Skript zur Vorlesung Topologie I

Skript zur Vorlesung
Topologie I
Carsten Lange, Heike Siebert
Richard-Sebastian Kroll
Faszikel 1
Fehler und Kommentare bitte an
[email protected]
Stand: 15. Juni 2010
Fachbereich Mathematik und Informatik
Freie Universität Berlin
Sommersemester 2010
Inhaltsverzeichnis
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.1. Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2. Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3. Abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4. Unterräume & endliche Produkte . . . . . . . . . . . . . . .
I.5. Konstruktion weiterer topologischer Räume: Initialtopologie
I.6. Erste Eigenschaften: Zusammenhangsbegriffe . . . . . . . .
I.7. Weitere Eigenschaften: hausdorffsch & kompakt . . . . . . .
I.8. Ein Beispiel für Vieles: Cantorsches Diskontinuum . . . . .
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I. Grundbegriffe der
mengetheoretischen Topologie
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.1. Topologische Räume
I.1.1 Definition: Es seien X eine Menge und O ⊆ P(X).
(a) O heißt Topologie auf X, falls folgende Aussagen gelten:
(i) Gilt Oi ∈ O S
für alle i ∈ I einer beliebigen Indexmenge, so ist deren
Vereinigung i∈I Oi ebenfalls in O.
T
(ii) Gilt O1 , · · · , On ∈ O für n ∈ N0 und folgt ni=1 Oi ∈ O.
(b) Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O), wobei O eine Topologie auf
der Menge X ist.
(c) Eine Teilmenge M ⊆ X heißt offen in (X, O), falls M ∈ O gilt.
(d) Eine Teilmenge U ⊆ X heißt Umgebung von x ∈ X, falls eine Teilmenge
O ∈ O mit x ∈ O und O ⊆ U existiert.
(e) Für A ⊆ X heißt eine Teilmenge U ⊆ X Umgebung von A, falls U eine
Umgebung für alle x ∈ A ist.
I.1.2 Bemerkung: Manche Definition einer Topologie O auf X fordert scheinbar zusätzlich ∅ ∈ O und X ∈ O. Das ist allerdings mehr eine Frage, ob man
die leere Menge als Indexmenge für beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte erlaubt. Wir tun dies und folgen dabei der Konvention:
S
T
∅ = i∈∅ Oi
und
X = i∈∅ Oi .
Diese Konvention bedeutet natürlich nicht, dass bei einem konkreten Kanditaten
einer Topologie O auf X nicht ∅ ∈ O und X ∈ O überprüft werden muss.
I.1.3 Beispiele: Die folgenden Paare (X, O) sind topologische Räume:
(a) Indiskrete oder triviale Topologie Oind :
Für eine beliebige Menge X ist Oind = {∅, X}.
(b) Diskrete Topologie Odis :
Für eine beliebige Menge X ist Odis = P(X).
(c) Für die reellen Zahlen X = R betrachte O = { ]−∞; a[ | a ∈ R ∪ ±∞}.
(d) Natürliche Topologie Onat der reellen Zahlen:
Für die reellen Zahlen X = R ist
M ist Vereinigung von Intervallen
.
Onat = M ⊆ X des Typs ]a; b[ mit a ≤ b ∈ R
(e) Für die reellen Zahlen X = R betrachte
M ist Vereinigung von Intervallen
.
O = M ⊆ X des Typs ] − ∞; a[ mit a ∈ R ∪ −∞
(f ) Ordnungstopologie Oord einer total geordneten Menge:
Zu einer total geordneten Menge (X, <) betrachte zunächst
{x ∈ X | x < a} , S :=
a∈X .
{x ∈ X | a < x} , Durch
Oord :=
M ist Vereinigung endlicher
M ⊆X Schnitte von Mengen aus S
ist eine Topologie auf X gegeben.
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Topologie I
(g) Durch eine Metrik d induzierte Topologie Od :
Auf einem metrischen Raum (X, d) ist durch
M ist ist Vereinigung
Od = M ⊆ X offener Kugeln in (X, d)
eine Topologie definiert. Verschiedene, aber äquivalente Metriken induzieren dieselbe Topologie auf X.
I.1.4 Definition: Sei (X, O) ein topologischer Raum.
(a) Ein System B offener Mengen von (X, O) heißt Basis von O, falls jede
offene Menge von (X, O) Vereinigung von Mengen aus B ist.
(b) Ein System S offener Mengen von (X, O) heißt Subbasis von O, falls jede
offene Menge von (X, O) Vereinigung endlicher Durchschnitte von Mengen
aus S ist.
I.1.5 Beispiele: Basen und Subbasen haben wir schon in I.1.3 gesehen.
I.1.6 Satz und Definition: Für eine Menge X sei B eine Familie von Teilmengen von X, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
S
(a) B∈B B = X.
(b) Für alle B, B 0 ∈ B und alle x ∈ B ∩ B 0 existiert ein B 00 ∈ B, so dass
x ∈ B 00 ⊆ B ∩ B 0 .
Setze
M ist Vereinigung
O := M ∈ B .
von Elementen aus B
Dann ist O eine Topologie auf X und B eine Basis von O. Ist O0 eine Topologie
mit Basis B, so ist O = O0 . O heißt die durch B definierte Topologie.
I.1.7 Definition: Seien (X, O) ein topologischer Raum, U ⊆ X und x ∈ X.
Die Menge U(x) aller Umgebungen von x heißt Umgebungssystem von x.
I.1.8 Lemma: Seien (X, O) ein topologischer Raum und x ∈ X. Für das Umgebungssystem U(x) gilt:
(a) Für alle U ∈ U(x) und U ⊆ U 0 gilt U 0 ∈ U(x).
T
(b) Für alle n ∈ N0 und U1 , · · · , Un ∈ U(x) gilt ni=1 Ui ∈ U(x).
(c) Für alle U ∈ U(x) gilt x ∈ U .
(d) Für jedes U ∈ U(x) existiert ein V ∈ U(x) mit U ∈ U(y) für alle y ∈ V .
Beweis: (a)-(c) folgen sofort aus der Definition. Für (d) benutze die Äquivalenz
der folgenden Aussagen:
(i) O ist offen.
(ii) O ist Umgebung jedes seiner Punkte.
(iii) Für alle x ∈ O existiert eine Menge U ∈ U(x), so dass O offen ist.
I.1.9 Satz: Sei X eine Menge. Ist jedem x ∈ X ein System U(x) von Teil-
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I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
mengen von X zugeordnet, welche die Eigenschaften (a)-(d) aus Lemma I.1.8
erfüllen, so existiert genau eine Topologie auf X, für die U(x) das Umgebungssystem von x ist.
Beweis: Es sind Existenz und Eindeutigkeit der Topologie zu zeigen.
Eindeutigkeit: Seien O1 , O2 zwei Topologien, so dass U(x) ein Umgebungssystem für jedes x ∈ X ist. Ist O ∈ O1 beliebig gewählt, dann ist O eine Umgebung von x (bezüglich O1 ) für jedes x ∈ O. Folglich ist O ∈ U(x) für jedes x ∈ O
und somit ist O eine Umgebung von x (bezüglich O2 ) für jedes x S
∈ O. Für jedes
x ∈ O exitiert dann ein Ox ∈ O2 mit Ox ⊆ O. Damit folgt O = x∈X Ox ∈ O2
und somit gilt O1 ⊆ O2 . Die Inklusion O1 ⊆ O2 folgt aus demselben Argument,
wobei die Rolle von O1 und O2 vertauscht wird.
Existenz: Wir definieren zunächst eine Topologie auf X. Dies geschieht durch
O := {O ⊆ X | O ∈ U(x) für alle x ∈ O}.
Dass O tatsächlich eine Toplogie ist, folgt aus den Eigenschaften (a) und (b).
Es bleibt zu zeigen, dass U(x) auch wirklich das Umgebungssystem UO (x) für
jedes x ∈ X bezüglich O ist.
UO (x) ⊆ U(x): Sei U ∈ UO (x) Umgebung eines gewählten x ∈ X bezüglich O.
Dann existiert eine offene Menge O ∈ O mit x ∈ O ⊆ U . Nach Definition von
O gilt auch O ∈ U(y) für alle y ∈ O, also insbesondere für x. Eigenschaft (a)
impliziert nun U ∈ U(x).
e := {y | U ∈ U(y)}.
UO (x) ⊇ U(x): Seien U ∈ U(x) für gewähltes x ∈ X und U
Zu zeigen ist, dass U eine Umgebung von x bezüglich O ist. Es genügt nun,
e, U
e ⊆ U und U
e ∈ O zu zeigen. Aus der Definition von U
e und aus
x ∈ U
e und U
e ⊆ U . Aus Eigenschaft (d) folgt die
Eigenschaft (c) folgen sofort x ∈ U
e , so dass U ∈ U(z) für
Existenz von V ∈ U(y) für beliebig vorgegebenes y ∈ U
e gezeigt und es folgt U
e ∈ U(y) für alle y ∈ U
e.
alle z ∈ V gilt. Damit ist V ⊆ U
e
Das zeigt aber U ∈ O. Insgesamt gilt also U ∈ UO (x).
I.1.10 Definition: Seien (X, O) ein topologischer Raum und x ∈ X. Ein Teilsystem B(x) des Umgebungssystems U(x) heißt Umgebungsbasis von x, falls zu
jedem U ∈ U(x) ein B ∈ B(x) mit B ⊆ U existiert.
I.1.11 Beispiel: Im metrischen
Raum
(X, d) bilden
für alle x ∈ X und n ∈ N
1
die offenen Bälle B 1 (x) = y ∈ X d(x, y) < n eine abzählbare Umgebungsn
basis von x bezüglich der von der Metrik induzierten Topologie.
