Komplexe Zahlen - KIT - Fakultät für Mathematik

Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen
a + ib
mit
a, b ∈ R
wurden bereits im 16. Jahrhundert von Ma-
thematikern zur Lösung polynomieller Gleichungen verwendet.
i
ist
vage formuliert
etwas, was im Quadrat -1 ergibt. Aus mathematischer Sicht ist dies allerdings zu
unpräzise, sodass die tatsächliche Denition hier nicht verheimlicht werden soll.
Denition.
Eine komplexe Zahl z ist ein Paar (a, b) reeller Zahlen a, b ∈ R, wir schreiben
z = a+ib und bezeichnen mit Re(z) = a den Realteil und mit Re(z) = b den Imaginärteil
von z . Die Menge der komplexen Zahlen kürzt man mit dem Symbol C ab.
Die komplexe Zahl
i
2
dition und Multiplikation so denieren, dass tatsächlich i
chengesetze gelten. Dies wird gewährleistet durch:
Addition:
Multiplikation:
Die Beziehung
(0, 1) und wir
= −1 sowie die
ist also in Wirklichkeit das Zahlenpaar
i2 = −1
müssen Adübrigen Re-
(a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) := (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
(a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) := (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + b1 a2 )
ergibt sich dann formal aus
i2 = (0 + i · 1) · (0 + i · 1) = (0 · 0 − 1 · 1) + i(0 · 1 + 1 · 0) = −1
Dies erzwingt eine konkrete Denition der Subtraktion und der Division
Subtraktion:
Division:
(a1 + ib1 ) − (a2 + ib2 ) := (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 )
a1 + ib1
(a1 + ib1 ) · (a2 − ib2 )
:=
a2 + ib2
a22 + b22
Der Division liegt die dritte Binomische Formel
(a + b)(a − b) = a2 − b2
zugrunde.
Man visualisiert die komplexen Zahlen durch Erweiterung der Zahlengerade zu einer
Zahlenebene:
2
1 + 2i 3 + i
1
1
−3 −2 −1
−1
−2 − 1.5i −2
2
3
Abbildung 1: komplexe Zahlenebene
1
Betrag einer komplexen Zahl
Mit
|c|
bezeichnet man den sogenannten Betrag einer komplexen Zahl
c
und er ist
deniert durch
|c| :=
p
Re(c)2 + Im(c)2
p
|a + ib| := a2 + b2
|c| misst daher nach
(0, 0) zum Punkt a + ib:
Die reelle Zahl
Ursprung
oder äquivalent
(a, b ∈ R)
dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke vom
a + ib
√
a2 + b2
b
a
Abbildung 2: |a + ib| =
Für komplexe Zahlen
z1 , z2
1.
z1 z2 =
2.
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
3.
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
4.
|z1 | ≥ |z1 + z2 | − |z2 |
√
a2 + b2
gilt:
|z1 |
|z2 |
Die dritte Ungleichung nennt man
Dreiecksungleichung. Im Grunde beinhaltet sie die
Aussage, dass die Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist. Der Bezug
zu einem Dreieck ergibt sich aus folgender Zeichnung:
|z1 + z2 |
|z2 |
|z1 |
Abbildung 3: Dreiecksungleichung
2