Vortrag

Lotka-Volterra
Till Rehmert
Hemmat Djamali
10.06.2015
Inhalt
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Motivation
Räuber-Beute-System / Lotka-Volterra
Eingriffe von außen
Logistisches Wachstum
Jacobi-Matrix
Drei Spezies
Infektion/Epidemie
Wirtschaftsmodell
Motivation
Wie kam Lotka und Volterra auf die Idee?
Motivation
Wie kam Lotka und Volterra auf die Idee?
→ Kurz vor dem Ende des ersten Weltkrieg:
Anteil der Jagdfische im Gegensatz zu den
Beutefischen zu hoch.
Danach stabilisierte sich das wieder.
Motivation
Wie kam Lotka und Volterra auf die Idee?
→ Kurz vor dem Ende des ersten Weltkrieg:
Anteil der Jagdfische im Gegensatz zu den
Beutefischen zu hoch.
Danach stabilisierte sich das wieder.
Lotka und Volterra kamen getrennt auf die selbe
Gleichung
Problemstellung
Problemstellung
Beute 𝒉 𝒕
• Annahme: Beute nimmt
exponentiell zu (∞-viel
Nahrung)
• ℎ′ 𝑡 = 𝑎 ∗ ℎ 𝑡
Problemstellung
Beute 𝒉 𝒕
• Annahme: Beute nimmt
exponentiell zu (∞-viel
Nahrung)
• ℎ′ 𝑡 = 𝑎 ∗ ℎ 𝑡
Räuber 𝒇(𝒕)
• Annahme: Räuber nehmen
exponentiell ab
• 𝑓 ′ 𝑡 = −𝑐 ∗ 𝑓 𝑡
Problemstellung
ℎ′ 𝑡 = 𝑎 ∗ ℎ 𝑡
𝑓 ′ 𝑡 = −𝑐 ∗ 𝑓 𝑡
𝑎 ≔ 𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒ℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑐 ≔ 𝑍𝑢𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑟 𝑅ä𝑢𝑏𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑖 𝐵𝑒𝑔𝑒𝑔𝑛𝑢𝑛𝑔
Problemstellung
Zahl der möglichen Begegnungen: 𝑓 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
ℎ′ 𝑡 = 𝑎 ∗ ℎ 𝑡
𝑓 ′ 𝑡 = −𝑐 ∗ 𝑓 𝑡
𝑎 ≔ 𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒ℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑐 ≔ 𝑆𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒
Problemstellung
Zahl der möglichen Begegnungen: 𝑓 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
ℎ′ 𝑡 = 𝑎 ∗ ℎ 𝑡 −𝑏 ∗ 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡
𝑓 ′ 𝑡 = −𝑐 ∗ 𝑓 𝑡 +𝑑 ∗ 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡
𝑎 ≔ 𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒ℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑏 ≔ 𝑆𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝐵𝑒𝑢𝑡𝑒 𝑏𝑒𝑖 𝐵𝑒𝑔𝑒𝑔𝑛𝑢𝑛𝑔
𝑐 ≔ 𝑆𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑑 ≔ 𝑍𝑢𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑟 𝑅ä𝑢𝑏𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑖 𝐵𝑒𝑔𝑒𝑔𝑛𝑢𝑛𝑔
Lotka-Volterra Gleichungen
