Schülerzirkel Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Johann Hartl
25. Januar 2012
Schülerzirkel Mathematik
Im folgenden seien x, y, u, v reelle Zahlen.
Mit der imaginären Einheit i mit i2 = −1 bildet man dann die komplexen
Zahlen z = x+iy und w = u+iv mit den Realteilen x, u und den Imaginärteilen
y, v.
Es gilt z + w := (x + u) + i(y + v), z · w := xu − yv + i(xv + yu).
Mit der Schreibweise
z = r · (cos t + i sin t)
und der Abkürzung
cos t + i sin t =: eit
gilt
r1 · eit1 · r2 · eit2 = r1 r2 · ei(t1 +t2 ) .
Dabei ist
x = r · cos, y = r · sin t
und
p
x
x
x2 + y 2 , t = arccos falls y ≥ 0, t = 2π − arccos falls y < 0.
r
r
p
p
Anstelle von r = x2 + y 2 schreibt man auch |z| = x2 + y 2
r=
Zu jeder komplexen Zahl z = x + iy gibt es die konjugiert komplexe Zahl
z := x − iy.
1.
|z| =
2.
z·z =
3.
|z · w| =
Für komplexe Zahlen gelten einige Gesetze, die man geometrisch in der Zahlenebene
deuten kann, die man aber auch nachzurechnen versuchen kann:
4.
|z + w| ≤ |z| + |w|
5.
||z| − |w|| ≤ |z − w|
6.
z
z
1
=
= 2
z
z·z
|z|
7. Sei k ein Kreis in der komplexen Zahlenebene mit dem Mittelpunkt m und
dem Radius r > 0. (Achtung: Dieses r ist nicht das r von oben!) Kann man
eine Gleichung in komplexen Zahlen für die Variable z angeben, die als Lösung
genau die Punkte von k liefert?
8. Sei g eine Gerade in der komplexen Zahlenebene durch die beiden verschiedenen Punkte a und b. Kann man einen Ausdruck angeben, der genau diejenigen
komplexen Zahlen beschreibt, die Punkte von g liefern?
9. Sei fa : C → C die Parallelverschiebung der komplexen Zahlenebene, die den
Nullpunkt in den Punkt a schiebt. Wie kann man fa (z) angeben?
10. Seien fa und fb Parallelverschiebungen der komplexen Zahlenebene wie in Aufgabe 9. Wie kann man die Hintereinanderausführung fa ◦ fb kürzer schreiben?
Achtung: Die Hintereinanderausführung von Abbildungen f, g ist so definiert,
dass gilt: (f ◦ g)(z) = f (g(z)).
11. Sei c := a + ib mit reellen Zahlen a, b. Wie kann man die Abbildung f : C → C
in Worten beschreiben, die durch f (z) = c · z gegeben ist?
12. Wie lässt sich die Drehung f : C → C um den Koordinatenursprung durch
den Winkel ϕ mit Hilfe komplexer Zahlen beschreiben? f (z) =
13. Wie lässt sich die Abbildung f : C → C in Worten beschreiben, die gegeben
ist durch f (z) = a · z + b?
14. Seien f : C → C und g : C → C gegeben durch f (z) = a·z und g(z) = z +b. Ist
dann die Hintereinanderausführung g ◦ f gleich der Hintereinanderausführung
f ◦ g?
15. Sei m eine komplexe Zahl. Wenn man m als Punkt in der komplexen Zahlenebene deutet, ist es sinnvoll, von einer Drehung um m durch einen Winkel ϕ zu
sprechen. Wie lässst sich diese Drehung als Abbildung f : C → C beschreiben?
16. Sei g die Gerade durch den Nullpunkt 0 + i0, die mit der reellen Achse den
Winkel ϕ einschließt. Wie kann man die Spiegelung an g durch eine komplexe
Funktion f : C → C beschreiben?