Höhere Mathematik für Ingenieure IV

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
FR 6.1 Mathematik
Dr. Richards Grzibovskis
Dipl.-Math. E. Krämer
2. Übung zur Vorlesung
Höhere Mathematik für Ingenieure IV
Sommersemester 2014
Abgabe: Dienstag, 6.5.2014, vor der Vorlesung
1. Aufgabe
2.5 + 1.5 Punkte
1. Ist die Funktion
2
f1 : R → R
,
x
y
(
7→
x3 y
x2 +y 2
0
, (x, y) 6= (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
in (0, 0) total differenzierbar?
2. Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen der Funktion
xy
, (x, y) 6= (0, 0)
x
2
x2 +y 2
7→
f2 : R → R ,
y
0
, (x, y) = (0, 0)
in (0, 0) existieren. Ist die Funktion dort total differenzierbar?
Hinweis: Nutzen Sie die Polarkoordinatendarstellen (x, y) = r cos(φ), r sin(φ) .
2. Aufgabe
1 + 1 Punkte
Bestimmen Sie zu den folgenden Funktionen jeweils die Jacobi-Matrix:


x1
3 2 5
1. f : R3 → R2 , x 7→ Ax + b mit x =  x2  , A =
−1 0 4
x3
!
2 + 2x x + x2
x
1
2
1
2
x
p
1
2. g : R\{0} × (0, ∞) → R2 ,
7→
.
x2
arctan xx12 − x21 + x2
,
b=
−3
1
,
3. Aufgabe
1.5 + 1.5 Punkte
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen sowohl in kartesischen Koordinaten z = x + iy als auch in
Polarkoordinaten z = reiφ dar. Zeichnen Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
1. z1 = (1 − i)3 ,
√
1 + 3i
√ .
2. z2 = −2
1 − 3i
4. Aufgabe
1 + 2 Punkte
1. Zeigen Sie für das Reziproke einer komplexen Zahl z = reiφ 6= 0 die Darstellung
1
z
1
= 2 = e−iφ .
z
|z|
r
2. Berechnen Sie das Reziproke in kartesischen und in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen
√
a) z1 = 3 + 3i,
7
b) z2 = 5e 4 πi .
5. Aufgabe
2 + 2 Punkte
Zeichnen Sie die folgenden Teilmengen der komplexen Zahlenebene:
1. M1 = {z ∈ C : |z − 1| = |z + 1|},
1
1
2. M2 = z ∈ C : Re
<
.
z
2