(Mg II_10 Unabh\212ngigkeit)

C. Modelle von ZF Kap X
Kap. X: Unabhängigkeitsergebnisse
Literatur
Bell, J.L. : Boolean - valued Models and Independence Proofs ,Clarendon-Press Oxford 1977
Cohen, P.J.: Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin New York 1966
Felgner, U.: Models of ZF-Set Theory, Springer Lecture Notes in Math. 223 , 1971
Jech, T.J.: Lectures in Set Theory, Springer Lecture Notes in Math. 217, 1971
Jech, T.J.: Set Theory, Academic Press New York 1978
Kunen, K.: Set Theory. An Introduction to Independence Proofs, NHPC Amsterdam 1983
Scott, D. (ed.) [1971]: Axiomatic Set Theory, Proc. AMS Symp.Pure Math. 13,1+2 ,
darin (Teil 1): Shoenfield, J.R.: Unramified forcing, 357-381
Takeuti-Zaring: Axiomatic Set Theory, Springer 1973
§1 Allgemeine Vorbemerkungen
1.1. Bei der Behandlung des COHENschen Minimalmodells haben wir bemerkt, daß man die
Unabhängigkeit der Aussage V = L (sowie der daraus folgenden Aussagen der ZF-Sprache)
nicht mittels der Methode der inneren Modelle nachweisen kann; denn für ein solches M gilt L
⊆ M ⊆ V , und somit M = L , falls V = L (und das ist ja nicht widerlegbar). Somit müssen wir
auf andere Methoden zurückgreifen und eine andere Art von Modellen benutzen:
(a) Nicht-standard Modelle (M,E) , wobei E nicht notwendig fundiert ist
(wie z.B. bei der Methode der Permutationsmodelle von FRAENKEL-MOSTOWSKI und SPECKER,
die aber nur für die Theorie ZF ohne Fundierungsaxiom geeignet ist, s. FELGNER [1971], Ch.
III),
(b) Standard Modelle, die Mengen sind: ausgehend von einem Standardmodell (M,∈ ) von ZFC
konstruiert man eine generische Erweiterung M[G] von M mit denselben Ordinalzahlen wie
M; ist M ⊂ M[G] , so ist M[G] Modell von V ≠ L
(die ursprüngliche Methode von COHEN [1966]; dabei muß man notwendigerweise abzählbare
Modelle benutzen),
(c) Erweiterungen von V durch "Adjunktion" einer generischen Menge G zu V[G] ,
(d) Erweiterungen des Bereiches der Mengen durch Übergang von der gewöhnlichen 2-wertigen
zu einer BOOLEschwertigen Logik und entsprechenden BOOLEschwertigen Mengen
(nach SCOTT-SOLOVAY, s. BELL [1977] ).
Jede dieser Methoden hat ihre Vor- und Nachteile; die beste Begründung scheint mir die
Methode (d) zu bieten (erfordert aber die Vertrautheit mit zahlreichen Begriffen der Theorie
der BOOLEschen Algebren), und das Vorgehen nach dem Buch von JECH erscheint mir am
zweckmäßigsten, da es die besten Ideen aller vier Methoden vereinigt.
1
C. Modelle von ZF Kap X
1.2. Die Unabhängigkeit einer Aussage A von den ZF-Axiomen hat die Form
(*)
Con(ZF) → Con(ZF + A)
und wird nach der COHENschen Forcing-Methode so gezeigt, daß man ein gegebenes
abzählbares transitives ZF-Modell M
erweitert zu einem
transitiven Modell M[G] mit M ⊆ M[G] , G ∈ M[G] und On ∩ M = On ∩ M[G] ,
wobei die generische Menge G ⊆ M so zu wählen ist, daß die Aussage A in M[G] wahr wird.
