Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung

Bernoulli-Kette, Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung:
Binomialverteilung
F. 2. 32
Spielgeräte: Von Wahrscheinlichkeiten bis Binomialverteilung
Die folgende Stationenarbeit dient dazu, die Begriffe der Oberstufenstochastik
(Wahrscheinlichkeit; Baumdiagramm; Binomialverteilung; Erwartungswert; Hypothesentest) anhand diverser Spielgeräte wie Würfel und Urnen für das Abitur
einzuüben.
1
In einer Urne liegen eine rote, eine gelbe und eine schwarze Kugel. Es
wird aus dieser Urne so lange ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen,
bis die schwarze Kugel erscheint. Wird die schwarze Kugel im ersten
Zug gezogen, so beträgt die Auszahlung 10 €, beim zweiten Zug 5 €
und beim dritten Zug 0 €.
Ermitteln Sie, bei welchem Einsatz dieses Spiel fair ist.
2
In einer Urne befinden sich acht Kugeln, fünf rote und drei schwarze.
Bei einem Glücksspiel wird eine Kugel gezogen, dann diese und zwei
weitere der gleichen Farbe wieder in die Urne zurückgelegt. Nach drei
Zügen hat man gewonnen, wenn mehr schwarze Kugeln in der Urne
sind als rote.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei diesem Spiel?
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1
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Bernoulli-Kette, Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung:
Binomialverteilung
1
Jeder Spieler wählt zuerst eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6.
Anschließend wirft er einmal mit drei Würfeln. Fällt die gewählte Zahl
gar nicht, ist sein Einsatz von 10 € verloren, fällt sie einmal, erhält er
seinen Einsatz zurück, fällt sie zwei- oder dreimal, so bekommt er das
Zwei- bzw. Dreifache seines Einsatzes ausgezahlt.
Beurteilen Sie die Gewinnchancen bei diesem Spiel.
2
Ein ideales Tetraeder trägt auf seinen vier Flächen die Ziffern 1, 2, 3,
4. Als geworfen gilt die Augenzahl auf der Grundfläche. Robert wirft
das Tetraeder zweimal und gewinnt einen Betrag b, wenn die Augensumme 7 oder 8 beträgt. Bei den Augensummen 6, 5, 4 oder 3 muss
er 1 €, bei der Augensumme 2 sogar 3 € bezahlen.
2.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der man bei diesem Spiel
gewinnt.
2.2 Ermitteln Sie die Höhe des Betrags b, damit das Spiel fair ist.
2.3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der man bei drei Spielen
dreimal hintereinander gewinnt.
2.4 Bestimmen Sie, wie oft man das Spiel mindestens spielen muss, um
mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % wenigstens einmal zu
gewinnen.
2
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Binomialverteilung
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Ein Glücksspielautomat wird durch den Einwurf einer 2-€-Münze in Gang
gesetzt. Jede der beiden sich unabhängig voneinander drehenden Walzen
besitzt 10 gleich große Felder. Die 1. Walze trägt einmal die Ziffer 1, dreimal die 2 und sechsmal die 3, die 2. Walze zweimal die 1, dreimal die 2 und
fünfmal die 6. Kommen die Walzen zum Stehen, ist das Ergebnis eine zweistellige Zahl, wobei von der 1. Walze die Zehnerziffer stammt. Der Automat
zahlt beim Erscheinen von zwei gleichen Ziffern 10 €, ansonsten verliert
man den Einsatz von 2 €.
1
Bestimmen Sie den Betrag, den man mit zwei Spielen gewinnen kann,
und die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn.
2
Bestimmen Sie den Gewinn, den man im Mittel in Aufgabe 1 erwartet.
Stefan vermutet, dass die 1. Walze die Ziffer 1 wegen einer Unwucht mit
einer größeren Wahrscheinlichkeit als 0,1 anzeigt. Er möchte diese Vermutung annehmen, wenn bei 100 Drehungen mehr als k-mal die 1 auftritt.
