Folgen und Reihen - Formeln

Mathematik
Folgen – Reihen – Formeln
Folgen und Reihen
Die wichtigsten Formeln
Zwei wichtige Folgentypen:
Bei einer arithmetischen Folge wird immer eine konstante Zahl addiert. Die Zahl heißt manchmal k und entspricht exakt dem k in der Geradengleichung y = kx + d.
Bei einer geometrischen Folge wird immer mit einer konstanten Zahl multipliziert. Diese Zahl heißt oft q und
entspricht dem q in der Formel für Wachstums- und Zerfallsprozesse. Mit einer Ausnahme: dieses q darf auch
negativ sein → das Vorzeichen ändert sich von Zahl zu Zahl.
Arithmetische Folgenglieder werden meist mit a0, a1, … bezeichnet, geometrische mit b0, b1 u.s.w.
Formeln:
Wenn man mit n=1 zu zählen beginnt:
Arithmetische Folge: an = a0 + k ⋅n
Geometrische Folge: bn = b0 ⋅ qn
Arithmetische Folge: an = a1 + k ⋅ (n − 1)
Geometrische Folge: bn = b1 ⋅ q(n−1)
Aufgaben: Schreibe die Folgenglieder 0 bis 3 und 24 auf
Beispiel: bn = 128 ⋅ 0,5n : <128 ; 64 ; 32 ; 16 ; … ; 0,000007629 ; …>
1. an = 2 + 0,9n :
2. an = 28 − 4n :
3. an =
2n − 1
(verwende Brüche):
n+1
4. bn = 3⋅1,1n :
5. bn = 1,5⋅ (−2)n :
6. Welche dieser 5 Folgen ist weder arithmetisch noch geometrisch?
Reihen
Addiert man die Zahlen einer Folge schrittweise und schreibt die Ergebnisse wieder als Folge auf, nennt man
das Reihe. Die Folgenglieder werden, da sie Summen sind, meist mit s1, s2 etc. bezeichnet. Beispiel zur Erklärung: s5 ist die Zahl, die man erhält, wenn man die ersten 5 Folgenglieder addiert.
Bei einer Reihe ist es prinzipiell besser, wenn man mit 1 zu zählen beginnt, weil dann die Formeln
einfacher aussehen.
Beispiel: Die Folge lautet <4 , 3 , 2 , 1 , 0 , –1 , –2 , …>.
Dann lautet die zugehörige Reihe: <4 , 7 , 9 , 10 , 10 , 9 , 7 , …>
Versuche, selbst draufzukommen, wieso das so ist!
Formel für arithmetische Reihe:
Diese Formel hat Carl Gauss in der
n Volksschule gefunden, wie er die
sn = (a1 + an ) ⋅
2 Zahlen von 1 bis 60 zusammenzählen musste. Man kann sie in
Worten so beschreiben: „Erste Zahl plus letzte Zahl
mal der halben Anzahl der Zahlen.“
Formeln für geometrische Reihe:
qn − 1
Für q < 1 nimmt man besser die unq − 1 tere Formel, prinzipiell ist es aber
1− qn egal, welche Formel verwendet wird.
sn = b1 ⋅
1− q
sn = b1 ⋅
Aufgaben:
7. Schreibe die zugehörige Reihe auf: < 1 , –2 , 3 , –4 , 5 , –6 , 7>:
8. Berechne s4 und s9: der Folgen von den Aufgaben 1, 2, 4 und 5 oben.
9. Berechne b1 bis b3 der geometrischen Folge bn = 16 ⋅ 0,5n−1 (beachte: du beginnst hier mit 1 zu zählen, das
sieht man auch an der Formel) und berechne sodann s5, s10, s20 und s30 der zugehörigen Reihe. Was fällt
auf?