher Mathematiker, 1843-1921)
Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung wird auch oft mit dem Namen
V.J.Bunjakowski, russischer Mathematiker(1804-1889), verbunden, der sie
unabhängig von Cauchy und Schwarz im Jahr 1859 publiziert hat. Beweis: Für
jedes c ∈ R1 gilt
Z
Z
Z
Z
2
2
2
X dµ + 2c XY dµ + Y 2 dµ =: Q(c). (5.20)
0 ≤ (cX + Y ) dµ = c
E
E
E
E
2
Die Lösungen a1,2 einer quadratischen
q Gleichung der Form R(a) = a +pa+q =
0 lauten bekanntlich a1,2 = − p2 ±
genau dann, wenn
p2
4
p2
4
− q. Es gilt R(a) ≥ 0 für alle a ∈ R1
Z
− q ≤ 0. Wegen (3.20) folgt (sofern X 2 dµ > 0)
E
2 Z
XY dµ
Z
Z
E
2 ≤ Y 2 dµ
X 2 dµ
E
Z
X dµ
2
E
E
und somit (3.18).
Es gilt Q(c) = 0 für ein c ∈ R1 genau dann, wenn cX + Y = 0 µ-f.ü.. Daraus
folgt (3.19).
Z
X 2 dµ = 0 haben wir X = 0 µ-f.ü., und (3.18) ist erfüllt. Die
Im Fall
E
Gleichung (3.19) erhält man in diesem Fall für a = 1undb = 0.
Aus der nächsten Ungleichung werden sich mehrere nützliche konkretere Fälle
ergeben, die teilweise eigene Namen tragen.
Aussage 5.16 Es seien h eine nichtnegative Borel-messbare Funktion auf R1
und X eine reellwertige Borel-messbare Funktion auf (E, E, µ). Dann gilt
R
µ({y ∈ E|h(X(y)) ≥ a}) ≤
für jedes a > 0.
h(y)µ(dy)
E
a
(5.21)
Integration messbarer Funktionen
95
Beweis: Die Funktion Y = h ◦ X ist Borel-messbar. Wir setzen
A := {Y −1 ([a, ∞))} = {y ∈ E|h(X(y)) ≥ a} = {h(X) ≥ a}.
Z
Z
Damit gilt h(X(y)) ≥ a1A (y) und
h(X)dµ ≥ a 1A (y)dµ = aµ(A), also
E
E
erhalten wir die Ungleichung (3.21).
Folgerungen 5.17
a) ( Markovsche Ungleichung) Es gilt für jedes a > 0 und jedes p > 0
R
µ(|X|p ≥ a) = µ({y ∈ E k X(y)| ≥ a}) ≤
|X|p dµ
E
.
ap
(Andrej Andrejevitsch Markov, russischer Mathematiker, 18561922) Zum Beweis setze man einfach h(x) = |x|p in Aussage 3.15 und berücksichtige,
daß |X|p ≥ ap genau dann gilt, wenn |X| ≥ a richtig ist.
b) (Chebyshev’sche Ungleichung) Es gilt für jedes a > 0 die
R
|X|dµ
E
.
µ(|X| ≥ a) ≤
a
(5.22)
(Pavnuty Lwowitsch Chebyshev, russischer Mathematiker, 18211894) Diese Ungleichung folgt aus a) für k = 1.
c) (Höldersche-Ungleichung) .
Ist p > 1 und q > 1 mit p1 + 1q = 1, so gilt für je zwei reellwertige
E-messbare Funktionen X und Y auf E
Z
|
XY dµ| ≤k X kp · k Y kq .
(5.23)
E
(Ludwig Otto Hölder, deutscher Mathematiker, 1859-1937) (Eine
Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (3.18))
96
Uwe Küchler
d) (Minkowski-Ungleichung) Falls p ∈ [1, ∞) und X, Y ∈ Lp (E, E, µ), so
gilt
k X + Y kp ≤k X kp + k Y kp .
(5.24)
(H.Minkowski, litauischer-deutscher Mathematiker, 1864-1909)
Zu den beiden nicht bewiesenen Ungleichungen siehe zum Beispiel Siraev [6]
unter dem Stichwort Ungleichungen“.
”
f ) (Lyapunov-Ungleichung)
Es sei X eine reellwertige Borel-messbare Abbildung auf einem finiten
Maßraum (E, E, µ). Dann gilt für alle p, p0 mit 0 < p < p0 die Ungleichung
Z
10
p1 Z
p
p0
|X(y)| µ(dy)
|X(y)| µ(dy) ≤
p
(5.25)
E
E
oder, in anderer Notation,
k X kp ≤k X kp0 .
(Alexander Michailowitsch Lyapunov, russischer Mathematiker, 18571918)
Zum Beweis dieser letzten Ungleichung setzt man in der Jensenschen Unglei0
chung g(x) := |x|r mit r = pp und |X(y)|p anstelle X(y). Dann folgt
Z
Z
Z
0
p
r
p r
| |X(y)| µ(dy)| ≤
|X(y)| µ(dy) = |X(y)|p µ(dy),
E
E
E
woraus sich die Lyapunovsche Ungleichung unmittelbar ergibt.
Als Folgerung aus der Minkowski-Ungleichung ergibt sich, daß für jedes p ∈
[1, ∞) die Menge Lp = Lp (E, E, µ) einen linearen Raum bildet:
X, Y ∈ Lp , α, β ∈ R1 ⇒ αX + βY ∈ Lp .
Integration messbarer Funktionen
97
Dasselbe gilt auch für die Menge L∞ .
Als Folgerung ergibt sich weiterhin, dass die Menge Lp (E, E, µ) für jedes p ∈
[1, ∞) fast “einen normierten Raum bildet, und dass k · kp ”fast” alle Eigen”
schaften einer Norm besitzt:
i) X ∈ Lp =⇒k αX kp = |α| k X kp ,
α ∈ R1 ,
ii) k X + Y kp ≤ k X kp + k Y kp , (Dreiecksungleichung für Normen).
Allerdings ist die folgende, für eine Norm notwendige dritte Eigenschaft, i. a.
nicht erfüllt:
iii) k X kp = 0 genau dann, wenn X = 0 richtig ist.
Aus k X kp = 0 folgt nämlich nur µ({y : X(y) 6= 0}) = 0 (siehe Satz 3.5e)).
Um auch diese dritte Eigenschaft zu erhalten, geht man folgendermaßen vor.
Man faßt alle Borel-messbaren Funktionen auf E, die µ-fast überall gleich sind,
zu einer Äquivalenzklasse zusammen:
[X] := {Y |E → R1 , Borel-messbar, µ({X 6= Y }) = 0}.
Mit der Definition
α[X] + β[Y ] := [αX + βY ]
wird die Menge aller Äquivalenzklassen zu einem linearen Raum. Das Nullelement in diesem linearen Raum Zist [0], die Äquivalenzklasse, die die Funktion
|X|p dµ hängt nicht von Änderungen von X
X(y) ≡ 0 enthält. Das Integral
E
Z
in µ-Nullmengen ab, folglich hängt der Wert
|Y |p dµ nicht von der Wahl des
E
Elementes Y aus einer Äquivalenzklasse [X] ab (siehe Satz 3.5d)). Aus diesem
Grund können wir jeder Äquivalenzklasse [X] den Wert k X kp zuordnen, wobei X irgend ein Repräsentant aus dieser Klasse ist. In der Regel bezeichnet
man den linearen Raum aller Äquivalenzklassen [X], für die k [X] kp < ∞ gilt,
mit Lp (E, E, µ), oder, wenn keine Verwechslungen möglich sind, oder kurz mit
98
Uwe Küchler
Lp . Neben den Analoga zu i) und ii) hat nun die Funktion k [X] kp , [X] ∈ Lp ,
tatsächlich die Eigenschaft
iii) k [X] kp = 0 genau dann, wenn [X] = [0].
Aus Gründen der Vereinfachung, und weil Verwechselungen kaum möglich sind,
nennt man Lp (p ≥ 1) den Raum der p-integrierbaren Funktionen, meint aber
eigentlich den Raum der entsprechenden Äquivalenzklassen.
Wir formulieren hier zur Abrundung der Darstellung den folgenden Satz ohne
weitere Erkläerung. Interessierte Leser können sich z.B. in Siraev [5], II,10
informieren.
Satz 5.18 Jeder der Räume Lp (E, E, µ), (p ∈ [1, ∞)), ist ein Banachraum.
0
Es gilt für alle p, p0 mit 1 ≤ p < p0 < ∞ die Relation Lp ⊆ Lp .
Bemerkung: In der Menge L∞ (E, E, µ) werden ebenfalls Äquivalenzklassen
eingeführt, indem man alle Borel-messbaren Funktionen zusammenfasst, die
µ−fast überall gleich einer beschränkten Borel-messbaren Funktion sind. Die
Menge dieser Äquivalenzklassen wird mit L∞ (E, E, µ) bezeichnet. Eine passende Norm auf L∞ (E, E, µ) ist dann definiert durch
k X k∞ := inf{c > 0|X(y) ≤ c µ − fast überall}.
(5.26)
(Die so definierte Norm k X k∞ ist unempfindlich gegeüber Ä nderungen von
X auf µ−Nullmengen, d.h., k X k∞ ist gleich für alle Funktionen aus der
Äquivalenzklasse [X].)
Bezüglich dieser Norm ist auch L∞ (E, E, µ) ein Banachraum. Details findet
man z.B. in Elstrodt [3], S.228ff.
Übungen
1) Zeigen Sie, dass unter den in Aussage 3.14 formulierten Voraussetzungen
an X und Y auch folgende Ungleichung gilt:
Z
E
2 Z
Z
2
|X| · |Y |dµ ≤ X dµ · Y 2 dµ.
E
E
Integration messbarer Funktionen
99
2) Beweisen Sie, dass die Erweiterung der Hölderschen Ungleichung (3.23)
auf dem Fall p = 1 und q = ∞ richtig ist:
Z
| XY dµ| ≤k X k1 · k Y k∞ .
E
3) Zeigen Sie, dass für die Dirichletsche Funktion gilt
sup ||X(y)|} = 1,
{y∈[0,1]}
aber ||X||∞ = 0 im Sinne von (3.26).
4) Beweisen Sie, dass für jede reellwertige, Borel-messbare Funktion X auf
einem finiten Maßraum (E, E, µ) mit ||X||∞ < ∞ gilt
lim ||X||p = ||X||∞ .
p→∞
5.7
Lebesgue- und Riemannintegrale
Es sei X eine reellwertige Funktion auf einem (endlichen) Intervall [a, b].
Für jede Zerlegung
(m)
4m := {a = s0
(m)
< s1
(m)
< . . . < skm = b}
(m)
(m) (m) ∈ sk−1 sk , k =
(m)
(5.27)
von [a, b] und jede Wahl von ”Zwischenpunkten” ξk
1, . . . , km , definieren wir die Summe
I(4m ; X) :=
km
X
k=1
(m)
(m)
X(ξk )(sk
− sk−1 ).
100
Uwe Küchler
X
a
(n)
ξ1
(n) (n) (n)
s1 ξ2 s2
s
...
b
Abbildung 5.1: Bestandteile der Riemannschen Summe
Definition 5.19 Man sagt, die Funktion X sei integrierbar im Riemannschen
Sinne (oder einfach Riemann-integrierbar), falls für jede Folge (4m ) von Zer(m)
(m) −→
legungen von [a, b] mit |4m | := max |sk − sk−1 | m→∞
0 und jede Wahl von
k=1,...,km
(m)
ξk , k
Zwischenpunkten
= 1, . . . , km , die Folge (I(4m ; X)) gegen ein und dieselbe Zahl konvergiert, die man als Riemannintegral von X über das Intervall
[a, b] bezeichnet:
Zb
lim I(4m ) =: R −
X(s)ds.
|4m |→0
a
(Bernhard Riemann, deutscher Mathematiker, 1826-1866)
Ein hinreichendes Kriterium dafür, dass eine Funktion Riemann-integrierbar
ist, liefert die folgende Aussage.
