loesung-klausurvorbereitungsblatt
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Übungen zur Einführung in die Topologie
Uni Frankfurt, SoSe 2009
Prof. Dr. A. Werner
Dipl.-Math. M. Häbich
Klausurvorbereitungsblatt
Aufgabe K1: Topologische Räume I
Seien K = { n1 : n ∈ N} ⊂ R und
B = {]a, b[ : a, b ∈ R} ∪ {]a, b[ ∩ (R \ K) : a, b ∈ R}.
Zeigen Sie, dass B die Basis einer Topologie auf R ist. Wir nennen diese die K-Topologie.
Zeigen Sie, dass die K-Topologie feiner als die Standard-Topologie auf R ist. Finden Sie eine Menge,
die abgeschlossen bezüglich der K-Topologie ist, aber nicht bezüglich der Standard-Topologie.
Lösungsvorschlag
Zu zeigen ist, dass der Schnitt von zwei Elementen aus B wieder Vereinigung von Elementen in B
ist. Seien also B1 , B2 ∈ B. Wir unterscheiden folgende Fälle:
1. B1 und B2 sind Intervalle, also Bi = ]ai , bi [. Der Schnitt von zwei offenen Intervallen ist entweder
leer oder wieder ein offenes Intervall, also entweder die leere Vereinigung von Elementen in B
oder selbst wieder in B.
2. Bi = ]ai , bi [ ∩ (R \ K) für i = 1, 2. Dann ist
B1 ∩ B2 = ]a1 , b1 [ ∩ (R \ K) ∩ ]a2 , b2 [ ∩ (R \ K)
= (]a1 , b1 [ ∩ ]a2 , b2 [) ∩ (R \ K)
= U ∩ (R \ K),
wobei U als Schnitt zweier offener Intervalle wie oben entweder die leere Menge oder wieder ein
offenes Intervall ist, sodass B1 ∩ B2 selbst entweder leer ist oder von der Form ]a, b[ ∩ (R \ K),
wie gefordert.
3. Ist B1 = ]a1 , b1 [ und B2 = ]a2 , b2 [ ∩ (R \ K) oder umgekehrt B1 = ]a1 , b1 [ ∩ (R \ K) und
B2 = ]a2 , b2 [, so argumentiert man wie im Fall 2.
Die K-Topologie ist feiner als die Standard-Topologie auf R, denn die offenen Intervalle ]a, b[, a, b ∈ R,
welche eine Basis dieser Topologie bilden, sind per Definition auch offen in der K-Topologie, und
damit ist jede bezüglich der Standard-Topologie offene Menge (als Vereinigung solcher Intervalle)
offen in der K-Topologie.
Die Menge K ist abgeschlossen in der K-Topologie, denn das Komplement R \ K lässt sich schreiben
als Vereinigung von Basismengen
[
[
∪ ]k, k + 1[ .
R \ K = (]−1, 2[ \ K) ∪
]k
−
1,
k[
k∈Z
k≤0
k∈Z
k≥1
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Prof. Dr. A. Werner
Dipl.-Math. M. Häbich
K ist jedoch nicht abgeschlossen in der Standard-Topologie, denn es ist 0 ∈
/ K, aber 0 ∈ K, da jede
-Umgebung ]−, [ um 0 (und somit jede Umgebung um 0) Punkte in K enthält, nämlich alle n1 mit
n ∈ N und n > 1 .
Aufgabe K2: Topologische Räume II
Bestimmen Sie alle Topologien auf der Menge X = {1, 2}.
Lösungsvorschlag
Jede Topologie auf X ist eine Teilmenge der Potenzmenge P(X) = {∅, X, {1}, {2}} und enthält ∅
und X. Neben der diskreten Topologie Tdiskret = P(X) und der trivialen Topologie Ttrivial = {∅, X}
sind die beiden einzigen weiteren Teilmengen von P(X), die ∅ und X enthalten, T1 = {∅, X, {1}}
und T2 = {∅, X, {2}}, und man verifiziert sofort, dass dies tatsächlich Topologien sind.
Aufgabe K3: Stetigkeit
Zeigen Sie: Die Abbildung f : R → R definiert über
(
1 x∈Q
f (x) =
0 sonst
ist in jedem Punkt unstetig.
Lösungsvorschlag
Sei zunächst x ∈ R irrational. f ist stetig in x genau dann, wenn für jede Umgebung U von f (x)
auch f −1 (U ) eine Umgebung von x ist. Da x irrational ist, ist f (x) = 0, und U = − 21 , 21 ist
eine Umgebung von 0. aber f −1 (U ) = R \ Q ist keine Umgebung von x, da jedes offene Intervall
]x − , x + [ um x auch rationale Punkte enthält, und somit f −1 (U ) keine offene Umgebung um x
enthalten kann. Also ist f nicht stetig in x.
Ist x rational, argumentiert man analog: Es ist dann f (x) = 1 und U =
0, aber f −1 (U ) = Q keine Umgebung von x.
,3
2 2
1
eine Umgebung von
Aufgabe K4: Gröber und feiner
Sei (X, T ) ein zusammenhängender topologischer Raum, und sei T 0 eine weitere Topologie auf X,
die gröber ist als T . Zeigen Sie, dass dann auch (X, T 0 ) zusammenhängend ist.
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Prof. Dr. A. Werner
Dipl.-Math. M. Häbich
Lösungsvorschlag
Sei X = U ∪ V mit U 6= ∅, V 6= ∅, und U und V offen bezüglich T 0 . Weil T 0 gröber als T ist, also
T 0 ⊂ T , sind U und V dann auch offen bezüglich T , und weil (X, T ) zusammenhängend ist, folgt,
dass U ∩ V 6= ∅ ist. Also ist (X, T 0 ) zusammenhängend.
Aufgabe K5: Rand, Inneres, Abschluss
Wir betrachten R, versehen mit der kofiniten Topologie. Berechnen Sie ∂ (R \ {0, 1}), ]0, 1[◦ , Z.
Lösungsvorschlag
Die Menge Y1 := R \ {0, 1} ist als Komplement endlich vieler Punkte offen, also Umgebung jedes
ihrer Punkte. Damit ist kein Punkt in Y1 ein Randpunkt. 0 und 1 sind jedoch Randpunkte, denn
jede Umgebung um einen dieser Punkte enthält alle Punkte in R bis auf endlich viele, hat also auf
jeden Fall nichtleerren Schnitt mit Y1 . Somit ist ∂ (R \ {0, 1}) = {0, 1}.
Die Menge Y2 := ]0, 1[ enthält keine offene Menge, denn für alle Teilmengen Z ⊂ Y2 ist R \ Z ⊃ R \ Y2
unendlich, sodass Z nicht offen sein kann. Damit enthält die Menge Y2 um keinen ihrer Punkte eine
Umgebung, also ist ]0, 1[◦ = ∅.
Für jeden Punkt x ∈ R enthält jede Umgebung U von x alle reellen Zahlen bis auf endlich viele, also
auf jeden Fall sowohl eine ganze Zahl als auch eine Zahl, die nicht ganz ist. Damit ist Z = R .
Aufgabe K6: Quasi-Kompaktheit
Seien X ein topologischer Raum, ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Zeigen Sie: Ist X quasi-kompakt,
so auch X/∼.
Lösungsvorschlag
Die Projektion X → X/∼ ist stetig und surjektiv. Somit ist X/∼ als Bild eines quasi-kompakten
Raumes unter einer stetigen Abbildung quasi-kompakt.