I.1.12 Definition: Der topologische Raum (X, O) erfüllt das
(a) erste Abzählbarkeitsaxiom, wenn jeder Punkt x ∈ X eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt,
(b) zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn O eine abzählbare Basis hat.
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Topologie I
I.2. Stetigkeit
I.2.1 Definition: Gegeben seien topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ). Eine Abbildung f : X −→ Y heißt stetig, wenn f −1 [O] ∈ OX für alle offenen
Mengen O ∈ OY gilt.
Betrachten wir eine Abbildung f : X −→ X und möchten wir verschiedene Topologien auf dem Definitionsbereich und auf der Bildmenge kenntlich machen,
eX ).
so schreiben wir abkürzend f : (X, OX ) −→ (X, O
I.2.2 Beobachtung: Sind f : (X, OX ) −→ (Y, OY ) und g : (Y, OY ) −→ (Z, OZ )
stetige Abbildungen, so ist auch g ◦ f : (X, OX ) −→ (Z, OZ ) stetig.
I.2.3 Satz: Eine Abbildung f : X −→ Y ist genau dann stetig, wenn f −1 [S]
für eine beliebige Subbasis SY von OY und alle S ∈ SY eine offene Menge in
(X, OX ) ist.
Beweis: Sei SY eine Subbasis von OY .
⇒: Die Behauptung folgt sofort aus SY ⊆ OY .
⇐: Sei A ∈ OY . Dann gibt es Ai,k ∈ SY mit
S Tji
A = i∈I
A
k=1 i,k
für eine geeignete Indexmenge I und natürliche Zahlen ji für alle i ∈ I. Da
allgemein für Abbildungen
h S T
i S T
ji
ji
−1 [A ]
f −1 [A] = f −1
=
f
A
i,k
i∈I
i∈I
k=1
k=1 i,k
gilt, folgt f −1 [A] ∈ OX aus f −1 [S] ∈ OX für alle S ∈ SY .
eX Topologien auf X, dann heißt OX feiner
I.2.4 Definition: Sind OX und O
eX ⊆ OX gilt. Wir sagen auch, dass O
eX gröber als OX ist.
als ÕX , wenn O
I.2.5 Lemma: Seien (X, OX ), (X, ÕX ) gegeben. Die Topologie OX ist genau
dann feiner als ÕX , wenn IdX : (X, OX ) −→ (X, ÕX ) stetig ist.
Beweis: Die Stetigkeit der Identität IdX : (X, OX ) −→ (X, ÕX ) ist äquivalent
zu der Aussage O ∈ ÕX impliziert O ∈ OX .
I.2.6 Definition: Seien topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ) gegeben. Eine Abbildung f : X −→ Y heißt offen, falls f [O] ∈ OY für alle O ∈ OX gilt.
I.2.7 Satz: Eine Abbildung f : X −→ Y ist genau dann offen, wenn f [B] ∈ OY
für eine beliebige Basis BX von OX und alle B ∈ BX gilt.
Beweis: Folge der Beweisidee zu Satz I.2.3.
I.2.8 Bemerkung: In Satz I.2.7 können wir die Basis BX nicht durch eine
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I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
Subbasis SX ersetzen, da im Allgemeinen f [A ∩ B] ⊂ f [A] ∩ f [B] gilt.
I.2.9 Definition: Seien (X, OX ) und (Y, OY ) topologische Räume. Eine bijektive Abbildung f : X −→ Y heißt Homöomorphismus, wenn f und f −1 stetig
sind. Existiert ein Homöomorphismus zwischen X und Y , so heißen die topologischen Räume (X, OX ) und (Y, OY )homöomorph.
Eine wichtige Frage in der Topologie ist es zu entscheiden, ob zwei Räume
homöomorph sind.
I.2.10 Definition: Seien topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ) gegeben.
Eine Abbildung f : X −→ Y heißt stetig in x ∈ X, wenn das Urbild f −1 [U ] für
jede Umgebung U von f (x) eine Umgebung von x ist.
I.2.11 Satz: Eine Abbildung f : X −→ Y ist genau dann stetig, wenn f in
jedem x ∈ (X, OX ) stetig ist.
I.2.12 Satz: Eine Abbildung f : X −→ Y ist genau dann stetig in x ∈ (X, OX ),
wenn zu jeder Umgebung V von f (x) eine Umgebung U von x mit f [U ] ⊆ V
existiert.
Beweis: Seien x ∈ X und V eine Umgebung von f (x).
⇒: Aus der Stetigkeit von f folgt, dass f −1 [V ] eine Umgebung von x ist. Setze
U = f −1 [V ].
⇐: Sei U eine Umgebung von x mit f [U ] ⊆ V . Dann gilt auch f −1 [V ] ⊇ U und
somit ist f −1 [V ] eine Umgebung von x.
I.2.13 Bemerkung: Das Analogon der punktweisen Definition I.2.10 der Stetigkeit ist die übliche Definition der Stetigkeit in der Analysis und in der Theorie der metrischen Räume. Tatsächlich gilt für metrische Räume (X, dX ) und
(Y, dY ) mit induzierten Topologien OX und OY , dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) Die Abbildung f : (X, dX ) −→ (Y, dY ) ist stetig in x ∈ X.
(b) Die Abbildung f : (X, OX ) −→ (Y, OY ) ist stetig in x ∈ X.
Beweis: Nach Satz I.2.12 genügt es, die topologische Stetigkeit in x bezüglich
eines Umgebungssystems oder einer Umgebungsbasis zu betrachten.
⇒: Sei V eine Umgebung von f (x). Dann existiert ein ε > 0, so dass der offene
ε-Ball Bε (f (x)) vollständig in V enthalten ist. Aus der Stetigkeit in metrischen
Räumen folgt nun, dass ein δ > 0 mit f (Bδ (x)) ⊆ Bε (f (x)) ⊆ V existiert.
⇐: Sei ε > 0 gegeben. Da Bε (f (x)) eine Umgebung von f (x) ist, folgt aus der
Stetigkeit von f in x die Existenz einer Umgebung U von x mit f [U ] ⊆ Bε (f (x)).
Da U eine Umgebung von x ist, existiert ein δ > 0 mit Bδ (x) ⊆ U . Somit gilt
f (Bδ (x)) ⊆ Bε (f (x)).
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Topologie I
I.2.14 Bemerkung: Oft genügt es (und oft ist es bequemer) eine Eigenschaft
lediglich für eine Umgebungsbasis oder ein Umgebungssystem statt für das gesamte System OX offener Mengen nachzuweisen. Der Beweis von I.2.13 kann
beispielsweise auf folgende Situation angepasst werden:
Seien f : (X, Ox ) −→ (Y, OY ) eine Funktion und x ∈ X. Seien weiterhin B und B 0 Umgebungsbasen für x und f (x). Die Abbildung f
ist genau dann stetig in x, wenn es zu jedem V ∈ B 0 ein U ∈ B mit
f [U ] ⊆ V gibt.
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I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.3. Abgeschlossene Mengen
I.3.1 Definition: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum, M ⊆ X und x ∈ X.
(a) M ist eine abgeschlossene Menge von (X, OX ), falls X \ M ∈ OX .
(b) x ist ein Berührpunkt von M , falls jede Umgebung von x einen nicht leeren
Durchschnitt mit M hat.
(c) Der Abschluß M = cl(M ) von M ist die Menge aller Berührpunkte von M .
(d) x heißt innerer Punkt von M , falls M Umgebung von x ist.
(e) Das Innere Int(M ) = M̊ ist die Menge aller inneren Punkte von M .
(f ) x ist ein Randpunkt von M , wenn x Berührpunkt von M und X \ M ist.
(g) Der Rand ∂M von M ist die Menge aller Randpunkte von M .
(h) M ist dicht in X, wenn M = X.
(i) M ist nirgends dicht, wenn Int(M ) = ∅.
Da die Beweise der nächsten beiden Sätze lediglich auf den Rechenregeln für
Komplementbildung in Verbindung mit Durchschnitten und Vereinigungen basieren, werden sie ausgelassen.
I.3.2 Satz: Für jeden topologischen Raum (X, OX ) gilt:
(a) Beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
(b) Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
Der folgende Satz zeigt uns, dass eine Topologie auch die Angabe der abgeschlossenen Mengen charakterisiert wird.
I.3.3 Satz: Seien X eine Menge, O ⊆ P(X) und A := {M ⊆ X | X \ M ∈ O}.
Dann definiert O genau dann eine Topologie auf X, wenn gilt:T
(a) Ist I eine Indexmenge und Ai ∈ A für alle
S i ∈ I, so folgt i∈I Ai ∈ A.
(b) Sind A1 , ..., An ∈ A für n ∈ N0 , so folgt ni=1 Ai ∈ A.
I.3.4 Definition: Eine Abbildung f : (X, OX ) −→ (Y, OY ) heißt genau dann
abgeschlossen, wenn für alle abgeschlossenen Mengen A ⊆ X auch f [A] abgeschlossen ist.
I.3.5 Satz: Eine Abbildung f : (X, OX ) −→ (Y, OY ) ist genau dann stetig,
wenn für alle abgeschlossenen Mengen A ⊆ Y auch f −1 [A] abgeschlossen ist.
Beweis: Ist A ⊆ Y abgeschlossen, so ist nach Definition Y \ A offen. Weiterhin
gilt:
f −1 [Y \ A] = f −1 [Y ] \ f −1 [A] = X \ f −1 [A].
⇒: Ist f stetig, so ist X \ f −1 [A] offen und somit f −1 [A] abgeschlossen.
⇐: Ist f −1 [A] abgeschlossen, so ist X \ f −1 [A] offen in (X, OX ) und somit ist
f −1 [Y \ A] offen in (X, OX ). Das bedeutet gerade, dass f stetig ist.
