Übungen zu Experimentalphysik 2 - Technische Universität München

Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler
Übungen zu Experimentalphysik 2
SS 13 - Lösungen zu Übungsblatt 3
1 Massenspektrometer
Ein einfaches Massenspektrometer besteht aus einer Nacheinanderschaltung mehrerer Komponenten: zuerst kommt ein Ionisationsbereich, dann ein Geschwindigkeitsfilter und dann ein
Massenanalysator (vgl. Abbildung).
~
E
dA
~W
B
Ionisation
Blende
Wienfilter
Analysator
Detektor
~v konst.
~v beliebig
,
Richtung
konst.
Blende (daus )
~A
B
Blende (dein )
Aus dem Ausgang des Ionisationsbereiches sollen einfach positiv ionisierte Teilchen mit einer
breiten Geschwindigkeitsverteilung austreten. Ein gebräuchlicher Geschwindigkeitsfilter ist der
so genannte Wienfilter, in dem ein konstantes E-Feld und ein konstantes B-Feld senkrecht
aufeinander stehen. Der Analysator besteht aus einem Raum mit konstantem B-Feld, dessen
Betrag einstellbar ist, und einem empfindlichen Detektor nach einem Austrittsspalt.
(a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Teilchen, die den Wienfilter passieren, wenn die
~ W = 1 kV beträgt und die des B-Feldes B
~ W = 0.1 T.
Stärke des E-Feldes E
m
(b) Der Ausgangsspalt des Analysators sei daus = 2 mm breit und dA = 10 cm vom Eingangsspalt (dein = 2 mm breit) entfernt (Mitte zu Mitte). Welche Teilchen treffen auf
den Detektor, wenn im Analysator die Feldstärke BA = 0.1 T beträgt?
(c) Nehmen Sie an, dass alle Teilchen die aus dem Wienfilter kommen, exakt die gleiche
Geschwindigkeit haben. Welches Auflösungsvermögen RA = mm erreicht dieser Analysator in diesem Fall?
1
(a) Im Wienfilter wirkt auf die geladenen Teilchen eine elektrische Kraft F~C (in der abgebildeten Geometrie nach
unten) und eine Lorentzkraft F~B (nach oben). Nur die
Lorentzkraft ist abhängig von der Geschwindigkeit. Bei
sinnvoll eingestellten Parametern gibt es eine Geschwindigkeit, bei der die beiden Kräfte den gleichen Betrag haben. Teilchen dieser Geschwindigkeit ändern Ihre
Richtung nicht und passieren die zweite Blende:
Wienfilter
F~L
~v
~
E
F~C
B~W
FC = FL
~ = qvB
qE = q~v ⇥ B
v=
1 kV
E
m
= m = 104
B
0.1 T
s
(b) Im Magnetfeld bewegen sich die Teilchen wegen der angreifenden Lorentzkraft auf einer
Kreisbahn senkrecht zum Magnetfeld. Der Lorentzkraft ist also die Zentripetalkraft der
Kreisbewegung.
FL = FZ
mv 2
r
qvBr
qBdA
1.602 · 10 19 As · 0.1 m · 0.1 T
m=
=
=
=
v2
2v
2 · 104 ms
qvB =
= 8.0 · 10
26
s2
J 2
m
2
1 J=1 kg m2
=
s
8.0 · 10
26
kg
1 u⇡1.66·10
=
27
kg
48 u
Es handelt sich um das Element Titan (Atommasse 47.867 u).
(c) Wenn Teilchen der Masse m vom Zentrum des Eingangsspaltes am Zentrum des Ausgangsspaltes ankommen, dann sind die schwersten Teilchen, die den Detektor gerade
noch erreichen, diejenigen, die ganz unten starten und ganz oben ankommen. Deren Flugbahn hat einen Durchmesser von dA, max = 10.2 cm und somit Radius von
rA, max = 5.1 cm. Die leichtesten Teilchen, die den Detektor erreichen, fliegen auf einem Radius von rA, max = 4.9 cm. Da die Masse mit dem Radius linear skaliert ergibt
sich:
m m/r
r
5
R=
=
=
= 25.
m
rA, max rA, min
0.2
2 Drehmoment auf eine Leiterschleife im B-Feld
Eine rechteckige Leiterschleife mit den Seitenlängen a und
b befinde sich in einem homogenen B-Feld und werde vom
Strom I durchflossen. Das B-Feld verlaufe in der Ebene der
Leiterschleife und senkrecht zu deren Achse (vgl. Skizze). Leiten Sie das Drehmoment auf die Leiterschleife her und drücken
~ und dem magnetischen DipolSie es in Abhängigkeit von B
moment µ
~ m aus.
2
F~L
b
~
B
a
F~L
Achse
I
I · ~ea
Die Schleife ist ein Stromdurchflossener Leiter im homogenen B-Feld. Es ergibt sich also eine
Lorentzkraft F~L , die an den Seiten der Länge a angreift (siehe Skizze):
⇣
⌘
~
F~L = a · I · ~ea ⇥ B
~ (Rechte-Hand-Regel). Auf die Seiten der Länge b wirkt keine
F~L ist senkrecht auf ~ea und B
Kraft.