1.3. Die Annahme, daß M ein abzählbares transitives ZF-Modell ist, ist zwar stärker als die
Aussage, daß ZF consistent ist; für den (syntaktischen) Beweis der relativen Widerspruchsfreiheit benötigt man jedoch nur Modelle für bestimmte endlich-axiomatisierbare Teiltheorien
von ZF, für welche transitive Modelle aufgrund des Reflexionsprinzips existieren. Diese können
überdies als abzählbar angenommen werden , wenn man von ZF zu ZF + V=L übergeht (so daß
eine definierbare Wohlordnung vorausgesetzt werden kann), und das ist erlaubt, da nach
früheren Ergebnissen gilt: Con(ZF) → Con(ZF +V = L) .
1.4. Die ursprüngliche Methode von COHEN benutzte zum Aufbau von M[G] eine geschichtete
Sprache, die die Elemente von M[G] mittels der Ordinalzahlen von M beschrieb (ramified
forcing); diese Methode wurde von SHOENFIELD technisch vereinfacht (unramified forcing);
wir wollen an einem Beispiel die Idee zu erläutern versuchen:
Es sei also M ein abzählbares transitives ZFC-Modell, a, b ∈ M , wobei a unendlich und b ≠ Ø .
Gesucht wird eine Erweiterung N von M, die ebenfalls ein transitives ZFC-Modell ist und in
welcher außerdem eine Abbildung F: a → > b existiert. Man denke dabei etwa an folgende
Beispiele:
(1)
a = ω , b = PL (ω ) : dann ist in N b abzählbar, insbesondere in N: V ≠ L.
(2)
a ⊂ ω , b = 2 , F die charakteristische Funktion von a . Dann ist mit F auch a Element
von N ( a war möglicherweise nur Teilmenge, nicht aber Element von M).
(3)
Ähnlich wie in (2) kann man eine Funktion F benutzen, um "sehr viele" Teilmengen
von ω
zu codieren und zu erzwingen, daß diese dann Elemente von N sind und dort
möglicherweise bewirken, daß die CH in N falsch wird.
Wir werden F soweit möglich in M beschreiben (um auszunutzen, daß M ein ZFC-Modell ist),
und betrachten dazu die Menge der endlichen Funktionen aus a nach b:
P := {p| ∃ x ⊆ a (p: x → b )} . Es ist dann P ∈ M ,
G:= {f ∈ P| f endlich ∧ f ⊆ F } ⊆ P , aber i.a. G ∉ M .
2
C. Modelle von ZF Kap X
Mittels
G
können wir F beschreiben: es ist
charakterisieren: Setzen wir
p ≤ q : ↔ q ⊆ p für p,q ∈ P, so ist
größtem Element, und G ist ein Filter in
P
(G1)
G≠Ø
(G2)
p, q ∈ G → ∃r ∈ G ( r ≤ p ∧ r ≤ q )
(G3)
q≥p∈G ∧ q∈P → q∈G.
F =
∪
G .
Und
G können wir wie folgt
= (P,≤) eine partielle Ordnung mit Ø =
, d.h. G ⊆ P mit
P
Nun ist aber für jeden solchen Filter G die Menge
F =
∪
G
1
als
eine Abbildung von einer
Teilmenge von a nach b; damit ein solches F eine Abbildung von ganz a auf b wird, muß G
außerdem die folgenden (in P dichten) Mengen schneiden, die selbst in M sind:
{p| x ∈ D(p)} für jedes x ∈ a und {p| y ∈ W(p)} für jedes y ∈ b .
Ein M-generischer Filter wird gerade ein Filter G sein, für den G ∩ D ≠ Ø für jede dichte
Teilmenge D von P mit D ∈ M. (Die Existenz eines solchen G wird gerade durch die
Abzählbarkeit von M gesichert sein.)
Um die generische Erweiterung M[G] zu erhalten, definieren wir zunächst ein nicht-standard
Modell (M, ∈ G ) mit
a ∈G b : ↔ ∃ p ∈ G (a,p) ∈ b
für a, b ∈ M.
a ∈G b → a ∈ TC(b)
Diese Relation ist wegen
fundiert, also gibt es eine Abbildung
iG : M →> M[G]
mit
iG (a) = {iG (x)| x ∈ G a} und transitivem M[G] .
