4.5A. Permutationen

4.5A. Permutationen
Symmetrien
geometrischer Figuren beschreibt man mathematisch durch Vertauschungen einer gewissen Anzahl
von Punkten, welche die Gesamtfigur unverändert lassen.
Beispiel 1: Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates
Solche Vertauschungen wollen wir jetzt genauer untersuchen.
Permutationen
sind Anordnungen der ersten n natürlichen Zahlen in einer beliebigen Reihenfolge.
Wie ein leichter Induktionsbeweis zeigt, gibt es
n! = 1 .. ( n − 1 ) n
solche Permutationen. Für n von 1 bis 8 ergeben sich folgende Zahlen:
1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320
Für n = 8 gibt es also bereits 8! = 40320 Permutationen. Eine davon ist
[1
4
3
2
5
8
6
7]
Allgemein bezeichnet man Permutationen meist mit griechischen Buchstaben und schreibt
σ = [σ( 1 ) σ( 2 ) ...
σ( n )]
 1
2
...
σ=
σ( 1 ) σ( 2 ) ...
n 

σ( n )
oder zur besseren Übersicht
Eine Permutation ist also nicht anderes als eine bijektive Abbildung auf der Menge der ersten n
natürlichen Zahlen, oder allgemeiner auf irgendeiner n-elementigen Menge.
Beispiel 2: Eine Drehung
um die Achse R ( 1, 1, 1 )T mit einem Drehwinkel von φ =
2π
= 1200 bewirkt eine zyklische
3
Permutation der drei kanonischen Einheitsvektoren: Sie dreht e1 nach e2, entsprechend e2 nach e3
und e3 nach e1. Nach der früher berechneten Formel
dφ( x ) = cos( φ ) x + ( 1 − cos( φ ) ) a xTa + sin( φ ) axx
hat die Drehung um den normierten Achsenvektor
T
 1
1
1 

a = 
,
,
 3
3
3
bei variablem Drehwinkel φ die Darstellungsmatrix

2 cos( φ ) + 1
1 
R( φ ) = 1 − cos( φ ) + sin( φ ) 3
3
1 − cos( φ ) − sin( φ ) 3
1 − cos( φ ) − sin( φ ) 3
2 cos( φ ) + 1
1 − cos( φ ) + sin( φ ) 3
1 − cos( φ ) + sin( φ ) 3 
1 − cos( φ ) − sin( φ ) 3 

