Magnetfeld von Spulen - physik.fh
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c Doris Samm 2014 1 Magnetfeld von Spulen 1 Der Versuch im Überblick Magnetfelder spielen überall eine große Rolle, sei es in der Natur oder der Technik. So schützt uns das natürliche Erdmagnetfeld vor der kosmischen Teilchenstrahlung. Elektronen und Protonen, ausgesandt von der Sonne, werden vom Magnetfeld der Erde eingefangen und verhindern ihren Aufprall auf die Erde (Abb. 1). Abbildung 1: Das Erdmagnetfeld schützt die Erde vor der intensiven kosmischen Teilchenstrahlung und sperrt“ die kosmische Strahlung in Bereiche um die Erde ” ein. Abbildung 2: Ionisierende Teilchen erzeugen in der Nähe der Pole prachtvolle Farbspiele, die Polarlichter. An den Polen lenkt das Erdmagnetfeld die Teilchen in die Erde hinein (zum Glück in ungefährlichen Konzentrationen) und führt zum faszinierenden Schauspiel des Polarlichts (Abb. 2). 2 Magnetfeld von Spulen In einem Fusionsexperiment werden mit Hilfe riesiger Spulen starke Magnetfelder erzeugt, die heiße Plasmen einschließen. Damit wird verhindert, dass das Plasma auf die Gefäßwand auftrifft (Abb. 3). Magnetfelder bringen den Transrapid zum Schweben (Abb.4) und ermöglichen ein Fahren ohne Räder. Abbildung 3: Das mit Hilfe von Spulen erzeugte Magnetfeld schließt heiße Plasmen in einem Gefäß ein. Abbildung 4: Der Transrapid auf einer Teststrecke. Magnetfelder im Schienensystem lassen ihn schweben. Die Frage ist: Wie kann man Magnetfelder erzeugen? Allgemein gilt, dass jede bewegte elektrische Ladung Ursache für ein Magnetfeld ist. So erzeugt z.B. jeder stromdurchflossene Leiter ein Magnetfeld, das je nach Bauart des Leiters homogen oder inhomogen sein kann. c Doris Samm 2014 3 Das Magnetfeld einer kreisförmigen Leiterschleife ist inhomogen, ein Spulenpaar in Helmholtz-Anordnung ist dagegen Ursache für ein homogenes Magnetfeld. Im Rahmen dieses Praktikumversuchs werden mit Hilfe einer Spule, bzw. zweier Spulen in Helmholtz-Anordnung (Abb. 5), Magnetfelder erzeugt. Abbildung 5: Helmholtz-Anordnung von Spulen mit eingespannten Hallsonden zur Messung des axialen Magnetfelds. Ihre Aufgabe besteht in der Messung der Magnetfelder mit Hilfe von Hallsonden. Insbesondere sollen Sie im Fall der Helmholtzspulen messen, in welchen Bereichen der Helmholtzspulen das Magnetfeld homogen ist. Außerdem ist es Ihre Aufgabe, die Überlagerung der beiden Einzelfelder zum Gesamtfeld des Spulenpaares zu messen. Ihre Messwerte müssen Sie mit den theoretischen Werten vergleichen und eventuelle Abweichungen diskutieren. Benötigte Kenntnisse: Grundlagen der Kinematik und Dynamik, Grundlagen der Elektrodynamik. 