Aussage 5.20 Es sei X eine stückweise stetige Funktion auf einem (endlichen) Intervall [a, b], d.h. es gebe eine Folge a = t0 < t1 < . . . < tn = b von
Punkten aus [a, b], so dass X auf jedem Intervall [tk−1 , tk ], k = 1, . . . , n, stetig
und beschränkt ist. Dann ist X Riemann-integrierbar.
Zum Beweis siehe z. B. H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner
Verlag Stuttgart, Leipzig, 12. Aufl. 1998.
Integration messbarer Funktionen
101
Das Riemannintegral hat eine Reihe von Eigenschaften, die Rechnungen mit
ihm erleichtern oder auch erst ermöglichen. Dazu gehören die Aussage des
Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung, die Formel der partiellen Integration und die Substitutionsformel.
Die folgende Aussage zieht einen Vergleich zwischen den beiden Integralbegriffen, die wir bisher kennengelernt haben.
Aussage 5.21 Ist X eine Riemannintegriebare Funktion auf [a, b], so existiert
das Lebesgueintegral bez. des Lebesguemaßes, bezeichnet durch
Zb
L−
X(s)ds,
a
Zb
und ist gleich dem Riemannintegral R −
X(s)ds.
a
Beweis: Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass X stückweise stetig ist
und setzen
Xm (s) :=
km
X
k=1
1(s(m) ,s(m) ] (s)X(ξk(m) ).
k−1
k
(m)
(m)
(m)
Dabei sind wie oben angegeben 4m := {a = s0 < s1 < . . . < skm = b} eine
(m) (m) (m)
Zerlegung von [a, b] und ξk ∈ sk−1 sk , k = 1, . . . , km eine beliebige Folge
von Zwischenpunkten. Damit ist Xm eine einfache Funktion, die stückweise
stetig ist.
Es gilt
lim Xm (s) = X(s) mit |∆m | −→ 0 für alle s ∈ [a, b]
m→∞
m→∞
außer eventuell in einigen oder allen Unstetigkeitspunkten {t0 , t1 , . . . , tn } von
X.
Da X beschränkt ist (d.h., |X| ≤ K für eine Konstante K > 0), sind auch
die Xm gleichmäßig in m beschränkt (d.h., |Xm | ≤ K für alle m und eine
Konstante K > 0). Aus dem Satz über die majorisierte Konvergenz (siehe
Satz 4.6 c)) folgt
102
Uwe Küchler
Zb
R−
Zb
X(s)ds = lim I(4m , X) = lim L −
m→∞
a
Zb
Xm (s)ds = L −
m→∞
a
X(s)ds.
a
Beispiel 5.22 Die sogenannte Dirichletfunktion
X(y) = 1Q (y), y ∈ [0, 1],
wobei Q die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet, ist Lebesgue-, aber nicht
Riemannintegrierbar.
Übungen
1) Berechnen Sie mit Hilfe des
R Grenzwertes von Summen der Form (3.27)
das Riemann-Integral (R)- [0,1] ydy.
2) Überzeugen Sie sich davon, dass die in Beispiel 3.21 angegebene Dirichletfunktion Lebesgue-, aber nicht Riemannintegrierbar ist.
Kapitel 6
Konvergenzarten für Folgen
messbarer Funktionen
Es seien (E, E, µ) ein σ-finiter Maßraum und (Xn , n ≥ 1) eine Folge reellwertiger Borel-messbarer Funktionen auf E.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Konvergenz der Folge (Xn ) gegen eine
Funktion X auf E zu definieren. Diese Konvergenzarten stehen auf unterschiedliche Weisen in Beziehung, keineswegs folgt aber aus der Konvergenz
in der einen Art immer die in einer anderen Art. In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist es zum Beispiel so, daß fundamentale Grenzwertsätze wie
Gesetze der großen Zahlen und Zentrale Grenzwertsätze in verschiedenen Konvergenzarten formuliert werden und unter unterschiedlichen Voraussetzungen
gültig sind.
Eine erste und naheliegende Möglichkeit der Definition der Konvergenz von
Funktionenfolgen ist die punktweise Konvergenz.
Definition 6.1 Man sagt, eine Folge (Xn ) reellwertiger Funktionen Xn auf E
konvergiere punktweise gegen eine Funktion X auf E, falls für jedes y aus E
die Zahlenfolge (Xn (y)) gegen die Zahl X(y) konvergiert:
lim Xn (y) = X(y),
n→∞
y ∈ E.
Die ”Grenz”-funktion X ist eindeutig bestimmt. Gilt nämlich
lim Xn (y) = X̃(y),
n→∞
103
y ∈ E,
104
Uwe Küchler
so ist
X̃(y) = X(y), y ∈ E.
Die Funktion X ist mit Xn , n ≥ 1, ebenfalls Borel-messbar (siehe Folgerung
2.5c)).
6.1
Konvergenz µ-fast-überall
Eine andere Konvergenzart ist die Konvergenz µ-fast-überall, die wir jetzt systematischer untersuchen wollen.
Definition 6.2 Eine Folge (Xn ) reellwertiger Borel-messbarer Funktionen heißt
µ-fast-überall (kurz: µ-f.ü.) konvergent gegen eine Borel-messbare Funktion X
auf (E, E, µ), falls es eine µ-Nullmenge N aus E gibt, mit
lim Xn (y) = X(y) für alle y ∈ E\N.
n→∞
Symbolisch: Xn −→ X.
µ−f.ü.
Einige Eigenschaften der µ-fast-überall-Konvergenz
a) Aus lim Xn = X µ − f.ü. und lim Xn = X̃µ − f.ü. folgt X = X̃ µ − f.ü..
n→∞
n→∞
Aus lim Xn = X µ − f.ü. und Xn = X̃n µ − f.ü. für alle n ≥ 1 folgt
n→∞
0
lim Xn = X µ − f.ü..
n→∞
b) Ist ϕ eine stetige Abbildung von R2 in R1 , und gilt lim Xn = X µ − f.ü.
n→∞
sowie lim X̃n = X̃ µ − f.ü., so folgt lim ϕ(Xn , X̃n ) = ϕ(X, X̃) µ − f.ü..
n→∞
n→∞
Insbesondere ist
lim Xn · X̃n = X · X̃ µ − f.ü.
n→∞
lim Xn /
= X/ auf {X̃ 6= 0} µ − f.ü.
X̃n
X̃
n→∞
lim (αXn + β X̃n ) = αX + β X̃ µ − f.ü..
n→∞
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
105
Beispiel 6.3 Es sei (E, E, µ) = ([0, 1], B[0,1] , λ), wobei λ das Lebesguemaß auf
[0, 1] bezeichne. Die Folge Xn (y) = y n , y ∈ [0, 1], n ≥ 1, konvergiert punktweise
und damit λ-f.ü. gegen X(y) = 1{1} (y) aber λ-f.ü. auch gegen X̃(y) ≡ 0 und
gegen X̃(y) = 1Q (y), y ∈ [0, 1], wobei Q die Menge der rationalen Zahlen
bezeichne.
Aussage 6.4 Sind (Xn , n ≥ 1) und X reellwertige, Borel-messbare Funktionen auf (E, E, µ), so ist die Menge B aller y ∈ E, für die limn→∞ Xn (y) =
X(y) gilt, eine Borel-messbare Menge.
Beweis: Es gilt nach Definition der Konvergenz einer Zahlenfolge, dass y genau
dann zu B gehört, wenn für alle ε > 0 ein n0 = n0 (ε) ≥ 1 existiert, so dass für
alle n ≥ n0 gilt |Xn (y) − X(y)| ≤ ε.
Somit ist y ∈
/ B genau dann, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass für unendlich
viele n die Ungleichung |Xn (y) − X(y)| > ε richtig ist.
Wir definieren für jedes ε > 0 und jedes k ≥ 1 die Menge
Aεk := {y ∈ E||Xk (y) − X(y)| > ε}
und
Aε := {y ∈ E|y ∈ Aεk für unendlich viele k ≥ 1} =
\ [
lim sup Aεk =
Aεk .
k→∞
0
n≥1 k≥n
0
0
Es gelten für alle ε, ε mit 0 < ε < ε und alle k ≥ 1 die Inklusionen Aεk ⊆ Aεk ,
0
folglich auch Aε ⊆ Aε .
Daraus folgt
[
[ 1
(6.1)
A :=
Aε =
Ak .
ε≥0
k≥1
Es gilt y ∈ A genau dann, wenn ein ε > 0 existiert, so daß y ∈ Aεk für unendlich
viele k ≥ 1. Das heißt, A = B c . Wegen (4.1) ist A durch abzählbar unendliche
Vereinigungen und Durchschnitte der Borel-messbaren Mengen Aεk darstellbar
und somit auch Borel-messbar, und wegen Ac = B ist auch B eine Borelmenge,
was zu zeigen war.
Folgerung 6.5 Es gilt lim Xn = X µ-f.ü. genau dann, wenn
n→∞
lim µ({y ∈ E| sup |Xk (y) − X(y)| > ε}) = 0 für alle ε > 0.
n→∞
k≥n
(6.2)
106
Uwe Küchler
Beweis: Wir verwenden die Notation des Beweises der Aussage 4.4. Es gilt
[ 1
µ−f.ü.
Xn −→ X ⇔ µ(A) = 0 ⇔ µ( A k ) = 0.
k≥0
1
Da A k mit wachsendem k monoton nichtfallend ist, gilt die letzte Gleichung
1
genau dann, wenn µ(A k ) = 0 für alle k ≥ 1. Das ist äquivalent mit µ(Aε = 0)
füf alle ε > 0. Nach Definition von Aε und der Stetigkeit des Maßes µ von
unten (siehe in Abschnitt 1.3 den Punkt 3a) der Unmittelbaren Folgerungen.)
ist das aber genau dann der Fall, wenn
[
Aεk ) = 0.
lim µ(
n→∞
k≥n
Wegen
[
Aεk = {y ∈ E| sup ||Xk (y) − X(y)| > ε}
k≥n
k≥n
ergibt sich damit die Aussage.
6.2
Vertauschung von Grenzwertbildung und
Integration
Ein großer Vorteil in der Arbeit mit dem oben eingeführten Integralbegriff ist
die Möglichkeit, Grenzwerte von Funktionen im Sinne der µ− f.ü.-Konvergenz
und Integrale über diese Funktionen bez. des Maßes µ unter relativ allgemeinen
Bedingungen vertauschen“ zu können. Das ist der Inhalt dieses Abschnittes.
”
Satz 6.6 Es seien (Xn , n ≥ 1) und X reellwertige Funktionen über einem
σ−finitem Maßraum (E, E, µ), die Borel-messbar sind.
Dann sind folgende Aussagen richtig:
a) (Theorem der monotonen Konvergenz, Satz von B. Levi)
Falls alle Xn nichtnegative Funktionen sind, die µ-f.ü. monoton nichtfallend gegen X konvergieren (0 ≤ Xn (y) ≤ Xn+1 (y) ↑ X(y) für alle y ∈ E
außerhalb einer gewissen µ-Nullmenge), so gilt:
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
(6.3)
n→∞
E
E
E
lim Xn dµ
Xdµ =
Xn dµ =
lim
n→∞
Z
Z
Z
107
Z
Xdµ = ∞).
(auch falls
E
(Beppo Levi, italienischer Mathematiker, 1875-1961)
b) (Lemma von Fatou)
Falls es eine Funktion Y von (E, E) in (R1 , B1 ) gibt, die Borel-messbar
ist, und für die Xn ≥ Y µ-f.ü. sowie Y ∈ L1 (E, E, µ) gilt, dann haben wir
Z
Z
lim inf Xn dµ ≤ lim inf Xn dµ.
(6.4)
n→∞
n→∞
E
E
Die Voraussetzung ist insbesondere erfüllt für nichtnegative Xn .
