Einheit 5: Maxwell

Einheit 5: Maxwell-Gleichungen
Theorie
Die Maxwell-Gleichungen sind die Grundgleichungen
der Elektrodynamik. Sie lauten in ihrer differentiellen
Form:
zwischen Feldern, Ladungsdichte- und Geschwindigkeitsverteilungen, die außerordentlich schwierige Probleme erzeugen (z.B. häufig in der Plasma- und Beschleuniger-Physik). In den hier betrachteten Problemen tritt
der Term normalerweise nicht auf.
sierung (im magnetischen Fall oft als Magnetisierung M
bezeichnet, Beispiel Dauermagnete). Dann schreibt man
die magnetische Materialgleichung als
Ist eine (i. allg. ortsabhängige) Leitfähigkeit σ vorhanden, so verursachen elektrische Felder den dritten
Stromdichteanteil σ E, die Leitungsstromdichte. Oft ist
dies der einzige Term, der berücksichtigt werden muß.
Der bereits durch eine Permeabilität μ beschriebene Fall
einer weichmagnetischen Magnetisierung, die auf die
angelegte magnetische Feldstärke reagiert, schreibt sich
dann als
Da die Maxwell-Gleichungen insgesamt nur acht
Gleichungen für vier unbekannte dreikomponentige
Vektorfelder darstellen, wären sie alleine unterbestimmt.
Hinzu kommen die drei sog. Materialgleichungen:
Man kann sie als Axiome auffassen, die selbst theoretisch nicht abgeleitet werden können, deren Gültigkeit
aber durch die erfolgreiche experimentelle Überprüfung
ihrer Konsequenzen erwiesen ist.
In den Maxwell-Gleichungen treten die magnetische und
elektrische Flußdichte B und D sowie die magnetische
und elektrische Feldstärke H und E auf. ρ steht für die
elektrische Ladungsdichte.
Die Stromdichte j muß näher untersucht werden: Im
allgemeinst möglichen Fall setzt sie sich aus drei Beiträgen zusammen:
je steht hierbei für sog. “eingeprägte” Ströme, deren
Verlauf und Vorhandensein (z.B. durch elektrochemische
Quellen) als außerhalb der Maxwellschen Beschreibung
betrachtet wird. Sie sind genauso “einfach da”, wie vorgegebene Ladungsverteilungen ρ. (In vielen Problemstellungen werden rein eingeprägte Stromverteilungen
vorgegeben. Damit werden etwaige Rückwirkungen der
Felder auf die Stromverteilung ignoriert. Das kann angemessen sein, muß es aber nicht.)
ρ v muß nur dann betrachtet werden, wenn sich eine
Dichteverteilung freier Ladungen mit der (i. allg. ortsabhängigen) Geschwindigkeit v bewegt. Da durch die Lorentzkraft (s.u.) diese Geschwindigkeit in Betrag und
Richtung verändert wird, kommt es zu Rückkopplungen
Darin stehen die drei (allgemein ortsabhängigen) Materialeigenschaften relative Permeabilität μr, relative Dielektrizitätszahl (oder auch Permittivität) εr, und die Leitfähigkeit σ. Im Vakuum sind μr und εr gleich 1. Für alle unmagnetischen Materialien kann μr (unter Vernachlässigung der kleinen Effekte des Dia- oder Paramagnetismuses) bei einem Fehler von weniger als 1‰ zu 1 gesetzt
werden.
In ganz schlimmen Fällen sind ε und μ nicht skalarer,
sondern Matrix-artiger Natur, was zu abweichende
n Richtungen der Vektoren von Feldstärke und Flußdichte
führt. Man spricht dann von anisotropen Materialien.
Noch unangenehmer ist der vor allem bei magnetischen
Materialien wichtige Fall Feldstärke-abhängiger Materialparameter. Dann entstehen nicht-lineare Materialgleichungen, die die Anwendung aller auf linearer Superposition beruhender Lösungsverfahren (z.B. Spiegelladungs-/Spiegelstrom-Methode, Entwicklung nach Eigenfunktionen, insb. Fourier-Analyse) ausschließt.
Ein Sonderfall dieser Situation ist das Auftreten permanenter magnetischer (oder seltener elektrischer) Polari-
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,
während eine dauerhafte, hartmagnetische Magnetisierung als fester, “eingeprägter” Beitrag stehen bleibt. Die
Divergenzfreiheit von B ist auch dann gültig.
