Übungen zu Experimentalphysik 2 - Technische Universität München

Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler
Übungen zu Experimentalphysik 2
SS 13 - Lösungen zu Übungsblatt 2
1 Kapazitive Füllstandsmessung
hmax = 2 m
Zur Messung des Füllstand eines Heizöltanks wird im Inneren ein Kondensator aus zwei Metallplatten mit jeweils 2 m Höhe und 10 cm Breite
montiert. Der Plattenabstand sei 1 cm. (0 = 8.85 · 10−12 C V−1 m−1 )
h
(a) Wie groß ist die Kapazität des Kondensators
(i) bei leerem Heizöltank?
(ii) bei einem Füllstand von 1.5 m, wenn für das Heizöl r = 2.2
angenommen wird?
r
hmin = 0 m
(b) Der Kondensator wird bei leerem Tank an eine Spannungsquelle U0 angeschlossen. Wie
groß sind die Spannung U , die Ladung Q und die Energie W in Abhängigkeit von den
Werten für den leeren Tank U0 , Q0 , W0 sowie in Abhängigkeit vom Füllstand h, wenn
(i) die Spannungsquelle an den Kondensator angeschlossen bleibt?
(ii) die Spannungsquelle vor dem Füllen entfernt wird?
(a) Kapazität des Kondensators
(i) Kapazität ohne Dielektrikum:
C0 = 0
A
2 m × 0.1 m
= 8.85 · 10−12 C V−1 m−1
= 177 pF ,
d
0.01 m
wobei A die Fläche des Kondensators ist, und d der Abstand der Platten.
(ii) Bei partieller Füllung mit einem Dielektrikum verhält sich der gesamte Kondensator
wie zwei parallelgeschaltete Kondensatoren: ein ungefüllter mit 14 der Fläche und
ein gefüllter mit 34 der Fläche. Parallelschaltung bei Kondensatoren bedeutet, dass
sich die Kapazitäten addieren (wie die Flächen):
1 A 3
A
1 3
A
Cges = 0 + 0 r =
+ r 0 = 1.9 · C0 = 336.3 pF
4 d
4
d
4 4
d
(b)
(i) Spannung konstant:
U (h) = U0 (unabhängig von h)
1
Die Kapazität kann analog zu (a) wieder als Summe der Kapazitäten eines gefüllten
und eines ungefüllten Kondensator berechnet werden. Die Fläche des gefüllten
Kondensators in Abhängigkeit der Füllhöhe h ist
Agefüllt (h) =
h
A,
hmax
mit der maximalen Füllhöhe hmax = 2 m. Für den ungefüllte Teil erhält man
entsprechend:
h
Aleer (h) = 1 −
A.
hmax
Für die Gesamtkapazität erhält man damit
Agefüllt (h)
A − Agefüllt (h)
Agefüllt (h)
Aleer (h)
+ 0 r
= 0
+ 0 r
d
d
d
d
Agefüllt (h)
h
= C0 + 0 (r − 1)
C0
= C0 + (r − 1)
d
hmax
h
= C0 1 + (r − 1)
hmax
C(h) = 0
Für die Ladung und Energie erhält man damit:
h
Q(h) = C · U = C(h) · U0 = 1 + (r − 1)
· Q0
hmax
1
h
1
2
2
· W0 .
W (h) = CU = C(h) · U0 = 1 + (r − 1)
2
2
hmax
(ii) Spannungsquelle entfernt, d.h. Ladung konstant:
Q(h) = Q0 (unabhängig von h)
−1
Q0
h
Q0
=
= 1 + (r − 1)
U (h) =
· U0
h
C(h)
hmax
1 + (r − 1) hmax
· C0
1
1
Q0 2
2
W (h) = C(h)U (h) = C(h)
2
2
C(h)
−1
2
h
1 Q0
=
= 1 + (r − 1)
· W0
2 C(h)
hmax
2 Stromleitung in Metallen
In einem Metall sei 1 Elektron pro Atom frei beweglich. Das Metall habe die Molmasse M
und die Dichte ρ.
g
,
(a) Wie groß ist die Ladungsträgerdichte ne der beweglichen Elektronen (M = 63 mol
g
23
ρ = 9.0 cm3 , NA = 6.023 · 10 )?
