Lambacher Schweizer Hessen 8 G9 Schülerbuch Seite S004

IKongruenzsätze
Das kannst du schon
–– Das Geodreieck zum Zeichnen und Messen von
­Strecken und Winkeln nutzen
–– Mit der Winkelsumme im Dreieck argumentieren
–– Symmetrieeigenschaften von Figuren beschreiben
–– Kongruente Figuren erkennen
Sicher ins Kapitel I
Seite 163
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Das kannst du bald
–– Dreiecke und Vierecke konstruieren
–– Entscheiden, ob ein Dreieck oder ein Viereck
eindeutig konstruiert werden kann
–– Vierecke nach Symmetrieeigenschaften ordnen
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Erkundungen
1. Haibecken
Dreiecke
zeichnen
Überlege zusammen mit deinem Nachbarn, was „kongruent“ bedeutet.
Wenn ihr nicht sicher seid, lest im Basiswissen auf Seite 172 nach.
Wie kann man überprüfen, ob zwei Figuren kongruent sind?
In dem Bild von Paul Klee seht ihr verschiedene Dreiecke.
Lerneinheit 1
Seite 8
Paul Klee
40)
(18.12.1879 – 29.06.19
ler.
Ma
war ein schweizer
Sucht euch drei Dreiecke aus dem Bild aus und konstruiert sie auf
einem Blatt Papier, indem ihr jeweils drei Größen messt.
–– drei Seiten
–– zwei Seiten und den Winkel dazwischen
–– zwei Winkel und die Seite dazwischen
Tauscht untereinander eure Blätter aus und versucht, die konstruierten
Dreiecke im Bild zu finden.
Kontrolliert, ob die Dreiecke kongruent sind, indem ihr sie ausschneidet
und versucht mit dem Dreieck von Paul Klee in Deckung zu bringen.
Woran kann es liegen, dass eure Dreiecke nicht ganz genau passen?
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I Kongruenzsätze
Dreiecksfamilien
Lerneinheit 2
Seite 12
Vorlage
Lochleisten
6z37tn
Untersuche verschiedene Dreiecke, bei
denen zwei Größen fest sind. Du kannst
dazu eine dynamische Geometrie-Software
benutzen, mit Lochleisten und Gummiband
arbeiten oder einfach zeichnen.
Wie viele verschiedene Dreiecke
mit den Seiten c = 10 cm und b = 5 cm
gibt es? Wie viele Dreiecke gibt es, die
zusätzlich die Seite a = 8 cm haben?
Untersuche verschiedene Dreiecke
mit dem Winkel α = 40° und der
Seite c = 8 cm. Wie viele verschiedene
Dreiecke gibt es, wenn zusätzlich β = 30° gelten soll?
Untersuche die Dreiecke mit den
Maßen α = 45° und c = 10 cm.
Wie viele Dreiecke gibt es mit
(1) α = 45°, c = 10 cm, b = 8 cm
(2) α = 45°, c = 10 cm, a = 7 cm
(3) α = 45°, c = 10 cm, a = 3 cm
isse und
Ordnet eure Ergebn
kat.
erstellt dazu ein Pla
Erkundungen
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1 Kongruenz von Dreiecken
„Wie hast du denn das gemacht?“
Die beiden Dreiecke in Fig. 1 stimmen in
allen drei Seitenlängen überein. Wenn man
die Dreiecke ausschneidet, kann man sie
so übereinanderlegen, dass sie sich vollständig überdecken. Die beiden Dreiecke
sind also kongruent.
Um zu prüfen, ob zwei Dreiecke kongruent
sind, ist es nicht notwendig, alle Seitenlängen und Winkel zu kennen. Häufig genügt
es, wenn drei Größen des Dreiecks übereinstimmen.
congruere (lat.)
= übereinstimmen
Fig. 1
Kongruenzsätze für Dreiecke
Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in folgenden Größen überein­
stimmen:
–– in drei Seiten (sss),
–– in zwei Seiten und dem von diesen
Seiten eingeschlossenen Winkel (sws),
–– in einer Seite und den beiden
anliegenden Winkeln (wsw). Sind drei Größen eines Dreiecks entsprechend den Kongruenzsätzen gegeben, so lässt
sich ein Dreieck immer dann eindeutig konstruieren, wenn
–– bei drei vorgegebenen Streckenlängen die Summe der beiden kürzeren Strecken
größer ist als die Länge der größten Strecke (vergleiche Beispiel 3),
–– bei zwei vorgegebenen Winkelgrößen die Summe der beiden Winkelgrößen kleiner
ist als 180°.