(Pierre Fatou, französischer Mathematiker, 1878-1929)
c) (Lebesgues’s Theorem der majorisierten Konvergenz)
Wenn die Funktionen Xn µ-fast überall gegen eine Funktion X konvergieren und |Xn | ≤ Y µ-f.ü. für ein Y ∈ L1 = L1 (E, E, µ) und alle n ≥ 1
gilt, dann ist Xn , X ∈ L1 und
Z
Z
Xn dµ =
lim
n→∞
E
Z
lim Xn dµ =
Xdµ.
n→∞
E
(6.5)
E
Beweis:
Z
Xn dµ ≤
a) Wegen der Monotonie der Integrationsbildung folgt
ZE
und somit, weil auf Grund der Monotonie der Folge (
n→∞
E
E
Xdµ
E
Xn dµ) ihr GrenzE
wert Zexistiert, Z
lim
Xn dµ ≤ Xdµ.
Z
108
Uwe Küchler
Für den Nachweis der umgekehrten Ungleichung nehmen wir an, daß Y
eine einfache Funktion mit 0 ≤ Y ≤ X sei. Für jedes c ≥ 1 setzen
S wir
Bn = Bn (c) = {cXn ≥ Y }. Es gilt Bn ∈ E, Bn ⊆ Bn+1 , n ≥ 1, Bn =
n
E und cXn ≥ Y · 1Bn .
Offenbar ist Y · 1Bn ebenfalls eine einfache Funktion, außerdem gilt Y ·
1Bn ↑ Y.
Nun folgt aus Definition 3.2. und der Definition von Bn
Z
Z
Z
Y dµ = lim
Y · 1Bn dµ ≤ c · lim
Xn dµ.
n→∞
E
n→∞
E
E
Da diese Ungleichung für alle c ≥ 1 gilt, haben wir
Z
Z
Y dµ ≤ lim
Xn dµ.
(6.6)
n→∞
E
E
Daraus ergibt sich die Ungleichung
Z
Z
Xdµ ≤ lim
Xn dµ.
n→∞
E
E
Insgesamt ergibt sich damit (4.3). Die Funktion X ist nämlich der Grenzwert einer nichtfallenden Folge (Yn ) nichtnegativer, einfacher
Funktionen
R
mit Yn ≤ X, man beachte nun die Definition 3.2 für Xdµ.
b) Wir können Y = 0 voraussetzen, anderenfalls betrachten wir X̃n :=
Xn − Y .
Es sei Zn := inf Xk . Dann sind die Zn messbare Funktionen mit Zn ≤
k≥n
Zn+1 , n ≥ 1.
Es gilt lim Zn = supn≥1 inf k≥n Xk = lim inf Xn .
n→∞
n→∞ Z
Z
Wegen Xk ≥ Zn für alle k ≥ n haben wir
Xk dµ ≥
Zn dµ für alle
E
k ≥ n, und somit gilt wegen a) die Beziehung
Z
Z
inf
Xk ≥ Zn dµ
k≥n
E
E
E
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
109
für alle n ≥ 1.
Daraus ergibt sich
Z
Z
Z
Z
Zn dµ,
lim inf
Xn dµ = sup inf
Xk dµ ≥ sup Zn dµ = lim
n→∞
n≥1 k≥n
E
n→∞
n≥1
E
E
E
m.a.W.
Xn dµ ≥ lim
lim inf
n→∞
n→∞
E
E
E
E
lim inf Xn dµ.
lim Zn dµ =
Zn dµ =
n→∞
n→∞
Z
Z
Z
Z
c) Es sei zunächst Xn ≥ 0 und lim Xn = 0 µ-f.ü..
n→∞
Dann folgt wegen der Voraussetzung Xn ≤ Y µ-f.ü. mittels b)
Z
Z
lim inf (−Xn )dµ ≤ lim inf
n→∞
(−Xn )dµ
n→∞
E
E
und somit
Z
Z
lim sup Xn dµ ≥ lim sup
n→∞
E
Xn dµ ≥ 0
n→∞
E
Also ist wegen lim sup Xn = lim Xn = 0µ− f.ü.
Z
Z
lim sup Xn dµ ≥ lim sup
0=
n→∞
E
Xn dµ ≥ 0,
n→∞
E
Z
d.h. lim
Xn dµ = 0.
n→∞
E
Im allgemeinen Fall lim Xn = X µ-f.ü. setzen wir Zn := |Xn − X|. Dann gilt
0 ≤ Zn ≤ 2Y ∈ L1 (E, E, µ), lim Zn = 0
n→∞
und
110
Uwe Küchler
Zn dµ.
(6.7)
E
E
E
E
|Xn − X|dµ =
Xdµ| ≤
Xn dµ −
|
Z
Z
Z
Z
Es gilt |Xn − X| ∈ L1 , und wegen XnZ ∈ L1 folgtZX ∈ L1 . Aus (4.7) ergibt sich
dann mit Hilfe des ersten Teils lim
Xn dµ = Xdµ.
n→∞
E
E
Ein Beispiel für eine Funktionenfolge (Xn ), die µ−f.-ü. konvergiert, und für
die (4.5) nicht gilt, wird in den Übungen behandelt.
6.3
Konvergenz dem Maß nach
Es seien (E, E, µ) und (Xn , n ≥ 1) wie zu Beginn dieses Kapitels eingeführt.
Definition 6.7 Die Folge (Xn ) konvergiert dem Maß µ nach gegen eine Borelmessbare Funktion X auf E, falls gilt
lim µ({y ∈ E| |Xn (y) − X(y)| > ε}) = 0 für jedes ε > 0.
n→∞
(6.8)
µ
Symbolisch: Xn −→ X.
µ
Wir halten fest, daß offenbar Xn −→ X genau dann gilt, wenn
lim sup µ({y ∈ E| |Xn (y) − X(y)| > ε}) = 0 für jedes ε > 0.
n→∞ k≥n
(6.9)
Aussage 6.8 Es gelten folgende Beziehungen zwischen µ-f.ü.-Konvergenz und
Konvergenz dem Maß nach.
a) Aus lim Xn = X µ − f.ü. folgt lim Xn = X dem Maß µ nach.
n→∞
n→∞
b) Wenn lim Xn = X dem Maß µ nach, so gibt es eine Teilfolge (nk )
n→∞
natürlicher Zahlen mit lim Xnk = X µ − f.ü..
k→∞
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
111
Beweis:
a) Wir haben für alle k ≥ n :
{|Xk (y) − X(y)| > ε} ⊆ {sup |Xk (y) − X(y)| > ε}.
k≥n
Daraus ergibt sich
sup µ(|Xk − X| > ε) ≤ µ(sup |Xk − X| > ε)
k≥n
k≥n
Mittels Folgerung 4.5. und (4.9) ergibt sich die Behauptung.
1
b) Da nach Voraussetzung lim µ |Xn − X| > k = 0 für alle k ≥ 1, so
n→∞
gibt es für jedes k ≥ 1 ein nk ∈ N mit
1
µ |Xn − X| >
k
≤
1
für alle n ≥ nk .
k2
Also ist
X
X 1
1
< ∞.
µ |Xnk − X| >
≤
k
k2
k≥1
k≥1
(6.10)
An diesem Punkt verwenden wir das folgende Lemma, das auch an anderen
Stellen der Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie häufig benutzt wird.
Lemma 6.9 (Borel-Cantelli)
Ist (An , n ≥ 1) eine Folge messbarer Mengen aus E mit
∞ ∞
T S
gilt µ lim sup An = µ
Am = 0.
n→∞
∞
P
µ(An ) < ∞, so
n=1
n=1 m=n
Der Beweis war Gegenstand der 3. Übungsaufgabe aus Abschnitt 1.3.
(Francesco Paolo Cantelli, italienischer Ökonom und Mathematiker,
1875-1966)
112
Uwe Küchler
Folgerung 6.10 Die Folge (Xn ) konvergiert dem Maß µ nach gegen X genau
dann, wenn es zu jeder Teilfolge (Xnk ) eine Unterfolge (Xnkl ) gibt, die µ-f.ü.
gegen X konvergiert.
µ
µ
Beweis: Aus Xn −→ X folgt Xnk −→ X für jede Teilfolge (nk ) und wegen Aussage 4.8b) existiert eine Unterfolge (nkl ) von (nk ) mit lim Xnkl = X µ-f.ü..
l→∞
Umgekehrt, konvergiert (Xn ) nicht dem Maß µ nach gegen X, so gilt µ(|Xnk −
X| ≥ ε) > η für gewisse ε, η > 0 und eine unendliche Folge (nk ) aus N. Andererseits gibt es nach Voraussetzung eine Unterfolge (nkl ) mit Xnkl −→ X,
µ−f.ü.
was zu einem Widerspruch führt.
Aus Folgerung 4.10 ergibt sich nunmehr, dass die Eigenschaften a) und b) der
µ-f.ü.-Konvergenz auch für die Konvergenz dem Maß nach gelten.
Beispiel 6.11 ( Folge der wandernden Türme“) (E, E, µ) = ([0, 1), B[0,1) , λ)
”
mit λ gleich dem Lebesguemaß auf [0, 1). Wir definieren:
Xn,k (y) := 1[k·2−n ,(k+1)2−n ) (y), k = 0, 1, . . . , 2n − 1, n ≥ 0,
Ym := Yn,k , falls m = 2n + k, m ≥ 1.
Die Folge (Ym , m ≥ 1) konvergiert dem Maß µ nach, aber nicht µ-f.ü. gegen
1
Xn,k−1 Xn,k Xn,k+1
y
k
2n
k+1
2n
1
Abbildung 6.1: Wandernde Türme“
”
X(y) ≡ 0.
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
113
Der Beweis ist als Übungsaufgabe vorgesehen.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik treten µ-f.ü.-Konvergenz bzw.
Konvergenz dem Maß nach z.B. bei starken bzw. schwachen Gesetzen der
großen Zahlen auf. Sie heißen dort fast sichere Konvergenz bzw. stochastische Konvergenz.
6.4
Konvergenz in Verteilung
Eine völlig andere Art von Konvergenz als die bisher betrachteten ist die Konvergenz in Verteilung. Man benötigt sie in der Wahrscheinlichkeitstheorie und
Statistik z.B. im Rahmen von zentralen Grenzwertsätzen.
Wir nehmen an, (Xn , n ≥ 1) sei eine Folge von Borel-messbaren Funktionen
auf einem finiten Maßraum (E, E, µ) mit Werten in R1 . Ihre Verteilungsfunktionen Fn seien gegeben durch
Fn (x) := µ(Xn ≤ x) = µ({y ∈ E|Xn (y) ≤ x}),
x ∈ R1 .
Definition 6.12 Die Folge (Fn , n ≥ 1) (bzw. die Folge (Xn , n ≥ 1)) konvergiert in Verteilung gegen eine Verteilungsfunktion F auf R1 , (symbolisch:
d
d
Fn −→ F bzw. Xn −→ F ), falls für jede Zahl x ∈ R1 , in der F stetig ist, gilt
lim Fn (x) = F (x).
n→∞
Bemerkung: Angenommen, es gibt eine reellwertige Borel-messbare Funktion
X auf (E, E, µ) mit der Verteilungsfunktion F , so sagt man mitunter auch, dass
d
d
Xn in Verteilung gegen X konvergiert (Xn −→ X), falls Fn −→ F für n → ∞.
Die Konvergenz in Verteilung läßt sich auf folgende Weise charakterisieren.
Aussage 6.13 Eine Folge (Fn , n ≥ 1) von Verteilungsfunktionen auf R1 konvergiert in Verteilung gegen eine Verteilungsfunktion F auf R1 , genau dann,
wenn gilt:
Z
Z
lim
f dFn = f dF,
n→∞
R1
R1
114
Uwe Küchler
für jede stetige, beschränkte Funktion f auf R1 .
Zum Beweis siehe Siraev [6], Kap. III.
Aus der Konvergenz dem Maß nach folgt die Konvergenz in Verteilung. Das
ist der Inhalt der nächsten Aussage.
Aussage 6.14 Es sei (Xn , n ≥ 1) eine Folge reellwertiger Borel-messbarer
µ
Funktionen auf (E, E, µ) mit Xn −→ X (Konvergenz dem Maß µ nach) für
n→∞
d
eine Borel-messbare Funktion X auf (E, E, µ). Dann gilt Fn −→ F , wobei Fn
bzw. F die Verteilungsfunktionen von Xn bzw. X bezeichnen.
