Folgen und Reihen - Finanzmathematik 4.1

Folgen und Reihen - Finanzmathematik
4.1
Einführung
Beispiel:
A und B, zwei erfolgreiche BWL AbsolventInnen aus Graz bekommen nach ihrem Universitätsabschluss
einen lukrativen Job bei einem Finanzdienstleister.
Das Einstiegsgehalt beträgt € 20.000 im Jahr und sie können sich zwischen zwei Modellen zur
Gehaltserhöhung entscheiden:
Modell I:
Modell II:
Jährlich eine Gehaltserhöhung um den Fixbetrag von € 2.000.
Jährlich eine Gehaltserhöhung um 7%.
A und B rechnen aufgrund ihrer speziellen Qualifikation damit, 20 Jahre in diesem Unternehmen zu
bleiben. Sie möchten beide soviel wie möglich in dieser Zeit verdienen.
A entscheidet sich für Modell I, B für Modell II. Wer hat besser in Finanzmathematik aufgepasst?
Zur Lösung von Problemen dieser Art wird das mathematische Werkzeug der Folgen und Reihen
benötigt.
Unter einer reellen Zahlenfolge versteht man eine nummerierte Menge von Zahlen Die symbolische
Schreibweise, meistens dargestellt durch den Kleinbuchstaben a und einem Laufindex n, lautet
Die Zahlen a1, a2, a3, a4, …..
heißen Glieder der Folge, n bezeichnet man als Laufindex.
Beispiel:
⟨𝑎𝑛 ⟩ = 1,3,5,7, … … …
1 1 1
⟨𝑏𝑛 ⟩ = 1, , , , … … …
2 4 8
Viele Zahlenfolgen lassen sich durch ihre Bildungsgesetze beschreiben:
Beispiel:
an =-1+2n
1
bn =𝑛
Besondere ökonomische Bedeutung haben die so genannte "arithmetische" und die "geometrische" Folge.
4.2 Arithmetische Folge
ei dieser speziellen Folge unterscheiden sich zwei "benachbarte" Folgeglieder an und an+1 jeweils durch
einen fixen Betrag d, sodass gilt:
an= an-1 + d
Anmerkung: Die jährlichen Gehaltszahlungen nach Modell I aus dem Einführungsbeispiel entsprechen
einer arithmetischen Folge, wobei al = 20000, a2 = 22000, a3 = 24000 usw., also
al = 20000 und d = 2000 ist.
Allgemein lautet das Bildungsgesetz:
an= a1 + (n-1)d
n ∈ N und
d∈R
1
4.3 Geometrische Folge
Bei dieser speziellen Folge unterscheiden sich zwei "benachbarte" Folgeglieder bn und bn+l jeweils
Durch einen festen Multiplikator Betrag q, sodass gilt:
bn= bn-1 . q
n e N und q ∈ R, q ≠0
Anmerkung: Die jährlichen Gehaltszahlungen nach Modell 11 aus dem Einführungsbeispiel entsprechen
einer geometrischen Folge, wobei a1 = 20000, a2 = 21400, a3 = 28898 usw., also a1 = 20000 und q = 1,07
ist.
𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞𝑛−1
Für geometrische Folgen gilt folgendes
Bildungsgesetz: n e N und q
∈ R, q ≠0
4.4 Arithmetische Reihe
Ausgehend von einer arithmetischen Folge (an)=a1, a2, a3, a4, •. •• •.•. können die einzelnen Folgeglieder
betrachtet werden, allerdings auch die Summe dieser Folgeglieder. Beispielsweise bezeichnet S3 Summe
der ersten drei Folgeglieder: S3 = al + a2 + a3
Einfacher als der Ausdruck S3 = al + a2 + a3 ist jedoch die Darstellung mit dem Summenzeichen
So formuliert ist S3 also
3
𝑆3 = ∑ a n = a 1 + a 2 + a 3
𝑛=1
Allgemein gilt daher für endliche arithmetische Reihen:
N
𝑆𝑁 = ∑ a n
𝑛=1
Die Summe entspricht dem durchschnittlichen Wert 𝑁 ∙
gilt die Summenformel:
𝑎1 +𝑎𝑁
2
mal der Anzahl der Summanden N. Es
Allgemein gilt daher für endliche arithmetische Reihen:
SN=n=1Nan=N∙a1+aN2 oder SN=n=1Nan=N2∙∙2a1+n-1∙d
2
4.5 Geometrische Reihe
Auch für geometrische Folgen lässt sich die Summe von Folgegliedern bilden.
Die Summenformel dafür lautet:
N
1 − qN
𝑆𝑁 = ∑ b n = b 1 ∙
1−q
N
bzw
𝑆𝑁 = ∑ b n = b 1 ∙
𝑛=1
𝑛=1
qN − 1
q−1
Für geometrische Reihen macht oft auch eine "unendliche Summe" Sinn. Wenn unendlich viele sehr
kleine Zahlen zusammengezählt werden muss diese Summe nicht unendlich sein. Man spricht dann
davon, dass die unendliche Reihe gegen einen Grenzwert konvergiert.
Schreibweise:
𝑁
∞
lim ∑ 𝑏𝑛 = ∑ 𝑏𝑛
𝑁→∞
𝑛=1
𝑛=1
Betrachten wir eine geometrische Folge (bn) so ist die unendliche Reihe genau dann konvergent, wenn der
Betrag von q kleiner als eins ist: I q I < 1 . Andernfalls ist sie divergent.
Der Grenzwert beträgt für I q I < 1 dann
∞
1
𝑆𝑁 = ∑ b n = b 1 ∙
1−q
𝑛=1
∞
1
2
n
1 1 1
1
q=
< 1, 𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡,
2 4 8
2
𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑘𝑎𝑛𝑛 𝑚𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑒 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑛𝑒n ‼!
∑ ( ) = ???
𝑛=1
∞
==>
⟨ , , ,∙∙∙⟩ ==>
n
1
1
1
1 1
1 2
𝑆𝑁 = ∑ ( ) = ∙
= ∙
= ∙ =1
2
2 1−1
2 1
2 1
𝑛=1
2
2
3