Spezielle Lösung
• Wähle Anfangspopulation:
(ℎ 0 = ℎ0 , 𝑓 0 = 𝑓0 )
ℎ0 = 0 oder 𝑓0 = 0
Lotka-Volterra Gleichungen
Spezielle Lösung
• Wähle Anfangspopulation:
(ℎ 0 = ℎ0 , 𝑓 0 = 𝑓0 )
ℎ0 = 0 oder 𝑓0 = 0
Spezielle Lösungen:
ℎ0
𝑒 𝑎𝑡 , 0
, 0, 𝑓0
(ℎ𝑔 , 𝑓𝑔 ) =
𝑐 𝑎
,
𝑑 𝑏
𝑒 −𝑐𝑡
𝑐 𝑎
, 0,0 , ,
𝑑 𝑏
kritischer Punkt
Lotka-Volterra Gleichungen
Phasenraum
• Beide Gleichungen miteinander multiplizieren und
integrieren :
𝐾 = 𝑉 ℎ, 𝑓 = 𝑑ℎ − 𝑐 log ℎ + 𝑏𝑓 − 𝑎 log(𝑓)
Lotka-Volterra Gleichungen
Phasenraum
• Beide Gleichungen miteinander multiplizieren und
integrieren :
𝐾 = 𝑉 ℎ, 𝑓 = 𝑑ℎ − 𝑐 log ℎ + 𝑏𝑓 − 𝑎 log(𝑓)
Eingriffe von außen
Differentialgleichung
ℎ′ 𝑡 = 𝑎 ℎ 𝑡 − 𝑏 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡
𝑓 ′ 𝑡 = −𝑐 𝑓 𝑡 + 𝑑 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡
𝑎 ≔ 𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒ℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑏 ≔ 𝑆𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝐵𝑒𝑢𝑡𝑒 𝑏𝑒𝑖 𝐵𝑒𝑔𝑒𝑔𝑛𝑢𝑛𝑔
𝑐 ≔ 𝑆𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑑 ≔ 𝑍𝑢𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑟 𝑅ä𝑢𝑏𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑖 𝐵𝑒𝑔𝑒𝑔𝑛𝑢𝑛𝑔
Eingriffe von außen
Differentialgleichung
ℎ′ 𝑡 = 𝑎 ℎ 𝑡 − 𝑏 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡 − ∆𝑎 ℎ(𝑡)
𝑓 ′ 𝑡 = −𝑐 𝑓 𝑡 + 𝑑 𝑓 𝑡 ℎ 𝑡 − ∆𝑐 𝑓(𝑡)
𝑎 ≔ 𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒ℎ𝑟𝑢𝑛𝑔𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑏 ≔ 𝑆𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝐵𝑒𝑢𝑡𝑒 𝑏𝑒𝑖 𝐵𝑒𝑔𝑒𝑔𝑛𝑢𝑛𝑔
𝑐 ≔ 𝑆𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒
𝑑 ≔ 𝑍𝑢𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑟 𝑅ä𝑢𝑏𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑖 𝐵𝑒𝑔𝑒𝑔𝑛𝑢𝑛𝑔
∆𝑎 ≔ 𝐸𝑖𝑛𝑔𝑟𝑖𝑓𝑓𝑒 𝑝𝑟𝑜 𝑍𝑒𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡
∆𝑐 ≔ 𝐸𝑖𝑛𝑔𝑟𝑖𝑓𝑓𝑒 𝑝𝑟𝑜 𝑍𝑒𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡
Voraussetzung: ∆𝑎< 𝑎 und ∆𝑐< 𝑐
Eingriffe von außen
Mittelwerte
𝑐 + ∆𝑐
ℎ𝑚 =
𝑑
𝑎 − ∆𝑎
𝑓𝑚 =
𝑏
Eingriffe von außen
Mittelwerte
𝑐 + ∆𝑐
ℎ𝑚 =
𝑑
𝑎 − ∆𝑎
𝑓𝑚 =
𝑏
Je stärker der Einfluss bei den Räubern ist, desto
besser ist es für den mittleren Bestand der Beute.
Je stärker der Einfluss bei der Beute ist, desto
schlechter ist es für den mittleren Bestand der
Räuber.
Beschränktes Wachstum der Beute
Differentialgleichung
Annahme: Beute wächst nun logistisch, falls kein
Kontakt mit Räuber.