3
Wie muss k gewählt werden, wenn er sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irren möchte?
4
Die Wahrscheinlichkeit für die Ziffer 1 ist auf 20 % gestiegen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erkennt Stefan dies bei obiger Entscheidungsregel nicht?
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3
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1
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Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
E1 = {25; 26; … ; 36}
letztes Dutzend
E2 = {1; 3; 5, … ; 35}
ungerade Zahlen; Impair
E3 = {i} mit i ∈ {0; 1; … ; 36}
einzelne Zahl
E4 = E1 ∩ E2
2
Stefan bevorzugt das Ereignis E1 (letztes Dutzend) und setzt pro
Runde 10 €.
2.1 Er setzt so lange auf dieses Ereignis E1, bis er erstmals gewinnt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Stefan
• beim 6. Spiel
• frühestens beim 4. Spiel
• spätestens beim 5. Spiel
erstmals gewinnt.
2.2 Stefan möchte nur 100 € verlieren.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er diese verliert, ohne auch
nur einmal zwischendrin etwas gewonnen zu haben.
4
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2.3 Stefan hat bereits sechsmal verloren.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er auch noch die
nächsten vier Spiele verliert.
2.4 Wenn Stefan auf das letzte Dutzend setzt und keine seiner Zahlen
gedreht wird, verliert er seinen Einsatz, ansonsten bekommt er den
dreifachen Einsatz ausgezahlt.
Berechnen Sie den mittleren Gewinn pro Spiel.
2.5 Jetzt setzt Stefan zusätzlich 10 € auf das Ereignis E2, d. h. auf „ungerade Zahlen“. Fällt eine ungerade Zahl, bekommt er 20 € ausbezahlt,
sonst verliert er seinen Einsatz.
Berechnen Sie den mittleren Gewinn für diesen zusätzlichen Einsatz
pro Spiel.
3
Robert setzt immer 10 € gleichzeitig auf i = 3 Zahlen. Im Falle eines
Gewinnes erhält Robert das 36 = 36 = 12-Fache des Einsatzes ausgei
3
zahlt.
3.1 Geben Sie den mittleren Gewinn an, den Robert erwartet.
3.2 Robert setzt so lange, bis er erstmals gewinnt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der Robert höchstens zehn
Einsätze benötigt.
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5
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Kompetenzprofil
I
I
I
I
I
I
I
I
Niveau: 11. – 12. Klasse; weiterführend
Fachlicher Bezug: –
Kommunikation: argumentieren; bewerten; begründen
Problemlösen: Probleme erkunden und zerlegen; Lösungsstrategie entwickeln
Modellierung: –
Medien: –
Methode: Einzelarbeit; Stationenarbeit
Inhalt in Stichworten: Ereigniswahrscheinlichkeiten; Erwartungswert; Baumdiagramm;
Pfadregeln; Bernoulli-Kette; Binomialverteilung; Hypothesentest
Autor: Alfred Müller
Bildnachweis
Würfel: © Roby Mikic – sxc.hu; Einmachglas: © m-produktfotos.de – Fotolia.com;
Spielautomat: © Joanne Zh / Dreamstime.com; Roulette: © Elke Hannmann / PIXELIO
Lösung
Station 1: Urnen
1
Das Spiel ist fair, wenn der Gewinn auf lange Sicht null ist, der Einsatz also
der Auszahlung entspricht. Zuerst wird die Situation im Baumdiagramm
betrachtet, dabei stehe s für Schwarz, g für Gelb und r für Rot.
6
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Erwartungswert der Auszahlung:
E(Auszahlung) =
1
1
1
⋅10 E + ⋅ 5 E + ⋅ 5 E = 5 E
3
6
6
Das Spiel ist fair, wenn der Einsatz 5 € beträgt.