4 2 Magnetfeld von Spulen Grundlagen In diesem Kapitel werden Sie zunächst mit der Theorie zur Berechnung von Magnetfeldern vertraut gemacht. Sie lernen, wie man das Magnetfeld einer einzelnen stromdurchflossenen Spule und das eines Spulenpaars in Helmholtz-Anordnung berechnet. Zur Messung der Magnetfelder wenden Sie den Halleffekt an. Er basiert auf der Ablenkung von bewegten Ladungsträgern in Magnetfeldern und wird Ihnen in Abschnitt 2.3 erläutert. Doch zunächst wenden wir uns der Erzeugung von Magnetfeldern zu. 2.1 Magnetfeld einer Punktladung Magnetische und elektrische Felder haben ähnliche Ursachen. Die Ursache für ein ~ sind elektrische Ladungen. So ist das elektrische Feld in elektrisches Feld E einem Abstand r von einer Punktladung proportional zur Ladung q und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands. Es gilt: ~ = E 1 1 · q · 2 r̂ , 4πǫ0 r (1) wobei ǫ0 die elektrische Feldkonstante des Vakuums ist und r̂ der Einheitsvektor, der von der Punktladung in Richtung eines Raumpunktes zeigt. Ähnliches gilt für Magnetfelder. Auch hier ist die Ursache eine elektrische Ladung, auch hier ist das Feld proportional zur Ladung und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes. Aber es gibt einen wesentlichen Unterschied: Die Ladung darf nicht ruhen, sondern muss sich mit einer Geschwindigkeit ~v bewegen. Es gilt: Bewegte Ladungen sind Ursache für ein Magnetfeld. ~ einer Punktladung, die sich mit der GeQuantitativ gilt für das Magnetfeld B schwindigkeit ~v bewegt, die fundamentale Gleichung: ~ = µ0 · q · ~v × r̂ , B 4π r2 (2) r ist der Abstand von der Punktladung zu einem Raumpunkt, r̂ der Einheitsvektor in Richtung des Raumpunktes und µ0 ist die magnetische Feldkonstante des Vakuums, mit µ0 = 4π · 10−7 N s2 /C2 . c Doris Samm 5 2014 Abbildung 6: Links: Magnetfeld einer bewegten Punktladung. Rechts: Magnetfeld einer positiven Ladung, die sich in die Zeichenebene hineinbewegt. Für den Betrag des Magnetfelds gilt: ~ = |B| µ0 |~v | sin φ ·q· , 4π r2 (3) wobei φ der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor ~v und dem Ortsvektor ~r ist (Abb. 6). ~ an verschiedenen Raumpunkten dargestellt. In Abbildung 6 ist das Magnetfeld B An allen Punkten entlang einer Linie, die durch die Ladung geht und parallel zur Geschwindigkeit ~v ist, wird das Magnetfeld null, da in diesem Fall gilt: sin φ = sin 0 = 0. Das Magnetfeld ist - bei gegebenem ~r - am größten, falls φ = 90◦ ist und somit sin φ = 1 wird. Die magnetischen Feldlinien bilden geschlossene Kreise um die Punktladung. In Abb. 6 sind einige Feldlinien einer positiven Ladung dargestellt, die sich in die Papierebene hineinbewegt. Im Allgemeinen ist nicht das Magnetfeld einer einzelnen Punktladung von Interesse, sondern das eines elektrischen Stromes, also einer bewegten Ladungsverteilung. 2.2 Magnetfeld eines Stromelements Im Fall einer Ladungsverteilung erhält man die Gesamtfeldstärke aus der Vektorsumme der Felder der einzelnen Punktladungen. Dies ist leicht gesagt, leider nicht so leicht getan. Betrachten wir als Beispiel das Magnetfeld eines infinitesimal kleinen Stromelements d~l, dargestellt in Abb. 7. 6 Magnetfeld von Spulen Abbildung 7: Links: Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiterelements. Rechts: Magnetfeld der positiven Ladungsträger, die sich in die Papierebene hineinbewegen. Das Volumen V des kleinen Elements der Querschnittsfläche A ist durch V = A · dl gegeben. Mit der Ladungsdichte n (= Zahl der Ladungen pro Volumen) erhält man für die Gesamtladung dQ des kleinen Stromelements dQ = nqA · dl . (4) Für den Betrag des Magnetfeldes erhält man durch Einsetzen von Gl. (4) in Gl. (3) dB = µ0 v · sinφ µ0 v · sinφ · dQ · = · nqAdl · 4π r2 4π r2 (5) oder Gl. (5) umgeschrieben dB = µ0 dl · sinφ · nqvA · . 