(b) Das Metall in (a) habe eine Länge l, über die eine Spannung U anliegt. Die spezifische
elektrische Leitfähigkeit des Metalls sei σE . Mit welcher Driftgeschwindigkeit bewegen
sich die Elektronen durch den Draht (U = 8 mV, l = 5 m,σE = 6.5 · 109 Ω−1 m−1 )?
2
(c) Das Metall sei zu einem l = 5 m Band der Dicke 0.01 mm gewalzt. Unter Annahme
eines rechteckigen Querschnitts, wie breit muss das Leiterband sein, damit bei einer
Stromstärke von I = 0.9 A eine Leistung P = 20 mW umgesetzt wird?
ρ
(a) ne = NA M
= 8.6 · 1022
(b) zur Erinnerung:
1
cm3
= 8.6 · 1028
I=
1
m3
dQ
dt
dQ
= ne q · A · vD
dt
1 dQ
j=
= ne q · vD
A dt
Ohmsches Gesetz:
j = σE E
ne q · vD
=⇒ σE =
spezifische elektrische Leitfähigkeit
E
Mit
U = E · l =⇒ E =
U
l
q = e = 1.602 · 10−19 C
erhält man
vD =
σE U
σE E
=
= 7.6 · 10−4 m s−1
ne q
ne e · l
(c) Die Breite b des Leiterbandes kann mit der Dicke d aus dem rechteckigen Querschnitt
A = b · d errechnet werden, der mit Hilfe des spezifischen Widerstandes bestimmt wird:
R=
l
σE A
=
l
.
σE d · b
(2.1)
Aus P = R · I 2 erhält man
P
.
I2
Gleichsetzen von 2.1 und 2.2 und auflösen nach b:
(2.2)
R=
b=
l I2
≈ 3.1 mm
σE d P
3 Fadenstrahlröhre
Eine sogenannten Fadenstrahlröhre besteht aus einem Glaskolben, der eine kleine Menge Wasserstoff bei sehr geringem
~v
Druck enthält. Der Kolben befindet sich in einem Magnet- 0
~ hier mit dem Betrag |B|
~ = 1.2 mT.
feld der Flussdichte B,
Senkrecht zu den Magnetfeldlinen wird ein feiner Strahl von
Elektronen eingeschossen, die mit einer Spannung U0 =
300 V auf die Geschwindigkeit v0 beschleunigt wurden (die
Elektronen seien vor dem Energiegewinn in Ruhe). Die Elektronen werden durch das Magnetfeld auf eine Kreisbahn gezwungen. Durch das Gas im Glaskolben wird ihre Bahn als
3
~
B
dünner Leuchtfaden sichtbar. Als Durchmesser des Kreises
wird d = 10 cm gemessen.
Mit dem Versuchaufbau kann das Verhältnis e/me von Elektronenladung zu Elektronenmasse
bestimmt werden, bzw. bei Kenntnis von e = 1.6022 · 10−19 C (z.B. aus dem Millikanversuch
in Aufgabe 4) direkt ein Wert für die Elektronenmasse me .
(a) Welcher Wert für me ergibt sich mit den angegebenen Parametern?
(b) Wie groß ist die prozentuale Abweichung vom Literaturwert me,lit = 9.11 · 10−31 kg?
(a) Bestimmung von me :
Energieerhaltung:
1
Ekin = me v02 = e · U = Epot
2
Auflösen nach v0 :
r
v0 =
2eU
me
(3.1)
Bewegung auf Kreisbahn mit Radius r = d/2 =⇒ Lorentzkraft bringt Zentripetalkraft
auf, bzw. Lorentzkraft und Zentrifugalkraft sind betragsmäßig gleich:
~ =
|F~L | = |ev~0 × B|
me v02
= |F~z |
r
~ gilt |F~L | = ev0 B und damit
Wegen ~v0 ⊥B
e·B =
me v0
r
Ersetzt man v0 gemäß 3.1, erhält man
e·B =
2
2
e B =
me
m2e
q
2eU
me
r
2eU
me r2
Auflösen ergibt die Standardformel zur Bestimmung von
e
me
mit einer Fadenstrahlröhre:
2U
e
= 2 2
me
r B
bzw. bei bekannter Elementarladung nach der Masse aufgelöst:
me =
e · r2 B 2
2U
Mit den Werten aus der Aufgabenstellung erhält man me ≈ 9.61 · 10−31 kg.