2
Das Spiel kann mithilfe eines dreistufigen Baumdiagramms veranschaulicht
werden. In diesem ist zu beachten, dass sich der Urneninhalt pro Zug ändert, da immer 2 neue Kugeln (in der Farbe der gezogenen Kugel) hinzukommen. s stehe im Folgenden für Schwarz und r für Rot. Der Urneninhalt
steht in Klammern, wobei links immer die Anzahl der schwarzen Kugeln
und rechts die Anzahl der roten Kugeln steht. (3 | 5) bedeutet also 3 schwarze und 5 rote Kugeln.
Die Urneninhalte zeigen, dass man nur gewonnen hat, wenn man dreimal
eine schwarze Kugel gezogen hat.
P(Gewinn) = P(sss) =
3 5 7
7
⋅ ⋅ =
≈ 0,1094 = 10,94 %
8 10 12 64
Man gewinnt bei diesem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr
10,94 %.
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7
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Station 2: Würfel
1
Es liegt ein dreistufiges Zufallsexperiment vor. Jeder Würfel entspricht einer Stufe. Steht G für „Gewinn“, so ergibt sich folgendes Baumdiagramm:
Um die Gewinnchancen des Spiels beurteilen zu können, wird der Erwartungswert betrachtet:
E(G) = 20 ⋅
1
5
125
E + 3 ⋅10 E ⋅
− 10 E ⋅
= −5 E
216
216
216
Da man bei diesem Spiel im Mittel einen Verlust von 5 € hat, ist es nicht
attraktiv.
2.1 Beim idealen Tetraeder tritt jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit
p = 14 auf.
Die Augensumme 7 erhält man, wenn man eine 3 und eine 4 bzw. eine 4
und eine 3 würfelt. Die Augensumme 8 ergibt sich, wenn man zweimal eine
4 wirft.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit ergibt sich zu:
P(Gewinn) = P(34) + P(43) + P(44) =
8
1 1 1 1 1 1 3
⋅ + ⋅ + ⋅ =
= 18, 75 %
4 4 4 4 4 4 16
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2.2 Das Spiel ist fair, wenn die Gewinnerwartung auf lange Sicht null ist.
Die Augensumme 2 erhält man, wenn man zweimal eine 1 wirft. Die Wahrscheinlichkeit für den Verlust von 1 € erhält man über die Gegenwahrscheinlichkeit.
Gewinn von b mit der Wahrscheinlichkeit:
3
16
Verlust von 3 € mit der Wahrscheinlichkeit:
1 1 1
⋅ =
4 4 16
Verlust von 1 € mit der Wahrscheinlichkeit: 1 −
3 1 12
−
=
16 16 16
b errechnet sich nun über die Gewinnerwartung.
1
12
3
⋅ ( −3 E) + ⋅ ( −1 E) + ⋅ b = 0
16
16
16
−
3
12
3
E−
E+ ⋅b = 0
16
16
16
−
15
3
E+ ⋅b = 0
16
16
3
15
E
⋅b =
16
16
⏐⋅16
3b = 15 E
b=5E
Bei einer Gewinnauszahlung von b = 5 € ist das Spiel fair.
2.3 Gesucht ist nach der Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander zu gewinnen, also dreimal hintereinander die Augensumme 7 oder 8 zu werfen.
P(3-mal Gewinn hintereinander) =
3
3 3 3 ⎛ 3 ⎞
⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ≈ 0, 0066 = 0, 66 %
16 16 16 ⎝ 16 ⎠
Die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander zu gewinnen, ist mit 0,66 %
sehr gering.
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9
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2.4 Es liegt eine sogenannte Drei-Mindestens-Aufgabe vor. Die Zufallsgröße Z
gebe die Anzahl der Gewinne an. Es liegt eine Binomialverteilung mit der
3 und der unbekannten Länge n vor.
