Kapitel 4

4.1
4. Kreisprozesse
Eine Folge von Zustandsänderungen, bei denen der Anfangszustand gleich dem
Endzustand ist, heisst Kreisprozess.
Rechtsläufiger Kreisprozess: Im Uhrzeigersinn im p-V-Diagramm, d.h. es wird mehr
Arbeit abgegeben als zugeführt
Die pro Umlauf abgegebene Arbeit entspricht der eingeschlossenen Flaeche.
Arbeit kann als Kreisintegral geschrieben werden: W =
1. Hauptsatz bei einem kompletten Umlauf:
∫ dW = − ∫ pdV
∫ dU = 0 = ∫ dQ + ∫ dW
Zustandsgrösse U muss nach einem Umlauf
€ wieder dieselbe sein
Je Zyklus abgegebene Nutzarbeit ergibt sich aus Differenz der zugeführten und
€
abgeführten Wärmen
Linksläufiger Kreisprozess: Figur im p-V-Diagramm wird im Gegenuhrzeigersinn
durchlaufen, d.h.
Abgegebene Expansionsarbeit ist immer kleiner als zugeführte Kompressionsarbeit
Konsequenz: Prozess läuft nur, wenn mit Hilfe eines Motors von aussen periodisch
mechanische Arbeit zugefügt wird.
Für die folgenden Betrachtungen sind idealisierte Prozesse vorausgesetzt:
1. Reibung wird vernachlässigt
2. Gas befinde sich immer im thermodynamischen Gleichgewicht mit seiner
Umgebung
Dies bedeutet, dass unter diesen Voraussetzungen alle Kreisprozesse reversibel sind,
d.h. können sowohl rechts- als auch linksläufig sein
4.1 Carnot’scher Kreisprozess
vom Verständnis und von der Anwendung her einer der wichtigsten Prozesse
rechtsläufiger Prozess: Wärme wird durch eine periodisch arbeitende Maschine in
Arbeit umgewandelt
p-V-Diagramm: zwei Isothermen, zwei Adiabaten
Arbeitsmedium: ideales Gas mit Teilchenmenge n˜
€
4.2
Unterteilung in Einzelprozesse:
Prozess
Konst
variabel
zugeführt
abgegeben
1>
2
Isotherme
Kompressio
n
T1 = konst
V1 → V2
Arbeit
Wärme
2>
3
€
Adiabatische
Kompressio
n
€
δQ = 0
€
Isotherme
Expansion
€
T3 = konst
€
3>
4
4>
1
€
Adiabatische
Expansion
€
W12 = n˜ Rm T1 ln
€
δQ = 0
V2 → V3
Arbeit
T1 → T3
€
W 23 = n˜ CmV (T3 − T1 )
€
Q12 = −n˜ Rm T1 ln
V3 → V4 Wärme
€
V
Q34 = n˜ Rm T3 ln 4
V3
Arbeit
V4 → V1
Arbeit
T3 → T1
€
€
€
€
V1
V2
€
V1
V2
W 34 = −n˜ Rm T3 ln
V4
V3
W 41 = −n˜ CmV (T3 − T1 )
4.3
Nutzarbeit: eingegrenzte Fläche im p-V-Diagramm:
W = ∫ δW = W12 + W 23 + W 34 + W 41
€

V
V
Es gilt: W 23 = −W 41, d.h. W = W12 + W 34 = −n˜ Rm T3 ln 4 − T1 ln 1 
V3
V2 

Bestimmung der Verhältnisse der Volumina:
€ Betrachte die beiden Adiabaten, d.h. T V κ −1 = T V κ −1 und T V κ −1 = T V κ −1
3 3
1 1
3 4
1 1
€
κ −1
 V1 κ −1
T3  V4 
=  = 
T1  V3 
 V2 
Daraus folgt
€
€
€
V4 V1
V
= . Gesamte Nutzarbeit: W = −n˜ Rm ln 4 (T3 − T1 )
V3 V2
V3
Negativ, weil vom System nach aussen abgegeben.
Frage: wie sieht es mit den Wärmeflüssen aus?