Den bei weitem unangenehmsten Fall stellen Mischformen dar, wie die bekannte magnetische Hysterese. Dann
hängt die Magnetisierung nicht nur vom momentan anliegenden magnetischen Feld ab, oder ist eine konstant
eingeprägte, sondern trägt den Einfluß der Vorgeschichte. Solche Fälle, womöglich noch mit bewegten Materialien, wie es in vielen elektrischen Maschinen der Fall ist,
gehören zu den anspruchsvollsten elektrodynamischen
Berechnungsaufgaben.
Die Kraftwirkung von Feldern auf eine Ladung q mit Geschwindigkeit v wird durch die Lorentz-Kraft beschrieben:
Eine sehr unmittelbare Konsequenz der Maxwell-Gleichungen ist die Kontinuitätsgleichung der elektrischen
Ladung:
Sie besagt, daß an einem Punkt, an dem (nach außen
gerichtete) Stromdichte entsteht, die Ladungsdichte abnehmen muß, was elementar anschaulich ist.
In vielen Fällen ist die Ableitung von Feldern aus Potentialen möglich. Dabei nutzt man die allgemeingültigen
Beziehungen div rot = 0 und rot grad = 0.
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Aufgaben
A_05_1)
Lerne die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form
auswendig!
A_05_2)
Führe eine Dimensionsbetrachtung für alle vier Maxwellgleichungen durch.
d)' Obwohl eine Stromdichte existiert, kann die Ladungsdichte null sein. ??
speisungen, angeschlossen mit praktisch widerstandsfreien Kablen an eine Batterie
e)' Feldlinien der magnetischen Flußdichte sind immer
geschlossen. ??
f)' Feldlinien der elektrischen Feldstärke beginnen und
enden immer auf Ladungen. ??
g)' In einem idealen Leiter mit endlicher Permeabilität
kann kein zeitveränderliches Magnetfeld
exisitieren. ??
A_05_3)
h)' Auch im unendlich ausgedehnten strom- und ladungsfreien Vakuum lassen die Maxwell-Gleichungen
Felder ungleich null zu. ??
Leite die Kontinuitätsgleichung aus den Maxwell-Gleichungen ab. Was gilt für die Stromdichte im ladungsfreien Raum?
i)' Eine freie Ladung kann in einem Raum, in dem ein
zeitlich veränderliches Magnetfeld herrscht, Energie
gewinnen. ??
A_05_4)
j)' Eine freie Ladung kann in einem Raum, in dem nur
ein statisches Magnetfeld herrscht, Energie
gewinnen. ??
a)' Zeige, daß die magnetische Flußdichte immer aus
einem Vektorpotential A abgeleitet werden kann!
b)' Wie dürfen sich zwei Vektorpotentiale A’ und A’’ unterscheiden, wenn sie dennoch auf das selbe B-Feld
führen sollen.
c)' Ist es möglich, immer ein Vektorpotential A zu finden, das selbst divergenzfrei ist?
d)' Sei A ein divergenzfreies Vektorpotential mit
B = rot A. In welcher Beziehung steht das elektrische
Feld E zu A im homogenen, ladungsfreien Raum.
A_05_5)
Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind!
Begründe die Entscheidung!
a) An einem Punkt ohne Ladungsdichte kann kein elektrostatisches Feld existieren. ??
b) Elektrische Felder lassen sich immer aus einem skalaren Potential ableiten. ??
c)' Die magnetische Feldstärke ist immer
divergenzfrei. ??
k)' In einen Raum wird kontinuierlich nur eine Welle einer Frequenz eingestrahlt. Unter keinen Umständen
können Felder anderer Frequenz entstehen. ??
l)' Es gibt elektrodynamische Phänomene, die nicht allein von den Maxwell-Gleichungen (ergänzt durch die
Materialgleichungen und die Lorentzkraft) beschrieben werden. ??
d)' ein mit niederfrequenten harmonischen Stromsignalen I0 arbeitender induktiver Metalldetektor in der
Nähe eines gut leitfähigen Objekts
e) eine hochfrequente elektromagnetische Welle im Vakuum
f)' ein RLC-Serienschwingkreis aus konzentrierten Bauelementen (L = 0.1 mH, C = 400 μF, R = 0.01), betrieben i) bei seiner Resonanzfrequenz und ii) bei
100 MHz
A_05_6)
Überlege, welche Felder in den folgenden Situationen
auftreten, und wie sie zusammenhängen. Prüfe auch die
Möglichkeit, das jeweilige Problem auf die Bestimmung
von Potentialen zu reduzieren:
a)' eine Gleichspannungsleitung, die in einer Hochspannungsanordnung so verlegt werden soll, daß es nirgendwo zu Überschlägen kommt
b) das Feld eines ruhenden Permanentmagneten
c)' eine statische Stromverteilung im konstant leitfähigen Erdreich, erzeugt durch zwei punktförmige Ein-
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