Trefferwahrscheinlichkeit p = 16
B n3 (Z ≥ 1) > 0,95
16
1 − Bn
3
16
(Z = 0) > 0,95
B 3 (Z = 0) < 0, 05
16
⎛ 13 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 16 ⎠
n
< 0, 05
13
n ⋅ ln ⎛⎜ ⎞⎟ < ln 0, 05
⎝ 16 ⎠
ln 0, 05
n >
13
ln 16
⎛ 13 ⎞
Vorsicht: ln ⎜ ⎟ < 0
⎝ 16 ⎠
( )
n > 14, 43
Man muss mindestens 15-mal spielen.
Station 3: Spielautomat
1
Am besten eignet sich ein Baumdiagramm, um die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bei einem Spieldurchgang zu bestimmen. In der 1. Stufe
steht hierbei das Ergebnis der 1. Walze und in der 2. Stufe das Ergebnis der
2. Walze.
10
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Die beiden Pfade, bei denen man 1 Spiel gewinnt (gleiche Ziffer), sind mit
einem Stern gekennzeichnet:
P(Gewinn von 1 Spiel) = P(11) + P(22) = 0, 02 + 0, 09 = 0,11
2 Spiele gewinnt man also mit der Wahrscheinlichkeit:
P(Gewinn von 2 Spielen) = 0,11 ⋅ 0,11 = 0, 0121
Da man pro Spiel 2 e einsetzt und 10 e ausgezahlt bekommt, beträgt der
Gewinn pro Spiel 8 e bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,11. Bei 2 Spielen
gewinnt man also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0121 einen Betrag
von 16 e.
2
Zunächst wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße G (Gewinn) ermittelt:
Gewinn von
2 Spielen
Gewinn von
1 Spiel
Gewinn von
0 Spielen
g
16 €
6€
–4 €
P(G = g)
0,112
2 ⋅ 0,11 ⋅ 0,89
0,892
Der erwartete Gewinn ergibt sich zu:
E(G) = 16 € ⋅ 0,112 + 6 € ⋅ 2 · 0,11 ⋅ 0,89 – 4 € ⋅ 0,892 = –1,80 €
Man verliert 1,80 € im Mittel pro 2 Spieldurchgänge.
3
Z gebe die Anzahl der Ziffer 1 auf der 1. Walze an. Es liegt eine Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,1 vor.
Die Nullhypothese H0: p0 ≤ 0,1 wird im Bereich A = {k + 1; …; 100} abgelehnt.
Es soll gelten:
B100
0,1 (Z ≥ k + 1) ≤ 0, 05
1 − B100
0,1 (Z ≤ k) ≤ 0, 05
B100
0,1 (Z ≤ k) ≥ 0,95
Aus der Tabelle liest man k = 15 ab. Der Ablehnungsbereich ergibt sich zu
A = {16; …; 100}. Man verwirft die Nullhypothese H0: p0 ≤ 0,1 mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 %, wenn man H0 beim Auftreten von 16 oder mehr Einsern ablehnt.
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Jetzt gilt p = 0,2. Diese Wahrscheinlichkeit wird nicht erkannt, wenn sich
ein Ergebnis aus dem Annahmebereich A = {0; …; 15} der Nullhypothese
einstellt. Es gilt:
B100
0,2 (Z ≤ 15) = 0,12851 ≈ 12,85 % (Tabelle)
Die Wahrscheinlichkeit von 20 % für das Auftreten der Ziffer 1 wird in
12,85 % der Fälle nicht erkannt.
Station 4: Roulette
1
Da jedes Ergebnis aus Ω gleich wahrscheinlich ist, können die gesuchten
Wahrscheinlichkeiten als Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.
Der Ergebnisraum besteht aus 37 Elementen, also gilt | Ω | = 37.
In E1 liegen 12 Elemente, also | E1 | = 12.
P(E1 ) =
12
≈ 32, 43 %
37
In E2 liegen alle ungeraden Zahlen von 1 bis 36, also | E2 | = 18.
P(E 2 ) =
18
≈ 48, 65 %
37
E3 beinhaltet stets 1 Element aus Ω, also | E3 | = 1.