Beweis: Es sei f eine beschränkte stetige Funktion auf R1 , es gelte also insbesondere |f (x)| ≤ c, x ∈ R1 , für ein c > 0. Zu jedem ε > 0 gibt es einTN > 0,
so dass µ(|X| > N ) ≤ 4cε richtig ist (wegen lim µ(|X| > N ) = µ( {|X| >
N →∞
N
N }) = µ(|X| = ∞) = 0). Auf Grund der Stetigkeit von f gibt es ein δ > 0,
so dass für alle z, z 0 ∈ R1 mit |z| ≤ N und |z − z 0 | ≤ δ die Ungleichung
|f (z) − f (z 0 )| ≤ 2ε richtig ist. Folglich gilt (siehe Substitutionsregel, Satz 3.6))
Z
Z
Z
| f (x)Fn (dx) − f (x)F (dx)| = | (f (Xn (y)) − f (X(y)))µ(dy)|
R1
R1
E
Z
≤
|f (Xn (y)) − f (X(y))|µ(dy) =
E
Z
Z
|f (Xn (y))−f (X(y))|µ(dy) +
{|X(y)|≤N }
{Xn (y)−X(y)|≤δ}
|f (Xn (y))−f (X(y))|µ(dy)
{|X(y)|>N }
{Xn (y)−X(y)|≤δ}
Z
|f (Xn (y)) − f (X(y))|µ(dy) ≤
+
{|Xn (y)−X(y)|>δ}
≤
ε
ε
· µ(E) + µ(E) + 2cµ(|Xn − X| > δ) =
2
2
εµ(E) + 2cµ(|Xn − X| > δ).
Nach Voraussetzung gilt µ(|Xn − X| > δ) −→ 0, also ist
n→∞
Z
Z
0 ≤ lim | f (x)Fn (dx) − f (x)F (dx)| ≤ ε · µ(E)
n→∞
R1
R1
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
115
für alle ε > 0, d. h.
Z
lim
Z
f (x)Fn (dx) =
n→∞
R1
f (x)F (dx).
R1
Aus der Konvergenz in Verteilung einer Folge Borel-messbarer Funktionen folgt
i.a. nicht ihre Konvergenz dem Maß nach. Es gilt lediglich
Aussage 6.15 Es sei (Xn , n ≥ 1) eine Folge Borel-messbarer Funktionen auf
d
(E, E, µ) mit Xn −→ F , wobei F eine Verteilungsfunktion auf R1 bezeichne.
n→∞
Ist F ausgeartet, d.h., gilt F (x) = 0 falls x < x0 und F (x) = c > 0 falls x ≥ x0
für ein x0 ∈ R1 und ein c > 0, so konvergiert (Xn , n ≥ 1) dem Maß µ nach
gegen die konstante Funktion X(y) ≡ x0 , y ∈ E.
Der Beweis dieser Aussage ist als Übungsaufgabe vorgesehen.
6.5
Konvergenz im Lp-Sinne
Wir nehmen an, (E, E, µ) sei ein finiter Maßraum und p sei eine reelle Zahl
mit p ≥ 1. Weiterhin sei (Xn , n ≥ 1) eine Folge aus Lp (E, E, µ) und X ∈
Lp (E, E, µ).
Definition 6.16 Man sagt, die Folge (Xn , n ≥ 1) konvergiert im Lp -Sinne
gegen X, falls lim k Xn − X kp = 0.
n→∞
Wenn eine Folge (Xn , n ≥ 1) im Lp -Sinne gegen X konvergiert, so erfolgt die
Konvergenz auch dem Maß nach. Es gilt nämlich
R
µ({y ∈ E| |Xn (y) − X(y)| > ε}) ≤
|Xn (y) − X(y)|p dµ
εp
(6.11)
für p ≥ 1, siehe Folgerung 3.16a) (Markov-Ungleichung).
Für p = ∞ ist dies ohne Weiteres klar, da µ({y ∈ E||Xn (y) − X(y)| >k
Xn − X k∞ }) = 0.
Das Verhältnis zwischen µ-fast überall-Konvergenz und Lp -Konvergenz ist etwas komplizierter. Im Allgemeinen folgt weder aus der µ-fast überall-Konvergenz
116
Uwe Küchler
die Lp -Konvergenz noch umgekehrt aus der Lp -Konvergenz die µ-fast überall
Konvergenz. Für die Klärung der gegenseitigen Beziehung führen wir folgenden
Begriff ein.
Definition 6.17 Die Folge (Xn ), n ≥ 1 heißt gleichgradig integrierbar, falls
gilt
Z
|Xn |dµ = 0
lim sup
c→∞ n≥1
(6.12)
{|Xn |≥c}
Aussage 6.18 Konvergiert die Folge (Xn ) µ-fast überall gegen eine Funktion
X, und ist (Xn ) gleichgradig integrierbar, so gilt
k Xn − X k1 −→ 0.
n→∞
Beweis: Mit (Xn ) ist auch die Folge (Xn − X) gleichgradig integrierbar. Also
genügt es, die Aussage für X = 0 zu beweisen. Es sei c eine beliebige positive
Zahl. Dann gilt
Z
Z
Z
k Xn k1 = |Xn |dµ =
|Xn |dµ +
|Xn |dµ ≤
E
{|Xn |≥c}
{|Xn |<c}
Z
sup
Z
|Xn |dµ +
|Xn |dµ.
n
{|Xn |≥c}
{|Xn |<c}
Wegen |Xn | −→ 0 und 1{|Xn |<c} |Xn | ≤ c gilt konvergiert der zweite Summand
µ−f.ü.
der rechten Seite für n → ∞ gegen 0 (siehe den Satz 4.6c) von der majorisierten Konvergenz), und zwar für jedes c > 0. Der erste Summand ergibt für
c → ∞ nach Voraussetzung der gleichgradigen Integrierbarkeit der Xn ebenfalls Null. Somit haben wir k Xn k1 −→ 0.
n→∞
Mit Hilfe des folgenden Satzes, der eine Charakterisierung der gleichgradigen
Integrierbarkeit beinhaltet, werden wir zwei hinreichende Kriterien herleiten.
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
117
Aussage 6.19 Eine Folge (Xn ) ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn
Z
a) sup |Xn |dµ < ∞ und
n
E
b) für alle
Z ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle A ∈ E gilt:
sup |Xn |dµ < ε, falls µ(A) < δ.
n
A
Beweis: Für jedes n ≥ 1 jedes A ∈ E und jedes c > 0 gilt
Z
Z
Z
|Xn |dµ =
A
Z
|Xn |dµ +
A∩{|Xn |≥c}
|Xn |dµ <
A∩{|Xn |<c}
|Xn |dµ + c · µ(A).
{|Xn |≥c}
Also ist
Z
Z
|Xn |dµ ≤ sup
sup
n
|Xn |dµ + c · µ(A).
(6.13)
n
A
{|Xn |≥c}
Ist (Xn ) gleichgradig integrierbar, so folgt aus (4.13) die Eigenschaft a) (für
A = E), sowie Eigenschaft b) (man wähle c so groß, dass
Z
ε
ε
sup
|Xn |dµ < und setze δ = .)
2
2c
n
{|Xn |≥c}
Umgekehrt, es mögen a) und b) gelten. Wir haben zu zeigen, dass (4.12) richtig
ist. Es sei nun ε irgendeine positive Zahl und δ gemäß b) gewählt.
Wegen a) haben wir
Z
1
sup P (|Xn | ≥ c) ≤ sup |Xn |dµ −→ 0.
c↑∞
c n
n
E
Wählt man nun c so groß, dass sup P (|Xn | ≥ c) < δ, so gilt wegen b)
n
R
sup
|Xn |dµ < ε. Das bedeutet, für jedes ε > 0 gibt es ein c > 0, so
n {|Xn |≥c}
dass
Z
|Xn |dµ < ε
h(c) :=
{|Xn |≥c}
118
Uwe Küchler
gilt. Weil h(c) mit wachsendem c monoton fällt, gilt
Z
lim sup
|Xn |dµ < ε,
c↑∞ n≥1
{|Xn |≥c}
und da ε als eine bliebige positive Zahl gewählt wurde, bedeutet das
Z
lim sup
|Xn |dµ = 0.
c↑∞ n≥1
{|Xn |≥c}
Wir geben nunmehr zwei einfache Kriterien an, unter denen Borel-messbare
Funktionen (Xn ) gleichgradig integrierbar sind.
Folgerungen 6.20
gibt mit
a) Wenn es eine positive messbare Funktion Y ∈ L1 (E, E, µ)
|Xn | ≤ Y, n ≥ 1,
so ist (Xn ) gleichgradig integrierbar.
Unter der genannten Voraussetzung gilt
Z
Z
|Xn |dµ ≤
Y dµ,
n ≥ 1.
{|Xn |≥c}
{|Xn |≥c}
Außerdem ist
µ(|Xn | ≥ c} ≤
EY
E|Xn |
≤
also
c
c
lim sup µ(|Xn | ≥ c) = 0,
c→∞
n
woraus sich mittels Aussage 4.19 die Eigenschaft (4.12) ergibt.
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
119
Xn+1
n
Xn (y) = n1[0, 1 ] (y), y ∈ [0, 1)
n
y
1
1
n
Abbildung 6.2: Beispiel einer Folge, die nicht durch eine Funktion Z ∈
L1 ([0, 1), λ[0,1) ) majorisiert werden kann
b) Ist eine Folge (Xn ) in einem Lp mit p > 1 beschränkt, d. h. gilt
sup k Xn kp < ∞ für ein p > 1,
n
so ist (Xn ) gleichgradig integrierbar.
Wir haben dann nämlich
Z
|Xn |dµ ≤
{|Xn |≥c}
1
Z
p
|Xn | dµ ≤
cp−1
{|Xn |≥c}
1
Z
cp−1
|Xn |p dµ
E
Für p = ∞ folgt aus supn k Xn k∞ < ∞ bereits |Xn (y)| ≤ supn k
Xn k∞ := c < ∞µ−fast überall. Folgerung 4.20 liefert nun die gleichgradige Integrierbarkeit.
Beispiele 6.21
a) Aus der µ-f.ü. Konvergenz folgt nicht die Lp -Konvergenz:
Ist (E, E, µ) = ([0, 1], B[0,1] , λ) mit λ gleich dem Lebesguemaß auf [0, 1],
so ist (Xn ) mit
120
Uwe Küchler
Xn (y) =

 0 für y ∈

1
,1
n
,n ≥ 1
n für y ∈ 0, n1
λ-fast überall konvergent gegen X(y) ≡ 0, aber nicht gleichgradig integrierbar. Es gilt auch nicht lim k Xn − X kp = 0 für irgend ein p ≥ 1.
n→∞
Insbesondere ist (Xn ) nicht gleichgradig integrierbar.
b) Aus der Lp -Konvergenz folgt nicht die µ-f.ü. Konvergenz: Die Folge (Yn )
aus Beispiel 4.11 konvergiert im Lp -Sinne (p ∈ [1, ∞)) gegen Null, aber
nicht λ-f.ü..
Die Konvergenzarten im Sinne des Lp unterscheiden sich für unterschiedliches
p. Es gilt allerdings
Aussage 6.22 Ist 1 ≤ p ≤ p0 < ∞, so folgt aus lim k Xn − X k0p = 0 die
n→∞
Beziehung lim k Xn − X kp = 0.
n→∞
Beweis: Der Beweis ergibt sich unmitelbar aus der Lyapunov-Ungleichung
(3.25).
Wir beweisen nun ein mitunter sehr nützliches Kriterium für die L1 -Konvergenz.
Aussage 6.23 IstZ(Xn ) eine Folge nichtnegativer Borel-messbarer Funktionen
auf (E, E, µ) mit
Xn dµ < ∞, n ≥ 1, und gilt Xn −→n→∞ X µ− f.ü. für
E
Z
Xdµ < ∞, so folgt aus
eine Borel-messbare Funktion X auf (E, E, µ) mit
E
Z
lim
Z
Xdµ < ∞
Xn dµ =
n→∞
E
E
bereits lim k Xn − X k1 = 0, also Xn −→n→∞ X im L1 -Sinne.
n→∞
Z
Xn dµ < ∞, n ≥ 1, und
Beweis: Nach Voraussetzung gilt
E
Folglich haben wir
Z
Xdµ < ∞.