4π r2 (6) Das Produkt nqvA ist identisch mit dem elektrischen Strom I (bitte selbst klarmachen). Damit erhält man dB = µ0 dlsinφ ·I · . 4π r2 (7) Mit Hilfe der Abbildung 7 kann man Gl. (7) vektoriell schreiben und erhält das Biot-Savart’sche Gesetz ~ = dB µ0 d~l × r̂ ·I · 4π r2 , (8) c Doris Samm 7 2014 wobei der Vektor des Stromelementes d~l in Richtung des elektrischen Stromes zeigt. Dieses Gesetz ermöglicht es, das Magnetfeld eines infinitesimal kleinen Leitungselements zu berechnen. Will man das Gesamtmagnetfeld eines endlichen elektrischen Leiters wissen, muss man lediglich“ über die einzelnen Stromelemente integrieren: ” Z ~ ~ = µ0 I · dl × r̂ B 4π r2 . (9) ~ und die Magnetfeldlinien Wie aus Abb. 7 ersichtlich, sind die Feldvektoren dB identisch mit denen einer positiven Punktladung (vergleiche Abb. 6), die sich in Richtung der Driftgeschwindigkeit vd bewegen. Die Feldlinien sind Kreisbahnen in einer Ebene, die senkrecht zu d~l sind und deren Zentren auf der Richtung von d~l liegen. 2.3 Magnetfeld einer kreisförmigen Leiterschleife Wir wenden das Biot-Savart’sche Gesetz auf die im Praktikum genutzte Leiterschleife an. Die Leiterschleife mit dem Radius R wird von einem konstanten Strom I durchflossen. Abbildung 8: Schematische Darstellung einer stromdurchflossenen Leiterschleife. Sie befindet sich in der yz-Ebene und der Koordinatenursprung ist im Mittelpunkt ~ und der Leiterschleife. Der Vektor des Stromelements d~l liegt in der yz-Ebene, dB ~r liegen in der xy-Ebene. Wir wollen nun das Magnetfeld berechnen. Hierzu beschränken wir uns auf das Feld, das entlang der x-Achse erzeugt wird. 8 Magnetfeld von Spulen Da d~l und r̂ senkrecht zueinander sind, gilt – unter Nutzung des Biot-Savart’schen Gesetzes – für den Betrag des Magnetfeldes des Stromelements dB = µ0 dl ·I · 2 4π r . (10) Nach Pythagoras folgt r2 = R2 + x2 , und durch Einsetzen in Gleichung (10) erhält man dB = dl µ0 ·I · 2 4π R + x2 . (11) ~ läßt sich in eine radiale Komponente dBy und eine axiale KompoDer Vektor dB nente dBx zerlegen (Abb. 8). Für die radialen Komponenten des Magnetfeldes dBy gilt, dass sie sich aus Symmetriegründen paarweise aufheben. Man erhält somit für die radiale Komponente entlang der x-Achse By = 0 . (12) Die Komponenten dBx haben für alle Leiterelemente d~l dieselbe Richtung. Ihre Addition ergibt eine positive Gesamtfeldstärke. Aus Abbildung 8 erhält man für die x-Komponente des Magnetfeldes R dl R µ0 dBx = dB cos θ = dB( √ 2 ·I · 2 ·√ 2 )= 2 2 4π R +x R +x R + x2 . (13) Um das Feld der gesamten Leiterschleife zu erhalten, integrieren wir über die gesamte Leiterschleife, die eine geschlossene Kreislinie ist. Bx = I dBx = I µ0 IR dl. 2 4π (R + x2 )3/2 (14) Die Größen x, R und I können wir vor das Integral ziehen, da sie nicht von der Integrationsvariablen abhängen. Damit erhält man I µ0 IR dl Bx = 4π (R2 + x2 )3/2 . (15) Das Linienintegral entlang einer Kreislinie ergibt gerade den Umfang des Kreises 2πR, so dass das Endergebnis lautet: Bx = µ0 IR R2 I µ0 · (2πR) = . 