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Topologie I
I.4. Unterräume & endliche Produkte
I.4.1 Satz und Definition: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum, Y ⊆ X
und OY := {O ∩ Y |O ∈ OX }.
Dann ist (Y, OY ) ein topologischer Raum, den wir auch Unterraum von (X, OX )
nennen. OY heißt die Unterraumtopologie oder induzierte Topologie (gelegentlich auch Spurtopologie) von Y in X.
I.4.2 Bemerkung: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum und Y ein Unterraum von X.
(a) Offensichtlich ist MY ⊆ Y eine offene Menge von Y , falls MY = MX ∩ Y
für eine offene Menge MX ⊆ X. Offene Teilmengen von (Y, OY ) sind im
Allgemeinen nicht offen in (X, OX ). Dies gilt jedoch, falls Y offen in X
ist. Diese Aussagen gelten entsprechend, wenn wir stets offen durch abgeschlossen ersetzen.
(b) Die Unterraumtopologie von Y ist die gröbste Topologie auf Y , so dass die
Inklusionsabbildung i : Y −→ X mit y 7−→ y stetig ist.
I.4.3 Lemma: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum, Y ⊆ X ein Unterraum
mit der Spurtopologie OY , i : Y −→ X die Inklusion und g : Z −→ Y für einen
topologischen Raum (Z, OZ ).
Dann ist g genau dann stetig, wenn i ◦ g : Z −→ X stetig ist.
Beweis:
⇒: Ist g stetig, so folgt mit Teil (b) von Bemerkung I.4.2 die Stetigkeit von i ◦ g.
⇐: Sei i◦g stetig. Dann gilt nach Definition der Stetigkeit, dass (i◦g)−1 [O] ∈ OZ
für alle O ∈ OX gilt. Weiterhin gilt
g −1 [O ∩ Y ] = g −1 [i−1 [O]] = (i ◦ g)−1 [O] ∈ OZ für alle O ∈ OX .
Da jede offene Menge von Y von der Form O ∩ Y für ein O ∈ OX ist, ist die
Stetigkeit von g gezeigt.
I.4.4 Definition: Seien (X, OX ) und (Y, OY ) topologische Räume. Eine Abbildung f : X −→ Y heißt Einbettung von X in Y , wenn f : X → Im(f ) ein
Homöomorphismus von X auf den Unterraum Im(f ) von Y ist.
I.4.5 Satz: Seien (X, OX ) und (Y, OY ) topologische Räume. Eine Abbildung
f : X −→ Y ist genau dann eine Einbettung, wenn f injektiv und stetig ist
und f [U ] für alle U ∈ OX offen im Unterraum Im(f ) ist.
I.4.6 Satz und Definition: Seien (X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume. Die
Produkttopologie OX×Y auf dem kartesischen Produkt X × Y ist die durch das
Mengensystem
BX×Y := {U × V | U ∈ OX , V ∈ OY }
definierte Topologie mit Basis BX×Y . Wir nennen (X × Y, OX×Y ) das Produkt
von (X, OX ) und (Y, OY ) und schreiben dafür auch kurz X × Y .
10
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
Beweis: Man rechnet nach, dass die Bedingungen an das Mengensystem BX×Y
aus Satz und Definition I.1.6 erfüllt sind.
I.4.7 Bemerkung: Damit haben wir auch endliche Produkte von topologischen
Räumen durch wiederholtes Anwenden von Satz und Definition I.4.6 definiert.
Die Konstruktion ist in folgendem Sinn mit der Konstruktion eines Produkts
endlich vieler metrischer Räume verträglich. Sind (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume, so kann auf dem kartesischen Produkt X ×Y eine Produktmetrik d
definiert werden. Eine mögliche Definition ist
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) := max{dX (x1 , x2 ), dY (y1 , y2 )},
wobei andere Wahlen, die äquivalente Metriken liefern, genauso gut sind. Wir
können nun die von der gewählten Produktmetrik d induzierte Topologie mit der
in Definition I.4.6 definierten Produkttopologie der von den Metriken induzierten Topologien vergleichen. Es stellt sich heraus, dass beide Topologien gleich
sind. Für eine endliche Indexmenge I kommutiert somit das Diagramm:
(Xi , di ) für i ∈ I
metrischer Raum
Produkt
bilden
O
O
/o von
/o /o Metrik
/o /o /o /o /
ind. Topologie
(Xi , OXi ) für i ∈ I
topologischer Raum
O
O
Q
Q
( i∈I Xi , i∈I di )
metrischer Raum
/o von
/o /o Metrik
/o /o /o /o /
ind. Topologie
O Produkt
O bilden
Q
( i∈I Xi , OQi∈I Xi )
topologischer Raum
Wir bemerken, dass diese Konstruktion insbesondere das Produkt Rn × Rm als
Spezialfall enthält, wobei natürlich statt obiger Metrik die äquivalente Metrik
p
e 1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
d((x
gewählt wird, wenn auf die euklidische Struktur wert gelegt wird.
Ist I abzählbar,
so definieren wir auf dem abzählbar-unendlichen kartesischen
Q
Produkt i∈I Xi folgende Metrik:
∞
X
dI (xi )i∈I , (yi )i∈I :=
di (xi , yi )
.
i+1
2 (1 + di (xi , yi ))
i=0
Wir haben somit auch eine Topologie OI auf Πi∈I Xi , die von der Metrik dI
induziert ist. Im nächsten Abschnitt werden wir eine Produkttopologie O auf
Q
i∈I Xi für beliebige Indexmengen I und beliebige topologische Räume (Xi , Oi )
definieren. Diese Q
Produkttopologie O hat die Eigenschaft, dass sie mit der von
der Metrik d auf i∈I Xi induzierten Topologie OI übereinstimmt, so lange die
Menge I endlich oder abzählbar ist und die induzierten Topologien
Q zu (Xi , di )
betrachtet werden. Es gilt sogar, dass das kartesische Produkt i∈I Xi (versehen mit der zu definierenden Produkttopologie) metrisierbarer Räume Xi genau
dann metrisierbar ist, wenn I endlich oder abzählbar ist, [2, Korollar 10.18]. In
Kapitel 10 von [2] finden sich weitere sogenannte Metrisationssätze, die Kriterien an die Hand geben, wann ein topologischer Raum metrisierbar ist.
11
Topologie I
I.4.8 Lemma: Für topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ) ist
S := {O × Y | O ∈ OX } ∪ {X × O | O ∈ OY }
eine Subbasis der Produkttopologie OX×Y auf X × Y .
I.4.9 Lemma: Für topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ) seien
p1 : X × Y −→ X
und
p2 : X × Y −→ Y
(x, y) 7−→ x
(x, y) 7−→ y
die kanonischen Projektionen. Dann ist die Produkttopologie OX×Y auf X × Y
die gröbste Topologie, so dass p1 und p2 stetig sind. Weiterhin sind die kanonischen Projektionen offen.
I.4.10 Satz: Für topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ) ist die Produkttopologie OX×Y die feinste Topologie auf X × Y , so dass für alle topologischen
Räume (Z, OZ ) und alle stetigen Abbildungen f : Z −→ X und g : Z −→ Y die
Abbildung (f, g) : Z −→ X × Y mit (f, g)(z) = (f (z), g(z)) stetig ist.
Beweis: Wir zeigen, dass die Produkttopologie diese Eigenschaft besitzt und die
einzige Topologie mit dieser Eigenschaft ist.
1. (X × Y, OX×Y ) hat diese Eigenschaft:
Nach Satz I.2.3 genügt es, Urbilder einer Subbasis von X × Y zu betrachten.
Nach Lemma I.4.8 können wir O × Y mit O ∈ OX oder X × O mit O ∈ OY
wählen. O.B.d.A. betrachten wir O × Y mit O ∈ OX . Nun ist
(f, g)−1 [O × Y ] = f −1 [O]
offen, da f stetig ist.
2. Sei O eine von OX×Y verschiedene Topologie auf X × Y , so dass die Abbildung (f, g) stetig ist. Betrachte die Identitätsabbildung
Id : (X × Y, OX×Y ) −→ (X × Y, O)
(x, y) 7−→ (x, y).
Nach Lemma I.4.9 sind die Abbildungen p1 : (X × Y, OX×Y ) −→ (X, OX )
und p2 : (X × Y, OX×Y ) −→ (Y, OY ) stetig. Da Id = (p1 , p2 ) gilt, ist Id
stetig. Nach Lemma I.2.5 ist die Topologie OX×Y somit feiner als O.
I.4.11 Korollar: Für beliebige topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ) ist
die Produkttopologie OX×Y die einzige Topologie auf X × Y , so dass gilt:
(a) Die kanonischen Projektionen auf die Faktoren X und Y sind stetig.
(b) Für einen beliebigen topologischen Raum (Z, OZ ) und beliebige stetige Abbildungen f : Z −→ X und g : Z −→ Y ist die Abbildung (f, g) : Z −→ X × Y
mit z 7−→ (f (z), g(z)) stetig.
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I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.5. Konstruktion weiterer topologischer Räume:
Initialtopologie
I.5.1 Definition: Seien X und I Mengen. Weiter seien für i ∈ I topologische
Räume (Yi , Oi ) und Abbildungen fi : X −→ Yi gegeben. Eine Topologie T auf X
heißt Initialtopologie bzgl. (fi )i∈I , falls für jeden topologischen Raum (Z, OZ )
und jede Abbildung g : Z −→ X gilt:
Die Abbildung g : Z −→ X ist genau dann stetig, wenn für jedes i ∈ I
die Abbildung fi ◦ g : Z −→ Yi stetig ist.
Wir notieren dies schematisch wie folgt
g
/ (X, T )
KKK
KKK
fi
K
fi ◦g KKK%
(Z, OZ )
(Yi , Oi )
und sagen, dass obiges Diagramm kommutiert.