2 cos( φ ) + 1

Jede der drei Spalten dieser Matrix ist eine Parameterdarstellung des Kreises durch die Spitzen der
drei kanonischen Einheitsvektoren!
Das "Mercedes-Lenkrad" im Bild:
Verknüpfung von Permutationen
Für die Hintereinanderausführung τ o σ zweier Permutationen schreibt man üblicherweise σ τ ;
also erst σ und dann τ anwenden!
Transpositionen
vertauschen nur ein einziges Paar von Zahlen j und k, während alle anderen Zahlen fest bleiben.
Man benutzt für eine solche Transposition die abkürzende Notation τ = (j,k).
Zyklische Permutationen oder Zykel
schreibt man in der Form
σ = (n1,...,nk)
falls n1 auf n2, dieses auf n3 usw. und schließlich nk wieder auf n1 verschoben wird:
σ( n1 ) = n2 , σ( n2 ) = n3 , ... , σ( nk ) = n1.
Jede Permutation ist ein Produkt von zyklischen Permutationen, wobei es hier nicht auf die
Reihenfolge der Zyklen ankommt!
Beispiel 3: Produkte von zwei Zyklen
Die Permutation
σ = [1
4
3
2
5
8
6
7]
hat die (nach Weglassen der Einerzyklen) die bequeme und überschaubare Zykeldarstellung
σ = ( 2, 4 ) ( 6, 8, 7 )
Die Permutation
ρ = [2
8
4
5
6
7
hat die Zykeldarstellung
ρ = ( 1, 2, 8 ) ( 3, 4, 5, 6, 7 ).
3
1]
Produkte von Transpositionen
Ein einfacher Induktionsschluß zeigt, daß jede Permutation σ durch Hintereinanderschalten von s
Transpositionen entsteht, wobei s die Anzahl der sogenannten "Fehlstände" ist, d.h. die Anzahl der
Zahlen j mit j < σ( j ). Man nennt
sign( σ ) = ( −1 )s
das Signum der Permutation.
Für die identische Permutation
id = [1,2,3,...,n],
die gar keine Veränderung bewirkt, ist natürlich
sign( id ) = 1 = ( −1 )0 = ( −1 )2,
und für jede Transposition τ gilt definitionsgemäß
sign( τ ) = −1.
Die Produktgleichung
sign( σ τ ) = sign( σ ) sign( τ )
ist plausibel aufgrund der Potenzregel
(s + t)
( −1 )s ( −1 )t = ( −1 )
.
Sie hat einige nützliche Konsequenzen, zum Beispiel diese:
Ist σ ein Produkt von k Transpositionen, so gilt
sign( σ ) = ( −1 )k
(obwohl k nicht die Anzahl der Fehlstände zu sein braucht! ) Insbesondere gilt die Gleichung
sign( σ ) = ( −1 )k
für jede zyklische Permutation von k+1 Elementen:
σ = (n0,...,nk) = (n0,n1)...(n0,nk).
Allgemein kann man so für Permutationen in Zykeldarstellung das Signum ermitteln:
Ist σ ein Produkt von Zyklen der Längen k1+1,...,km+1, so gilt
m
sign( σ ) = ( −1 ) mit k =
k
∑k .
j
j=1
Gerade und ungerade Permutationen
Das Signum ist gleich 1 oder gleich -1, je nachdem ob die Permutation aus einer geraden oder einer
ungeraden Anzahl von Transpositionen zusammengesetzt ist. Im ersten Fall spricht man von einer
geraden, im zweiten von einer ungeraden Permutation.
Beispiel 4: Fehlstände
der obigen Permutation σ = [1
4
3
2
5
8
6
7] sind
2 < 4, 6 < 7, 7 < 8.
Die Hintereinanderausführung der drei Transpositionen, die diese Fehlstände beseitigen, also
τ1 = [1
τ2 = [1
τ3 = [1
4
2
2
3
3
3
2
4
4
5
5
5
6
7
6
7
6
8
8] = (2,4)
8] = (6,7)
7] = (7,8)
liefert
τ1 τ2 τ3 = σ.
Somit haben wir
sign( σ ) = ( −1 )3 = -1,
also eine ungerade Permutation.
Dies ergibt sich auch unmittelbar aus der Zykeldarstellung
σ = ( 2, 4 ) ( 6, 8, 7 ).
Permutationsmatrizen
sind quadratische Matrizen, bei denen in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine 1 und sonst nur
Nullen stehen. Sie bewirken bei Multiplikation mit einem Zeilenvektor (von links) oder einem
Spaltenvektor (von rechts) stets eine Permutation, d.h. Vertauschung der Komponenten dieses
Vektors. Diese treten also auch im Bildvektor alle wieder auf, nur in anderer Reihenfolge.
Beispiel 5: Zeilen- und Spaltenpermutation
0

1

0
[a
b
0
0
1
0

c]  1

0
1  a   c
  
0  b  =  a
  
0  c   b
0
0
1
1

0 = [ b

0





c
a]
Beachten Sie, daß diese Permutationsmatrix eine andere Vertauschung bei den Zeilen als bei den
Spalten bewirkt! Nur symmetrische Permutationsmatrizen wirken auf Zeilen ebenso wie auf
Spalten.
Jeder Permutation σ entspricht genau eine Permutationsmatrix
P = Pσ = [ pj, k ]
deren Koeffizienten folgendermaßen festgelegt sind:
pj, k = 1 , falls σ( j ) = k
pj, k = 0 sonst.
Das ist gerade die Darstellung derjenigen linearen Abbildung, die die kanonischen
Einheitsvektoren mittles σ vertauscht. Es gilt dann allgemein
 x1