4π (R2 + x2 )3/2 2 (R2 + x2 )3/2 (16) c Doris Samm 9 2014 Liegen N gleiche Leiterschleifen dicht beieinander, so ergibt sich das Gesamtmagnetfeld durch Multiplikation mit der Zahl der Windungen N . Bx = µ0 N R2 I . 2 (R2 + x2 )3/2 (17) In Abbildung 9 ist das Magnetfeld Bx als Funktion von x (in Einheiten des Spulenradius R) dargestellt. Das Magnetfeld ist maximal bei x = 0 und fällt für Abstände, die wesentlich größer sind als der Spulenradius R, mit 1/x3 ab. Abbildung 9: Qualitative Darstellung der x-Komponente des Magnetfeldes als Funktion des axialen Abstands x von der Spulenmitte. Soweit zum Magnetfeld einer Leiterschleife mit N (eng beieinander liegenden) Windungen, nun zum Helmholtzspulenpaar. 2.4 Das Magnetfeld von Helmholtzspulen Helmholtzspulen werden zur Erzeugung homogener Magnetfelder genutzt. Sie bestehen aus zwei hintereinander geschalteten Spulen (Abb. 10), die vom gleichen Strom I durchflossen werden. Die Spulen haben jeweils die Windungszahl N und den Radius R. Ihr Abstand a ist gleich dem Spulenradius: a = R. Zur Berechnung des Magnetfeldes entlang der x−Achse, legen wir das Koordinatensystem in den Mittelpunkt der Helmholtzspulen (Abb. 11). Aus der Überlagerung der Magnetfelder der beiden Spulen folgt für das Gesamtmagnetfeld entlang der x−Achse (y = 0, z = 0) (Bitte selbst herleiten.) B(x) = 1 1 µ0 N I · ·( + ), 2 3/2 2 R (1 + A1 ) (1 + A22 )3/2 mit A1 = x − a2 , R A2 = x + a2 . R (18) 10 Magnetfeld von Spulen Abbildung 10: Spulenpaar in Helmholtz-Anordnung. Abbildung 11: Schematische Darstellung eines Spulenpaars in HelmholtzAnordnung. Gleichung (18) kann man nicht sofort ansehen, unter welcher Bedingung man ein homogenes Magnetfeld erhält. Hier hilft die Taylorreihe. Entwickelt man Gleichung (18) in einer Taylorreihe um x = 0 erhält man (Beweis siehe Anhang A) Bx (x) ≈ µ0 N IR2 3µ0 N IR2 (R2 − a2 ) 2 − x + 0(x3 ). a2 3/2 a2 7/2 2 2 (R + 4 ) 2(R + 4 ) (19) Aus Gleichung (19) können wir sofort ablesen, unter welcher Bedingung das Magnetfeld homogen, also unabhängig von der x−Koordinate ist, nämlich dann, wenn der Radius der Spulen R gleich dem Abstand a der beiden Spulen ist. Für den Wert des Magnetfeldes erhält man c Doris Samm 11 2014 Bx (x) = µ0 N 5 3/2 I (4) R . Wir können zusammenfassend feststellen: • Das Magnetfeld ist proportional zur Windungzahl N und dem Strom I. • Für den Fall, dass der Spulenabstand a gleich dem Spulenradius R ist, erhält man im Bereich − R R < x < + 2 2 ein nahezu homogenes Magnetfeld (Abb. 12). Abbildung 12: Magnetfeld B als Funktion von x, Parameter ist der Spulenabstand a. Beachten Sie, dass Gleichung (19) eine Näherung für kleine Werte von x ist. Nur dann kann man das zweite Glied der Reihenentwicklung vernachlässigen. Soweit zur Erzeugung von Magnetfeldern. Wie aber misst man