E
Konvergenzarten für Folgen messbarer Funktionen
Z
0≤
Z
|X − Xn |dµ =
E
(X − Xn )1{X≥Xn } dµ +
E
121
Z
(Xn − X)1{X<Xn } dµ
E
Z
= 2
(X − Xn )1{X≥Xn } dµ +
Z
(Xn − X)dµ.
E
E
Wegen 0 ≤ (X − Xn )1{X≥Xn } ≤ X und Xn −→ X können wir Lebesgue’s
µ−f.ü.
Theorem der majorisierten Konvergenz anwenden (siehe Satz 4.6 c)) und erhalten die Konvergenz des ersten Teils der rechten Seite gegen Null. Der zweite
Teil konvergiert nach Voraussetzung gegen Null.
Also gilt
lim k Xn − X k1 = 0.
n→∞
Die Räume Lp (E, E, µ) als Banachräume
Eine Folge (Xn ) reellwertiger Borel-messbarer Funktionen auf einem σ-finiten
Maßraum (E, E, µ) heißt fundamental (im Sinne der Maßkonvergenz, der µ-fast
sicherer Konvergenz oder der Lp -Konvergenz (1 ≤ p < ∞)) falls
(Xn − Xm ) −→ 0
n,m→∞
im Sinne der entsprechenden Konvergenzart.
Man kann zeigen (siehe z. B. Siraev [6], § 10), dass es zu jeder fundamentalen
Folge (Xn ) eine Funktion X gibt, für die
lim Xn = X
n→∞
im Sinne der entsprechenden Konvergenzart gilt.
Im Fall der normierten Räume (Lp , k · kp ) bezeichnet man diese Eigenschaft
als Vollständigkeit, vollständige normierte Räume nennt man Banachräume.
Aussage 6.24 Die Räume Lp (E, E, µ) mit 1 ≤ p ≤ ∞ sind Banachräume.
122
Uwe Küchler
(zum Beweis siehe z.B.ebenfalls Siraev, a.a.0.)
Übungen
1) Weisen Sie für die Folge (Xn ) aus Beispiel 4.21a) durch explizite Rechnung nach, dass sie die Bedingung (4.12) nicht erfüllt.
2) Beweisen Sie die Aussage 4.15.
3) Es seien (Xn ) und X Borel-messbare Funktionen auf einem finiten Maßraum (E, E, µ). Die Folge (Xn ) sei gleichgradig integrierbar, und X sei integrierbar mit endlichem Integral. Überzeugen Sie sich davon, dass dann
auch die Folge (Xn − X) gleichgradig integrierbar ist.
Kapitel 7
Produktmaße
In der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt der Begriff der Unabhängigkeit für Ereignisse bzw. Zufallsgrößen eine überragende Rolle. Die gemeinsame Verteilung
voneinander unabhängiger Zufallsgrößen ist von spezieller Gestalt, es ist eine
sogenannte Produktverteilung oder, in der Sprache der Maßtheorie, ein Produktmaß. In diesem Abschnitt führen wir Produktmaße ein und geben Sätze
(Satz von Fubini und Satz von Tonelli) an, mit dessen Hilfe man Integrale
bezüglich Produktmaßen auf einfachere Integrale zurückführen kann.
7.1
Messbare Abbildungen auf Produkträumen
Es seien (E, E) und (F, F) zwei messbare Räume und E × F := {(x, y)|x ∈
E, y ∈ F } die Produktmenge aus E und F (siehe Kapitel 1) sowie E ⊗ F =
σ(E × F) die Produkt-σ-Algebra von E und F. Letzteres bedeutet, dass E ⊗ F
die kleinste σ-Algebra von Teilmengen von E × F ist, die alle Mengen aus der
Semialgebra
γ := E × F = {B × C|B ∈ E, C ∈ F}
enthält. (Vgl. Abschnitt 2.3.)
Dann heißt
Beispiele 7.1
a) Ist E = Rn , F = Rm , E = Bn , F = Bm , so gilt E × F = Rn+m , E ⊗ F =
Bn+m .
123
124
Uwe Küchler
Zum Beweis der letzten Gleichung bemerken wir, dass wegen γk ⊆ σ(γk ) =
Bk die Inklusionen
γn × γm ⊆ E × F ⊆ E ⊗ F
gelten, wobei γl die Menge aller nach links halboffenen l-dimensionalen
Quader bezeichnet, l = n, m (siehe Beispiele 1.2).
Nun ist aber γn × γm = γn+m , woraus Bn+m = σ(γn+m ) ⊆ E ⊗ F folgt.
Andererseits gilt γn × γm = γn+m ⊆ Bn+m und somit σ(γn ) × σ(γm ) ⊆
Bn+m , also E × F ⊆ Bn+m . Nach Definition der Produkt-σ-Algebra folgt
E ⊗ F ⊆ Bn+m .
b) Ist E = {x1 , . . . , xn }, E = P(E), F = {y1 , . . . , ym }, F = P(F ), so ist
E × F = {(xi , yi )|i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m} und E ⊗ F = P(E × F ).
Zum Beweis: Es gilt {xi } ∈ E und {yj } ∈ F für alle i, j. Die letzte
Gleichung folgt nun unmittelbar aus {(xi , yj )} ∈ E ⊗ F für alle i, j.
Definition 7.2 Ist X eine reellwertige Funktion auf E × F , so heißt für jedes
y ∈ F die Funktion
x → X(x, y), x ∈ E,
der Schnitt von X am Punkt y ∈ F .
Analog nennt man für jedes x ∈ E die Funktion
y → X(x, y), y ∈ F,
den Schnitt von X am Punkt x ∈ E.
Aussage 7.3 Es sei X eine (E ⊗ F, B1 )-messbare Abbildung von E × F in
R1 . Dann ist für jedes x ∈ E (bzw. y ∈ F ) der Schnitt y → X(x, y) (bzw.
x → X(x, y)) eine (F, B1 )-(bzw. (E, B1 ))-messbare Funktion von F (bzw. E)
in R1 . Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Beweis: Wir nehmen als Erstes an, dass X von der Form X(x, y) = 1C (x, y)
für ein C ∈ E ⊗ F ist.
Nun definieren wir H := {C ∈ E ⊗ F|y → 1C (x, y) ist (F, B1 )-messbar für
Produktmaße
125
alle x ∈ E}. Die Menge H ist eine σ-Algebra von Teilmengen aus E (Beweis
als Übung) und umfasst offenbar γ := E × F.
Deshalb gilt E ⊗ F ⊆ H , da E ⊗ F nach Definition die kleinste σ-Algebra aus
E × F ist, die γ umfasst. Nach Definition von H gilt aber auch H ⊆ E ⊗ F.
Somit ergibt sich insgesamt H = E ⊗ F.
Aussage 5.3 gilt also für alle Indikatorfunktionen 1C , C ∈ E ⊗ F. Da Linearkombinationen messbarer Funktionen messbar sind, gilt die Aussage auch für
einfache Funktionen.
Wenn X eine positive (E ⊗ F, B1 )-messbare Funktion ist, so wählen wir eine
monoton wachsende Folge (Xn ) einfacher Funktionen aus mit 0 ≤ Xn ↑ X
(punktweise), siehe Satz 2.10.
Nach dem bereits Bewiesenen ist Zn (y) = Xn (x, y) für jedes x ∈ E eine Fmessbare Funktion. Folglich gilt dasselbe für Z(y) := X(x, y) = lim Xn (x, y),
n→∞
da der Grenzwert messbarer Funktionen messbar ist, siehe Folgerungen 2.5c).
Schließlich nutzen wir bei beliebiger E⊗F-messbarer Funktion X die Zerlegung
X = X + − X − , beachten, dass X + und X − positiv und E ⊗ F-messbar sind,
und dass die Differenz messbarer Funktionen messbar ist. (Lifting Methode)
7.2
Produktmaße
Gegeben seien zwei σ-finite Maßräume (E, E, µ) und (F, F, ν). Wir definieren
durch
κ(B × C) := µ(B) · ν(C),
B ∈ E, C ∈ F
(7.1)
eine Mengenfunktion κ auf E × F.
Aussage 7.4 κ ist eine nichtnegative σ-finite und σ-additive Mengenfunktion
auf der Semialgebra E × F und kann folglich auf eindeutige Weise zu einem
σ-finiten Maß auf der Produkt-σ-Algebra E⊗F erweitert werden, das wiederum
mit κ bezeichnet wird. Es wird das Produktmaß aus µ und ν genannt. Symbolisch: κ = µ ⊗ ν.
Die Maße µ und ν nennt man die Komponenten von µ ⊗ ν.
126
Uwe Küchler
Beweis: Dass κ(B × C) ≥ 0 gilt, folgt aus µ ≥ 0 und ν ≥ 0. Da µ undSν σ-finit
sind, gibt es wachsende Folgen (Bn ) bzw. (Cn ) aus E bzw. F mit B = E
n
S
bzw. Cn = F und µ(Bn ) < ∞ bzw. ν(Bn ) < ∞ für alle n ≥ 1. Folglich ist
n
S
κ(Bn × Cn ) < ∞ für alle n ≥ 1 und (Bn × Cn ) = E × F .
n
Es sei nun D ∈ E ⊗ F. Für jedes x ∈ E schreiben wir D(x) = {y : (x, y) ∈ D}.
Für den Fall D = B × C, B ∈ E, C ∈ F, haben wir
Z
κ(D) = µ(B) · ν(C) =
ν(D(x))µ(dx),
(7.2)
E
da D(x) = C, falls x ∈ B und = ∅, falls x ∈
/ B.
Es sei H := {D ∈ E ⊗ F|x → ν(D(x)) ist (E, B1 ) − messbar}. Man überzeuge sich davon, dass H eine σ-Algebra ist (Übung). Außerdem gilt nach dem
bereits Festgestellten und der Definition von H die Beziehung E × F ⊆ H ⊆
E ⊗ F und somit die Gleichheit H = E ⊗ F.
Also können wir für jedes D ∈ E ⊗ F, da ν(D(x)) als Funktion von x positiv
und (E, B1 )-messbar ist, definieren
Z
ν(D(x))µ(dx).
κ(D) :=
(7.3)
E
Die durch (5.3) gegebene Mengenfunktion κ ist offenbar nichtnegativ und additiv auf E ⊗ F.
Z
Wenn D = ∅ gilt, so ist κ(D) = 0 · µ(dx) = 0.
E
Es bleibt zu zeigen, daß κ sogar eine σ-additive Mengenfunktion ist. Wenn
(Dn ) eine Folge paarweise disjunkter Mengen aus E ⊗ F bildet, gilt für jedes
x ∈ E die Gleichung
[ [
Dn (x) = (Dn (x))
n
n
und die Dn (x) sind paarweise disjunkt. Somit haben wir (Satz über die monotone Konveregenz)
Produktmaße
κ
127
[
Dn =
n
=
Z X
ν(Dn (x))µ(dx) =
E
n
X
κ(Dn ).
XZ
n
ν(Dn (x))µ(dx)
E
n
Damit ist die σ-Addivitität von κ gezeigt.
Das Maß κ ist eine Fortsetzung der durch (5.1) auf E × F definierten Mengenfunktion κ auf E ⊗ F und damit eindeutig (siehe Satz 1.26).
Folgerung: Zur eindeutigen Charakterisierung des Produktmaßes κ auf E ⊗ F
genügt es also zu zeigen, dass κ ein Maß auf E ⊗ F ist, das jedem Rechteck “
”
S1 × S2 (S1 ∈ E, S2 ∈ F) den Wert µ(S1 ) · ν(S2 ) zuordnet.
7.3
Integrale bezüglich Produktmaßen
In diesem Punkt beweisen wir einen häufig verwendeten Satz, der u. a. die Berechnung von Integralen bez. Produktmaßen auf die Berechnung von Integralen
bez. der Komponenten des Produktmaßes zurückführt.