I.5.2 Beispiel:
(a) Ist (X, O) ein topologischer Raum und Y ⊆ X, so ist die Unterraumtopologie auf Y aus Definition I.4.1 eine Initialtopologie bezüglich der Inklusionsabbildung i : Y −→ X (hier ist also |I| = 1). Dies ist gerade die Aussage
von Lemma I.4.3.
(b) Für topologische Räume (X, OX ) und (Y, OY ) ist die Produkttopologie OX×Y
von X ×Y aus Definition I.4.6 die Initialtopologie bezüglich der kanonischen
Projektionen p1 : X ×Y −→ X und p2 : X ×Y −→ Y . Das folgt aus der Aussage von Korollar I.4.11. Eine entsprechende Ausssage gilt natürlich für die
iterierte Produkttopologie von (Xi , Oi )i∈I wobei I eine endliche Indexmenge
ist.
(c) Das reziproke Bild der Topologie OY von Y bezüglich f : X −→ Y ist die
gröbste Topologie OX auf X, für die f stetig ist. OX besteht offenbar genau
aus den Urbildern f −1 [O] für O ∈ OY . Dies ist ein weiteres Beispiel für
eine Initialtopologie wie Satz I.5.3 zeigt.
Der folgende Satz garantiert uns, dass die Abbildungen fi , die zur Definition
der Initialtopologie benötigt werden, aus topologischer Sicht immer stetige Abbildungen sind. Damit folgt aus der Stetigkeit einer Abbildung g : Z −→ X
natürlich sofort die Stetigkeit der Abbildungen fi ◦ g für alle i ∈ I. Der Satz
geht aber darüber hinaus, da er uns sagt, dass die Initialtopologie die gröbste
Topologie ist, bezüglich der alle fi stetig sind. Dies ermöglicht uns den Rückschluß auf die Stetigkeit von g aus der Stetigkeit der fi und der fi ◦ g. Denn im
Allgemeinen folgt aus der Stetigkeit der fi : X −→ Yi und der fi ◦ g : Z −→ Yi
nicht die Stetigkeit von g : Z −→ X.
I.5.3 Satz: Existiert eine Initialtopologie T auf X bezüglich der Abbildungen (fi )i∈I , so ist T die gröbste Topologie auf X bezüglich der jede Abbildung
fi : X −→ Yi mit i ∈ I stetig ist. Insbesondere ist T eindeutig bestimmt.
13
Topologie I
Beweis: Die Stetigkeit von fi : X −→ Yi für i ∈ I ist einfach nachzuweisen.
Wähle (Z, OZ ) = (X, T ) und g = id : X −→ X.
Um zu zeigen, dass T die gröbste Topologie mit der genannten Eigenschaft ist,
nehmen wir an, dass eine Topologie O auf X existiert, für die jedes fi : X −→ Yi
stetig ist. Sei g : (X, O) −→ (X, T ) die Identität g(x) = x. Nach Wahl von O
ist nun fi ◦ g für alle i ∈ I stetig, somit ist g stetig, da T die Initialtopologie
bezüglich (fi )i∈I ist. Damit ist nach Lemma I.2.5 O feiner als T .
I.5.4 Satz: Seien X eine Menge, I eine Indexmenge, (Yi , Oi )i∈I topologische
Räume und fi : X −→ Yi Abbildungen für jedes i ∈ I. Setze
S := fi−1 [O] O ⊆ Yi offen .
Dann ist
OX :=
M ist beliebige Vereinigung endlicher
M ⊆ X Durchschnitte von Elementen aus S
eine Topologie auf X mit Subbasis S. Insbesondere ist OX Initialtopologie von
X bezüglich (fi )i∈I .
Beweis: Dass OS
X eine Topologie auf X definiert rechnet man leicht nach: Offensichtlich ist k∈K
Tn Ok ∈ OX , falls K eine Indexmenge und Ok ∈ OX für alle
k ∈ K. Ebenso ist i=1
T Oi ∈ OX klar, falls n ∈TN und Oi ∈ OX für i ∈ {1, ..., n}.
Der triviale Schnitt i∈∅ Oi liegt in OX , da i∈∅ Oi = X = fk−1 [Y ] für beliebiges k ∈ I gilt.
Wir zeigen nun, dass OX die Initialtopologie auf X bezüglich (fi )i∈I ist.
⇐: Sei (Z, OZ ) ein topologischer Raum und g : Z −→ X eine Abbildung. Ist g
stetig, so folgt die Stetigkeit von fi ◦ g für alle i ∈ I aus Bemerkung I.2.2, da
nach Definition von OX die Abbildung fi für jedes i ∈ I stetig ist.
⇒: Sei nun fi ◦ g für jedes i ∈ I stetig. Dann existiert für S ∈ S ein i0 ∈ I und
O ∈ Oi0 mit S = fi−1 [O]. Nun folgt aus der Stetigkeit von fi0 ◦ g:
g −1 [S] = g −1 [fi−1
[O]] = (fi0 ◦ g)−1 [O] ∈ OZ .
0
Nach Satz I.2.3 ist dann g stetig.
I.5.5 Definition:
(a) Für beliebige Mengen I und Mi , i ∈ I, ist das kartesische Produkt
Q
S
x(i) ∈ Mi für alle i ∈ I .
i∈I Mi := x : I −→
i∈I Mi
S
Hierbei
bezeichnet i∈I Mi die Vereinigung der Mengen. Ein Element von
Q
wir
Qi∈I Mi schreiben
Q oft als (xi )i∈I . Ist Ai ⊆ Mi , so schreiben wir auch
x(i) ∈ Ai für alle i ∈ I . Gilt Mi = M für
i∈I Ai für (xi ) ∈
i∈I Mi
Q
I
alle i ∈ I, so ist es weit verbreitet
Q M statt i∈I M zu schreiben.
(b) Für das kartesische Produkt i∈I Xi definieren wir zu jedem i ∈ I eine
14
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
kanonische Projektion
pi :
Y
Xk −→ Xi
k∈I
(xk )k∈I 7−→ xi
Q
(c) Das kartesische Produkt i∈I Xi topologischer Räume (Xi , Oi ) versehen
mit der Initialtopologie T bezüglich der kanonischen Projektionen wird Produktraum der (Xi , Oi ) genannt. Die Topologie T wird
Q auch Produkttopologie
Q genannt. Wir schreiben für den Produktraum i∈I (Xi , Oi ) verkürzend
Indexmenge, so schreiben wir
i∈I Xi . Ist I = {1, 2, ..., n} eine endliche
Q
wie in I.4.6 auch X1 × ... × Xn statt i∈I Xi .
I.5.6 Lemma: Seien I eine beliebige Indexmenge und (Xi , Oi ), i ∈ I topologische Räume. Dann ist
Oi ∈ Oi für alle i ∈ I und es existiert
Q
S :=
i∈I Oi ein k ∈ I, so dass O = X für ` ∈ I \ {k}
`
`
eine Subbasis und
Oi ∈ Oi für alle i ∈ I und
B :=
i∈I Oi O = X für fast alle k ∈ I
k
k
Q
eine Basis der Produkttopologie von i∈I Xi .
Q
Q
Beweis: Ist pk : i∈I Xi −→ Xk die kanonische Projektion auf den k-ten Faktor
und O ∈ Ok , so ist
(
Q
O, i = k,
mit Oi =
p−1
i∈I Oi
k [O] =
Xj , sonst.
Dieses Mengensystem ist gerade S und bildet nach Satz I.5.4 eine Subbasis der
Initialtopologie. Jedes Element von B lässt sich als endlicher Durchschnitt von
Elementen aus S schreiben und jeder endliche Schnitt von Elementen aus S ist
offensichtlich in B.
I.5.7 Bemerkung:
(a) Die Elemente der in Lemma I.5.6 beschriebenen Basis B werden auch Elementarmengen der Produkttopologie genannt.
(b) Die kanonische Projektion pi ist für alle i ∈ I offen.
(c) fast alle“ in der Beschreibung von B bedeutet Qalle bis auf endlich viele“.
”
”
(d) Gilt Oi 6= Xi und Oi ∈ Oi für
Qalle i ∈ I, so ist i∈I Oi keine offene Menge
in der Produkttopologie von i∈I
Q Xi .
(e) Auf dem kartesischen Produkt i∈I Xi von topologischen Räumen (Xi , Oi )
können wir selbstverständlich das Mengensystem
Q
Oi ∈ Oi für alle i ∈ I
Be :=
O
i
i∈I
betrachten. Es gibt genau eine Topologie O, die das Mengensystem Be als
Basis besitzt, diese Topologie wird auch Boxtopologie der Xi genannt. Of-
15
Topologie I
fentsichtlich sind Produkttopologie und Boxtopologie im Allgemeinen verschieden.
I.5.8 Satz: Sei I eine Indexmenge. Weiter seien für alle i ∈ I topologische
Räume (Xi , Oi ) und (Yi , Ti ) mit Xi 6= ∅ und Abbildungen fi : Xi −→ Yi gegeben.
Die Abbildung
Q
Q
f : i∈I Xi −→ i∈I Yi
mit (xk )i∈I 7−→ (fi (xi ))i∈I ist genau dann stetig, wenn alle fi stetig sind.
Beweis: Bezeichnen wir für i ∈ I die kanonischen Projektionen mit
Q
Q
pi : i∈I Xi −→ Xi und qi : i∈I Yi −→ Yi ,
so erhalten wir das folgende kommutative Diagramm:
Q
Q
f
/
i∈I (Xi , Oi )
i∈I (Yi , Ti )
PPP
PPPqk ◦f
PPP
qk
fi ◦pk PPP(
/ (Yk , Tk )
(Xk , Ok )
pk
fk
⇒: Ist f stetig, so ist auch qk ◦ f stetig, da die kanonischen
Projektionen stetig
sind. Wegen fk ◦ pk = qk ◦ f ist somit für O ∈ Tk auch pk (qk ◦ f )−1 [O] ∈ Ok ,
da pk offen ist. Damit ist fk stetig.