Magnetfelder? Hierzu nutzt man den sogenannten Halleffekt, der im folgenden Abschnitt beschrieben wird. 2.5 Der Halleffekt Magnetfelder äußern sich durch ihre Kraft auf bewegte elektrische Ladungen. Diesen Effekt nutzt man zur Messung von Magnetfeldern. Quantitativ gilt für die ~ auf eine Punktladung q der Geschwindigkeit ~v ausübt, Kraft, die ein Magnetfeld B ~ - Lorentzkraft FL genannt - folgender Zusammenhang: ~ . F~L = q~v × B (20) 12 Magnetfeld von Spulen Diese Kraft nutzt man beim Halleffekt zur Messung von Magnetfeldern. Betrachten wir zur Erklärung des Halleffektes folgendes Beispiel: Ein Strom I fließt durch einen quaderförmigen Leiter der Dicke d und Höhe b entlang der y-Richtung. Der Leiter befindet sich in einem homogenen Magnetfeld ~ wobei das Magnetfeld senkrecht zur Stromrichtung steht (Abb. 13 a)). B, Abbildung 13: a) Stromdurchflossener Leiter in einem homogenen Magnetfeld. b) Wirkende Kräfte auf positive Ladungsträger. c) Wirkende Kräfte auf negative Ladungsträger. Wir nehmen an, dass der Strom durch positive Ladungsträger der Größe der Elementarladung e transportiert wird. Dann ist die Geschwindigkeit der Ladungsträger parallel zur Stromrichtung. Wegen der Lorentzkraft erfahren die Ladungsträger eine Ablenkung in x-Richtung. ~ H , das Hallfeld genannt Diese Ladungsverschiebung erzeugt ein elektrisches Feld E wird. Das elektrische Feld übt eine Kraft aus, die antiparallel zur Lorentzkraft ist. c Doris Samm 13 2014 Die Ladungsträger werden durch die Lorentzkraft F~L so lange entlang der xRichtung verschoben, bis zwischen der Lorentzkraft und der Coulombkraft F~E ein Gleichgewicht entsteht. Es gilt: F~E = −F~L ~ H = −q · (~v × B). ~ q·E =⇒ (21) ~ und ~v senkrecht zueinander sind, gilt für den Betrag Da B EH = v · B. (22) Unter Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen der Stromstärke I und der Geschwindigkeit der Ladungsträger v mit der Elementarladung e (hatten wir bereits bei Gleichung (6) genutzt) I = neA · v =⇒ v = I , neA (23) erhält man mit der Fläche A = bd EH = IB . nebd (24) Das transversale elektrische Feld kann wie bei einem Plattenkondensator aus der transversalen Spannung – in diesem Fall Hallspannung genannt – und der Leiterhöhe b (Abb. 13 a)) berechnet werden. Es gilt UH . b (25) 1 I ·B . ned (26) EH = Damit ergibt sich für die Hallspannung UH = Die Hallspannung ist proportional zur Stärke des Magnetfeldes B und ermöglicht - bei gleichbleibendem Strom - die Messung von Magnetfeldern. 14 3 Magnetfeld von Spulen Versuchsanordnung Zur Durchführung des Versuchs steht Ihnen ein Spulenpaar in Helmholtz-Anordnung zur Verfügung (Abb. 14). Das Magnetfeld können Sie mit Hilfe von Hallsonden messen. Abbildung 14: Der Versuchsaufbau. Mit der axial angeordneten Hallsonde wird die Komponete des Magnetfeldes entlang der Verbindungslinie der Spulenmitten (= axiales Feld) gemessen. Die radial angeordnete Hallsonde dient zur Messung der Komponente des Feldes senkrecht zur Verbindungslinie der Spulenmitten (= radiales Feld). Hinweis: Im Rahmen des Praktikums messen Sie nur