Definiert man - unter der Voraussetzung, daß
P
ein größtes Element
1
besitzt, in M durch
Rekursion
b = {(a , 1 )| a ∈ b} , so gilt iG ( a )= a , also ist
Setzen wir außerdem
G = {( p ,p)|p ∈ P }, so ist
M ⊆ M[G] .
iG ( G )= G und somit G ∈ M[G] .
Schließlich bleibt "nur" noch zu zeigen, daß M[G] für jedes M-generische G ein ZFC-Modell
mit denselben Ordinalzahlen wie M ist.
3
C. Modelle von ZF Kap X
§2 BOOLEschwertige Mengen
2.1. Definition
Es sei
B
= <B, ∧, ∨ , - ,
O
, 1 > eine BOOLEsche Algebra (B.A.).
B
für alle Teilmengen A ⊆ B Infimum und Supremum von A in
heißt vollständig gdw
existieren (bezeichnet mit
B
Λ A bzw. V A ). Dabei ist dann speziell Λ Ø = 1 und V Ø = 0 .
kann man eine partielle Ordnung ≤B definieren durch
x ≤B y : ↔ x ∩ y = x ↔ x ∪ y = y .
In jeder B.A.
B
2.2 Beispiele
(i)
Die einfachste BOOLEsche Algebra
B
ist die 2-elementige B.A.
klassischen Fall der 2-wertigen Logik entspricht (mit
O
= falsch,
1
2
= wahr,
= {O , 1 } , die dem
O
<B
1
).
Diese B.A. ist - wie alle endlichen B.A. - offensichtlich vollständig.
( i i ) Für jede Menge a ≠ Ø ist <P(a), ∩ , ∪ , -a , Ø, a> (mit -a x = a - x) eine vollständige
B.A., die Potenzmengen-Algebra auf der Menge a. Hier ist ≤B = ⊆ .
( i i i ) Jede weitere vollständige B.A. kann erhalten werden als die regulär-offene B.A. eines
topologischen Raumes: Es sei X ein topologischer Raum. Dann bezeichne für A ⊆ X :
A- = abgeschlossene Hülle von A ,
A° = offener Kern von A.,
A regulär-offen :↔ A- ° = A .
Die Menge B der regulär-offenen Teilmengen von X mit
A.B=A∩B,
A + B = (A ∪ B)- ° ,
− A = X − Abildet eine vollständige B.A. RO(X) = <B,.,+,− , Ø, X> , in welcher auch ≤B = ⊆ .
2.3 Definition
Es sei
B
eine vollständige B.A. Wir verallgemeinern den klassischen (2-wertigen)
Mengenbegriff
auf den
B
-wertigen Fall: Durch Rekursion definiere in Analogie zur VON
NEUMANNschen Hierarchie:
V 0B = Ø ,
VλB =
∪ ξ<λV ξB
für Limeszahlen λ ,
V α+1 B = {x| Fkt(x) ∧ D(x) ⊆ Vα B ∧ W(x) ⊆ B} ;
V B :=
∪ α ∈ On VαB
die Klasse der
Jeder mengentheoretischen Formel
B
schließlich ist
-wertigen Mengen.
φ ordnen wir ferner einen BOOLEschen Wert
4
[
φ
]
B
zu
C. Modelle von ZF Kap X
(der von der B.A.
abhängt; wir werden aber häufig einfacher
B
[
φ
der atomare Fall so behandelt, daß das Extensionalitätsaxiom den Wert
[
x∈ y
]
=
[
x = y
]
= (
Vt ∈ D(y) ( [ x = t
Λt
1
erhält:
∧ y(t))
]
( x(t) ⇒
∈ D(x)
schreiben); dabei wird
]
[
t∈ y
)) ∧
]
(Λ t ∈ D(y) ( y(t) ⇒
[
t∈ x
]
))
(wobei u ⇒ v := - u ∨ v )
[
¬ φ
[
φ ∧ ψ
[
∃ x φ (x)
]
= −
[
φ
]
[
φ
]
=
]
]
=
∧[φ
V u ∈ VB
(rechts steht die BOOLEsche Operation!) , analog für ∨
]
[
φ (u)
]
, analog für ∀ .
