Römische Zahlzeichen Zahlbereiche griechische Buchstaben

Römische Zahlzeichen
I1
V5
Zahlbereiche
X  10
L  50
C 100
D  500
M  1000
N  natürliche Zahlen Z ganze Zahlen Q rationale Zahlen R reelle Zahlen C komplexe Zahlen
griechische Buchstaben
   Alpha    Beta    Gamma    Delta    Epsilon    Lambda    Pi    Sigma    Phi
Prozentrechnung / Maßeinheiten
Prozentrechnung :
G : Grundwert
W : Prozentwert
p : Prozentsatz
W
Flächenmaße :
Volumen :
G p
1 m2  100 dm2  10 000 cm2
1 m3  1000 dm3
100
1 a  100 m2
1 dm
1 ha  100 a  10 000 m2
1 l  1 dm
3  1000 cm3
3
Präfixe für Maßeinheiten
Exa
1018  Trillionen
Milli
103
 Tausendstel
Peta
1015
Mikro
106
 Millionstel
Tera
1012
Nano
109
 Milliardstel
Giga
109
Piko
1012
 Billionstel
Mega
106
 Millionen
Femto
1015
 Billiardstel
Kilo
103
 Tausend
Atto
1018
 Trillionstel
 Billiarden
 Billionen
 Milliarden
Ebene Figuren (A: Flächeninhalt, u Umfang)
Dreieck
Rechteck
A
Aa  b
u 2a  2b
1
2
gh
u abc
Trapez
Parallelogramm
A
A  g h
u 2a  2b
1
2
a  c  h
u abcd
Kreis
Kreissektor
und Kreisbogen
A    r2
A
u 2 r
b
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkl. Dreieck gilt
a2  b2  c2
c Hypotneuse, a, b Katheten
 r2 
A
360 °
 r
180 °
Höhen 
und Kathetensatz
h2  p q
a2  c p
b2  c q
Trigonometrie (im rechtwinkligen Dreieck)
Im rechtwinkligen Dreieck gilt :
sin  
cos  


tan  
a

c
b
c
a
b


Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
Hypotenuse
Gegenkathete
Ankathete
2
Formelsammlung.nb
Körper (V: Volumen
O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche )
Quader
Prisma
V  a bc
O2ab 2ac 2bc
V  G h
O  2G  M
Zylinder
quadratische Pyramide
V   r 2  h
V
O  2   r 2  2  r  h
O  a2  2a hs
Kegel
Kugel
V
1
3
  r 2 h
V
O   r 2   r  s
1
3
4
3
a2 h 
1
3
Gh
r 3
O  4r 2
Binomische Formeln
a  b2  a2  2 a b  b2
a b2  a2  2 a b  b2
a  b a  b  a2  b2
Potenz- Wurzel- Logarithmengesetze
1
an  n
a
a0  1
am  an  am  n
n
am   am  n
am : an  am  n
am  bm  a  bm
logb a 
ax  x  lna
n
logea  b  loge a  loge b
logeax  x  logea
lna
lnb
Zinseszinsen (exponentielles Wachstum)
k0 : Anfangskapital Anfangsmenge
kn : Endkapital
Endmenge
n : Zeit in Jahren oder Zinsperioden
p  : Zinssatz pro Periode in 
Zinsfaktor
Zinseszinsformel
100p
q
100
kn  k0  qn
Lineare Funktion
Normalform :
y  m x  b
m : Steigung der Geraden
b : y  Achsenabschnitt
Steigung der Geraden g durch die Punkte P1 x1 y1  und
P2 x2 y2  :
m
y2 y1
x2 x1
Parallelität : Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen
gleich sind :
m1  m2
Geraden stehen aufeinander senkrecht, wenn für ihre
Steigungen gilt :
m1  m2  1
Steigungswinkel  :
tan   m
m
am  a n
b
Formelsammlung.nb
quadratische Funktion
Normalform :
y  a x 2  b x  c
Scheitelpunktform : y  a x  e2  f
Koordinaten des Scheitelpunktes : Se f 
a  1 Parabel gestaucht
a  1 Parabel gestreckt
a  0  Parabel nach unten geöffnet
Quadratische Gleichung (p - q - Formel)
p 2
p
Lösung : x
1,2   
Normalform : 1 x 2  p x  q  0
  q
2
2
Ableitungsregeln
konstante Summanden fallen weg
konstante Faktoren bleiben erhalten
Summen werden einzeln abgeleitet
konstanter Summand
konstanter Faktor
Summenregel
f x  c '  f x '
c  f x '  c  f ' x
f x  gx '  f ' x  g' x
Gilt für alle n  Q
Potenzregel
xn  '  n  xn1
u v '  u ' v  u v '
uv '  u ' v v '
Produktregel
Kettenregel
f x  gx '  f ' x  gx  f x  g' x
f gx '  f ' gx  g' x
u '
  
u'vuv'
v
f x '
Quotientenregel
v2
gx

f ' xgxf xg' x
gx2
'
f 1 sei Umkehrfunktion
f 1 x 
Umkehrfunktionsregel
1
f ' f 1 x
Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung (HDI)
b
F ist Stammfunktion von f :
b
 f x  x  Fxa  Fb  Fa
a
Wichtige Ableitungen und Stammfunktionen
Ableitung
Funktion
1
x
1
2
1
3
x2
2x
1
2
Stammfunktion
n xn1
x3
x3
1
xn1
n1
xn
Funktion
Stammfunktion
x
x
x
1
x
lnx
x  ln x x
1
1
x2
x
ln x 

