¨Ubung zur Einführung in die Stochastische Finanzmathematik Blatt 1

Prof. Dr. Christoph Kühn
WS 2010/11
Übung zur Einführung in die Stochastische
Finanzmathematik
Blatt 1
Abgabe Mittwoch, 10.11.2010 vor der Vorlesung
Aufgabe 1 Sei τ eine {0, . . . , T }-wertige Stoppzeit bzgl. der Filtration (Ft )t=0,1,...,T .
Das Mengensystem
{A ∈ F | A ∩ {τ = t} ∈ Ft ∀t ∈ {0, . . . , T }} .
nennt man die ,,σ-Algebra der τ -Vergangenheit” und bezeichnet es mit Fτ .
(a) Zeigen Sie, dass Fτ tatsächlich eine σ-Algebra ist und für deterministische
Stoppzeiten τ = t0 mit Ft0 übereinstimmt.
(b) Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable τ Fτ -messbar ist.
(c) Sei κ eine weitere (Ft )t=0,1,...,T -Stoppzeit mit Werten in {0, . . . , T } und κ ≥ τ .
Zeige: Fτ ⊂ Fκ .
(d) Kurze Erklärung: Warum heißt Fτ ,,σ-Algebra der τ -Vergangenheit” ?
Aufgabe 2 Sei X = (Xt )t=0,...,T ein adaptierter Prozess und τ eine {0, 1, . . . , T }wertige Stoppzeit.
(a) Zeigen Sie, dass auch der bei τ abgestoppte Prozess X τ adaptiert ist. Xtτ :=
Xt∧τ .
(b) Sei A = (At )t=0,...,T ein vorhersehbarer Prozess. Zeigen Sie, dass auch der
bei τ abgestoppte Prozess Aτ vorhersehbar ist.
(c) Sei M = (Mt )t=0,...,T ein Martingal. Zeigen Sie, dass auch der bei τ abgestoppte Prozess M τ ein Martingal ist.
(d) Welche der folgenden Prozesse ξ = (ξt )t=1,...,T sind vorhersehbar bzw. i.A.
nicht vorhersehbar ? (kurze Begründung)
(ii) ξt = 1{t≤τ }
(iii) ξt = 1{t=τ } Xt−1
(iii) ξt = P (Xt < Xt−1 )
Bitte wenden
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Aufgabe 3 Sei X = (Xt )t=0,1,...,T ein adaptierter Prozess mit E(|Xt |) < ∞,
t = 0, 1, . . . , T . Gesucht ist eine maximale Stoppzeit τ , so dass der bei τ abgestoppte Prozess X τ ein Submartingal ist. Maximal bedeutet, dass für jede andere
Stoppzeit τe, für die X eτ ein Submartingal ist, gilt P (τe ≤ τ ) = 1. Konstruieren
Sie mit der Doob-Zerlegung von X (siehe Satz 1.6 im Skript) eine maximale
Stoppzeit und beweisen Sie, dass sie tatsächlich maximal ist.
Hinweis: Man benutze u.a. (b) und (c) aus Aufgabe 2.
Aufgabe 4 Sei X = (Xt )t=0,1,...,T ein adaptierter Prozess. Gesucht ist eine maximale Stoppzeit τ , so dass der bei τ abgestoppte Prozess X τ P -fast sicher nichtfallend ist (d.h. außerhalb einer P -Nullmenge sind alle Pfade des abgestoppten
Prozesses nicht-fallend). Maximal bedeutet, dass für jede andere Stoppzeit τe, für
die X eτ ein P -fast sicher nicht-fallender Prozess ist, gilt P (τe ≤ τ ) = 1. Beweisen
Sie, dass eine solche maximale Stoppzeit existiert, indem Sie einen Kandidaten
erraten und zeigen, dass er tatsächlich maximal ist. Dominiert eine der beiden
maximalen Stoppzeiten aus Aufgabe 3 und Aufgabe 4 die andere ? Wenn ja welche
? (mit Beweis)
Allgemeiner Hinweis: Wenn nicht anders angegeben, gibt es für jede Aufgabe
4 Punkte.
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