 .
Pσ 
 .
x
 n
Beispiel 6: Türme auf dem Schachbrett
 xσ( 1 )
 

  . 
=

  . 
 

 x 
  σ( n )
Jede Verteilung von acht Türmen auf einem Schachbrett, die sich gegenseitig nicht bedrohen,
liefert eine 8 8-Permutationsmatrix (und umgekehrt).
σ = [2
0

0

1

0

0

0

0

0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
1
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
1
6
0 

0 

0 

0 
1 
0 
0 

0 
4
7]
1 
 
2 
 
3 
 
4 
=
5 
6 
7 
 
8 
2

5

1

3
8
6
4

7
Produkte von Permutationsmatrizen
Die Hintereinanderausführung zweier Permutationen entspricht dem Produkt der zugehörigen
Permutationsmatrizen:
Pσ Pτ = Pσ τ .
Im allgemeinen ist σ τ nicht gleich τ σ !
Beispiel 7: Verschiedene Produkte von Permutationen
Wir betrachten zwei Permutationen der Zahlen 1,...,4 (als Spalten geschrieben) und die
zugehörigen Matrizen:



σ=



1
1


0
4
, Pσ = 

0
2


3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0




1
, τ = 


0


0

4
0


0
2
, Pτ = 

0
3


1
1
0
1
0
0
1

0

0

0
0
0
1
0
Für σ τ und die Produktmatix Pσ Pτ erhalten wir:
 4  0
  
 1  1
 , 
 2  0
  
 3  0
Andererseits ergibt sich für τ σ und Pτ Pσ :







3  0
 
4  0
, 
2  0
 
1  1
0
0
1
0
0
0
0
1
1

0

0

0
0
0
1
0
1
0
0
0
0

1

0

0
Beispiel 8: Drei Transpositionen
(als Spalten geschrieben) und ihre Darstellungsmatrizen:



ρ=



1
1


0
4
, R = 
0
3


2
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0




1
, σ = 

0


0

1
1


0
3
, S = 
0
2


4
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0




0
, τ = 

0


1

4
0


0
2
, T = 
0
3


1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1

0

0

0
Die Permutationsmatrix von ρ σ τ ist das Produkt der drei Transpositionsmatrizen:



ρσ=



1
1


0
4
, R S = 

0
2


3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0




1
, ρ σ τ = 


0


0

4
0


1
1
, R S T = 

0
2


3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1

0

0

0
Mit Hilfe der Permutationen kann man eine explizite Formel für Determinanten angeben. Aus der
Entwicklungsformel nach Laplace folgt mit einem etwas mühseligen Induktionsbeweis die
Leibniz-Formel für Determinanten:
 n

det( A ) =
sign( σ ) 
aj, σ 
j
j=1

wobei über alle möglichen Permutationen der ersten n natürlichen Zahlen zu summieren ist.
∑
∏
Für n = 3 ist das die Regel von Sarrus, aber bei größeren Matrizen erweist sich die alternierende
Summe der Produkte von jeweils n Matrixkoeffizienten (aus jeder Zeile und Spalte einer),
summiert über alle n! Permutationen, als viel zu aufwendig (bei n = 8 sind es ja bereits über 40
000 Summanden). Die üblichen exakten Verfahren zur Berechnung von Determinanten laufen über
die Laplace-Entwicklung oder den Gaußschen Eliminations-Algorithmus. Obwohl die
Leibniz-Formel für praktische Berechnungen großer Determinaten wenig hilfreich ist, gehört sie zu
den großen mathematischen Entdeckungen des 17. Jahrhunderts durch das Universalgenie G. W.
Leibniz.