Satz 7.5 (Satz von Fubini) Für jede (E ⊗ F, B1 )-messbare Funktion X =
X(x, y), x ∈ E, y ∈ F , die nichtnegativ ist oder bez. κ = µ ⊗ ν ein endliches
Integral besitzt, sind die Funktionen
Z
x→
Z
X(x, y)ν(dy) und y →
F
X(x, y)µ(dx)
(7.4)
E
µ− (bzw. ν−)fast überall endlich, (E, B1 )-(bzw. (F, B1 )-)messbar, und es gilt
Z Z
Z
X(x, y)µ ⊗ ν(dx, dy) =
E×F
E
F
Z Z
=
F
X(x, y)ν(dy) µ(dx)
X(x, y)µ(dx) ν(dy),
(7.5)
E
wobei die Seiten dieser Gleichungen entweder alle endlich oder alle unendlich
sind.
128
Uwe Küchler
(Guido Fubini, italienischer Mathematiker, 1879-1943)
Beweis: Wir haben (5.5) bereits für Indikatorfunktionen X(x, y) = 1D (x, y), D ∈
E ⊗ F, bewiesen, siehe (5.3).
Aus der Linearität der Integralabbildungen folgt (5.5) für nichtnegative einfache Funktionen X(x, y). Ist X nichtnegativ und E ⊗ F-messbar, und ist (Xn )
eine wachsende Folge einfacher Funktionen, die gegen X (punktweise) konvergieren, so gilt (nach Definition des Integralbegriffes und (5.5))
Z
Z
Xdµ ⊗ ν = lim
n→∞
E×F
E×F
Z Z
Xn (x, y)ν(dy) µ(dx).
lim
n→∞
E
Xn dµ ⊗ ν =
(7.6)
F
Z
Die Funktionen x →
Xn (x, y)ν(dy) bilden eine mit n wachsende Folge von EF
Z
messbaren Funktionen, die gegen
X(x, y)ν(dy) konvergiert. Auf der GrundF
lage des Theorems der Monotonen Konvergenz (s. Satz 4.6a)) folgt durch seine
zweimalige Anwendung
Z Z
lim
n→∞
Xn (x, y)ν(dy) µ(dx) =
E
F
Z Z
Z Z
lim
Xn (x, y)ν(dy) µ(dx) =
lim Xn (x, y)ν(dy) µ(dx),
n→∞
E
n→∞
F
E
F
also mit (5.6)
Z Z
Z
Xdµ ⊗ ν =
E×F
E
X(x, y)ν(dy µ(dx).
F
Aus Symmetriegründen ergibt sich damit auch die zweite Gleichung in (5.5).
Produktmaße
129
Bemerkungen 7.6
a) Aus der Existenz der iterierten Integrale
Z auf der rechten Seite von (5.5)
folgt weder die Existenz des Integrals
X(x, y)µ ⊗ ν(dx, dy) noch ihre
E×F
Gleichheit.
Z
b) Ist dagegen X ≥ 0 und ist x →
X(x, y)ν(dy) eine µ-fast überall
F
Z
X(x, y)µ ⊗ ν(dx, dy) und
endliche Funktion, so existiert das Integral
E×F
es gilt (5.5). (Satz von Tonelli, siehe zum Beispiel Bauer [1], § 23.)
(Leonida Tonelli, italienischer Mathematiker, 1885-1946)
c) Wenn X(x, y) = H(x)G(y) für eine E-messbare Funktion H und eine
F-messbare Funktion G, so gilt, falls H bezüglich µ und G bezüglich ν
integrierbar sind und beide Integrale endlich sind,
Z
Z
Z
X(x, y)µ ⊗ ν(dx, dy) = H(x)µ(dx) · G(y)ν(dy).
(7.7)
E×F
E
E
Die Formel (5.7) ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wichtig. In
der dortigen Sprache lautet sie: Sind G und H zwei (stochastisch) unabhängige
Zufallsgrößen mit endlichem Erwartungswert, so gilt
E(G · H) = EG · EH.
7.3.1
Faltung von Maßen
Sind in der Wahrscheinlickeitstheorie zwei Zufallsgrößen (= messbare Funktionen) unabhängig, so bedeutet das, dass ihre gemeinsame Verteilung die
Produktverteilung ihrer beiden Einzelverteilungen ist. Für die Verteilung der
Summe beider Zufallsgrößen ergibt sich eine Verteilung, die man als Faltung
beider Einzelverteilungen bezeichnet. Mit dieser Verteilung beschäftigen wir
uns in diesem Punkt.
Wir nehmen im Folgenden an, dass µ und ν zwei finite Maße auf (R1 , B1 ) sind,
µ ⊗ ν bezeichne das Produktmaß auf (R2 , B2 ).
130
Uwe Küchler
Definition 7.7 Die Faltung µ ∗ ν der Maße µ und ν ist ein Maß auf B1 ,
definiert durch
Z
µ ∗ ν(B) :=
1B (x + y)µ ⊗ ν(dx, dy), B ∈ B1 .
(7.8)
R2
Auf Grund des Satzes von Fubini (Satz 5.5, siehe auch Bemerkung 5.6b)) ist
dieser Wert gleich
Z
Z
ν({y : x + y ∈ B})µ(dx) und auch gleich
R1
µ({x : x + y ∈ B})ν(dy).
R1
Für B = (−∞, z] ergibt sich wegen {y : x + y ∈ (−∞, z]} = (−∞, z − y] für
die Verteilungsfunktion Fµ∗ν von µ ∗ ν
Z
Fµ∗ν (z) = µ ∗ ν((−∞, z]) =
Fν (z − x)µ(dx) =
R1
Z
Z
Fν (z − x)Fµ (dx) =
R1
Fµ (z − y)Fµ (dy), z ∈ R1 .
(7.9)
R1
Da Fµ∗ν durch Fν und Fµ ausgedrückt werden kann, nennt man Fµ∗Fν auch die
Faltung von Fµ und Fν und schreibt Fµ ∗ Fν anstelle Fµ∗ν .
Offensichtlich gilt wegen des Satzes von Fubini
Fµ ∗ Fν = Fν ∗ Fµ , also µ ∗ ν = ν ∗ µ.
Beispiele 7.8
a) (Faltung diskreter Maße)
Sind µ und ν diskrete finite Maße auf der Menge Z = {0, ±1, ±2, . . .}
der ganzen Zahlen mit
µ({k}) =: µk ,
ν({k}) =: νk , k ∈ Z,
so ist µ ∗ ν ebenfalls ein diskretes finites Maß auf Z, und es gilt für seine
Einzelmaße
Produktmaße
131
µ ∗ ν({k}) =
X
µl νk−l =
l∈Z
X
Beweis: Es gilt µ ∗ ν(B) =
X
µk−l µl
(7.10)
l∈Z
1B (k + l)µk νl , B ∈ B1 , also ist µ ∗
k,l∈Z
ν(R1 \Z) = 0, d. h. µ ∗ ν ist ein diskretes Maß auf Z. Für seine Einzelmassen (µ ∗ ν)k gilt wegen (5.8) mit B = {k}
X
(µ ∗ ν)k := (µ ∗ ν)({k}) =
1{k} (l + m)µl · νm =
l,m∈Z
=
X
µl νk−l =
X
µk−l νl
l∈Z
l∈Z
also ist (5.10) richtig.
b) (Faltung von Dichten)
Sind µ und ν finite Maße mit Dichten f (·) bzw. g(·) auf (R1 , B1 ), so hat
µ ∗ ν ebenfalls eine Dichte, wir bezeichnen sie mit h(·) oder mit f ∗ g(.),
und es gilt
Z
Z
f (y)g(x − y)dy
f (x − y)g(y)dy =
h(x) =
R1
(7.11)
R1
Beweis: Mittels der Substitutionsformel (3.15) folgt aus (5.9) und der
Translationsinvarianz des Lebesgueschen Mas̈ses
Z Z
Fµ∗ν (z) = Fµ ∗ Fν (z) =
R1
Z Z
R1
(−∞,z]
f (x)dx g(y)dy =
(−∞,z−y]
f (x − y)dx g(y)dy.
132
Uwe Küchler
Der Satz von Fubini, insbesondere der Satz von Tonelli (Bemerkung
5.6b)), liefert durch Vertauschung der Integrale
Z
Z
Fµ ∗ Fν (z) =
f (x − y)g(y)dy dx,
(−∞,z]
z ∈ R1 .
R1
Also hat Fµ ∗ Fν die Dichte
Z
Z
f (z − y)g(y)dy =
fµ∗ν (z) :=
R1
g(z − x)f (x)dx.
R1
Die letzte Gleichung in (5.11) ergibt sich aus Fµ ∗ Fν = Fν ∗ Fµ .
Übungen
1) Unter Verwendung der Terminologie des Abschnitts 5.2 zeige man, dass
H := {D ∈ E ⊗ F|x → ν(D(x)) ist (E, B1 ) − messbar}
eine σ-Algebra ist.
Kapitel 8
Messbare Funktionen mit
Werten in Rn
In diesem Kapitel werden messbare Abbildungen X von einem σ-finiten Maßraum (E, E, µ) in den Raum (Rn , Bn ) untersucht, Kriterien für ihre (E, Bn )Messbarkeit angegeben und insbesondere die von ihnen auf Bn induzierten
Maße µX untersucht. In der Wahrscheinlichkeitstheorie treten solche Funktionen als zufällige Vektoren auf, die Maße µX sind ihre zugehörigen (mehrdimensionalen) Verteilungen.
8.1
Messbarkeitskriterien und induzierte
Maße
Es seien (E, E, µ) ein σ-finiter Maßraum und X := (X1 , X2 , . . . , Xn )T eine
Abbildung von E in Rn (jede Komponenete Xk von X ist eine Abbildung von
E in R1 ).
Aussage 8.1 Folgende Aussagen sind miteinander äquivalent:
a) Die Abbildung X ist Borel-messbar,
b) Jede der Abbildungen Xk von (E, E) in (R1 , B1 ) ist Borel-messbar,
133
134
Uwe Küchler
c) X −1 ((a, b]) ∈ E für jeden n-dimensionalen Quader
(a, b] :=
n
Y
(ak , bk ],
a = (a1 , . . . , an )T , b = (b1 , . . . , bn )T ,
k=1
1
ak , bk ∈ R , ak < bk , k = 1, 2, . . . , n.
Beweis: Angenommen a) gilt. Dann ist jede Komponentenabbildung Xk , k =
1, 2, . . . , n eine E-messbare Abbildung, da Xk = Πk ◦ X, wobei Πk die Projektion von X auf ihre k-te Komponente ist, siehe Abschnitt 2.3. Also gilt b).
Aus b) folgt c), da
X
−1
((a, b]) =
n
\
Xk−1 ((ak , bk ]) ∈ E,
k=1
und jedes Intervall (ak , bk ] eine Borelmenge aus B1 ist und folglich die Menge
X −1 ((a − k, bk ]) zu E gehört.
Nunmehr gelte c). Bezeichnen wir mit γn die Menge aller Quader (a, b], so gilt
nach Definition σ(γn ) = Bn und somit haben wir (man beachte Aussage 1.17)
X −1 (Bn ) = X −1 (σ(γn )) = σ(X −1 (γn )) ⊆ E, d. h. X ist E-messbar.
Gemäß Aussage 2.15 ist durch
µX (B) := µ(X −1 (B)),
B ∈ Bn
auf Bn ein σ-finites Maß gegeben, das das von X auf Bn induzierte Maß genannt wird.
Im folgenden Punkt studieren wir finite Maße auf Bn , sie spielen eine wichtige
Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, wo sie als Wahrscheinlichkeitsverteilungen zufälliger Vektoren auftreten.
8.2
Finite Maße auf (Rn, Bn)
Es seien n ≥ 2 und ν ein finites Maß auf (Rn , Bn ).
Messbare Funktionen mit Werten in Rn
135
Definition 8.2 Mit der Bezeichnung x := (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn und (−∞, x] :=
n
Q
(−∞, xk ] ist durch
k=1
F (x) = ν((−∞, x]),
x ∈ Rn ,
eine Funktion F auf Rn definiert, die Verteilungsfunktion des finiten Maßes ν.