die axiale Komponente des B-Feldes. Weiterhin besteht der Versuchsaufbau aus dem Netzgerät und einem Teslameter. Mit Hilfe des Netzgerätes können Sie den Strom einstellen, der durch die Helmholtzspulen fließt. Mit Hilfe der Hallsonde wird die Hallspannung gemessen. Im Teslameter wird die Hallspannung in die Magnetfeldstärke umgewandelt und auf der Digitalanzeige dargestellt. Das Teslameter (Abb. 15) enthält folgende Bedienelemente: 1 Buchse zum Anschluss der Hallsonde, 2 Stellschraube zur Grobeinstellung des Nullpunktes 3 Stufenschalter zur Wahl von Messbereichen 0 − 20 mT mit einer Auflösung von 0,01 mT, 0 − 200 mT mit einer Auflösung von 0,1 mT und 0 − 1000 mT mit einer Auflösung von 1 mT c Doris Samm 2014 15 Abbildung 15: Teslameter mit Hallsonde. 4 Schalter zur Wahl der Betriebsart (Gleich- oder Wechselfeldmessung), 5 Digitalanzeige, 6 Ausgang zum Anschluss eines externen Messgerätes, 7 Feinabgleich des Nullpunkts. 4 Versuchsdurchführung Sie sollen folgende Messungen durchführen: • Messung der Magnetfelder der einzelnen Spulen, • Messung des resultierenden Magnetfeldes beider Spulen in Helmholtz-Anordnung. Die Spulen sind unabhängig von der Art der Messung immer in der HelmholtzAnordnung aufgebaut. Für die einzelnen Messungen müssen Sie beachten, ob Spule 1, Spule 2 oder beide Spulen von einem Strom durchflossen werden. 4.1 Messung der Magnetfelder der einzelnen Spulen 1. Zunächst sollen Sie das Magnetfelds von Spule 1 (Spule 2 ist nicht angeschlossen) entlang der Spulenmitte messen. – Schließen Sie Spule 1 an die Spannungsversorgung an. Zur Strommessung müssen Sie zusätzlich ein Amperemeter anschließen. 16 Magnetfeld von Spulen Der Spulenstrom darf nicht größer als 3,5 A sein. Die Spule 2 darf nicht angeschlossen sein. Stellen Sie am Teslameter den Betriebsschalter 4 auf die Position Gleichfeld. Gleichen Sie mit den Stellknöpfen 2 und 7 das Magnetfeld auf 0 Tesla ab. Schalten Sie die Spannungsversorgung ein. – Messen Sie das axiale Magnetfeld der Spule 1 entlang der Verbindungslinie der Spulenmitten (Abb. 16). Die Messungen erfolgen in Abständen von 2 cm bei einem Strom von 3 A. Der Messbereich für Spule 1 beträgt x = −20 cm bis +40 cm, wobei der Nullpunkt (x = 0) in der Spulenmitte liegt. Abbildung 16: Messbereich von Spule 1. 2. Wiederholen Sie die Messungen für Spule 2 (Spule 1 ist nicht angeschlossen). Der Messbereich für Spule 2 beträgt x = −40 cm bis +20 cm, wobei der Nullpunkt (x = 0) in der Spulenmitte liegt (Abb. 17). c Doris Samm 2014 17 Abbildung 17: Messbereich von Spule 2. 3. Stellen Sie für beide Fälle das axiale Feld als Funktion von x grafisch dar. 4. Zeichnen Sie in die grafische Darstellung Ihrer Messwerte die theoretischen Funktionen ein. Achten Sie hierzu auf ein sinnvolles Koordinatensystem. 4.2 Messung des Magnetfelds einer Helmholtzspule 1. Schließen Sie beide Spulen an die Spannungsversorgung an. Die beiden Spulen werden in Serie geschaltet. Der Betriebsschalter 4 muss weiterhin auf Position Gleichfeld sein. Gleichen Sie für beide Spulen mit den Stellknöpfen 2 und 7 das Magnetfeld auf 0 Tesla. Schalten Sie die Spannungsversorgung ein. 2. Messen Sie das axiale Magnetfeld des Spulenpaars (beide Spulen sind angeschlossen) entlang der Verbindungslinie der Spulenmitten (Abb. 18). Abbildung 18: Messbereich der Spulen in Helmholtzanordnung. 