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I Kongruenzsätze
Beispiel 1 Kongruenz untersuchen
Welche Dreiecke sind kongruent?
­Begründe.
Lösung
Das blaue und das grüne Dreieck sind
kongruent, weil sie in zwei Seiten und
dem von diesen Seiten eingeschlossenen
Winkel übereinstimmen (sws).
Beispiel 2 Dreieck konstruieren
Konstruiere ein Dreieck ABC mit b = 5 cm;
c = 8 cm und α = 65°.
Lösung
Zeichne die Strecke c der Länge 8 cm mit
den Endpunkten A und B. Trage den Winkel
α an A an. Zeichne einen Kreisbogen mit
dem Radius 5 cm um A. Der Schnittpunkt
des Kreisbogens mit dem freien Schenkel
des Winkels α ist die Ecke C des Dreiecks.
Eine Planfigur hilft beim
Festlegen der Reihen­
folge der Konstruktions­
schritte.
Beispiel 3 Konstruierbarkeit von D
­ reiecken
Konstruiere, falls möglich, aus den gegebenen Seitenlängen ein Dreieck.
a) c = 7 cm; b = 4,5 cm; a = 6 cm
b)a = 20 mm; b = 0,3 dm; c = 8 cm
Lösung
a) Zeichne eine Strecke c der Länge 7 cm
mit den Endpunkten A und B. Zeichne um
A einen Kreisbogen mit dem Radius 4,5 cm
und um B einen Kreisbogen mit dem
Radius 6 cm. Der Schnittpunkt der beiden
Kreisbögen ist die Ecke C des Dreiecks.
Verbinde A und C sowie B und C.
b)Es ist 2 cm + 3 cm < 8 cm. Ein Dreieck
mit den angegeben Seitenlängen gibt es
nicht. Versucht man trotzdem zu konstruieren, erhält man die nebenstehende Figur.
Aufgaben
1 Welche der folgenden Dreiecke sind zueinander kongruent? Gib an, welchen Kon­gruenz­
satz du als Begründung verwenden kannst.
1 Kongruenz von Dreiecken
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2 Sind die Dreiecke ABC und A’B’C’ zueinander kongruent? Erstelle eine Planfigur und gib
an, mit welchem Kongruenzsatz du argumentierst.
a) c = 4 cm; b = 7 cm; a = 5 cm und c’ = 4 cm; b’ = 5 cm; a’ = 7 cm
b)a = 4,5 cm; b = 5 cm; γ = 70° und a = 5 cm; b = 4,5 cm; γ = 70°
c) b = 8,7 cm; α = 67°; γ = 45° und c’ = 8,7 cm; α’ = 45°; γ = 67°
d)b = 7,8 cm; c = 8,7 cm; α = 45° und a’ = 7,8 cm; c’ = 8,7 cm; β’ = 45°
e) c = 4 cm; α = 70°; β = 45° und b’ = 4 cm; α’ = 70°; γ’ = 45°
f) c = 1,2 cm; α = 49°; β = 91° und a’ = 1,2 cm; β’ = 91°; γ’ = 49°
g)H Überlege dir selbst ähnliche Aufgaben und lasse sie deinen Partner lösen.
3 Konstruiere die folgenden Dreiecke. Fertige zuvor jeweils eine Planfigur an und beschreibe die Konstruktion.
a) b = 5 cm; γ = 45°; α = 60°
c) __
a = 6,8 cm; γ = 110°; b = 4,7 cm
e) AB​
​  = 45 mm; α = 68°; γ = 55°
g)a = 7,5 cm; b = 4 cm; c = 5 cm
b)b = 4,6 cm; α = 75°; c = 8 cm
d)c__= 0,7 dm; β __
= 35°; γ = 80°
f) ​AC​ = 5,4 cm; ​BC​ = 3,2 cm; γ = 75°
h)c = 8 cm; a = 64 mm; b = 7,5 cm
4 a) Untersuche, ob sich ein Dreieck mit den gegebenen Seitenlängen a = 4 cm, b = 6,5 cm und c = 25 mm konstruieren lässt.
b)Gib Seitenlängen an, aus denen sich kein Dreieck konstruieren lässt.
5 H Von einem Dreieck ABC sind die Seite b = 5,3 cm und der Winkel α = 30° gegeben.
a) Zeichne nach diesen Angaben zwei Dreiecke, die nicht zueinander kongruent sind.