⇐: Ist fi für alle i ∈ I stetig, so ist auch fk ◦ pk für alle kQ∈ I stetig. Aus
qk ◦ f = fk ◦ pk und der Definition der Produkttopologie auf i∈I Yi folgt nun,
dass f stetig ist.
16
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.6. Erste Eigenschaften: Zusammenhangsbegriffe
I.6.1 Definition:
(a) Ein topologischer Raum (X, OX ) heißt zusammenhängend, wenn X und ∅
die einzigen offen und abgeschlossen Mengen der Topologie OX sind.
(b) Eine Teilmenge A ⊆ X von (X, OX ) heißt zusammenhängend, wenn sie
bezüglich der induzierten Topologie zusammenhängend ist.
I.6.2 Bemerkung: Eine äquivalente Charakterisierung zusammenhängender
Räume ist offensichtlich die folgende Aussage:
Ein topologischer Raum (X, OX ) ist zusammenhängend, wenn sich X
nicht als disjunkte Vereinigung von zwei offenen und nicht leeren
Mengen darstellen lässt.
In Definition I.6.1 sind die Begriffe offen und abgeschlossen gleichwertig. Die
gerade formulierte Charakterisierung ändert sich nicht, falls offen“ durch ab”
”
geschlossen“ ersetzt wird. An einer Zerlegung X = A t B des nicht zusammenhängenden Raumes (X, OX ) in nicht leere, offene und disjunkte Mengen A
und B sehen wir, dass die Topologie OX vollständig durch die Spurtopologien
auf A und B bestimmt wird. Eine Teilmenge O ⊆ X ist genau dann offen, falls
O∩A in A und O∩B in B offen sind. Aussagen über die Topologie von X lassen
sich also aus den Spurtopologien von A und B rekonstruieren. Man betrachtet
deshalb oft A und B einzeln oder macht Aussagen über zusammenhängende
Räume, wenn man aus diesen die Aussagen für nicht zusammenhängende rekonstruieren kann.
I.6.3 Beispiele:
(a) (X, {∅, X}) ist zusammenhängend.
(b) (X, Odis ) ist genau dann zusammenhängend, wenn X nur aus einem Punkt
besteht.
(c) R \ {0} mit der Spurtopologie von (R, Onat ) ist nicht zusammenhängend,
denn R \ {0} = ] − ∞; 0[ ∪ ]0; ∞[ ist eine disjunkte Zerlegung in nicht leere,
offene Mengen.
(d) Offene Intervalle I = ]a; b[ ⊂ (R, Onat ) sind zusammenhängend.
Beweis (durch Widerspruch): Angenommen I =]a; b[ wäre nicht zusammenhängend. Dann existieren disjunkte Mengen O1 , O2 ∈ Onat mit
O1 ∩ I = U 6= ∅,
O2 ∩ I = V 6= ∅
und
I =U ∪V.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir u ∈ U und v ∈ V mit
u < v annehmen. Setzen wir S := {s ∈ I | [u; s] ⊂ U } und s0 := sup S, so
gilt entweder s0 ∈ U oder s0 ∈ V . Wir unterscheiden nun diese Fälle.
s0 ∈ U : Dann existiert ε > 0 mit [s0 − ε; s0 + ε] ⊂ U , dies widerspricht
der Supremumseigenschaft von s0 .
(s0 ∈ V ): Dann existiert ε > 0 mit [s0 − ε; s0 + ε] ⊂ V , dies widerspricht
der Supremumseigenschaft von s0 .
I.6.4 Proposition: Sei (X, OX ) ein topologischer Raum. Ist A ⊂ X zusammenhängend, dann ist jedes B ⊂ X mit A ⊆ B ⊆ A zusammenhängend.
17
Topologie I
Beweis: Angenommen ein solches B wäre nicht zusammenhängend. Dann gäbe
es in X offene Mengen O1 und O2 mit
(B ∩ O1 ) ∪ (B ∩ O2 ) = B,
B ∩ O1 ∩ O2 = ∅
und B ∩ Oi 6= ∅
für i ∈ {1, 2}. Dann folgt
(A ∩ O1 ) ∪ (A ∩ O2 ) = A
und
A ∩ O1 ∩ O2 = ∅.
Für b1 ∈ B ∩ O1 und b2 ∈ B ∩ O2 gilt nach Voraussetzung b1 , b2 ∈ A. Folglich
gilt für alle O ∈ OX mit bi ∈ O auch O ∩ A 6= ∅, i ∈ {1; 2}. Insbesondere gilt
Oi ∩ A 6= ∅ und es folgt, dass A nicht zusammenhängend ist.
I.6.5 Korollar: Sei (X, OX ) ein topologischer Raum. Ist A ⊆ X dicht und
zusammenhängend, so ist X zusammenhängend.
I.6.6 Satz: Ist X zusammenhängend und f : X −→ Y stetig, dann ist f [X]
zusammenhängend.
Beweis: Angenommen f [X] wäre nicht zusammenhängend. Dann gäbe es in OY
offene Mengen O1 und O2 mit
O1 ∩ O2 ⊃ f [X],
Oi ∩ f [X] 6= ∅
und
O1 ∩ O2 ∩ f [X] = ∅.
Dann sind f −1 [O1 ] und f −1 [O2 ] nicht leer, disjunkt und offen in X. Weiter gilt
f −1 [O1 ] ∪ f −1 [O2 ] = X.
I.6.7 Satz (verallgemeinerter Zwischenwertsatz):
Seien (X, OX ) zusammenhängend und f : X −→ R stetig, wobei R mit der
natürlichen Topologie Onat versehen sei. Für beliebige a, c ∈ f [X] mit a < c
und jedes b mit a < b < c gilt dann b ∈ f [X].
Beweis: Nach Beispiel I.6.3 und Proposition I.6.4 sind alle offenen, halboffenen
und abgeschlossenen Intervalle von (R, Onat ) zusammenhängend. Weiterhin gilt,
dass dies alle zusammenhängenden Teilmengen von (R, Onat ) sind, die mindestens zwei Punkte enthalten (siehe Übungsaufgaben). Die Behauptung folgt nun
mit Satz I.6.6.
I.6.8 Satz: Seien (X, OX ) ein topologischer
Raum und M ⊆ P(X). Ist jedes
S
M ∈ M zusammenhängend, gilt M ∈M M = X und sind die Elemente von M
paarweise nicht disjunkt, so ist X zusammenhängend.
Beweis: Sei A ⊆ X offen und abgeschlossen. Dann ist A ∩ M in M offen und
abgeschlossen für alle M ∈ M. Angenommen A 6= ∅. Dann gibt es ein M ∈ M
mit A ∩ M 6= ∅ und da M zusammenhängend ist, folgt A ∩ M = M . Nun gilt
für beliebiges M 0 ∈ M sowohl M 0 ∩ M = ∅ als auch M 0 ∩ M ⊂ M 0 ∩ A. Damit
gilt aber wie eben M 0 ∩ A = M 0 . Insgesamt folgt somit A = X.
18
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.6.9 Korollar: Seien Mi zusammenhängende
Teilmengen des topologischen
T
S
Raums (X, OX ) für alle i ∈ I, so dass i∈I Mi 6= ∅. Dann ist auch i∈I Mi
zusammenhängend.
Wir wollen nun zeigen, dass der Produktraum zusammenhängender Räume wieder zusammenhängend ist.
Q
I.6.10 Satz: Sei X =
i∈I Xi der Produktraum der topologischen Räume
(Xi , Oi ) für ein Indexmenge I. Dann ist X genau dann zusammenhängend,
wenn Xi für jedes i ∈ I zusammenhängend ist.
Beweis:
⇒: Ist X zusammenhängend, so folgt für jedes i ∈ I aus der Stetigkeit der
kanonischen Projektion pi : X −→ Xi mit Hilfe von Satz I.6.6, dass Xi zusammenhängend ist.
⇐: Seien nun alle Xi zusammenhängend und a = (ai )i∈I ∈ X. Setze
Es gibt eine zusammenhängende
Z := z = (zi )i∈I .
Menge in X, die a und z enthält
Ist Z zusammenhängend und liegt Z dicht in X, so folgt die Behauptung aus
Korollar I.6.5. Betrachte dazu eine Elementarmenge U des Produktraums X,
mit anderen Worten
T
U = k∈K p−1
k (Uk )
für eine endliche Teilmenge K ⊆ I und geeignete Uk ∈ Ok . Seien nun bk ∈ Uk für
alle k ∈ K. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir K = {1, 2, ..., n}
annehmen. Nun setze
x1 ∈ X1 und
E1 := (xi ) ∈ X xi = ai für i ∈ I \ {1}
x1 = b1 , x2 ∈ X2 und
E2 := (xi ) ∈ X xi = ai für i ∈ I \ {1, 2}
..
.


xi = bi für 1 ≤ i < n 

xn ∈ Xn und
En := (xi ) ∈ X 
xi = ai für i ∈ I \ K 
Nun ist Ei zusammenhängend, da für jedes i ∈ K die Räume Ei und Xi
homöomorph
S sind. Weiterhin gilt Ei ∩ Ei+1 6= ∅. Somit folgt aus Korollar I.6.9,
dass E := k∈K Ek zusammenhängend ist.
Da a ∈ E gilt, folgt E ⊆ Z. Nun gilt E ∩ U 6= ∅ und somit auch Z ∩ U 6= ∅.