Es ergibt sich folgendes Drehmoment:
⇣
⌘
⇣
⇣
⌘⌘
~
~ = ~r ⇥ F~ = b ~eb ⇥ 2F~L = abI ~eb ⇥ ~ea ⇥ B
M
2
Mit der Jakobi Identität
~a ⇥ (~b ⇥ ~c) = ~b ⇥ (~c ⇥ ~a)
ergibt sich
~ = abI
M
⇣
⌘ ~ ~
⇣
⌘
~a⇥b= b⇥~a
~c ⇥ ~a ⇥ ~b
=
(~c ⇥ ~a) ⇥ ~b + ~a ⇥ ~b ⇥ ~c
✓ ⇣
◆
⌘
~
~
~
B ⇥ ~eb ⇥ ~ea + (~eb ⇥ ~ea ) ⇥ B = abI (~eb ⇥ ~ea ) ⇥ B.
|
{z
}
~ , ~eb
=0 selbst, wenn B
~ folgt weiter
Mit einsetzung der (vektoriellen) Fläche ab (~eb ⇥ ~ea ) = A
~ = IA
~ ⇥ B.
~
M
~=µ
Gemäß Definition ist I A
~ m und somit das Drehmoment
~ =µ
~
M
~ m ⇥ B.
3 Crazy Student
Ein Student will in seiner Bude alle Stromleitungen austauschen. Weil er nicht genau weiß,
wo die Stromleitungen verlegt sind und er nicht unbedingt die ganze Wand kaputt machen
will, versucht er mit Hilfe einer Spule die genaue Position aller Stromleitungen zu finden. Die
Spannung im Netz sei
U (t) = U0 · sin(2⇡f t),
wobei f = 50 Hz und U0 = 325 V. Die Leitungen sind mit Imax = 10 A abgesichert.
(a) Welche Geräte darf er anschließen: Tischlampe (Leistung PL = 60 W), Bügeleisen (PB =
2 kW), Elektroheizung (PH = 3 kW), ohne die Sicherung zu überlasten?
(b) Wählen Sie das Gerät, das den maximal erlaubten Strom in der Leitung produziert und
berechnen Sie den Widerstand von diesem Gerät!
Um durch den Stromfluss in der Leitung ein Magnetfeld zu erzeugen, schließt der Student
nun das Gerät an.
(c) Warum kann der Student nicht Phase und Nulleiter der gleichen Steckdose verwenden?
(d) Berechnen Sie die Magnetfeldstärke im Abstand d1 = 3.0 cm von der Wand (die Stromleitung liegt d2 = 2.0 cm tief in der Wand) in Abhängigkeit von der Zeit!
3
(e) Die Spule mit dem Radius rS = 1.0 cm wird entlang der Stromleitung orientiert. Wie viele
Wicklungen muss sie mindestens haben, damit die induzierte Spannung die Amplitude
Uind = 0.1 mV hat? Das Feld in der Spule sei homogen. Verwenden Sie den Ansatz
Uind =
N·
d
dt
(t) = B(t) · ⇡rS2 .
mit
(a)
U0
Ue↵ = p ;
2
p
2·P
! Ie↵ =
U0
Pe↵ = Ue↵ · Ie↵
Für die einzelnen Geräte ergibt sich:
Ie↵, B = 8, 7 A und
Ie↵, L = 0.26 A,
Ie↵, H = 13, 1 A.
Letzteres hält die Sicherung nicht aus.
(b)
R=
Ue↵
U0
=p
= 26.4 ⌦
Ie↵, B
2 · Ie↵, B
(c) Da sich sonst die magnetischen Felder der beiden beieinanderliegenden Leitungen aufgrund des entgegengesetzten Stromflusses im Fernfeld aufheben würden.
Um das Magnetfeld messen zu können, muss der Student also den einen Kontakt des
Netzsteckers mit der Phase einer Steckdose verbinden und den anderen mit dem Nullleiter einer anderen Steckdose.
(d)
H(t) =
I(t)
I0 · sin(2⇡f t)
U0
=
=
· sin(2⇡f t) = H0 · sin(2⇡f t)
2⇡r
2⇡r
2⇡ (d1 + d2 ) · R
A
wobei Ho = 39.2 m
.
(e)
Uind =
N=
N·
d
=
dt
N·
⇣
⌘
~ ·A
~
d B
dt
=
2
~ A=⇡r
~
Bk
S
N·
dB
· ⇡rS2
dt
Uind
· ⇡rS2
dB
dt
Mit
B(t) = µ0 H(t) = µ0 H0 sin (2⇡f t)
dB
(t) = µ0 H0 · 2⇡f · cos (2⇡f t)
dt
max.

dB
bei:
dt
cos(. . .) = 1
µ0 H0 · 2⇡f
ergibt sich die Anzahl von Windungen zu:
N
Uind
=
µ0 H0 2⇡f · ⇡rS2
4⇡ · 10
7
1 · 10 4 V
= 21
N
A
·39.2 m
· 2⇡ · 50 Hz · ⇡ · (0.01 m)2
A2
4