(b) Der Wert ist ungefähr 5.5 % größer als der Literaturwert.
4
4 Millikanversuch
Durch Zerstäuben von Öl wird ein kleines, elektrisch geladenes Öltröpfchen erzeugt und
zwischen die horizontalen Platten eines Kondensators (Plattenabstand d = 10 cm) gebracht.
Das Öltröpfchen wird mit dem Mikroskop beobachtet. Ohne angelegte Spannung unterliegt
der Tropfen der Gravitationsskraft und der Stokes-Reibungskraft Fr = 6πRηv und sinkt mit
konstanter Geschwindigkeit v (R ist der Tropfenradius und η die Viskosität der Luft). Eine
Spannung U wird angelegt und so gewählt, dass der Tropfen schwebt. Mittels ionisierender
Strahlung kann die Ladung n · e des Tropfens geändert werden.
(a) Bestimmen Sie zunächst allgemein die Sinkgeschwindigkeit v des Tröpfchens ohne elektrisches Feld.
−5
(b) Welche Masse hat das Tröpfchen bei v = 1 cm
s , η = 1.8 · 10
kg
m·s ,
g
ρÖl = 0.9 cm
3?
(c) Bei welcher Spannung ruht das Tröpfchen?
(d) Wie kommt man aus dem Versuch auf die Elementarladung?
(a) Es herrscht ein Kräftegleichgewicht: (→ v = const.)
FR = FG
4
6πRηv = πR3 ρg
3
2 R2 ρg
v=
9 η
(b)
r
R=
9vη
= 9.6 µm
2ρg
4
m = πR3 ρ = 3.3 · 10−12 kg
3
(c) das Teilchen ruht bei
FE = FG
U
qE = q = mg
d
mgd
mgd
U=
=
q
ne
n2
1
(d) Der Vergleich der Gleichgewichtsspannungen bei unterschiedlicher Ladung U
U2 = n1 zeigt,
dass die Tröpfchen nur mit ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung e = 1.602 ·
10−19 C geladen sind. (Robert Andrews Millikan erhielt u. a. für dieses Experiment 1923
den Nobelpreis für Physik.)
5
5 Widerstandsnetzwerke
A
B
Die Widerstände in der skizzierten Schaltung
seien: R1 = 3 Ω, R2 = 4 Ω und R3 = 2 Ω.
(a) Welcher Strom fließt in den verschiedenen
Teilen des Stromkreises?
I
(b) Wie groß ist die Wärmeenergie, die in dem
Widerstand R2 = 4 Ω in einem Zeitraum
von t = 3 s erzeugt wird?
I1
I2
R3
+
12 V
C
R2
–
+
R1
F
5V
–
E
D
(a) Strom I im Stromkreis verzweigt sich in B in I1 und I2 .
Knotenregel am Punkt B:
I = I1 + I2
Die Schaltung enthält drei Maschen, auf die sich die Maschenregel anwenden lässt:
Erinnerung Vorgehensweise geschlossene Masche eines Netzwerkes:
• Lege willkürlich einen Umlaufsinn fest.
• Lege willkürlich eine Stromrichtung fest.
Äußere Masche [ACDF]:
12 V − 2 Ω · I2 − 5 V − 3 Ω · (I1 + I2 ) = 0
3I1 + 5I2 = 7 A
Innere Masche [ABEF]:
12 V − 4 Ω · I1 − 3 Ω · (I1 + I2 ) = 0
7I1 + 3I2 = 12 A
Ineinander einsetzen liefert: I1 = 1.5 A und I2 = 0.5 A sowie den Gesamtstrom I =
2.0 A.
(b) Durch den 4 Ω Widerstand fließt laut (a) ein Strom der Stärke 1.5 A. Dies ergibt eine
Leistung von:
P = I12 · R = (1.5 A)2 · 4 Ω = 9 W
W = P · t = 9 W · 3 s = 27 J
6