Also hat Z nicht leeren Durchschnitt mit jeder Elementarmenge U von X, aber
das heißt gerade, dass E = X und X nach Proposition I.6.4 zusammenhängend
ist.
I.6.11 Definition: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum und x ∈ X. Dann
heißt
19
Topologie I
Kx := x̃ ∈ X
Es existiert eine zusamenhängende
Menge M ⊆ X mit x, x̃ ∈ X
Zusammenhangskomponente von x.
I.6.12 Satz: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum und x, y ∈ X. Dann gilt:
(a) Zu jeder zusammenhängende Menge M ⊆ X gibt es eine Zusammenhangskomponente Z mit M ⊆ Z.
(b) Jede Zusammenhangskomponente ist nicht leer.
(c) X ist disjunkte Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten:
S
X = x∈X Kx und
entweder gilt Kx = Ky oder Kx ∩ Ky = ∅.
(d) Kx ist zusammenhängend und abgeschlossen.
(e) Für alle
T offenen und abgeschlossenen M ⊆ X und x ∈ M gilt: Kx ⊆ M .
M ⊆X
(f ) Kx ⊆
M.
M offen&abg.
Beweis:
(a) – (c) Man rechnet nach, dass
x ∼ y :⇐⇒ Es gibt eine zusammenhängende Menge M mit x, y ∈ M .
eine Äquivalenzrelation ist. Die Aussagen folgen aus der Tatsache, dass die
Zusammenhangskomponenten genau die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation sind.
(d) Kx ist zusammenhängend:
Der Zusammenhang von Kx folgt mit Korollar I.6.9 aus
S
Kx = M ⊆X M .
M zsh.
Kx ist abgeschlossen:
Da nach Proposition I.6.4 mit Kx auch Kx zusammenhängend ist, folgt
sofort Kx = Kx .
(e) Angenommen, dass x ∈ M , M offen und abgeschlossen in (X, OX ) und
M ⊂ Kx gilt. Dann sind entweder M und Kx \ M offen und abgeschlossen
oder M ist leer. Somit ist Kx nicht zusammenhängend.
(f) Die Behauptung folgt aus (e).
I.6.13 Beispiele:
(a) Die Zusammenhangskomponenten von
(b) Für i ∈ N betrachte die Strecken
1
i
si :=
y
R \ {0} sind ] − ∞; 0[ und ]0; ∞[.
0≤y≤1 .
Mit deren Hilfe definieren wir den Unterraum
S
X := {( 00 ) ; ( 01 )} ∪ i∈N si
von (R2 , Onat ). Die Strecken si sind offen und abgeschlossen in X und damit zusammenhängend. Weiterhin gilt
20
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
K( 0 ) = {( 00 )} und K( 0 ) = {( 01 )}.
0
1
Allerdings ist weder K( 0 ) noch K( 0 ) offen in X.
0
1
Sei nun M ⊆ X offen und abgeschlossen mit ( 00 ) ∈ M . Dann schneidet M
fast alle Strecken si , da M offen ist. Nach Satz I.6.12(e) enthält M alle
diese Strecken si . Der Punkt ( 01 ) ist damit Berührpunkt von M in X und
folglich gilt ( 01 ) ∈ M . Damit ist
T
M ⊆X
K( 0 ) 6=
M
M offen & abg.
0
gezeigt.
I.6.14 Definition: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum und I = [0; 1] der
Unterraum von (R, Onat ).
(a) Eine stetige Abbildung f : I −→ X heißt Weg in X. Der Anfangspunkt von
f ist f (0) und der Endpunkt von f ist f (1). Ein Weg heißt geschlossen (oder
auch Schlaufe oder Schleife), falls Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen.
Ist f ein Weg mit Anfangspunkt x und Endpunkt y, so sprechen wir auch
von einem Weg von x nach y“.
”
(b) Der Raum X heißt wegzusammenhängend, falls für alle x, y ∈ X ein Weg f
mit Anfangspunkt x und Endpunkt y existiert.
(c) Die Menge
Kxw = {x̃ ∈ X | Es existiert ein Weg von x nach x̃}
heißt Wegzusammenhangskomponente von x.
I.6.15 Satz: Jeder wegzusammenhängende topologische Raum (X, OX ) ist auch
zusammenhängend.
Beweis: Seien x, y ∈ X beliebig. Dann gibt es einen Weg ω : I −→ X von x
nach y. Da nach Beispiel I.6.3(d) und Proposition I.6.4 der Raum I zusammenhängend ist, ist nach Satz I.6.6 auch ω[I] zusammenhängend. Somit ist
y ∈ Kx gezeigt und X besteht aus einer Wegzusammenhangskomponente.
I.6.16 Beispiele:
(a) (X, Oind ) ist stets wegzusammenhängend.
(b) Übungsaufgaben
I.6.17 Definition: Sei (X, OX ) ein topologischer Raum.
(a) Der Raum X ist lokal zusammenhängend, wenn es zu jedem Punkt x ∈ X
und jeder Umgebung U von x eine zusammenhängende Umgebung V von x
mit V ⊆ U gibt.
(b) Der Raum X ist lokal wegzusammenhängend, wenn zu jedem Punkt x ∈ X
und jeder Umgebung U von x eine wegzusammenhängende Umgebung V
von x mit V ⊆ U gibt.
I.6.18 Beispiele:
(a) R ist lokal zusammenhängend, Q ist nicht lokal zusammenhängend.
21
Topologie I
(b) Für n ∈ N setze
x
y
∈
R2
n∈N Sn
∪
Sn :=
0 ≤ x ≤ t und
nx + y = 1
und betrachte
X :=
S
0
y
∈ R2 0 ≤ y ≤ 1 .
Dann ist X wegzusammenhängend
aber nicht lokal zusammenhängend, da
0
jede Umgebung von 1 fast alle Sn trifft. Weiterhin ist X \ {( 01 )} nicht
2
S
zusammenhängend, aber n∈N Sn ist lokal (weg-)zusammenhängend!
I.6.19 Satz: Die Wegzusammenhangskomponenten eines lokal wegzusammenhängenden topologischer Raumes (X, OX ) sind offen und abgeschlossen und entsprechen genau den Zusammenhangskomponenten.
Beweis: Sei Kxw die Wegzusammenhangskomponente von x ∈ X. Dann existieren für jedes y ∈ Kxw ein Weg von x nach y und eine wegzusammenhängende
Umgebung Uy von y. Insbesondere gibt es eine offene Menge Oy mit Oy ⊆ Uy
und y ∈ Oy . Damit gilt auch Oy ⊆ Kxw , da es für jeden Punkt z ∈ Oy einen
Weg (in Uy aber nicht unbedingt in Oy !) von y nach z gibt und dieser mit einem
Weg von x nach y zu einem Weg von x nach z kombiniert werden kann. Mit
diesen Oy gilt dann aber
S
w
y∈Kxw Oy = Kx .
Damit ist Kxw als offen nachgewiesen.
Definiere nun eine Relation ∼w auf X:
x ∼w y
⇐⇒
Es existiert ein Weg von x nach y in X.
Es ist leicht nachzurechnen, dass ∼w auf X eine Äquivalenzrelation auf X ist
und die ÄquivalenzklassenSgenau die Wegzusammenhangskomponenten von X
sind. Nun ist X \ Kxw = y∈X\Kxw Kyw als Vereinigung offener Mengen offen.
Damit ist gezeigt, dass Kxw abgeschlossen ist.
Nach Satz I.6.19 sind die Wegzusammenhangskomponenten zusammenhängend.
Da die Wegzusammenhangskomponenten als Äquivalenzklassen bezüglich ∼w
paarweise disjunkt sind, folgt, dass jede Zusammenhangskomponente eine dijunkte Vereinigung von Wegzusammenhangskomponenten ist. Da eine Zusammenhangskomponente Z zusammenhängend ist und die Wegzusammenhangskomponenten offen und abgeschlossen in X und Z sind (Z ist abgeschlossen
in X!) sind, kann Z nur die disjunkte Vereinigung einer Wegzusammenhangskomponente sein.
I.6.20 Korollar: Jeder zusammenhängende und lokal wegzusammenhängende
topologische Raum ist wegzusammenhängend.
22
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.7. Weitere Eigenschaften: hausdorffsch & kompakt
Eine Eigenschaft, die für metrische Räume selbstverständlich ist und die wir
oft wie selbstverständlich benutzen wollen, gilt in topologischen Räumen nicht
immer:
I.7.1 Definition: Ein topologischer Raum (X, OX ) ist ein Hausdorff-Raum,
hausdorffsch oder auch T2 -Raum, wenn für je zwei Elemente x1 , x2 ∈ X mit
x1 6= x2 stets offene Mengen O1 und O2 existieren, die xi ∈ Oi , i ∈ {1, 2}, und
O1 ∩ O2 = ∅ erfüllen.
I.7.2 Bemerkung:
(a) Das T in T2 steht für Trennungseigenschaft oder Trennungsaxiom, die 2
deutet an, dass wir noch weitere Trennungseigenschaften/ -axiome sehen
werden...
(b) Metrisierbare topologische Räume X sind stets hausdorffsch. Für x, y ∈ X
mit x 6= y gilt d(x, y) > 0. Sei nun D := d(x, y) und betrachte die offenen
Bälle um x und y mit Radius D
3 . Für diese gilt:
B̊ D (x) ∩ B̊ D (y) = ∅.
3
3
(c) Jeder indiskrete Raum (X, Oind ), der mindestens zwei Elemente enthält, ist
nicht hausdorffsch.
I.7.3 Satz: Das Produkt X × Y der T2 -Räume X und Y ist ein T2 -Raum.