ℎ′
= 𝑎 ℎ (1
ℎ
− )
𝐾
Beschränktes Wachstum der Beute
Differentialgleichung
ℎ′
ℎ
= 𝑎 ℎ (1 − ) − 𝑏 𝑓 ℎ
𝐾
𝑓 ′ = −𝑐 𝑓 + 𝑑 𝑓 ℎ
𝐾 = Maximale Kapazitätsgrenze (Beute)
Beschränktes Wachstum der Beute
Phasenraum/Mittelwert
Geraden: ℎ𝑚 =
𝑎
𝑏
1−
ℎ
𝐾
𝑓𝑚 =
𝑐
𝑑
Beschränktes Wachstum der Beute
Phasenraum/Mittelwert – Fall 1
𝑐
𝐾>
𝑑
Beschränktes Wachstum der Beute
Phasenraum/Mittelwert – Fall 1
𝑐
𝐾>
𝑑
Schneiden sich im Inneren
Gleichgewichtspunkt existiert
𝑐
𝑎
𝑐
ℎ𝑔 =
𝑓𝑔 = (1 −
)
𝑑
𝑏
𝑑𝐾
Beschränktes Wachstum der Beute
Phasenraum/Mittelwert – Fall 1
𝑐
𝐾>
𝑑
Schneiden sich im Inneren
Gleichgewichtspunkt existiert
𝑐
𝑎
𝑐
ℎ𝑔 =
𝑓𝑔 = (1 −
)
𝑑
𝑏
𝑑𝐾
lim ℎ𝑔 =
𝑡→∞
𝑐
𝑑
lim 𝑓𝑔 =
𝑡→∞
𝑎
(1
𝑏
−
𝑐
)
𝑑𝐾
Beschränktes Wachstum der Beute
Phasenraum/Mittelwert – Fall 2
𝑐
𝐾≤
𝑑
Schneiden sich nicht im Inneren
(Kein Gleichgewichtspunkt)
Beschränktes Wachstum der Beute
Phasenraum/Mittelwert – Fall 2
𝑐
𝐾≤
𝑑
Schneiden sich nicht im Inneren
(Kein Gleichgewichtspunkt)
Für t→ ∞ : 𝑓 𝑡 = 0 ℎ(𝑡)=K
Beschränktes Wachstum der Beute
Phasenraum/Mittelwert – Fall 2
𝑐
𝐾≤
𝑑
Schneiden sich nicht im Inneren
(Kein Gleichgewichtspunkt)
Für t→ ∞ : 𝑓 𝑡 = 0 ℎ(𝑡)=K
Falls Mittelwert der Räuber
größer als der Maximalkapazität
der Beute ist, sterben die Räuber
aus
Jacobi-Matrix
System zweier DGL:
[
dx
=f (x , y )
dt
f x ( x , y ) f y (x , y)
J (x , y )=
h x (x , y ) h y ( x , y )
]
allg.
dy
=h( x , y )
dt
d ⃗x
⃗y =f (⃗x )=
dt
Jacobi-Matrix
System zweier DGL:
dx
=f (x , y )
dt
[
f x ( x , y ) f y (x , y)
J (x , y )=
h x (x , y ) h y ( x , y )
[
allg.
d ⃗x
⃗y =f (⃗x )=
dt
dx 1
= A +(−x 2)
dt
Einfacher Ansatz:
0
−1
J (x , y )=
1 0
]
dy
=h( x , y )
dt
]
A =4, B=3,
x 1 (0)=5, x 2 (0)=4
dy 1
=−B+ x 1
dt
Jacobi-Matrix
Suche nach Fixpunkten (Eigenwertproblem):
J ( x , y )=
[
0 −1
1 0
]
λ=±√−1
Jacobi-Matrix
Suche nach Fixpunkten (Eigenwertproblem):
J ( x , y )=
[
0 −1
1 0
periodisch falls Real [ λ i ]=0
]
λ=±√−1
Jacobi-Matrix
Suche nach Fixpunkten (Eigenwertproblem):
J ( x , y )=
[
0 −1
1 0
periodisch falls Real [ λ i ]=0
]
λ=±√−1
Stabil falls Real [ λ i ]<0
Instabil falls Real [ λ i ]>0
Drei Spezies
Räuber 2
fressen
Räuber 1
fressen
Beute
Drei Spezies
Räuber 2
dz
=h( y , z )=(−a 3 +c 2 y )z
dt
fressen
Räuber 1
dy
=g(x , y , z)=(−a2 +b 2 x −c 1 z) y
dt
fressen
Beute
dx
=f (x , y )=(a1−b1 y )x
dt