2
3
x
x
x2
Ableitung
1
a axb
axb
a
axb
lna x  b
a
 axb

Fläche zwischen Funktionsgraphen
a und b seien die x-Werte der Schnittpunkte der Graphen von f und g. Gibt es mehr als
2 Schnittpunkte, müssen die Teilintegrale einzeln bestimmt und aufsummiert werden.
6
4
2
b
Für eine Teilfläche gilt:
A   f x  gx  x
a
2
4
2
a
4
6 8
b
3
4
Formelsammlung.nb
Rotationskörper
f x
Rotiert ein Graph zwischen den Grenzen a und b um die x-Achse, entsteht ein Rotation
b
V    f x2  x
skörper. Für sein Volumen V gilt:
a
a
b
Geraden- und Ebenengleichungen
Parameterformen:
g : x  a  k u
Gerade
x, a  Ortsvektor
E : x  a  k u  l v
Ebene
u, v  Richtungsvekoren
Normalenformen:
Gerade (Punkt-NF)
g : n x  p  0 existiert nur in d. Ebene
Ebene (Allgemeine-NF
E:
Hesse'sche Normalenform
E : n0  x  d  0
Koordinatenformen:
n  Normalenvektor
x, p  Orts  Stütz vektoren
n x  c  0
n0  EinheitsnormalenvektorLänge 1
g : a x  b y  d nur in d. Ebene
x, y, z  Punktkoordinaten
E: ax by cz d
a, b, c, d  Zahlen Skalare
Gerade
Ebene
Skalarprodukt
ab 
a
b 
c
Definition :
Berechnungsformel:
a  b cos
d
e ad becf
f
  Winkel zwischen a und b
Ermöglicht Winkel und
Längenmessung
Winkel
Merksatz zum Senkrechtstehen:
Zwischen 2 Vektoren:
Zwischen 2 Geraden :
Zwischen 2 Ebenen :
a
  90 °  a  b  0
cos 
a
a
a
ab
a
a
a
a
Betrag, Richungsvektoren
a
a
Betrag, Normalenvektoren
a
a
Sinus, Betrag, NV und RV!
a
a
a b
nm
cos  
a
Skalarprodukt anwenden
a b
cos 
a
Zwischen Gerader u. Ebene :
ab
n m
un
sin 
u n
Längen und Abstände

x1
x2
x3

x1 2  x2 2  x3 2
Länge eines Vektors:
x x
Abstand zweier Punkte A und B
d ba
Abstand Punkt  Gerade
upa zen, ergibt den Fußpunkt F des Lotes von P auf g. Dann die
k
u2
Länge der Strecke PF berechnen.
Den Wert für k in die gegebene Geradengleichung einset
P  g1 ; Q  g2 . Der Vektor PQ steht auf beiden Geraden senkrecht
Abstand windschiefer Geraden
(Gemeinlot).
P und Q sind allgemeine Punkte mit Parameter k bzw. l .
Daher gelten die beiden Gleichungen:1 u q  p  0 und 2 v  q  p  0 .
Auflösen nach den Geradenparametern k und l ergibt die Lotfußpunkte P und
Q.
Abstand Punkt - Ebene
d
n pa Den Punkt in die Hesse`sche Form der Ebenengleichung
n
einsetzen. d ist positiv, wenn der Ursprung und der Punkt P
auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen.
Formelsammlung.nb
Pfadregeln
1. Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (z.B. A  D ):
Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des
Pfades
zum Ergebnis.
2. Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses: (z.B.
A  D, B  C:
Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum
Ereignis gehören.
Start
A
B
C
D
C
D
0.24
AC
0.56
AD
0.06
BC
0.14
B D
Kombinatorik
Unabhängigkeit/Bedingte Wahrscheinlichkeit
Anzahlbestimmungen bei Urnenziehungen
n Kugeln
k Ziehungen
mit Zurücklegen
geordnet
nk
ungeordnet

Satz von Bayes
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
ohne Zurücklegen
Definition
nn  1 ... n  k  1
PA  B
PB
Unabhängigkeit
A und B sind unabhängig PA  B  PA PB
Satz von Bayes
PBPBA
PAB 
" Umkehrformel "
PA
 nPr
nk 1

k
PB A 
n
   nCr
k
(Umkehrung des Baumdiagramms)
Start
Start
A
B
A
B
B
B
B
B
A
A
A
A
0.025
A B
0.225
0.6
0.15
0.6
0.225
0.15
A B
AB
A B
0.025
A B
A B
A B
A B
Die fehlenden bedingten Wahrschein
lichkeiten auf der 2. Stufe ergeben
sich nach der Bayes'schen Regel, die
allerdings sofort aus der Pfadregel
folgt:
PB A 
PAB
PB
Erwartungswert  einer Zufallsgröße
E X     a1 PX  a1   a2 PX  a2   a3 PX  a3   ...  an P X  an 
Bernoulli-Versuche
- Binomialverteilung
Ein Bernoull-Versuch hat nur 2 mögliche Ausfälle (Erfolg und Missefolg).Wird ein Bernoulli-Versuch mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p
n mal durchgeführt,so gilt für die Anzahl k der Erfolge nach der sogenannten Binomialverteilung :
B n, k  PX  k  
n k
 p 1  pnk
k
Grid1, Grida, b, Alignment  Left, Center, SpanFromLeft,
Alignment  Left, Center, ItemSize  Scaled0.33, Automatic
1
gh hj h
jk j kj k
5