Beweis: Seien (X, OX ) und (Y, OY ) hausdorffsch und (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ X × Y
verschieden. Dann ist x 6= x0 oder y 6= y 0 . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
sei x 6= x0 . Folglich gibt es offene Mengen O ∈ OX und O0 ∈ OX mit x ∈ O,
x0 ∈ O0 und O ∩ O0 = ∅. Nun sind aber auch O × Y und O0 × Y disjunkt, wobei
die erste Menge eine offene Umgebungen von (x, y) und die zweite Menge eine
offene Umgebung von (x0 , y 0 ) in X × Y ist.
I.7.4 Satz: Für einen topologischen Raum (X, OX ) sind äquivalent:
(a) X ist hausdorffsch.
(b) Die Diagonale ∆X = { (x, x) | x ∈ X} ist in X × X abgeschlossen.
Beweis: Ein topologischer Raum X ist genau dann ein T2 -Raum, wenn für alle
Punkte (x1 , x2 ) ∈ X × X \ ∆ Umgebungen U1 ∈ U(x1 ) und U2 ∈ U(x2 ) mit
U1 ∩ U2 = ∅ existieren.
Gilt dies, so existiert auch eine offene Umgebung U1 × U2 von (x1 , x2 ) mit
U1 × U2 ∩ ∆ = ∅. Es folgen (x1 , x2 ) ∈
/ ∆ und ∆ = ∆, also ist ∆ abgeschlossen.
Sei nun ∆ abgeschlossen. Für x1 , x2 ∈ X mit x1 6= x2 gilt (x1 , x2 ) ∈
/ ∆. Dann
existiert eine offene Umgebung U × V von (x1 , x2 ) mit U × V ∩ ∆ = ∅. Die
Umgebungen U von x1 und V von x2 sind folglich offen und disjunkt. Somit
ist X hausdorffsch.
23
Topologie I
I.7.5 Definition: Seien (X, OX ) ein topologischer Raum und M, M0 ⊆ P(X).
S
(a) Das Mengensystem M heißt Überdeckung von X, falls M ∈M M = X. Es
ist eine offene Überdeckung von X, falls M eine Überdeckung von X ist
und M ⊆ OX .
(b) Das Mengensystem M0 ist eine Teilüberdeckung der Überdeckung M von X,
falls M0 eine Überdeckung von X ist und M0 ⊆ M.
I.7.6 Definition: Sei (X, OX ) ein topologischer Raum.
(a) Der Raum X heißt quasikompakt, falls jede offene Überdeckung von X eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.
(b) Der Raum X heißt kompakt, falls X quasikompakt und hausdorffsch ist.
(c) Eine Teilmenge A ⊆ X heißt quasikompakt bzw. kompakt, falls der Unterraum A quasikompakt bzw. kompakt ist.
(d) Ein Unterraum A ⊆ X heißt relativ kompakt, falls A kompakt ist.
I.7.7 Bemerkung: Der Kompaktheitsbegriff wird in der Literatur nicht einheitlich definiert. Einige Autoren nennen Räume kompakt, die in unserer Begriffsbildung lediglich quasikompakt sind. Genaues Lesen ist also angebracht!
I.7.8 Beispiel: Jeder topologische Raum mit nur endlich vielen offenen Mengen
ist quasikompakt.
I.7.9 Satz: Jeder abgeschlossene Unterraum A des quasikompakten Raumes X
ist quasikompakt.
Beweis: Sei M ⊆ P(X) eine offene Überdeckung von A. Betrachte nun
M0 := {U ∈ OX | U ∩ A ∈ M} .
Nach Definition der Unterraumtopologie gibt es zu jedem V ∈ M ein U ∈ M0
mit U ∩ A = V . Damit ist M0 ∪ {X \ A} eine offene Überdeckung von X, zu der
eine endliche Teilüberdeckung M00 existiert. Dann ist {U ∩ A | U ∈ M00 } ⊆ M
eine endliche Teilüberdeckung von A.
I.7.10 Satz: Seien X ein Hausdorff-Raum und K ⊆ X quasikompakt. Dann
existiert zu jedem x ∈ X \ K eine offene Umgebung U von K und eine offene
Umgebung V von x mit U ∩ V = ∅.
Beweis: Da X hausdorffsch ist, existieren zu x ∈ X \ K und y ∈ K offene
Umgebungen Uy von x und Vy von y mit Uy ∩ Vy = ∅. Zu fest gewähltem
x ∈ X \ K und allen y ∈ K wählen wir nun derartige Uy und Vy .
Nun bildet {Vy ∩K}y∈K eine offene Überdeckung von K und da K quasikompakt
0
ist, existiert eine endliche Teilmenge
y ∩K}y∈K 0 eine endliche
SK ⊆ K, so dass {VS
Teilüberdeckung ist. Es gilt K ⊆ y∈K 0 Vy und V := y∈K 0 Vy ist eine offene
Umgebung von K.
T
Weiterhin ist U := y∈K 0 Uy eine offene Umgebung von x. Nach Konstruktion
gilt offensichtlich U ∩ V = ∅.
24
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
I.7.11 Korollar: Jede quasikompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist
abgeschlossen.
I.7.12 Korollar: Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen.
I.7.13 Satz: Sei f : X −→ Y eine stetige und surjektive Abbildung von einem
quasikompakten Raum X in einen beliebigen topologischen Raum Y . Dann ist
auch Y quasikompakt.
Beweis: Sei MY eine offene Überdeckung von Y . Es ist zu zeigen, dass eine
endliche Teilüberdeckung
M0Y von MY existiert.
−1
Betrachte f [U ] U ∈ MY . Dies ist eine offene Überdeckung von X, da
f eine stetige Abbildung ist. Da X quasikompakt
ist,
existiert eine endliche
Teilmenge M0Y von MY , so dass f −1 [U ] U ∈ M0Y eine endliche Teilüberdeckung von f −1 [U ] U ∈ MY ist.
Da f surjektiv ist, folgt wiederum, dass M0Y eine Überdeckung von Y ist, denn
zu jedem y ∈ Y existiert x ∈ X mir f (x) = y und folglich existiert ein U ∈ M0Y
mit x ∈ f −1 [U ], d.h. y = f (x) ∈ U .
I.7.14 Satz: Sei f : X −→ Y eine stetige und surjektive Abbildung von einem
quasikompakten Raum in einen Hausdorff-Raum. Weiter sei g : Y −→ Z eine
Abbildung in einen topologischen Raum Z. Dann ist g stetig, falls g◦f : X −→ Z
stetig ist.
Beweis: Sei g ◦ f stetig und A ⊆ Z abgeschlossen. Dann ist zu zeigen, dass
g −1 [A] abgeschlossen in Y ist.
Aus der Stetigkeit von g ◦ f folgt, dass
M := f −1 g −1 [A] = (g ◦ f )−1 [A]
abgeschlossen ist. Nach Satz I.7.9 ist M quasikompakt und somit ist f [M ] nach
Satz I.7.13 quasikompakt. Nach Korollar I.7.12 ist f [M ] dann abgeschlossen.
Da f nach Voraussetzung surjektiv ist, ist f [M ] = g −1 [A].
I.7.15 Korollar: Ist h : X −→ Y eine stetige und bijektive Abbildung von
einem quasikompakten Raum X in einen Hausdorff-Raum Y , dann ist h ein
Homöomorphismus.
Beweis: Es ist bleibt nur die Stetigkeit von h−1 zu zeigen. Diese folgt aber mit
Satz I.7.14 sofort aus der Stetigkeit von h−1 ◦ h = IdX , wenn wir f = h und
g = h−1 setzen.
I.7.16 Bemerkung: Die Aussage, sowie die Anordnung der Räume und Abbildungen aus obigem Satz erinnert stark an die Definition der Initialtopologie.
25
Topologie I
I.8. Ein Beispiel für Vieles: Cantorsches Diskontinuum
Das Cantorsche Diskontinuum wird rekursiv aus dem Einheitsintervall I = [0; 1]
konstruiert, wobei im k-ten Rekursionsschritt eine Menge Rk von 2k abgeschlossenen Intervallen vorliegt. Der Rekursionsschritt besteht darin, jedes vorliegende Intervall in drei gleichgroße Teilintervalle zu zerlegen und das mittlere (offene) Teilintervall zu entfernen. Praktisch bedeutet dies für die ersten i + 1
Rekursionsschritte R0 , · · · , Ri :
R0 := [0; 1],
R1 := 0; 13 ∪ 23 ; 1
S
= x∈{0;2}1 R1x ,
1 2 1 0; 9 ∪ 9 ; 3 ∪ [ 23 ; 79 ] ∪ [ 89 ; 1]
S
= x∈{0;2}2 R2x ,
R2 :=
..
.
Ri :=
S
x∈{0;2}i
Rix ,
wobei
xP= (x0 , · · · , xk−1 ) ∈ {0; 2}k die Menge Rkx das Intervall
x xfür 1 1≤ k ≤ i und
x`
Λk ; Λk + 3k mit Λxk = 0≤`<k 3`+1
im k-ten Rekursionsschritt bezeichnet.
T
I.8.1 Definition: Es bezeichnen C die Menge i∈N0 Ri ⊂ R und OC die Spurtopologie bezüglich der natürlichen Topologie auf R. Der topologische Raum (C, OC )
heißt Cantorsches Diskontinuum.
Jede Zahl x ∈ [0; 1] läßt sich als p-adischen Bruch darstellen, siehe [1, Abschnitt 6.2]. Bezeichnet [p]0 die Menge {0; 1; 2; 3; · · · ; p}, so erhalten wir für
jede natürliche Zahl p ≥ 2 eine Funktion
0
ϑp−1 : [p − 1]N
0 −→ I
P
(xi )i∈N0 7−→ i≥0
xi
.
pi+1
Die Abbildung ϑp−1 ist surjektiv und lediglich an abzählbar vielen Stellen nicht
injektiv. Die Zahlen x ∈ [0; 1], die mehr als ein Urbild
genau
P haben, besitzen
1
zwei Urbilder und diese stammen von der Identität i≥n pp−1
=
,
siehe
Aufi+1
pn
gabe 1. Wir fassen diese Tatsachen für den Fall triadischer Brüche, das heißt
für p = 3, noch einmal im folgenden Korollar zusammen.