Aussage 8.3 Die Verteilungsfunktion F des Maßes ν hat folgende Eigenschaften:
1. 0 ≤ F (x) < ∞, x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn ,
für jedes k ∈ {1, . . . , n} ist die Funktion xk → F (x1 , x2 , . . . , xk , . . . , xn )
monoton nichtfallend,
2.
lim F (x1 , · · · , xn ) =: F (x1 , . . . , xk−1 , −∞, xk+1 , . . . , xn ) = 0
xk ↓−∞
für jedes k = 1, · · · , n,
3.
lim
x1 ,··· ,xn ↑∞
F (x1 , · · · , xn ) =: F (∞, ∞, . . . , ∞) < ∞,
4. F ist an jeder Stelle x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn von rechts stetig:
lim F (x1 + h1 , · · · , xn + hn ) = F (x1 , · · · , xn ),
hi ↓0
i=1,··· ,n
5. Mit der Definition
4hi F (x) := F (x1 , · · · , xi−1 , xi + hi , xi+1 , · · · , xn ) − F (x1 , · · · , xn )
gilt 4h1 ···· ·4hn F (x) ≥ 0, x ∈ Rn , hi ≥ 0, i = 1, . . . , n.
(Verallgemeinerung der Monotonie vom Fall n = 1 auf allgemeines n.)
Der endliche Grenzwert in Punkt 3. ist offenbar gleich ν(Rn ).
Der Beweis von 1.-4. erfolgt analog zum Beweis der Eigenschaften a)-c)der
Aussage 1.24. Die Aussage 6.3.5 ergibt sich wegen
4h1 ···· ·4hn F (x) = ν((−∞, x]) ≥ 0
aus der Nichtnegativität des Maßes ν.
136
Uwe Küchler
Bemerkungen 8.4 Für n = 2 lautet die Eigenschaft 6.3.5 wie folgt:
F (x1 + h1 , x2 + h2 ) − F (x1 , x2 + h2 ) − F (x1 + h1 , x2 )
+ F (x1 , x2 ) ≥ 0.
(8.1)
(Man bezeichnet diese Eigenschaft auch als Rechteck-Monotonie“ der Funk”
tion F .)
Definition 8.5 Jede Funktion F auf Rn mit den Eigenschaften 1.-5. aus Aussage 6.3 nennen wir eine Verteilungsfunktion auf Rn .
Zu jeder Verteilungsfunktion F auf Rn in diesem Sinne definieren wir für alle
a = (a1 , a2 , . . . , an )T ∈ Rn und b = (b1 , b2 , . . . , bn )T ∈ Rn durch
ν((a, b]) = ν
n
Y
(ak , bk ] := 4b1 −a1 4b2 −a2 . . . 4bn −an F (a)
(8.2)
k=1
eine Mengenfunktion ν auf der Semialgebra Sn aller n-dimensionalen Quader
n
Q
(a, b] =
(ak , bk ] ⊆ Rn . Dabei definieren wir im Falle, daß gewisse ak oder bk
k=1
gleich −∞ bzw. gleich +∞ sind, den Wert ν((a, b] als entsprechenden Grenzwert gemäß den Eigenschaften 2. und 3. von Aussage 6.3. Das ist eine natürliche
Erweiterung der Definition (6.2).
Aussage 8.6
a) Die durch (6.2) definierte Mengenfunktion ν ist auf γn σadditiv und lässt sich auf eine und nur eine Weise zu einem σ-additiven
finiten Maß auf Bn fortsetzen, das wir wiederum mit ν bezeichnen,
b) Das Maß ν besitzt F als Verteilungsfunktion.
Zum Beweis von Aussage 6.6, Teil a), sei auch hier auf Siraev [6] (siehe Kap.II,
§3) verwiesen. Der Teil b) ergibt sich sofort aus der Definition (6.2) von ν.
Damit ist ebenso wie im Fall n = 1 eine eineindeutige Beziehung zwischen den
endlichen Maßen auf Bn und den Verteilungsfunktionen auf Rn hergestellt.
Die Brücke zwischen beiden Mengen bildet dieR Formel (6.2.
R
Aus diesem Grund schreibt man auch häufig Rn XdF anstelle Rn Xdµ, falls
F die Verteilungsfunktion des finiten Maßes µ ist.
Messbare Funktionen mit Werten in Rn
137
Beispiele 8.7
a) Die Funktion F , definiert durch
F (x1 , x2 ) = [(x1 ∧ x2 ) ∧ 1] ∨ 0,
(x1 , x2 )T ∈ R2 ,
(8.3)
ist eine Verteilungsfunktion auf R2 .
Beweis: Die Eigenschaften 1.-4. aus Aussage 6.3 sind offensichtlich. Zum
Nachweis von 5. bemerken wir zunächst, dass für jedes Rechteck R :=
(x1 , x1 + h1 ] × (x2 , x2 + h2 ], das mit der Diagonalen D := {(x, x) : 0 <
x ≤ 1} höchstens eine Punkt gemeinsam hat, gilt x2 ≥ x1 + h1 oder
x1 ≥ x2 + h2 . Daraus folgt für diese Rechtecke
4h1 4h2 F (x1 , x2 ) =
F (x1 + h1 , x2 + h2 ) − F (x1 , x2 + h2 ) − F (x1 + h1 , x2 ) + F (x1 , x2 ) = 0.
Gilt dagegen x2 < x1 + h1 und x1 < x2 + h2 , so kann man das Rechteck
R in höchstens drei Rechtecke zerlegen, von denen eines die Form (x, x +
h] × (x, x + h] für ein h > 0 besitzt, und die anderen mit der Diagonalen
D höchstens einen Punkt gemeinsam haben. Es gilt
4h 4h F (x, x) = (x + h − x − x + x) = h > 0
.
Mit Hilfe der Additivität der von F auf γ2 erzeugten Mengenfunktion ν
ergibt sich die Eigenschaft 5.
b) Sind Fk , k = 1, 2, . . . , n, Verteilungsfunktionen auf R1 , so ist F , definiert
auf Rn durch
F (x) =
n
Y
Fk (xk ),
x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn ,
k=1
eine Verteilungsfunktion auf Rn . Der Beweis der Eigenschaften 1.-5. für
dieses F wird dem Leser als Übung überlassen.
138
Uwe Küchler
Es seien ν ein finites Maß auf (Rn , Bn ) und F seine Verteilungsfunktion.
Definition 8.8 Für
Q jede r-elementige Teilfolge Jr := (k1 , k2 , . . . , kr ) von (1, 2, . . . , n) (1 ≤
r ≤ n) bezeichne Jr den Projektionsoperator, definiert durch
Y
Jr
x := (xk1 , xk2 , . . . , xkr )T ∈ Rr , x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn .
Offenbar ist ΠJr eine (Bn , Br )-meßbare Abbildung.
Die durch
νJr (B) := ν
Y−1
Jr
(B) ,
B ∈ Br
(8.4)
auf Br definierte Mengenfunktion νJr ist ein finites Maß und heißt das zu Jr
gehörende r-dimensionale Randmaß von ν.
Aussage 8.9 Die Verteilungsfunktion FJr des Randmaßes νJr hängt mit der
Verteilungsfunktion F wie folgt zusammen:
FJr (xk1 , xk2 , . . . , xkr ) =
F (∞, . . . , ∞, xk1 , ∞, . . . , xk2 , . . . , ∞, xkr , ∞, . . . , ∞).
(8.5)
Insbesondere erhalten wir für r = 1 und k1 = k die k-te (eindimensionale)
Randverteilung von ν.
Beweis:
r
Y
FJr (xk1 , xk2 , . . . , xkr ) = νJr
(−∞, xkl ] =
l=1
n
r
Y−1 Y
Y
ν
(−∞, xkl ] = ν
Bm mit
Jr
l=1
m=1
Bm = (−∞, xkl ], falls m = kl für ein l = 1, 2, . . . , r,
Bm = (−∞, ∞)falls m 6= kl für alle l = 1, 2, . . . , r.
Messbare Funktionen mit Werten in Rn
139
Aus der Kenntnis der Randverteilungsfunktionen FJr mit r < n kann die Verteilungsfunktion F selbst i.a. nicht rekonstruiert werden.
Zum Beispiel haben die beiden unterschiedlichen Verteilungsfunktionen
F (x1 , x2 ) = ((x1 ∧ x2 ) ∧ 1) ∨ 0 und
G(x1 , x2 ) = [(x1 ∧ 1) ∨ 0] · [(x2 ∧ 1) ∨ 0],
x1 , x2 ∈ R1
(siehe Beispiele 6.7)
die gleichen Randverteilungsfunktionen:
F (x1 , ∞) = (x1 ∧ 1) ∨ 0 = G(x1 , ∞)
F (∞, x2 ) = (x2 ∧ 1) ∨ 0 = G(∞, x2 ).
Wir geben noch eine Definition an, die insbesondere in der Wahrscheinlichkeitshteorie eine Rolle spielt.
Ist X = (X1 , X2 , . . . , Xn )T eine E-meßbare Abbildung von einem normierten
Maßraum (E, E, µ) in Rn , und ist µX das von X auf Bn induzierte Maß mit der
Verteilungsfunktion FX , so heißt FX auch Verteilungsfunktion der Abbildung
(des zufälligen Vektors “) X. Dann ist FJr die Verteilungsfunktion des Vektors
”
(Xk1 , . . . , Xkr ), wobei Jr = {k1 , k2 , . . . , kr } gilt. Das ergibt sich aus (6.5) und
F (∞, . . . , ∞, xk1 , ∞, . . . , xk2 , . . . , xkr , ∞, . . . , ∞) =
µ(X1 < ∞, . . . , Xk1 ≤ xk1 , . . . , Xkr ≤ xkr +1 , . . . , Xn < ∞) =
µ(Xk1 ≤ xk1 , . . . , Xkn ≤ xkn ).
Verteilungsdichten auf Rn
Es sei F eine Verteilungsfunktion auf Rn (n ≥ 2), siehe Definition 6.5.
Definition 8.10 Gibt es eine nichtnegative Borel-messbare Funktion f auf Rn
mit
140
Uwe Küchler
f (x) ≥ 0,
1.
Zx1
Zxn
2. F (x) =
...
−∞
x ∈ Rn ,
(8.6)
f (s1 , s2 , . . . , sn )ds, . . . dsn , x = (x1 , . . . , xn )T , (8.7)
−∞
so heißt f eine Dichte der Verteilungsfunktion F , oder einfach eine Verteilungsdichte auf Rn .
Aussage 8.11 Ist ν das durch F erzeugte finite Maß (siehe (6.2)), so gilt
ν
Y
n
(xk , xk + hk ]
= 4h1 . . . , 4hn F (x1 , x2 , . . . , xn ) =
(8.8)
k=1
xZ
1 +h1
xZ
n +hn
...
xn
f (s1 , . . . , sn )ds1 . . . dsn
x1
für alle xk ∈ R1 , hk ≥ 0, k = 1, 2, . . . , n.
Beweis: Der Beweis folgt aus der Addivität des Integrals.
Beispiele 8.12 (Fortsetzung der Beispiele 6.7)
Zu a) F hat keine Dichte, das Maß νF ist auf {(x, x) : 0 ≤ x ≤ 1} konzentriert.
Zu b) Haben die Verteilungsfunktionen Fk die Dichten fk , k = 1, . . . , n, so besitzt F eine Dichte f mit
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
n
Y
k=1
Aussage 8.13
fk (xk ),
x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn .
(8.9)
Messbare Funktionen mit Werten in Rn
141
a) Für jede Dichte f von F gilt
Zx1
F (x) =
Zxn
...
−∞
f (s1 , . . . , sn )ds1 . . . dsn ,
(8.10)
−∞
x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn ,
Z∞
F (∞, ∞, . . . , ∞) =
Z∞
...
−1
f (s1 , . . . , sn )ds1 . . . dsn < ∞
(8.11)
−∞
b) besitzt F eine Dichte, so ist F eine stetige Funktion,
c) Besitzt F eine Dichte f , die stetig in einer Umgebung von x ∈ Rn ist,
so ist F n-mal differenzierbar in diesem x = (x1 , . . . , xn )T , und es gilt
∂n
F (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ).