Man kann nun zeigen, daß für alle logisch-wahren Sätze φ gilt:
[
φ]=
1
, mehr noch:
2.4 Satz (ZF)
Für jedes Axiom φ von ZF gilt:
[
φ
]
setzt man das AC voraus, so gilt auch
=
[
1
;
AC ] =
1
.
Ein wichtiges Hilfsmittel ist dabei (für (ii) setzen wir das AC voraus):
2.5 Lemma
(i)
y(t) ≤
t∈ y
(ii)
[
∃ x ∈ y φ (x)
(iii)
[
∃ x φ (x)
[
]
für alle t ∈ D(y)
]
=
]
=
[
V t ∈ D(y) (y(t) ∧ [ φ (t)
φ (u)
für ein u ∈ VB
]
]
), analog für ∀ .
(Maximums-Prinzip).
2.6 Satz
Es sei
(i)
´ eine vollständige Subalgebra von
VB´⊆ VB
(ii)
[
x∈ y
(iii)
[
x= y
B
Die B.A.
den
2
2
]
]
B
B
=
=
[
[
x∈ y
x= y
]
]
´
B
B
´
B
. Dann gilt:
und
für x, y ∈ V B ´ .
ist vollständige Subalgebra jeder B.A.; können wir die gewöhnlichen Mengen mit
-wertigen identifizieren, so sind diese als besondere Mengen stets unter den BOOLE-
schwertigen enthalten. Die gewünschte Identifikation erhält man, indem man eine Menge a mit
der (partiellen Funktion) gleichsetzt, die auf a definiert ist und dort den konstanten Wert
(= wahr) annimmt.
Somit wird man auf die folgende Definition geführt:
2.7 Definition
5
1
C. Modelle von ZF Kap X
Für a ∈ V definiere durch
∈ -Rekursion: a = {(x, 1 )| x ∈ a } .
2.8 Satz
Die Abbildung ^ : V → V2 ⊆ V B hat folgende Eigenschaften:
(i)
für alle u ∈ V2 gibt es genau ein y ∈ V mit
(ii)
x∈y ↔
[
x∈y
]
(iii)
x=y ↔
[
x =y
]
=
1
=
[
u=y
= 1 ,
]
und
für x,y ∈ V .
1
In diesem Sinne kann man V und V2 als isomorph auffassen.
2.9 Korollar (Absolutheit von
∆ 0 -Formeln)
Ist ϕ eine ∆ 0 -Formel, so gilt:
ϕ (x,y,..) ↔
[
φ( x, y ,.. ) ] =
.
1
Die Absolutheit der Begriffe Ordinalzahl und konstruktibel drückt sich folgendermaßen aus:
2.10 Satz Für u ∈ V B gilt:
(i)
[
(ii)
[
(iii)
[
V α ∈ On [ u = α ]
u ∈ L ] = Vy ∈ L [ u = y ]
, insbesondere
∃ u(Ord(u) ∧ φ (u)) ] = V y ∈ O n [ φ (y ) ] .
Ord(u)
=
]
Darstellung von Mengen, Teilmengen und Funktionen:
2.11 Definition Sei u ∈ V B .
u extensional :↔
∀ x,y ∈ D(u)
:↔
[
∀ x,y ∈ D(u)
x = y ] ∧ u(x) ≤ u(y) , d.h.
[
x= y
]
≤
( u(x) ⇔ u(y) ) .
2.12 Lemma
(i)
u extensional ↔
( i i ) Für alle v ∈ V
mit
[
u = v
]
=
∀ x ∈ D(u) u(x) =
mit D(v) ⊆ d ⊆ V
B
1
B
[
x∈ u].
gibt es ein extensionales u ∈ Bd
.
Beweis von (ii): Definiere u: d →
B
durch u(x) =
[
x∈ v
]
.
Darstellung von Teilmengen und Funktionen: s. TAKEUTI-ZARING !
6