a 1 , a 2 , a3 , b1 , b2 , c 1 ,c 2 ∈ℝ
Drei Spezies
Gleichgewichtspunkte
{
dx
=f (x , y)=(a 1−b 1 y) x
dt
dy
=g(x , y , z)=(−a2 +b 2 x−c 1 z) y
dt
dz
=h( y, z)=(−a 3 +c 2 y)z
dt
}
Für Gleichgewichtspunkte gelte:
d x
y =0
dt
z
()
Drei Spezies
Gleichgewichtspunkte
{
dx
=f (x , y)=(a 1−b 1 y) x
dt
dy
=g(x , y , z)=(−a2 +b 2 x−c 1 z) y
dt
dz
=h( y, z)=(−a 3 +c 2 y)z
dt
E0 =(0,0,0)
}
Für Gleichgewichtspunkte gelte:
a 2 a1
E1 =( , ,0)
b 2 b1
d x
y =0
dt
z
()
a3
a2
E2 =( ,− ,0)
c2
c1
Drei Spezies
Gleichgewichtspunkte
{
dx
=f (x , y)=(a 1−b 1 y) x
dt
dy
=g(x , y , z)=(−a2 +b 2 x−c 1 z) y
dt
dz
=h( y, z)=(−a 3 +c 2 y)z
dt
E0 =(0,0,0)
}
Für Gleichgewichtspunkte gelte:
a 2 a1
E1 =( , ,0)
b 2 b1
d x
y =0
dt
z
()
a3
a2
E2 =( ,− ,0)
c2
c1
Drei Spezies
Gleichgewichtspunkte
{
dx
=f (x , y)=(a 1−b 1 y) x
dt
dy
=g(x , y , z)=(−a2 +b 2 x−c 1 z) y
dt
dz
=h( y, z)=(−a 3 +c 2 y)z
dt
E0 =(0,0,0)
Analyse:
}
Für Gleichgewichtspunkte gelte:
a 2 a1
E1 =( , ,0)
b 2 b1
[
d x
y =0
dt
z
()
a3
a2
E2 =( ,− ,0)
c2
c1
a1 −b1 ȳ
−b1 x̄
0
J ( x̄ , ȳ , z̄)= b 2 ȳ −a2 +b 2 x̄−c 1 x̄ −c 1 ȳ
0
c 2 z̄
−a 3+c 2 ȳ
]
Drei Spezies
Fixpunktanalyse
1. Jacobi-Matrix für den Gleichgewichtspunkt
[
E0 =(0,0,0)
a1 0
0
J (0, 0,0)= 0 −a2 0
0 0 −a3
Die Eigenwerte hierfür sind:
]
λ 1=a1 , λ 2=−a 2 , λ3 =−a 3
Folglich ist Gleichgewichtspunkt E0 =(0,0,0) ein Sattelpunkt.
Drei Spezies
Fixpunktanalyse
2. Jacobi-Matrix für den Gleichgewichtspunkt
[
0
J ( x̄ , ȳ , z̄)= b2
Die Eigenwerte hierfür sind:
a1
b1
0
−b 1
0
0
a2
b2
0
a1
b1
a
−a3 + c 2 1
b1
−c 1
]
λ 1,2=±i √ a 1 a 2
a1 c 2−a3 b1
λ3=
b1
a 2 a1
E1 =( , ,0)
b 2 b1
Stabiler Fixpunkt für
a 3 b1 >a 1 c 2
Drei Spezies
Hopf-Bifurkations-Punkt
Dynamisches System kann allgemein angegeben werden als:
ν̇=F (ν ,μ )
ν=( x , y , z), μ =(a1 , a2 , a 3 , b1 ,b 2 , c1 , c 2)
mit
Hopf-Bifurkation-Punkt erfüllt folgende Eigenschaften:
i.
ii.
F (ν 0 ,μ 0 )=0
J (ν 0 ,μ 0 )
Besitz zwei komplex-konjugierte Eigenwerte in der Form:
λ 1,2=a(ν ,μ)±i b(ν ,μ)
iii.
iv.
um
a ( ν0 , μ 0)=0, ∇ a( ν 0 ,μ 0 )≠0, b ( ν 0 , μ 0)≠0
Dritter Eigenwert
λ 3 (ν 0 ,μ 0 )≠0
Drei Spezies
Hopf-Bifurkations-Punkt
Dynamisches System kann allgemein angegeben werden als:
ν̇=F (ν ,μ )
ν=( x , y , z), μ =(a1 , a2 , a 3 , b1 ,b 2 , c1 , c 2)
mit
Hopf-Bifurkation-Punkt erfüllt folgende Eigenschaften:
i.
ii.