∂x1 . . . ∂xn
(8.12)
Aussage 8.14 Besitzt F eine Dichte f , so hat auch jede Randverteilungsfunktion FJr mit Jr = {k1 , . . . , kr } ⊆ {1, 2, . . . , n} eine Dichte fJr , die sich
folgendermaßen berechnen lässt:
Z∞
fJr (xk1 , . . . , xkr ) =
Z∞
...
−∞
f (s1 , . . . , sk1 −1 , xk1 , . . . , xkr , skr +1 , . . . , sn )ds1 . . . dsn
−∞
|
{z }
(n−r)−mal
Dabei wird über alle Variablen sk integriert, für die k ∈ {1, . . . , n} nicht zu
der Menge Jr gehört.
Beweis: Der Beweis ergibt sich aus (6.5) und der Definition 6.10 der Dichte
f durch Umordnung der Reihenfolge der entsprechenden n-fachen Integrale
(Satz von Fubini).
Beispiel 8.15
142
Uwe Küchler
a) Es sei
Σ :=
σ12 ρσ1 σ2
ρσ1 ρ2 σ22
1
mit σ1 , σ2 > 0, ρ ∈ R mit |ρ| < 1,
µ1
µ :=
∈ R2 .
µ2
Dann ist die Funktion fµ,Σ , definiert durch
fµ,Σ (x1 , x2 ) =
1
exp −
2(1 − ρ2 )
x1 − µ 1
σ1
2
1
p
.
2πσ1 σ2 1 − ρ2
2 x2 − µ 2
2ρ(x1 − µ1 )(x2 − µ2 )
+
−
,
σ1 σ2
σ2
(x1 , x2 )T ∈ R2 , die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (R2 , B2 ),
die als Normalverteilung N2 (µ, Σ) bezeichnet wird.
Die Randverteilungsdichten der Verteilung N2 (µ, Σ) sind eine N (µ1 , σ12 )bzw. eine N (µ2 , σ22 )-Verteilung mit den Dichten
"
2 #
1 xi − µ i
1
exp −
, i = 1, 2.
fµi ,σi (xi ) = √
2
σi
2πσi
Man beachte, dass in den Randverteilungen der Parameter ρ nicht mehr
auftritt. Aus den Randverteilungen läßt sich deshalb die ursprüngliche
Verteilung i. a. nicht rekonstruieren. Für ρ = 0 ist N2 (µ, Σ) das Produktmaß seiner beiden Randverteilungen:
fµ,Σ (x1 , x2 ) = fµ1 ,σ1 (x1 ) · fµ2 ,σ2 (x2 ), x1 , x2 ∈ R1 .
b) Es seien µ ∈ Rn und Σ eine positiv definite symmetrische n × n-Matrix.
Dann ist die Funktion ϕµ,Σ , definiert durch
fµ,Σ (x) =
1
√
(2π)n/2
1
T −1
exp − (x − µ) Σ (x − µ) , x ∈ Rn ,
2
det Σ
Messbare Funktionen mit Werten in Rn
143
die Dichte der sogenannten n-dimensionalen Normalverteilung Nn (µ, Σ).
Zu jeder Teilfolge Jr von (1, 2, . . . , n) mit Jr = (k1 , . . . , kr ) ist die zu
Jr gehörende Randverteilung ebenfalls eine Normalverteilung und zwar
gleich Nr (ΠJr µ, ΠTJr ΣΠJr ) wobei ΠJr die Projektionsmatrix ist, die x =
(x1 , x2 , . . . , xn )T auf ΠJr x = (xk1 , . . . , xkr )T abbildet.
Transformationssatz für n-dimensionale Dichten
Aussage 8.16 Es sei X = (X1 , . . . , Xn )T eine Abbildung von einem finiten
Maßraum (E, E, µ) in (Rn , Bn ) mit der Dichte fX . Weiterhin sei U eine offene
Menge aus Rn mit µX (Rn \ U ) = 0 und h = (h1 , . . . , hn )T eine eineindeutige
stetig differenzierbare Funktion von U auf eine offene Menge V ⊆ Rn , deren
Jacobimatrix
∂hi (x)
Ĵh (x) :=
∂xj
i,j=1,...,n
nirgends auf U singulär ist. Mit g werde die inverse Funktion h−1 bezeichnet.
Dann hat die n-dimensionale Abbildung Y := h(X) eine Dichte fY mit
fX (g(y))| det Ĵg (y)| , falls y ∈ V
fY (y) =
0, falls y ∈ Rd \V.
Bemerkung: Die soeben formulierte Aussage findet man in der Literatur in
unterschiedlicher Form, je nachdem, welche Voraussetzungen man an h stellt.
Siehe zum Beispiel Pfanzagl, 1991, Kap. 3.4 oder Jacod, Protter [3], Kap. 12.
Beispiel 8.17 Es seien A eine reguläre n × n-Matrix und b ∈ Rn . Wir definieren
h(x) = Ax + b,
x ∈ Rn ,
Y := h(X).
Dann gilt g(y) = A−1 (y − b), Ĵg (y) = A−1 und Y hat die Dichte
fY (y) = fX (A−1 (y − b))| det A−1 | , y ∈ Rn .
144
Uwe Küchler
Übungen
1) Es sei X = (X1 , X2 )T eine Abbildung von einem finiten Maßraum (E, E, µ)
in (R2 , B2 ) mit der Dichte
1
1 2
2
fX (x) =
exp − (x1 + x2 ) , x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .
2π
2
X1
Man berechne das von Y1 := X
induzierte Maß auf B1 .
2
Hinwweis: Wenden Sie Aussage 6.16 auf die Abbildung Y := (Y1 , Y2 ) mit
Y1 wie in der Aufgabe und Y2 = X2 an und berechnen Sie dann das
gewünschte Maß als Randmaß von Y .
hR
i2
2
2) Man berechne R1 exp( −x2 )dx mit Hilfe des Satzes von Tonelli, Aussage 6.16 und der Verwendung von Polarkoordinaten zur Berechnung des
Integrals über R2 .
Literaturverzeichnis
[1] Alexandroff, P.S.: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine
Topologie, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1984
[2] Bauer, H.: Maß- und Integrationstheorie, de Gruyter, 1990
[3] Elstrodt, J.: Maß- und Integrationstheorie, Springer, 1999
[4] An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol.II, John
Wiley & Sons, Inc.; New York, London, Sydney, 1966
[5] Jacod, J. und Protter, Ph.: Probability Essentials, Springer, 2000
[6] Schmidt, K.D.: Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer, 2009
[7] Siraev, A.N.: Wahrscheinlichkeit, Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1988
[8] Dacunha-Castelle, D.,Duflo, M.: Probability and Statistics,Vol.I and II,
Springer, 1986
[9] Spektrum der Wissenschaft, Spezial: Das Unendliche, 1/2001,
Weiterführende Literatur
(insbesondere Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik):
Dehling, H. und Haupt, B.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und
Statistik, Springer, 2004, 2.Auflage
Hess, Ch. und Meister, A.: Übungsbuch zur angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie (Aufgaben und Lösungen) Vieweg-Verlag, 2005
145
146
Uwe Küchler
Löwe, M. und Knöpfel, H.: Stochastik-Struktur im Zufall, Oldenbourg Verlag,
2011
Müller, P.H. (Herausgeber): Lexikon der Stochastik, Akademie Verlag Berlin,1991, 5.Auflage
Stahel, W.A.: Statistische Datenanalyse, Vieweg-Verlag 1999, 2.Auflage
Index
σ-Algebra, 29
Borelsche, 33
Produkt-σ-Algebra, 71
Äquivalenzklasse, 97
eines Maßes, 47
Elementarfunktion, siehe einfache Funktion
Erzeuger, 31
Abbildung
Definionsbereich, 8
inverse, 10
additive Mengenfunktion, 42
Algebra, 26
approximierende Folge, 79
Faltung, 129
Fatou, siehe Lemma
Folge, 16
Fortsetzungssatz, 53
Fubini, siehe Satz
Fundamentalfolge, 121
B. Levi, siehe Satz
Banachraum, 121
beschränkt in Lp , 119
bijektiv, 8
Bildmaß, 73
Borel-Cantelli, siehe Lemma
Borel-messbare Abbildung, 65
Borelsche σ-Algebra, 33
Gleichgradige Integrierbarkeit, 116
Gleichmächtigkeit, 12
Hölder-Ungleichung, siehe Ungleichung
Indexmenge, 3
Indiaktorfunktion, 36
injektiv, 8
Integral, 77
Lebesgue-, 86
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, sieLebesgueintegral, 79
he Ungleichung
Linearität, 78
Chebyshev’sche Ungleichung, siehe UnMonotonie, 78
gleichung
Riemann-, 100
Dichte, 87
Integrand, 79
Normalverteilung, 143
Integrationsbereich, 79, 80
Dirichletfunktion, 102
integrierbar, 79
gleichgradig, 116
einfache Funktion, 66
Einschränkung
Komplement, siehe Menge
147
148
Uwe Küchler
Symmetrische Differenz von MenKonvergenz
gen, 5
µ-fast-überall, 104
unendliche, 12
dem Maße nach, 110
Urbild, 9
im Lp -Sinne, 115
Mengen
in Verteilung, 113
Limes inferior, 6
punktweise, 103
Limes superior, 6
Koordinatenabbildung, 20, siehe ProMengenfunktion, 42
jektionsabbildung
Mengensystem, 6
Lebesgueintegral, siehe Integral
messbare Abbildung, 65
Lemma
Messbarkeit
von Borel-Cantelli, 111
einer Menge, 33
von Fatou, 107
Minkowski-Ungleichung, siehe UngleiLifting Methode, 84
chung
Maß, 46
σ-endliches, 46
Bildmaß, 73
endliches bzw. finites, 46
normiertes, 46
Produkt-, 125
Rand-, 138
Stetigkeit, 43
Subadditivität, 43
Wahrscheinlichkeits-, 46
Maximum, 16
Menge, 3
überabzählbar unendliche, 13
abgeschlossen, 33
abzählbar unendliche, 13
Differenz von Mengen, 5
endliche, 12
Komplement, 6
leere, 4
messbare, 33
Nullmenge, 47
offen, 33
Potenzmenge, 6
Norm, 97
Normalverteilung, 143
Nullmenge, siehe Menge
Operationstreue, 9
Potenzmenge, siehe Menge
Produktmaß, siehe Maß
Produktmenge, 20
Projektion, 20
Projektionsabbildung, 71
Projektionsoperator, 138
Quader, 20
Seiten, 21
Randmaß, siehe Maß
Raum
messbarer , 33
Regel
Substitutionsregel, 83
Riemannintegral, siehe Integral
Ring, 27
Satz
Messbare Funktionen mit Werten in Rn
149
Dichtentransformationssatz auf R1 ,
auf R1 , 50
89
auf Rn , 135
Dichtentransformationssatz auf Rn , Vollständigkeit, 121
143
Wahrscheinlichkeitsmaß, siehe Maß
Fortsetzungssatz, 53
von B. Levi (monotone Konvergenz),Wahrscheinlichkeitsverteilung, 73
106
Zahlen
von Fubini, 127
ganze, 11
von Lebesgue (majorisierte Konirrationale, 11
vergenz), 107
natürliche, 11
von Tonelli, 129
rationale, 11
Schnitt einer Funktion, 124
reelle, 11
Schranke, obere, 16
Zerlegung, 6
Schranke, untere, 16
Semialgebra, 24
Semiring, 25
Stetigkeit einer Mengenfunktion , siehe Mengenfunktion
Subadditivität, 43
Substitutionsregel, 83
Supremum, 16
surjektiv, 8
Tonelli, siehe Satz
Transformationssatz für Dichten
eindimensional, 89
n-dimensional, 143
Ungleichung
Cauchy-Schwarz, 93
Chebyshev, 95
Hölder, 95
Jensen, 93
Lyapunov, 96
Minkowski, 96
Urbild, siehe Menge
Urbildoperation, 9
Verteilungsfunktion