18 Magnetfeld von Spulen Die Messungen erfolgen ebenfalls in Abständen von 2 cm bei einem Strom von 3 A. Der Messbereich beträgt x = −30 cm bis +30 cm, wobei der Nullpunkt (x = 0) in der Mitte des Spulenpaars liegt. 6. Stellen Sie die Messergebnisse als Funktion von x dar. 7. Zeichnen Sie in die Grafik die theoretischen Funktionen ein und zwar sowohl die theoretischen Werte der Summe der beiden Einzelfelder, als auch den theoretischen Wert für die Helmholtzanordnung. 8. Diskutieren Sie die Messergebnisse. c Doris Samm 5 19 2014 Anhang A Taylorentwicklung zur Bestimmung der Helmholtz-Bedingung Wir hatten für die x−Komponente des Magnetfeldes Bx gefunden: B(x) = µ0 N I 1 1 · ·( + ), 2 R (1 + A21 )3/2 (1 + A22 )3/2 (27) mit A1 = x − a2 , R A2 = x + a2 . R Um eine Bedingung zu finden, bei der das magnetische Feld bezüglich der x−Achse homogen also unabhängig von x ist, entwickeln wir Bx in einer Taylorreihe um den Nullpunkt (x = 0). Dieser Spezialfall einer Taylor’schen Reihe heißt Mac Laurin’sche Reihe und lautet f (x) = f (0) + x2 xn x ′ f (0) + f ′′ (0) + ... + f (n) (0) + ... 1! 2! n! Zur Taylorentwicklung von Gl.(26) wird sie umgeformt zu: B(x, y = 0) = i h µ0 1 1 + · N IR2 · 3/2 3/2 . 2 a 2 a 2 2 2 R + (x − 2 ) R + (x + 2 ) (28) Das erste Glied der Taylorreihe B(0) können wir sofort angeben, in dem wir in Gl. (27) x = 0 setzen. Man erhält Bx (0) = µ0 N IR2 . 2 (R2 + a4 )3/2 (29) Um den zweiten Term der Taylorreihe zu erhalten, differenzieren wir Gl. (26) nach x und erhalten i −3(x + a2 ) −3(x − a2 ) dB µ0 N IR2 h + = 5/2 5/2 . dx 2 R2 + (x − a2 )2 R2 + (x + a2 )2 Für x = 0 gilt: (30) 20 Magnetfeld von Spulen i 3 a2 3 a2 dB µ0 N IR2 h − . = 2 2 dx x=0 2 (R2 + a4 )5/2 (R2 + a4 )5/2 (31) Zur Bildung der zweiten Ableitung setzen wir T = −3(x ∓ a2 ) R2 + (x ∓ a2 )2 5/2 und leiten T nach x ab: dT = dx −3 R2 + (x ∓ a2 )2 5/2 + 3(x ∓ a2 )5 R2 + (x ∓ a2 )2 R2 + (x ∓ a2 )2 10/2 3/2 (x ∓ a2 ) . Wir vereinfachen die Gleichung −3(R2 + (x ∓ a2 )2 ) + 15(x ∓ a2 )(x ∓ a2 ) dT = 7/2 dx R2 + (x ∓ a )2 2 und setzen x = 0 2 2 −3(R2 + a4 ) + 15 a4 3(R2 − a2 ) dT = = − . 2 2 dx x=0 (R2 + a4 )7/2 (R2 + a4 )7/2 (32) Für die zweite Ableitung des Magnetfeldes nach x erhält man für x = 0 3µ0 N IR2 (R2 − a2 ) d2 Bx = − . 2 dx2 x=0 (R2 + a4 )7/2 (33) Da die Taylorreihe 2. Ordnung bereits hinreichend genau die ursprünglich Funktion darstellt, gilt: dBx (0) 1 d2 Bx (0) 2 x+ x + 0(x3 ). (34) dx 2 dx2 Wir setzen die Gleichungen (28),(30) und (32) in Gl.(33) ein und erhalten für die x−Komponente des Magnetfelds als Funktion von x Bx (x) ≈ Bx (0) + Bx (x) ≈ 3µ0 N IR2 (R2 − a2 ) 2 µ0 N IR2 − x + 0(x3 ). a2 3/2 a2 7/2 2 2 (R + 4 ) 2(R + 4 ) (35) Aus Gleichung (34) kann man ablesen, unter welcher Bedingung das Feld homogen ist, nämlich wenn gilt: a = R für kleine x.