€
€
Wichtiges Ergebnis: nur ein Teil der zugeführten Wärme wird in Arbeit
umgewandelt, ein weiterer Teil wird der Wärmesenke als Abwärme zugeführt
Bilanzgleichung aus dem 1. Hauptsatz: W = Qzu − Qab
Carnot-Prozess: Q12 + Q34 + W = 0 (alle Grössen haben Vorzeichen)
€
Wirkungsgrad
€
Technisch wichtig ist der Wirkungsgrad: η =
€
Nutzen
abgegebene Arbeit
=
Aufwand zugeführte Wärme
4.4
η=
W
Q zu
Beispiel Carnot-Prozess:
V4
T −T
T
. Daraus folgt für den Wirkungsgrad: ηth,C = 3 1 = 1− 1
V3
T3
T3
€
Q zu = Q34 = n˜ Rm T3 ln
€
Thermischer Wirkungsgrad hängt nur von den Temperaturen der beiden Wärmebäder
ab!
€
Wirkungsgrad könnte gegen 100% gehen, wenn die Temperatur der Wärmesenke
T1 → 0 .
Umgekehrt soll die Temperatur der Wärmequelle möglichst hoch sein, um den
Wirkungsgrad zu maximieren.
€
Beispiel: ϑ 1 = 50 oC , ϑ 3 = 500 oC , d.h. ηth,C =
450K
= 0.58 = 58%
773K
Carnot-Prozess ist in der Realität schwierig zu realisieren, aber er kann benutzt
werden, um den maximalen Nutzeffekt einer Wärmekraftmaschine berechnen zu
€
€
können.
€
Generelle Ueberlegungen zeigen, dass es keine Wärmekraftmaschine gibt, die
effizienter ist als der Carnot-Prozess.
Der maximale Wirkungsgrad hängt nur von den entsprechenden Temperaturen ab.
Thermodynamische Temperatur
Thermischer Wirkungsrad des Carnot-Prozesses hängt nur von den Temperaturen der
beteiligten Wärmebäder ab und nicht vom Arbeitsstoff
Definition einer Temperaturskala, die von speziellen Thermometer-Eigenschaften
→
unabhängig ist
€
ηth,C =
Q zu − Qab
Q
T
= 1− ab = 1− 1
Qzu
Qzu
T3
Berechne Beziehung zwischen umgesetzten Wärmemengen und Temperaturen der
Wärmebäder:
€
€
Qab T1
=
Qzu T3
oder
Q12 Q34
+
=0
T1
T3
Definition der thermodynamischen Temperatur: Temperaturen zweier Wärmebäder
lassen sich vergleichen, indem man zwischen ihnen einen idealen Carnot-Prozess
ablaufen lässt
€ und die übertragene Wärme misst.
Temperatur eines Wärmebads sei festgelegt, z.B. Tripelpunkt des Wassers,
TTripel = 273.16 o C
€
4.5
Ergebnis: die so definierte thermodynamische Temperatur ist identisch mit der
Gastemperatur des Gasthermometers
Linksläufiger Prozess
p-V-Diagramm wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen
bei tiefer Temperatur wird Wärme aus der Umgebung aufgenommen
Wärme wird beim Reservoir mit hoher Temperatur wieder abgegeben
Energiebilanz: abgegebene Wärme = zugeführte Wärme + mechanische Arbeit
Qab = Qzu + W
Nutzung
€ des linksläufigen Prozesses auf zwei Arten: Kältemaschine und
Wärmepumpe
€
Kältemaschine:
Ein zu kühlender Raum dient als Wärmequelle
Einem Raum mit der Temperatur T1 〈T3 , wobei T3 die Umgebungstemperatur ist, wird
die Wärme Qzu entzogen und dem System zugeführt
Umgebung dient als Wärmesenke
€
€
Nutzen
, entspricht Wirkungsgrad beim Motor
Leistungszahl
=
€
Aufwand
Kältemaschine: εK =
€
€
Qzu
Nutzen
=
Aufwand W (Arbeit des Antriebsmotors)
4.6
Zeitlich abgeleitet: εK =
Carnot-Prozess: εK,C =
Q˙ zu
P
T1
T3 − T1
€
Leistungszahl wird umso günstiger, je näher sich die Temperaturen von Wärmequelle
und Wärmesenke sind.
