Blütenaufgabe "Lage von Geraden"

Blütenaufgabe
„Geraden im Raum“
a)
Gegeben sind die beiden Geraden g1 und g 2 mit:
 2 
  1
 6 
 1 
 
 
  
  
g1 : x   1     2  und g 2 : x    7      3  .
  2
0
  2
 0 
 
 
 
 
xx-
Untersuchen Sie die Geraden auf gemeinsame Schnittpunkte, indem Sie die
Geradengleichungen gleichsetzen.
b) Geben Sie drei unterschiedliche Geraden an, die nicht alle den gleichen
Stützvektor haben, sich aber alle nur im Punkt S(1/4/-2) schneiden.
c)
Stimmt es, dass der Punkt T(3/0/2) der einzige Schnittpunkt der beiden
 2 
  1
 3
 2 
 
 
  
  
Geraden g1 : x   2     2  und g 2 : x   0      4  ist?
  2
 4
 2
  8
 
 
 
 
d) Erfinden Sie eine Aufgabe zur Lage von Geraden, die zu diesen Gleichungen
passt und lösen Sie die Aufgabe.
2  3  4  
2 2
4  2
e)
--x
x-x
-x-
Geben sind die Gerade h und die Geradenschar g a :
 2 
  1
1
 a 
 
 
  
  
h : x   0    4  , g a : x   1     2
  2
0
 2
 1 
 
 
 
 
mit
a 
Skizzieren Sie die Geradenschar und h.
Gibt es einen Wert für a, sodass sich eine Gerade aus g a und die Gerade h
in einem rechten Winkel schneiden?
© 2012 Axel Müller – Frankfurt am Main – www.mister-mueller.de
x--
Lösungen
a) Die beiden Geraden schneiden sich in S(6/-7/-2).
b) Verschiedene Schülerlösungen möglich.
c) Die beiden Richtungsvektoren sind kollinear, also sind die beiden Geraden parallel.
Da T auf beiden Geraden liegt, sind die Geraden damit nicht nur parallel, sondern
identisch. Somit gibt es nicht nur T, sondern unendlicheviele Schnittpunkte.
d) Verschiedene Schülerlösungen möglich.
Da das Gleichungssystem keine Lösung hat, liegen die entsprechenden Geraden
windschief zueinander.
9
5
e) Es gibt nur einen Schnittpunkt. Für   4,   , a 
erhält man als Schnittpunkt
4
16
 1

S   / 9 /  2 .
4


 5 
 
  1
  16 
  
Hier sind nun die Richtungsvektoren e   4  und b    2  . Diese beiden Vektoren
 0
 1 
 
 
 
 21 
 
    16 
umranden zusammen mit dem Vektor c  b  e    6  ein Dreieck. Die Seitenlängen
 1 
 
 
dieses Dreiecks sind durch die Beträge der Vektoren gegeben:


e  e  1  16  17 , b  b 

25
1305
441
9913
 4 1 
,c  c 
 36  1 
256
256
256
256
Den von e und b eingeschlossenen Winkel  erhalte ich nun mit dem Cosinussatz:
c 2  e 2  b 2  2eb cos() . Hieraus folgt cos()  0,893    153 o . Die beiden Geraden
schneiden sich also nicht in einem rechten Winkel.
© 2012 Axel Müller – Frankfurt am Main – www.mister-mueller.de