Grundbegriffe der Geometrie

Grundbegriffe der ebenen Schulgeometrie
Quelle: Kratz, Zentrale Themen des Geometrieunterrichts, 1993, bsv
1.) Punkte, Geraden und davon abgeleitete Begriffe:
Punkte und Geraden müssen als vorgegeben“ betrachtet werden. Sie werden nur durch ihre
”
wechselseitigen Beziehungen implizit festgelegt.
Z.B.: Durch 2 verschiedene Punkte A, B gibt es genau eine Gerade AB, 2 Geraden schneiden
sich in höchstens einem Punkt, etc.
Strecken: Für die Punkte jeder Geraden werden 2 totale und strenge Ordnungen links“ und
”
rechts“ als existent angenommen.
”
[A; B] := {P ∈ AB|A links P links B oder A = P oder B = P }.
Entsprechend werden halboffene und offene Strecken festgelegt.
Halbgeraden: [AB[:= {P ∈ AB|P rechts A}.
2.) Winkel: Nicht orientierter Winkel: Vereinigung zweier Halbgeraden, die vom selben Punkt
(Scheitel) ausgehen.
Orientierter Winkel: Paar zweier Halbgeraden, die vom selben Punkt ausgehen und die man
sich durch eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn verbunden denkt.
Winkelfeld: Menge der Ebene, die bei Drehung des ersten Schenkels gegen den Uhrzeigersinn
hin zum zweiten Schenkel überstrichen wird. Das Maß des orientierten Winkels kann dann
anschaulich als Drehmaß eingeführt werden.
Vorteile des orientierten Winkels:
— Viele Beispiele aus dem täglichen Leben betreffen Drehwinkel
— Die Volldrehung entspricht einer natürlichen Maßeinheit der Winkelmessung
— Beim nichtorientierten Winkel gibt es zu wenig Differenzierungsmöglichkeiten (spitz, stumpf,
...)
— Bei Figuren gäbe es keinen Unterschied zwischen Außen- und Innenwinkeln
— Bei der Betrachtung von Achsenspiegelungen sind orientierte Winkel von Vorteil
— Die Winkelabtragung mit dem Zirkel geht aus der Vorstellung des Drehwinkels hervor.
Bemerkung: Es gäbe natürlich noch die Möglichkeit, die Winkeldefinition des (orientierten)
Winkels so zu gestalten, daß das Winkelfeld dazugehört.
3.) Parallelen: Es gibt im wesentlichen 3 Definitionsmöglichkeiten:
Definition nach Euklid: Zwei Geraden einer Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden.
Definition nach Poseidonos von Apameia (100 v. C.): Zwei Geraden heißen parallel, wenn alle
Punkte der einen Geraden von der anderen Geraden denselben Abstand haben.
Lot-Definition: Zwei Geraden einer Ebene heißen parallel, wenn sie ein gemeinsames Lot haben.
Diskussion: Die Lot-Definition hat gegenüber den beiden anderen den Vorteil:
1.) der direkten Nachprüfbarkeit
2.) der Verwendung auch als Zeichenanweisung
3.) der einfachen Begriffsbildung
Allerdings hat die Lot-Definition gewisse systematische Nachteile im Rahmen einer streng
wissenschaftlichen Geometrie.
4.) Axiome: Die Geometrie ist rein mathematisch gesehen ein Gedankengebäude, das auf
plausiblen, aber nicht beweisbaren Annahmen (Hypothesen, Grundsätzen), den sogenannten
Axiomen aufbaut. Das berühmteste dieser Axiome ist wohl das Parallelenaxiom, welches je
nach Parallelendefinition allerdings anders ausfällt:
Fassung in der E-Definition: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden gibt es genau eine
Parallele (Nichtschneidende!) zu dieser Geraden
Fassung bei Lot-Definition: Z-Winkel an Parallelen sind gleich.
5.) Winkelsumme im Dreieck: Aus dem Parallelenaxiom läßt sich der Satz über die Winkelsumme im Dreieck folgern (parallele Hilfslinie durch Spitze, Z-Winkelbetrachtung). Mögliche
Zugänge zu diesem wichtigen Satz in der Hauptschule sind:
— Zeichnen willkürlicher Dreiecke und Ausmessen der Innenwinkel
— Abreißen zweier Ecken und Anordnen beim dritten Eck zu einem insgesamt gestreckten
Winkel
— Umlaufen eines beliebigen Dreiecks entspricht einer Volldrehung.