€
Wärmepumpe:
Wärmequelle ist Umgebung (z.B. Luft, Erdreich, Grundwasser)
Dieser Umgebung wird Wärme entzogen und dem System zugeführt. Das System
könnte z.B. die Warmwasserheizung des Hauses sein
Nutzen: die bei hoher Temperatur abgegebene Wärme Qab
Leistungszahl der Wärmepumpe: εW ==
Q˙ ab
Qab
=
W (Arbeit des Antriebsmotors)
P
€
T3
T3 − T1
€
Leistungszahl umso grösser, je kleiner der thermische Wirkungsgrad eines
rechtsläufigen Carnot-Prozesses zwischen denselben Temperaturen ist, d.h. je kleiner
Temperaturdifferenz
T3 − T1 .
€
Carnot-Prozess: εW,C =
Praxis: Kältemaschinen und Wärmepumpen werden meist mit Kältemitteln betrieben,
die während des Carnot-Prozesses Phasenänderungen durchlaufen
€
Kältemittel hat geringen Druck und niedrige Temperatur
Verdampfer: dem Kältemittel wird die Wärme Qzu zugeführt, d.h. das Kältemittel
verdampft
€
4.7
Kompressor: Dampf wird verdichtet und somit erwärmt
Kondensator: dem heissen Dampf wird die Wärmemenge Qab entzogen, d.h. das
Kältemittel kondensiert
Drosselventil: die unter hohem Druck stehende Flüssigkeit wird entspannt, d.h. sie
kühlt sich ab
€
Kühlflüssigkeit wird dem Verdampfer für den nächsten Kreislauf zugeleitet.
Leistungszahlen realer Wärmepumpen sind niedriger als die Leistungszahl eines
Carnot-Prozesses (= ideal)
Elektrisch betrieben Luft/Wasser Wärmepumpen haben εW ≈ 3
4.2 Technische Kreisprozesse
€
Kreisprozesse in realen Maschinen können durch idealisierte Vergleichsprozesse
angenähert werden
Verbrennungsmotoren sind offene Systeme: können näherungsweise als geschl.
Systeme betrachtet werden
Seilinger-Prozess:
1. Frischluft wird adiabatisch verdichtet
2a. Zuführung von Kraftstoff
2b. Zündung des Luft-Kraftstoff-Gemisches
3. Verbrennung (näherungsweise isochore und isobare Wärmezufuhr)
4. Adiabatische Expansion des verbranntes Gemisches
5. Austausch von verbrannten Gasen durch Frischluft: isochore Wärmeabgabe
Thermischer Wirkungsgrad ist abhängig von den Temperaturen der 5 Eckpunkte
Otto-Prozess ist Spezialfall des Seilinger-Prozesses
V2 = V3 = V4
Luft-Kraftstoff-Gemisch verbrennt nach der Zündung so schnell, dass die
Wärmezufuhr idealisierend wie eine isochore Zustandsänderung erfolgt
€
Thermischer Wirkungsgrad hängt ab von Kompressionsverhältnis ε =
V1
V2
(Super-, Normalkraftstoff)
Diesel-Motor ist Spezialfall des Seilinger Prozesses mit
€
p2 = p3 = p4
Kraftstoff wird so in komprimierte Luft eingespritzt dass Verbrennung
näherungsweise isobar erfolgt
€
4.8
Wirkungsgrad des Dieselmotors ist grösser als derjenige des Ottomotors, Kolbenweg
ist länger (erfordert stabilere Motoren)
höhere Kompression
,
4.9
4.10
Stirling Prozess
Arbeitsmedium ist Luft
Wärmezufuhr über isochore Erwärmung und isotherme Expansion
Arbeitskolben und Verdrängerkolben laufen um 900 phasenverschoben auf
Kurbelwelle
Verdrängerkolben: schiebt Luft im Zylinder hin und her und bringt sie abwechselnd
mit dem kalten und dem warmen Teil der Maschine in Kontakt
Regenerator: Eisenspäne, die die Wärme der heissen durchströmenden Luft
aufnehmen und nachher wieder an die kalte zurückströmende Luft abgeben