Vergleiche deine Dreiecke mit denen deines Partners.
b)Ergänze jeweils eine Angabe, sodass je eine Aufgabe zu den Kongruenzsätzen wsw
und sws entsteht. Lasse deinen Partner die zugehörigen Dreiecke konstruieren und kontrolliere seine Lösungen.
6 Konstruiere die Figur. Überlege dir zuvor die Reihenfolge der Konstruk­tionsschritte.
Beschreibe dein Vorgehen.
7 Auf wie viele verschiedene Arten lässt sich
das zwei Meter lange Metermaß zu einem
Dreieck knicken?
8 Auf dem Münsterplatz in Ulm ist im Boden
vor dem Haupteingang des Münsters eine
Tafel eingelassen, welche die Richtungen
und die Entfernungen (Luftlinie) Ulms zu
verschiedenen Metropolen angibt. Bestimme mithilfe der Angaben auf der Tafel
durch Konstruktion geeigneter Dreiecke
folgende Entfernungen:
a) London – Zürich
b)Amsterdam – Paris
9 Untersuche, ob es die Kongruenzsätze
(wws) und (www) gibt.
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I Kongruenzsätze
10 Konstruiere das Dreieck und beschreibe die Konstruktion. Bestimme anhand der Zeich-
Bist du schon sicher?
nung die weiteren Größen im Dreieck. Nenne auch den zugehörigen Kongruenzsatz.
a) a = 3,5 cm; b = 5,4 cm; c = 7 cm
b)a = 6 cm; β = 42°; γ = 61°
11 Gegeben sind die Punkte A ​( 1 | 0 )​, B ​( 4 | 0 )​, C ​( 3 | 2 )​, D ​( 5 | 5 )​, E ​( 2 | 5 )​, F ​( 3 | 3 )​, G ​( – 2 | 1 )​, H ​( 2 | 1 )​ und I ​( 1 | – 1 )​. Welche der Dreiecke ABC, DEF und GHI sind kongruent?
12 Das Parallelogramm in Fig. 1 ist durch zwei Schnitte in vier Teildreiecke zerlegt worden.
Fig. 1
Welche Teildreiecke sind kongruent?
Lösungen | Seite 176
13 Zeichne zueinander nicht kongruente
Dreiecke, bei denen eine Seite 2,5 cm lang
ist, ein Winkel 45° und ein anderer Winkel
82° misst.
14 Auf der Rückseite der Schatzkarte steht:
„Der Schatz befindet sich direkt am Sonnenbach und ist 40 m vom großen Baum
entfernt.“
Finde den Schatz.
15 a)Theo blickt von der Stadtmauer auf die
Donau. Er weiß, dass die Stadtmauer 20 m
höher als der Wasserspiegel der Donau
liegt. Nun peilt er die beiden Flussufer an
und möchte damit die Breite der Donau
bestimmen.
b)Auf der Donau fährt ein Ausflugsboot. Es ist 110 m von Theos Standpunkt auf der Stadt­­
mauer entfernt. Der Winkel zwischen der Fahrtrichtung und der Richtung zum Standpunkt beträgt 68°. Zwei Minuten später beträgt der entsprechende Winkel 138°. Bestimme daraus die zurückgelegte Strecke.
16 H Gleichschenklige Dreiecke
a) Moritz behauptet: „Bei einem gleichschenkligen Dreieck muss ich nur zwei Größen
kennen, um es eindeutig konstruieren zu können.“ Was meinst du dazu?
b)Moritz unterstreicht seine Behauptung, indem er drei „Kongruenzsätze für gleichschenklige Dreiecke“ formuliert. Wie könnten diese lauten?
c) Erfinde drei Konstruktionsaufgaben für gleichschenklige Dreiecke und tausche sie zur
Lösung mit deinem Partner aus.
d)Welche Angaben muss man kennen, um ein gleichseitiges Dreieck eindeutig konstruieren zu können?
Bezeichnungen im
gleich­schenkligen
Dreieck:
17 Entscheide, ob die Dreiecke ABC und DEF zueinander kongruent sind.
a) c = 5 cm; α = 72°; β = 65° und f = 5 cm; δ = 65°; ε = 72°
b)b = 7 cm; γ = 38°; α = 85° und e = 7 cm; φ = 38°; ε = 85°
c) a = 34 mm; γ = 80°; α = 25° und d = 3,4 cm; ε = 75°; δ = 25°
18 Die Tabelle enthält die Werte einer proportionalen Zuordnung. Berechne die fehlenden Werte.
0,5
¹
2
8
»

6
12
º
192
Kannst du das noch?
vgl. Seite 173
Lösungen | Seite 176
1 Kongruenz von Dreiecken
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