Das Photon-Baryon Verhältnis
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Das Photon-Baryon Verhältnis Max Camenzind 13. März 2015 Photonen sind Bosonen, ihre Phasenraumverteilung ist deshalb nach der Quantenstatistik durch die Bose-Verteilung gegeben n(p) = 2 1 . 3 h exp(E/kB T ) − 1 (1) Die Energie E des Photons beträgt nach Einstein E = hν und der Impuls p = hν/c für masselose Teilchen. h3 ist das Phasenraumvolumen und der Faktor 2 gibt die Anzahl Freiheitsgrade an (2 Polarisationszustände für Photonen). Damit folgt die Raumdichte der Photonen durch Integration über alle Impulse 1 2 Z 3 nγ (~x) = 3 d p h exp(hν/kB T ) − 1 (2) mit dem Impulsvolumen d3 p = p2 dp dΩ = h3 ν 2 /c3 dν dΩ. Wir führen nun die dimensionslose Variable x = hν/kB T ein und erhalten den Ausdruck 8π nγ (~x) = 3 h kB T c !3 Z ∞ 0 x2 dx . exp(x) − 1 (3) Dieses Integral ist eine sog. Riemann zeta-Funktion, die wie folgt definiert ist, 1 Z ∞ xs−1 ζ(s) = dx . Γ(s) 0 ex − 1 (4) Dabei gilt Γ(3) = 2! = 2 und ζ(3) = 1, 202. Damit erhalten wir folgenden Ausdruck für die Photonendichte mit h̄ = h/2π 2ζ(3) nγ (~x) = π2 kB T h̄c !3 . (5) Die Naturkonstante h̄c beträgt h̄c = 197, 327 MeV fm mit kB = 8, 617 × 10−5 eV/K. Für die Hintergrundstrahlung mit T = 2, 725 K erhalten wir kB T /h̄c = 11, 90/cm und damit eine heutige Photonendichte von 410 Photonen pro cm3 . Im Vergleich dazu ist die heutige mittlere Baryonendichte nB mickrig ρB ρc nB = = ΩB = 5, 09 × 10−9 ΩB cm−3 ≃ 0, 24 m−3 (6) mB mB Dies definiert dann das sog. Photon-Baryon-Verhältnis η in unserem Universum, das im Laufe der Expansion konstant bleibt η= nγ 8, 95 × 107 = = 1, 90 × 109 . nB ΩB 1 (7)