I.8.2 Korollar: Ist c ∈ C so gelten folgende Aussagen:
(a) Für alle n ∈ N0 gilt c ∈ Rn .
(b) Es gibt entweder genau eine oder genau zwei verschiedene triadische Darstellungen von c.
Da wir zeigen werden, dass das Cantorsche Diskontinuum (C, OC ) homöomorph
zu {0; 2}N0 (versehen mit einer geeigneten Topologie) ist, wird die Einschränkung
s̃ von s := ϑ2 auf {0; 2}N0 für uns interessanter sein als die Abbildung s. Zur
26
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
Vereinfachung der Notation schreiben wir ξ oder (xi ) für eine Folge (xi )i∈N0
und zeigen zunächst, dass s̃ eine Bijektion zwischen der Menge {0; 2}N0 und
dem Cantorschen Diskontinuum ist.
I.8.3 Satz: Die Abbildung s̃ ist injektiv und es gilt Im(s̃) = C.
Beweis: Zunächst ist t := s|{0;1}N0 nach Teil (b) der Aufgabe am Ende des
Abschnitts injektiv. Für beliebiges (xi ) ∈ {0; 2}N0 gilt ( x2i ) ∈ {0; 1}N0 . Setzen
wir yi := x2i für i ∈ N0 , so folgt die Injektivität von s̃ aus der Injektivität der
Abbildung s|{0;1}N0 wegen s̃ ((xi )) = 2 · t ((yi )).
Setzen wir
Mn := (xi ) ∈ {0; 1; 2}N0 xi ∈ {0; 2} für i ∈ N0 mit i < n ,
so gilt s [Mn ] = Rn und es folgt die Inklusion
T
T
T
s {0; 2}N0 = s n∈N0 Mn ⊆ n∈N0 s [Mn ] = n∈N0 Rn = C.
Es bleibt, die Inklusion C ⊆ s {0; 2}N0 zu zeigen.
Sei nun c ∈ C ⊆ [0; 1], dann hat c nach Korollar I.8.2 genau eine oder zwei verschiedene triadische Darstellungen. Kommt eine der Darstellungen ohne
P die Zifci
fer 1 aus, so sind wir fertig. Hat c genau eine triadische Darstellung i∈N0 3i+1
und kommt die Ziffer 1 vor, so gibt es einen kleinsten Index k mit ck = 1.
Das bedeutet aber c 6∈ Rk+1 , was Korollar I.8.2
c genau
P (a) cwiderspricht.
P Hat
di
i
zwei verschiedene triadische Darstellungen i∈N0 3i+1 und i∈N0 3i+1 , wobei
in beiden die Ziffer 1 vorkommt, so gibt es jeweils kleinste Indices k und ` mit
ck = 1 und d` = 1. Für m = max{k; `} folgt nun c 6∈ R
m+1 , was
abermals
Korollar I.8.2 (a) widerspricht. Insgesamt folgt nun C ⊆ s {0; 2}N0 .
I.8.4 Korollar: Die Mengen C und R sind gleichmächtig.
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass C und [0; 1] gleichmächtig sind.
Wir definieren nun eine Funktion
[0; 1]. Für c ∈ C folgt aus Satz I.8.3
Pϕ : C −→
ci
eine eindeutige Darstellung c = i∈N0 3i+1
mit ci ∈ {0; 2}. Setze
P
di
mit di := c2i ∈ {0; 1}.
ϕ(c) := i∈N0 2i+1
Da (di ) jede Folge beliebige Folge in {0; 1}N0 sein kann, ist ϕ ist surjektiv.
Gleichzeitig ist ϕ wie sp nicht injektiv. Das Intervall [0; 1] ist damit gleichmächtig
zu einer Teilmenge von C. Offensichtlich ist C auch gleichmächtig zu einer Teilmenge von [0; 1]. Die Behauptung folgt nun mit dem Satz von Cantor, Bernstein
und Schröder.
Mit der richtigen Topologie versehen, sind die beiden topologischen Räume C
und {0; 2}N0 sogar homöomorph. Eine naheliegende und hoffentlich gute Wahl
ist, die Menge {0; 2}N0 als Unterraum des Produktraums {0; 1; 2}N0 aufzufassen,
wobei wir {0; 1; 2} mit der diskreten Topologie versehen. Für diese Wahl zeigen
wir nun die Stetigkeit der Abbildung s.
27
Topologie I
I.8.5 Satz: Die Abbildung s : {0; 1; 2}N0 −→ I mit (xi ) 7−→
xi
i≥0 3i+1
P
ist stetig.
Beweis: Nach Bemerkung I.2.14 genügt es, die Stetigkeit von s bezüglich einer
Umgebungsbasis von ξ = (xi ) ∈ {0; 1; 2}N0 und von s (ξ) ∈ I zu überprüfen.
Wir betrachten nun die folgenden Umgebungsbasen:
(a) Für (xi ) ∈ {0; 1; 2}N0 und n ∈ N0 ist die Menge
n :=
N0 x = y für i ∈ N mit i < n
U(x
(y
)
∈
{0;
1;
2}
i
i
0
i
i)
eine Umgebung von (xi ) und
U(xi ) :=
n
o
n
U(x
n
∈
N
0
i)
eine Umgebungsbasis von (xi ) ∈ {0; 1; 2}N0 .
(b) Da [0; 1] die Spurtopologie von (R, Onat ) trägt, betrachten wir als Umgebungsbasis von s (ξ) die offenen Bälle vom Durchmesser ε > 0
Bε (s(ξ)) = {y ∈ [0; 1] | d (y − s(ξ)) < ε} .
Sei nun ein Element Bε (s (ξ)) der Umgebungsbasis von s (ξ) (oder äquivalent
1
ein ε > 0) gegeben. Wählen wir N > n(ε) mit 3n(ε)
< ε, so folgt für ξ 0 = (x0i ) ∈
N :
U(x
i)
P
P
|x0 −x |
2
1
d s (ξ 0 ) − s ξ ≤ i∈N0 3ii+1i < ∞
i=N 3i+1 = 3N < ε.
Damit ist s stetig in ξ = (xi ).
Da die Bijektion s̃ durch Einschränken von s definiert ist, folgt sofort:
I.8.6 Korollar: s̃ : {0; 2}N −→ C ist bijektiv und stetig.
Um zu zeigen, dass (C, OC ) und {0; 2}N0 tatsächlich homöomorph sind, muss
nun noch die Stetigkeit von s̃−1 nachgewiesen werden. Dazu beschreiben wir
zunächst eine Basis der Topologie von {0; 2}N0 .
I.8.7 Definition: Für n ∈ N0 und x = (x0 , · · · , xn−1 ) ∈ {0; 2}n sei
Vxn := (yi ) ∈ {0; 2}N0 xi = yi für i < n .
I.8.8 Satz: Die Mengen Vxn mit n ∈ N0 und x ∈ {0; 2}n bilden eine Basis der
Topologie auf {0; 2}N0 .
Beweis:
(1) Vxn ist offen in der Spurtopologie, da nur endlich viele yi vorgegeben sind
und Q
{yi } offen in {0; 1; 2} ist.
Q
(2) Sei i∈N0 Oi eine Elementarmenge der Produkttopologie von {0; 2}N0 ,
also ein Element der Basis der Topologie, wie in Lemma I.5.6 beschrieben.
Dann gibt es ein n ∈ N mit Oi = {0; 2} für alle i ∈ N0 mit i ≥ n und es gilt
Q
S
n
N0 Oi =
x∈O1 ×···×On Vx .
28
I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie
Damit ist gezeigt, dass die Vxn eine Basis der Topologie auf {0; 2}N0 bilden.
I.8.9 Satz: Die Abbildung s̃ : {0; 2}N0 −→ C ist ein Homöomorphismus.
Beweis: Wir wissen bereits, dass s̃ eine stetige Bijektion ist. Es bleibt zu zeigen, dass s̃ eine offene Abbildung ist. Es genügt, dies für die Basismengen Vxn
nachzuweisen. Wie im Beweis zu Satz I.8.3 gilt
s̃[Vxn ] = Rxn ∩ C.
Nun ist Rxn offen und abgeschlossen in Rn (I) und damit auch offen in C.
Aufgabe:
Zeige die folgenden Aussagen für eine beliebige natürliche Zahl p ≥ 2:
(a) Jede reelle Zahl z ∈ [0; 1] besitzt höchstens zwei verschiedene Darstellungen
als p-adischen Bruch.
0
(b) Schränken wir die Abbildung ϑp−1 auf [p − 2]N
0 ein, so ist sie injektiv.
Hinweis: Angenommen, es gibt zwei verschiedene Darstellungen
P
P
ai
bi
z = i∈N0 pi+1
= i∈N0 pi+1
.
Dann genügt es, die folgenden drei Fälle zu studieren.
(a) Für jedes n ∈ N exisitieren r, s ∈ N mit r, s > n und ar > 0 und as < p − 1.
(b) Es gibt ein n ∈ N, so dass ar = 0 für alle r > n gilt.
(c) Es gibt ein n ∈ N, so dass ar = p − 1 für alle r > n.
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Literaturverzeichnis
[1] K. Königsberger, Analysis 1, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
[2] B. v. Querenburg, Mengentheoretische Topologie, zweite neubearbeitete
und erweiterte Auflage, Springer-Verlag, Berlin, 1979.