F (ν 0 ,μ 0 )=0
J (ν 0 ,μ 0 )
Besitz zwei komplex-konjugierte Eigenwerte in der Form:
λ 1,2=a(ν ,μ)±i b(ν ,μ)
iii.
iv.
um
a ( ν0 , μ 0)=0, ∇ a( ν 0 ,μ 0 )≠0, b ( ν 0 , μ 0)≠0
Dritter Eigenwert
a 2 a1
E1 =( , ,0)
b 2 b1
λ 3 (ν 0 ,μ 0 )≠0
λ 1,2=±i √ a 1 a 2
a1 c 2−a3 b1
λ3=
b1
Drei Spezies
Hopf-Bifurkations-Punkt
Für
a1 c 2−a3 b1
λ3=
b1
Parameter
wähle
Gleichgewichtspunkte
Fall
a1 c2
a 30=
b1
Eigenwerte
E0
E1
a 3=0.4
0,0,0
1,1,1
±0.5,−0.4 ±0.5 i,+ 0.1 Spirale
a 3=a30 a 3=0.5
0,0,0
1,1,1
±0.5,−0.5
a 3 >a 30
0,0,0
1,1,1
±0.5,−0.6 ±0.5 i,−0.1 Spirale
a 3 <a 30
a 3=0.6
E0
Stabilität
E1
Instabile
±0.5 i ,0
periodisch
Stabile
Drei Spezies
Beschränktes Wachstum der Beute // Eingriffe von Außen
Beute
dx
=f (x , y )=a 1 x (1−x / K )b 1 yx
dt
Räuber 1
dy
=g(x , y , z)=(−a2 +b 2 x −c 1 z) y +e 1 y
dt
Räuber 2
dz
=h( y , z )=(−a 3 +c 2 y )z + e 2 z
dt
Drei Spezies
Beschränktes Wachstum der Beute // Eingriffe von Außen
Beute
dx
=f (x , y )=a 1 x (1−x / K )b 1 yx
dt
Räuber 1
dy
=g(x , y , z)=(−a2 +b 2 x −c 1 z) y +e 1 y
dt
Räuber 2
dz
=h( y , z )=(−a 3 +c 2 y )z + e 2 z
dt
Infektion/Epidemie
Motivation
Wie entwickelt sich Infektion?
Wann wird dies zur Epidemie?
Infektion/Epidemie
Differentialgleichung
ℎ = −𝑎 ℎ 𝑓
𝑓 =𝑎ℎ𝑓 −𝑐𝑓
𝑔=𝑐𝑓
ℎ = gesunde Menschen
𝑓 = kranke Menschen
𝑔 = Menschen die immun, tot oder isoliert sind (nicht
mehr angesteckt werden können)
Infektion/Epidemie
Eigenschaften
ℎ+𝑓+𝑔 =0
ℎ + 𝑓 + 𝑔 = 𝑁 = 𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑏𝑒𝑣ö𝑙𝑘𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔
Infektion/Epidemie
Eigenschaften
ℎ+𝑓+𝑔 =0
ℎ + 𝑓 + 𝑔 = 𝑁 = 𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑏𝑒𝑣ö𝑙𝑘𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔
AB: ℎ 0 > 0, ℎ 0 < 0, 𝑓 0 > 0, 𝑔 0 = 0
Infektion/Epidemie
Epidemie
Wann haben wir nun eine Epidemie und wann nicht?
Was für Anfangswerte brauchen wir?
𝑐
ℎ 0 <
𝑎
𝑐
ℎ 0 >
𝑎
Infektion/Epidemie
Epidemie - Fallunterscheidung
1.
𝑐
𝑎
ℎ 0 < , ℎ ≤ 0 somit ℎ < ℎ(0)
𝑓 = 𝑎 ℎ − 𝑐 𝑓 ≤ 0 für alle 𝑡 ≥ 0
Infektion stirbt aus
Optimal wenn 𝑐 (Ansteckungsrate) klein und 𝑎
(Todesrate) klein ist.
Infektion/Epidemie
Epidemie - Fallunterscheidung
1.