P(E 3 ) =
1
≈ 2, 70 %
37
E4 ist der Schnitt von E1 und E2.
| E4 | = E1 ∩ E2 = {25; 27; 29; 31; 33; 35}, also | E4 | = 6.
P(E 4 ) =
6
≈ 16, 22 %
37
2.1 Nach Aufgabe 1 gewinnt Stefan ein Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von
25 nicht.
p = 12
und mit 1 − p = 37
37
Beim 6. Spiel
Wenn er erstmals beim 6. Spiel gewinnt, dann hat er 5-mal nicht gewonnen,
d. h., für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt:
5
25
12
P(beim 6. Spiel erstmals gewinnen) = ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅
≈ 0, 0457 = 4,57 %
⎝ 37 ⎠ 37
12
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Frühestens beim 4. Spiel
Wenn er frühestens beim 4. Spiel gewinnt, dann hat er sicher 3-mal nicht
gewonnen.
3
25
P(frühestens beim 4. Spiel gewinnen) = ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0,3085 = 30,85 %
⎝ 37 ⎠
Spätestens beim 5. Spiel
Wenn er spätestens beim 5. Spiel gewinnt, dann darf nicht auftreten, dass er
5-mal nicht gewinnt.
5
25
P(spätestens beim 5. Spiel gewinnen) = 1 − ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0,8592 = 85,92 %
⎝ 37 ⎠
2.2 Wenn er nur 100 € ohne Zwischengewinn verliert, dann kann er 10-mal auf
E1 setzen und spielen.
10
25
P(10-mal in Folge verlieren) = ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0, 0198 = 1,98 %
⎝ 37 ⎠
2.3 Die ersten sechs Spiele sind Vergangenheit (das Ergebnis ist klar) und es
müssen nur noch die vier kommenden betrachtet werden. Alle vier Spiele
sollen verloren werden, also:
4
25
P(4-mal in Folge verlieren) = ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0, 2084 = 20,84 %
⎝ 37 ⎠
2.4 Falls das Ereignis E1 eintritt, gewinnt Stefan 30 € – 10 € = 20 €, ansonsten
verliert er seinen Einsatz von 10 €.
E(Gewinn) = 20 E ⋅
12
25
10
E ≈ − 0, 27 E
− 10 E ⋅
=−
37
37
37
Er verliert pro Spiel im Mittel 27 Cent.
, siehe Aufgabe 1), gewinnt Ste2.5 Wenn eine ungerade Zahl fällt (P(E 2 ) = 18
37
fan 20 € – 10 € = 10 €, ansonsten verliert er seinen Einsatz von 10 €.
E(Gewinn) = 10 E ⋅
18
19
10
− 10 E ⋅
=−
E ≈ − 0, 27 E
37
37
37
Auch hier verliert er pro Spiel im Mittel 27 Cent.
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F. 2. 32
Bernoulli-Kette, Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung:
Binomialverteilung
3.1 Falls eine der drei Zahlen gedreht wird, erhält Robert 12 ⋅ 10 € = 120 € ausbezahlt. Somit erzielt er einen Gewinn von 120 € – 10 € = 110 €. Fällt keine der drei Zahlen, verliert er seinen Einsatz von 10 €.
1 fällt, gewinnt Robert mit einer
Da jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 37
3
1
Wahrscheinlichkeit von 3 ⋅ 37 = 37 .
Der erwartete Gewinn pro Spiel ergibt sich zu:
E(Gewinn) = 110 E ⋅
3
34
10
− 10 E ⋅
=−
E ≈ − 0, 27 E
37
37
37
Bei diesem Spiel verliert Robert im Mittel 27 Cent pro Spiel.
3.2 Robert benötigt höchstens zehn Einsätze bis zum ersten Gewinn, wenn er
nicht 10-mal hintereinander verliert.
10
34
P(höchstens 10 Einsätze) = 1 − ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0,5707 = 57, 07 %
⎝ 37 ⎠
14
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