𝑐
𝑎
ℎ 0 < , ℎ ≤ 0 somit ℎ < ℎ(0)
𝑓 = 𝑎 ℎ − 𝑐 𝑓 ≤ 0 für alle 𝑡 ≥ 0
Infektion/Epidemie
Epidemie - Fallunterscheidung
𝑐
𝑎
2. ℎ 0 > : 𝑓 = 𝑎 ℎ − 𝑐 𝑓 > 0 für bestimmtes 𝑡
Infektion/Epidemie
Epidemie - Fallunterscheidung
𝑐
𝑎
2. ℎ 0 > : 𝑓 = 𝑎 ℎ − 𝑐 𝑓 > 0 für bestimmtes 𝑡
Maximum bei
𝑐
𝑎
𝑓𝑚𝑎𝑥 = 𝑔 − +
𝑐
log(
)
𝑎 ℎ(0)
Infektion/Epidemie
Epidemie - Fallunterscheidung
𝑐
𝑎
2. ℎ 0 > : 𝑓 = 𝑎 ℎ − 𝑐 𝑓 > 0 für bestimmtes 𝑡
Maximum bei
𝑐
𝑎
𝑓𝑚𝑎𝑥 = 𝑔 − +
𝑐
log(
)
𝑎 ℎ(0)
𝑓 ∞ = 0 (heißt aber nicht, alle wurden infiziert)
denn mit Gl 1 und 3 folgt ℎ > 0
𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑓 0 + ℎ 0 − ℎ(∞)
Infektion/Epidemie
Zusammenfassung
Je tödlicher das Virus, desto unwahrscheinlicher einer
Epidemie
Problem bei Infektion ist die Ansteckungsgefahr
Lotka-Volterra Modell in der Wirtschaft
Preisbildung bei Monopolen
Nachfrageverhalten der Konsumenten:
Nachfragefunktion
Produktionskosten
D ( p)= N 0 (1−
p
) mit N 0 , p0 > 0
p0
C (x)=a +b x mit a , b> 0
Lotka-Volterra Modell in der Wirtschaft
Preisbildung bei Monopolen
Nachfrageverhalten der Konsumenten:
Nachfragefunktion
Produktionskosten
D ( p)= N 0 (1−
p
) mit N 0 , p0 > 0
p0
C (x)=a +b x mit a , b> 0
Angestrebtes Ziel → bestimmte Profitrate
G px −C ( x)
q= =
C
C (x )
Erlös und Kosten
q> 0
C (x )
px=(1+q)C (x)bzw . p=(1+q)
x
Preis zu durchschn. Stückkosten
Lotka-Volterra Modell in der Wirtschaft
Preisbildung bei Monopolen
C (x )
px=(1+q)C (x)bzw . p=(1+q)
x
Produzierte Menge x und Nachfrage weichen D(p) ab → x an Nachfrage anpassen
Profitrate passt nicht zu Sollwert q → Preisanpassung
Lotka-Volterra Modell in der Wirtschaft
Preisbildung bei Monopolen
C (x )
px=(1+q)C (x)bzw . p=(1+q)
x
Produzierte Menge x und Nachfrage weichen D(p) ab → x an Nachfrage anpassen
Profitrate passt nicht zu Sollwert q → Preisanpassung
ẋ=f ( D ( p)−x )
ṗ=g((1+q)C (x)− px)
Streng monoton wachsende Funktionen
f ,g
für die gilt
f (0)=g(0)=0
Lotka-Volterra Modell in der Wirtschaft
Preisbildung bei Monopolen
(x 1 , p1 )
(x 2 , p 2)
Lotka-Volterra Modell in der Wirtschaft
Preisbildung bei Monopolen
(x 1 , p1 )
(x 2 , p 2)
Danke
Quellen
●
Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and
Engineering, Steven Strogatz
●
Predator-Prey Modeling with the Lotka-Volterra Equations, David Hyde
●
Numerical Simulation for the non-linear Lotka-Volterra System; Lohan, Ignat, 2006
●
●
Numerical Simulation Dynamical Model of Three-Spezies Food Chain with Lotka-Volterra
Linear Funktional Response, M. Mamat et al., 2011
Dynamische Modelle in den Lebens- und Gesellschaftswissenschaften, Claus Peter
Ortlieb, 2009/10